Rev.R.Acad.Cienc.Exacl.Fis.Nat. (Esp) Vol. 94, N." l, pp 83-92, 2000 Matemáticas

CRITERIOS DE EXTENSION AL CONJUNTO POTENCIA DE ORDENACIONES SOBRE UN CONJUNTO FINITO1 (Ordenaciones/Preorden total/Conjunto potencia/Extensión de ordenaciones)

JUAN RAMÓN DE MIGUEL VELASCO, MARÍA ISABEL GOICHOECHEA LÓPEZ-VAILO, ESTEBAN INDURÁIN ERASO y ESTEBAN OLÓRIZ URRIZA Dpto. de Matemática e Informática. Universidad Pública de Navarra. Campus Arrosadía. Edificio «Los Acebos». E-31006. Pamplona. España, e-mail: jrmiguel,misabel,steiner,[email protected]. Fax: 948 169 521 Presentado por Ildefonso Díaz el 19 de febrero de 1999. Aceptado el 17 de octubre de 2000.

ABSTRACT Looking for existence results, we analyze several criteria to extend orders from a finite set to its power set.

yoría de las referencias a este problema aparecen en el contexto propio de la Economía Matemática (véase Gärdenfors [3], Kannai y Peleg [4], Fishburn [5], Barbera y Pattanaik [6], Holzman [7], Bessert [8], Pattanaik y Xu [9], Fishburn [10], Klemisch-Ahlert [11], Bessert et al. [12], o Puppe [13]) a través de motivaciones como la siguiente:

RESUMEN Buscando resultados de existencia, analizamos distintos criterios de extensión al conjunto potencia de ordenaciones definidas sobre un conjunto finito. 1.

INTRODUCCIÓN

Analizamos diversas cuestiones relativas al problema de extender una ordenación definida sobre un conjunto finito a su conjunto potencia, de acuerdo con distintos criterios o propiedades exigibles a la extensión. Veremos que en un gran número de ocasiones los criterios de extensión habituales producen situaciones de imposibilidad, probándose la no existencia de extensión de determinadas características, si bien en algunos casos significativos aparece también algún resultado de compatibilidad o posibilidad de realizar la extensión. Compararemos entre sí alguno de los criterios de extensión más habituales. Resulta cuando menos curiosa la búsqueda de referencias a este problema en la literatura especializada, puesto que en textos clásicos acerca de estructura de conjuntos ordenados, como Birkhoff [1] o Davey y Priestley [2], prácticamente no hay ninguna mención al mismo. La ma1

Este trabajo ha sido parcialmente subvencionado por el Ministerio de Educación y Cultura, a través del proyecto de investigación PB98551 «Estructuras ordenadas y aplicaciones». (Diciembre 1999.)

«Una determinada empresa quiere contratar personal y realiza un examen a los posibles candidatos. El conjunto de candidatos es finito. La puntuación obtenida en un examen define un preorden total sobre este conjunto. La empresa tiene interés en contratar no sólo a un candidato sino a unos cuantos, necesitando tener alguna ordenación definida no ya sobre el conjunto de candidatos individuales, sino sobre su conjunto potencia. Para la nueva ordenación utilizará criterios básicos: por ejemplo, si el candidato A es preferido al candidato B parece natural que en la extensión al conjunto potencia el conjunto unitario {A} siga siendo preferido al {B}.»

Para esta situación de conjuntos finitos las técnicas empleadas son principalmente propias de la matemática discreta y la combinatoria. Hay algún estudio del problema análogo en conjuntos infinitos que se basa principalmente en Teoría de la Medida: dado un orden total ¿ sobre un conjunto X se intenta definir en primer lugar una función de densidad / sobre tal conjunto de manera que si x