3º ESO – CUERPOS GEOMÉTRICOS. ÁREAS Y VOLÚMENES

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS.

SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa

ARNEDO (LA RIOJA)

CUERPOS GEOMÉTRICOS. ÁREAS Y VOLÚMENES 1.- CUERPOS GEOMÉTRICOS Un cuerpo geométrico es una figura en tres dimensiones, que tiene volumen. Dentro de los cuerpos geométricos distinguimos: .- Poliedros: es un cuerpo geométrico limitado por polígonos. .- Cuerpos de revolución: es un cuerpo geométrico que se obtiene al girar una figura plana sobre un eje. Tienen caras curvas. 2.- POLIEDROS Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por polígonos, esto es, sus caras son polígonos de cualquier tipo. Podemos hablar de poliedros convexos y de poliedros cóncavos, para los primeros se cumple una relación común a todos ellos: NÚMERO DE CARAS + NÚMERO DE VÉRTICES – NÚMERO DE ARISTAS = 2, que se conoce con el nombre de “Fórmula de Euler”: C + V = A + 2 Igual que en los polígonos hablábamos de polígonos regulares como aquellos que tenían todos los lados y los ángulos iguales, en poliedros hablamos de poliedros regulares aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada vértice concurren el mismo número de aristas. Solamente existen cinco poliedros regulares: TETRAEDRO

FORMA DE LAS CARAS

TRIÁNGULOS

CUBO-HEXAEDRO

CUADRADOS

EQUILÁTEROS

OCTAEDRO

DODECAEDRO

ICOSAEDRO

TRIÁNGULOS

PENTÁGONOS

TRIÁNGULOS

EQUILÁTEROS

REGULARES

EQUILÁTEROS

NÚMERO DE CARAS

4

6

8

12

20

NÚMERO DE VÉRTICES

4

8

6

20

12

NÚMERO DE ARISTAS

6

12

12

30

30

EULER: C + V – A

2

2

2

2

2

Hay poliedros de muchos tipos pero nosotros nos centramos en el estudio de dos tipos que son los prismas y las pirámides. 2.1 Prisma Un prisma es un poliedro que tiene dos caras iguales y paralelas llamadas bases y varias caras laterales que son paralelogramos. Los prismas que nosotros vamos a estudiar son los prismas rectos y habitualmente regulares (sus bases son polígonos regulares). PRISMA RECTO REGULAR

PRISMA OBLICUO

PRISMA RECTO NO REGULAR

El nombre del prisma depende del polígono que tenga por base, así cuando la base es un triángulo se llamará prisma triangular, cuando la base

sea un cuadrilátero se llamará prisma cuadrangular, si además el polígono que forma la base es regular se le añade el calificativo de prisma triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal…, regular. Hay unos prismas especiales, los paralelepípedos, que son aquellos prismas cuyas caras son todas paralelogramos. Los más conocidos y utilizados son el cubo (todas CUBO

ORTOEDRO

sus caras son cuadrados) y el ortoedro (todas sus caras son rectángulos).

El teorema de Pitágoras llevado al espacio (tres dimensiones) nos permite calcular el valor de la diagonal del ortoedro (cubo cuando las tres dimensiones son iguales) según la siguiente expresión: En este triángulo se cumple : D2  d2  b 2 

En este triángulo se cumple : d2  a2

 2 D   c2 

2

 a

 c

2

 b

2

 D 

a2  c 2  b 2

1

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En el caso del cubo como a = b = c se cumple: D2  d2  a2  2

d

2

2

 a  a

D 

2

2

2

2

 a  a  a

 D 

a2  a2  a2  D 

3a2  D  a 3

Los elementos más utilizados en los problemas de un prisma son: .- Bases: suelen ser polígonos regulares iguales, pentágono en este caso. .- Cara lateral: suelen ser rectángulos. .- Arista básica: las aristas o lados de las bases. .- Arista lateral: las aristas o lados de las caras laterales, coinciden con la altura del prisma. .- Altura “h”: línea que une los dos centros de las bases. .- Apotema de la base “Ap base”: cuando la base es un polígono regular, su apotema. 2.2 Pirámide Una pirámide es un poliedro que tiene una cara llamada base y varias caras laterales que son triángulos que concurren (se juntan) en un vértice común (vértice de la pirámide). Las pirámides que nosotros vamos a PIRÁMIDE RECTA

PIRÁMIDE

PIRÁMIDE RECTA

REGULAR

OBLICUA

NO REGULAR

estudiar son las pirámides rectas y habitualmente regulares (su base es un polígono regular, de tal forma que habitualmente las caras serán triángulos

isósceles, rara vez son equiláteros como el tetraedro). El nombre del pirámide depende del polígono que tenga por base, así cuando la base es un triángulo se llamará pirámide triangular, cuando la base sea un cuadrilátero se llamará pirámide cuadrangular, si además el polígono que forma la base es regular se le añade el calificativo de pirámide triangular, cuadrangular…, regular. Los elementos más utilizados en los problemas de una pirámide son: .- Base: suele ser un polígono regular, hexágono en este caso. .- Cara lateral: suelen ser triángulos isósceles. .- Cúspide: vértice superior donde se unen todas las caras laterales. .- Arista básica: las aristas o lados de la base. .- Arista lateral: las aristas o lados de las caras laterales, no coinciden con la altura de la pirámide, ni con la altura de una cara o apotema de la pirámide. .- Altura de la pirámide “h”: línea perpendicular desde la cúspide hasta el centro de la base. .- Altura de una cara “hc” o apotema de la pirámide “Ap pir”: línea perpendicular desde la cúspide hasta el punto medio de una arista básica. En la pirámide se cumplen una serie de relaciones aplicando el teorema de Pitágoras que nos permiten calcular los elementos desconocidos de diferentes formas:

hp2 + Apb2 = hc2 Siendo:

hp2 + R2 = y2

hc2 + x2 = y2

R: radio de la base y: arista lateral x: la mitad de la arista básica

3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN Un cuerpo de revolución es un cuerpo geométrico que se obtiene al girar una figura plana sobre un eje. Tienen caras curvas. Nosotros estudiaremos tres de ellos, el cilindro, el cono y la esfera. 2

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3.1 Cilindro Un cilindro es un cuerpo de revolución que se origina al girar un rectángulo sobre uno de sus lados (eje de giro), el lado paralelo al eje de giro se llama generatriz por ser la recta que genera la cara lateral del cilindro. Los elementos más utilizados en los problemas de un cilindro son: .- Bases: son dos círculos iguales y paralelos. .- Altura “h”: línea perpendicular que une los dos centros de las bases. .- Generatriz “g”: coincide con la altura. .- Radio “r”: es el radio de la base (círculo). 3.2 Cono Un cono es un cuerpo de revolución que se origina al girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos (eje de giro), el otro cateto es el radio de giro y la hipotenusa es la generatriz que genera la cara lateral del cono. En un cono se cumple por tanto: h2 + r2 = g2 Los elementos más utilizados en los problemas de un cono son: .- Base: solamente tiene una y es un círculo. .- Altura “h”: línea perpendicular que une la cúspide con el centro de la base, es un cateto del triángulo rectángulo. .- Generatriz “g”: no coincide con la altura, es la hipotenusa del triángulo rectángulo. .- Radio “r”: es el radio de la base (círculo), es el otro cateto del triángulo rectángulo. .- Radio “r”: es el radio de la base (círculo). 3.3 Esfera Una esfera es un cuerpo de revolución que se origina al girar un semicírculo sobre su diámetro, la generatriz que genera la superficie de la esfera es la semicircunferencia asociada al semicírculo. El elemento utilizado en los problemas de esferas es: .- Radio “r”: es el radio de la esfera. Dentro de la esfera se pueden encontrar distintas figuras: .- Casquete esférico: cada una de las partes de la superficie esférica determinadas por un plano secante. Cuando el plano pasa por el centro de la esfera se denomina “hemisferio”. La parte interior del hemisferio se llama “semiesfera”. .- Zona esférica: parte de la superficie esférica comprendida entre dos planos paralelos. .- Segmento esférico: parte interior de la esfera comprendida entre dos planos paralelos. .- Huso esférico: parte de la superficie esférica comprendida entre dos planos que se cortan en su diámetro. .- Cuña esférica: parte interior de la esfera comprendida entre dos planos que se cortan en su diámetro.

3.4 La esfera terrestre La Tierra no tiene forma de esfera perfecta, está ligeramente achatada en los polos, pero para estudiarla suponemos que sí es una esfera perfecta. El radio medio de la tierra es de 6.371 km. En la esfera terrestre podemos indicar los siguientes elementos: .- Eje de giro: línea imaginaria que va del polo norte al polo sur, está ligeramente inclinada. .-

Paralelos:

circunferencias

obtenidas

al

cortar

la

superficie

esférica

con

planos

perpendiculares al eje de giro. Cuando el corte se produce en el centro el paralelo se llama “ecuador”, es el tomado como referencia. .- Meridianos: Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con planos que contienen el eje de giro. Se toma el meridiano de Greenwich como referencia. Para situar un punto de la superficie terrestre se utilizan las coordenadas geográficas terrestres: 3

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.- Longitud de un punto: es la medida angular de 0º a 180º dirección Este y de 0º a 180º dirección Oeste, del arco formado por el meridiano de Greenwich y el meridiano del punto. Todos los puntos de un mismo meridiano tienen la misma longitud. La superficie terrestre se divide en 24 husos horarios (la Tierra tarda 24 horas en girar), así al dividir 360º entre 24 horas, supone que cada 15º cambia la hora solar. .- Latitud de un punto: es la medida angular de 0º a 90º dirección Norte y de 0º a 90º dirección Sur, del arco formado por el ecuador y el paralelo del punto. Todos los puntos de un paralelo tienen la misma latitud. EJEMPLO_ Dos puntos de la esfera terrestre están situados en el mismo meridiano y sus latitudes son 36º N y 54º S. Calcula la distancia que los separa. El arco que une ambos lugares tiene una medida de: 36º + 54º = 90º y el radio de la Tierra es 6.371 km. Utilizando la fórmula de la longitud de un arco: L arco 

2  π  r  nº



360º

2

π

 6.371  90º 360º

 10.002,47 km.

4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS Para cada uno de los cuerpos estudiados, prisma, pirámide, cilindro, cono y esfera vamos a determinar las fórmulas de sus áreas y volúmenes que utilizaremos en los problemas ÁREA BASE _ AB

PRISMA

AB 

PB  A p base (1)

2

ÁREA LATERAL _ AL

ÁREA TOTAL _ AT

VOLUMEN _ V

AL  PB  hprisma

AT = 2 · AB + AL

V = AB · hprisma

PB: perímetro de la base Ap base: apotema de la base (recordar “solamente tienen apotema los polígonos regulares”, un rectángulo no tiene)

PIRÁMIDE

AB 

AL 

PB  A p base (1)

2

AL 

PB  A p pirámide 2

(2)

PB  h cara

AT = AB + AL

V 

AB  hpirámide 3

2

hprisma: altura del prisma Ap pirámide: apotema de la pirámide, coincide con la altura de la cara “h cara” hcara: altura de una cara de la pirámide (suponemos que la base es un polígono regular y todas sus caras son triángulos isósceles iguales)

CILINDRO

AB =

π ·r2

AL = 2 ·

π ·r · h (3)

AL = 2 ·

π ·r · g (3)

AT = 2 · AB + AL

V = AB · hcilindro = AB · g

AT = 2· π ·r + 2· π ·r · g

V=

π · r2 · g (3)

AT = 2· π ·r · (r + g)

V=

π · r2 · h (3)

2

(3)

AT = AB + AL AB =

CONO

π ·r

2

AL =

π ·r · g

(4)

AT = π ·r2 + AT =

V 

AB  hcono 3

π ·r · (r + g)

V = 4 · π ·r2

ESFERA

(1)

π ·r · g

V

4  π  r3 3

La fórmula se aplica cuando la base es un polígono regular, triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular,

hexágono regular… Cuando la base sea otra figura (triángulo no equilátero o rectángulo, normalmente) debemos aplicar su fórmula particular del área de estas figuras. (2)

En la pirámide la altura de una cara “hc”, también de denomina como apotema de la pirámide “Appir”.

(3)

En el cilindro la altura “h” y la generatriz “g” coinciden y pueden aparecer en las fórmulas de manera indiferente.

(4)

En el cono la altura “h” y la generatriz “g” no coinciden y no pueden aparecer en las fórmulas

de manera indiferente, debemos respetar esta diferencia. EJEMPLO_ Calcula el AT y el V de una pirámide cuadrangular regular (la base es un cuadrado) sabiendo que la arista básica mide 16 cm y que la apotema de la pirámide mide 17 cm. .- Para calcular el AT, necesitamos el AB y el AL: .- AB:

Como es un cuadrado y nos dan el valor de la arista básica (es el lado del cuadrado que hace de base), tan solo debemos aplicar su fórmula A cuadrado = l2 = 162 = 256 cm2. 4

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.- AL:

ARNEDO (LA RIOJA)

Necesitamos el perímetro de la base, como tenemos el lado será: Pb = 4l = 4 · 16 = 64 cm. Necesitamos la altura de la cara o apotema de la pirámide, la da el enunciado: hc = App = 17 cm. Aplicando la fórmula: AL 

PB  hcara 2



64  17 2



1.088 2

2

 544 cm

.- AT = AB + AL = 256 + 544 = 800 cm2. .- Para calcular el V, necesitamos la altura de la pirámide “h” que debemos calcular aplicando Pitágoras al triángulo: h2 + 82 = 172 ⇒ h2 + 64 = 289 ⇒ h  289  64  h  225  h  15 cm Calculada “h” aplicamos la fórmula: V 

AB  hpirámide 3



256  15 3

3

 256  5  1.280 cm ⇒ V = 1.280 cm3

5.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE LOS TRONCOS DE PIRÁMIDE Y CONO Un tronco de pirámide/cono es el cuerpo geométrico que se obtiene al cortar un pirámide/cono con un plano paralelo a la base, la pirámide/cono pequeña que se elimina se llama “pirámide deficiente/cono deficiente”. Para calcular el área total y el volumen de los troncos de pirámide y cono se pueden utilizar las siguientes fórmulas: ÁREA BASE _ AB

AB 

TRONCO

PB  A P BASE 2

ÁREA LATERAL _ AL

AL  Ab 

VOLUMEN _ V



(1)

DE PIRÁMIDE

ÁREA TOTAL _ AT

(PB  Pb )  A TP 2

Pb  A p base

h TP  AB  Ab 

V 

AT = AB + Ab + AL



AB  Ab



3

(1)

2

AB: área base mayor del tronco de pirámide

Ab: área base menor del tronco de pirámide

PB: perímetro base mayor del tronco de pirámide

Pb: perímetro base menor del tronco de pirámide

APBASE: apotema base mayor del tronco de pirámide

Apbase: apotema base menor del tronco de pirámide

ATP: apotema del tronco de pirámide

hTP: altura del tronco de pirámide

TRONCO

AB =

π ·R2 (2)

DE CONO

Ab =

π ·r2 (2)



h TP  AB  Ab 

V 

AL =

π · (R + r) · g

3

AT = AB + Ab + AL h TC 

V 



 (R

2

 r 2  R  r)

3

AB: área base mayor del tronco de cono

Ab: área base menor del tronco de cono

R: radio base mayor del tronco de cono

r: radio base menor del tronco de cono

g: generatriz del tronco de pirámide

hTC: altura del tronco de cono

(1)

AB  Ab

Como hay dos bases, una es la base de la pirámide original y la otra es la base de la pirámide deficiente, se debe

calcular el área de ambos polígonos. Como ya se dijo anteriormente, esta fórmula es para polígonos regulares. (2)

Como hay dos bases, una es la base del cono original y la otra es la base del cono deficiente. EJEMPLO_ Calcula el volumen de un tronco de cono cuyo radio mayor mide 10 cm “R = 10”, el radio menor mide 6 cm “r = 6” y la altura del tronco de cono mide 16 cm “h = 16”. .- 1.ª FORMA _ Aplicando la fórmula de la tabla:



16    10 2    6 2 







16  100  36 

  102    6 2

3

3.600

3

2



h TP  AB  Ab 

3

AB  Ab

3

  16    100    36 

  16  100  36  60   16  196 3

V 

  100    36

3



3.136 3



9.847,04 3

  3

 3.282,346cm

Que aplicando la otra versión de la misma fórmula queda: V 



h TC    (R 2  r 2  R  r) 3

16  3,14  196 3



9.847,04 3



16  3,14  (10 2  6 2  10  6) 3



16  3,14  (100  36  60) 3



3

 3.282,346cm

5

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.- 2.ª FORMA _ Este problema se suele resolver por diferencia entre volúmenes, el de la pirámide original menos el de la pirámide deficiente de la siguiente forma: VTRONCO DE CONO  VP - vp 

AB  H

ab  h



3

3



  R2  H 3



  r2  h 3



  10 2  H



3

  62  h 3

Hasta aquí podemos escribir, nos faltan los datos de la altura de la pirámide original (grande) “H” y la altura de la pirámide deficiente (pequeña) “h”, que los calculamos por semejanza en los siguientes triángulos rectángulos (dependiendo de la información también se puede utilizar Pitágoras), que son semejantes entre sí por la geometría propia del cono:

16 4



h 6



H 10



16 4  16 4





h

 4h  16  6  h 

6 H 10



  100  40 3



  36  24 3



4.000 3

  R2  H 3 

864 3





  r2  h 3

3.136 3





4

 4H  16  10  H 

Así que retomando la fórmula:



16  6

9.847,04 3

96 4

16  10 4



VTRONCO DE CONO  VP - vp 

  102  H 3





  62  h



3

 24 cm 160 4

AB  H 3

  102  40 3

 40 cm





ab  h 3



  6 2  24 3

3

 3.282,346cm

Esta forma es más utilizada cuando no nos sabemos la fórmula o cuando no nos dejen utilizar la fórmula, que será lo más habitual.

6



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NOTAS_ NÚMEROS REALES * SÍMBOLOS:  _ “Implica” o “quiere decir” o “supone que”, la relación es cierta de izquierda a derecha.  _ “Implica” o “quiere decir” o “supone que”, la relación es cierta de derecha a izquierda.  _ “Doble implica”, la relación es cierta en ambos sentidos. ≠ _ “Distinto”

∞ _ “Infinito”

≈ _ “Aproximado”

 _ “Pertenece”

 _ “No pertenece”

/ _ “Tal que”

Π _ “Tal que”

∃ _ “Existe”

∄ _ “No existe”

α _ “Alfa”

β _ “Beta”

 _ “Gamma”

*

7