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Curso de Matemática Unidad 2 Profesora: Sofía Fuhrman

Operaciones Elementales II: Potenciación

Definición a n = a. a .a … a multiplicado por sí mismo n veces. a) Regla de los signos

Base Positiva

Exponente Par

Exponente Impar

Ejemplo

Resultado Positivo

Resultado Positivo

3 2 =9 3 3 =27

Base Negativa

Resultado Positivo

Resultado Negativo

(-4) 2 =16 (-4) 3 = - 64

b) Signo del Exponente Cuando el exponente es negativo, se invierte la base. Ejemplos:

c) Propiedad Distributiva La potenciación no es distributiva respecto a la suma ni a la resta.

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La potenciación es distributiva respecto a la multiplicación y a la división.

Con las fracciones, se distribuye el exponente en el numerador y en el denominador:

d) Producto de Potencias de Igual Base El producto de dos o más potencias de igual base es igual a la misma base elevada a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores.

Ejemplo:

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e) Cociente de Potencias de Igual Base El cociente de dos potencias de igual base es igual a la misma base elevada a un exponente que se obtiene restando los exponentes del dividendo y el divisor.

Ejemplo:

f) Potencia de Potencia La potencia de otra potencia es igual a una potencia de la misma base elevada al

producto

de los exponentes dados.

Ejemplo: (3 2 ) 3 = 32.3 = 36 = 729 g) Cuadrado de un Binomio Como la potenciación no es distributiva respecto de la suma ni de la resta, para calcular el cuadrado de un binomio debemos multiplicar el binomio por sí mismo.

Ejemplos

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h) Cubo de un Binomio Se calcula del mismo modo que el cuadrado. Las fórmulas resultantes son las siguientes:

Ejemplos

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Ejemplo de resolución de ejercicios

Resolvemos primero el cuadrado del binomio

Resolvemos las dos distributivas

Nos queda:

Suprimimos el paréntesis

Agrupamos los términos semejantes

Cancelamos

y

y sumamos los términos con x

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El término que multiplica a x pasa al otro miembro dividiendo

Para comprobar si la ecuación está bien resuelta, reemplazando el valor obtenido en x y verificamos si se satisface la igualdad

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Ecuaciones Cuadráticas

Llamamos “ ecuaciones cuadráticas ” a aquellas en las que el máximo exponente de la incógnita es 2. Pueden asumir estas formas:

Resolución de las ecuaciones del tipo Para resolver estas ecuaciones debemos tener en cuenta que, al pasar al otro miembro el exponente como raíz, por ser un exponente par, x quedará como “módulo de x”. Por ejemplo:

Ahora debemos pensar ¿qué número elevado al cuadrado da como resultado 16? Tenemos dos opciones:

Esta situación se expresa matemáticamente de la siguiente manera:

Las barras significan “ módulo” o “valor absoluto ”.

El valor absoluto de un número es la cantidad que expresa, sin tener en

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cuenta el signo. El módulo de 4 es 4, y el módulo de – 4 también es 4.

Veamos otro ejemplo:

Si al resolver la ecuación llegamos a que x2 debe ser igual a un número negativo, la misma no tendrá solución dentro del conjunto de los números reales, por ejemplo: Esta ecuación no tiene solución en

, ya que ningún número real elevado al

cuadrado nos dará un resultado negativo.

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Resolución de las ecuaciones del tipo Una estrategia para resolver estas ecuaciones es transformar la suma o resta que tengamos en un producto, sacando factor común. Por ejemplo:

Para que un producto de dos factores dé cero como resultado, uno de los dos factores debe ser cero:

En las ecuaciones de este tipo, siempre uno de los resultados posibles es 0. Resolución de las ecuaciones cuadráticas completas En las ecuaciones cuadráticas del tipo

no es posible despejar x como en las

otras (existe un modo, que es mediante el proceso de completar cuadrados, pero es bastante engorroso). Entonces se utiliza una fórmula, denominada “ Fórmula de Bahskara ”

En esta fórmula se debe reemplazar cada letra por el término correspondiente. Llamamos “a” al coeficiente cuadrático, “b” al coeficiente lineal, y “c” al término independiente.

Por ejemplo:

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El signo

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indica que uno de los resultados se obtiene sumando el 36, y el otro, restándolo:

Cualquiera de las formas incompletas de la ecuación cuadrática puede resolverse también con esta fórmula, basta con poner 0 en el término que falta. Por ejemplo, la ecuación

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:

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Signo del discriminante y cantidad de soluciones

Una ecuación cuadrática puede tener dos soluciones, una o ninguna solución. La cantidad de soluciones a obtener puede saberse analizando el signo del discriminante. Llamamos “ discriminante” a la expresión que se encuentra bajo la raíz cuadrada de la fórmula de Bahskara:

Si el discriminante es positivo , la ecuación tendrá dos soluciones reales. Esto se debe a que, si el discriminante es positivo, la raíz cuadrada del mismo dará un número real, que se sumará y restará a –b, entonces obtendremos dos resultados diferentes que satisfacen la ecuación:

Hemos obtenido dos soluciones reales y distintas. Si el discriminante es cero , obtendremos una sola solución:

Si el discriminante es negativo , la ecuación no tendrá solución en el conjunto de los números reales, ya que no es posible obtener un resultado real de una raíz de índice par y radicando negativo

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Al llegar a este punto vemos que no podemos seguir resolviendo, entonces la ecuación no tiene soluciones en el campo de los números reales.

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Actividades

3) Resolver:

4) Calcular el valor de x:

a)

b)

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c) d) e)

f)

5) Resolver las siguientes ecuaciones. a) b) c) d) e)

f)

g)

h) i)

j)

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