UNIDAD DE APRENDIZAJE II

UNIDAD DE APRENDIZAJE 2 ( 12 HORAS) Saberes procedimentales 

Saberes declarativos

Identifica y realiza operaciones  básicas con expresiones  aritméticas.    





 

Jerarquía de las operaciones aritméticas. Símbolos de Agrupación. Eliminación de símbolos de agrupación. Suma y resta de enteros. Multiplicación de enteros. o La suma como multiplicación. División. o División de números enteros. o División indicada: dividendo y divisor como numerador y denominador. Operaciones con fracciones. o Simplificación de fracciones. o Suma y resta. o Multiplicación y división. o Fracciones compuestas. La multiplicación como potencia. o Definición de potencia: exponente y base. o Propiedades de los exponentes. o Potencias de base 10. Raíces. o Definición de raíz cuadrada a partir de la potencia. o Extensión a la raíz n . Suma y resta de radicales semejantes.

NÚMEROS RACIONALES. Jerarquía de Operaciones En matemáticas una operación es una acción realizada sobre un número (en el caso de la raíz y potencia) o donde se involucran dos números (como en la suma, resta, multiplicación y división). Para las dos primeras operaciones mencionadas los respectivos símbolos son:

√ En el caso de la suma, resta, multiplicación y división, los signos representativos son: +

/ x, * , ( )( )

Como ya se mencionó, para la realización de estas operaciones se necesitan dos números, uno a la derecha y uno a la izquierda de cada símbolo, como se muestra a continuación:

Cuando realizamos operaciones aritméticas en las que están involucradas varias de ellas es necesario respetar cierto orden en el proceder para que los resultados obtenidos sean los correctos. Este orden en matemáticas es conocido como Jerarquía de Operaciones y se resumen en las siguientes sencillas reglas:  Realizar primero las operaciones con potencias y raíces  Después hacer multiplicaciones y divisiones  Por último realizar sumas y restas Ejemplos 1:

En este caso existe una suma y una división, por lo que primero se hace la división: Observa que a cada lado del signo de división solo hay un número

Ejemplo 2: Primero se realizan multiplicaciones y divisiones

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Aquí se hacen primero potencias y raíces

√ √

Ejercicios:

√ √

Símbolos de agrupación Los símbolos de agrupación son utilizados también para determinar un orden en la realización de las operaciones, de manera que lo que este entre estos símbolos es lo que se realiza primero independientemente de las operaciones de las que se traten. Ahora, debe quedar claro que dentro de una determinada pareja de signos, la jerarquía de operaciones se deberá seguir respetando. Los signos de agrupación utilizados con mayor frecuencia son los siguientes: (

La regla que se sigue para el uso de los símbolos de agrupación es que primero se realizan las operaciones que estén entre paréntesis, después las que estén entre corchetes y por último las que se encuentren entre llaves. En algunas expresiones pueden o no aparecen todos los símbolos de agrupación, y de hecho en ocasiones pueden aparecer hasta dos o más veces pares del mismo símbolo. Ejemplo 1: (

Sea lo que sea, primero se hace lo que está entre paréntesis.

( ( Después de hacer esa operación se procede a respetar la jerarquía de operaciones: (

Ejemplo 2: (

(

(

( (

(

(

( (

(

(

(

Ejemplo 3:

Primero se hace lo que esté dentro del paréntesis respetando la jerarquía de operaciones.

( ( ( ( (

Ejemplo 4: ( ( ( ( (

Ejemplo 5: ( ( ( ( (

Ejercicios: ( (

(

(

( (

√

División La división es la operación contraria a la multiplicación en la cual se conocen el producto y uno de los factores y se busca el otro factor. Aquí el producto se llama dividendo, el factor conocido es el divisor y el factor buscado es el cociente. Si ( (

, entonces

o

(por la propiedad de simetría).

En otras palabras, se busca cuántas veces un número llamado dividendo contiene a otro llamado divisor. Etimológicamente la palabra cociente significa cuántas veces. 

¿Cuántas veces esta contenido un número en sí mismo?

Por lo tanto toda cantidad dividida por sí misma da como resultado la unidad: siempre que el divisor o denominador sea diferente de 0.

En la división:

La división tiene distintas formas de simbolizarse:

En todos los casos

es el dividendo, es el divisor y

Cuando la división es inexacta, como en

es el cociente. , al número 2 que ya no es divisible entre 3, se

le llama residuo. ¿Cuál es el residuo en una división exacta? 

¿Puedes dar una generalización de esto, con las palabras DIVIDENDO, DIVISOR, RESIDUO Y COCIENTE? (SUGERENCIA: identifica cada número del ejemplo con el término respectivo)

Es fácil definir a la división en términos de la multiplicación si consideramos lo siguiente: ( ) donde no es otra cosa que el RECÍPROCO (o inverso multiplicativo) de 2.

En base a lo anterior, es posible advertir que las propiedades de los signos se pueden trasladar a la división de la siguiente forma:

Ejercicios: =

= = =

=

= =

=

= =

= =

=

Fracciones El concepto matemático de fracción corresponde a la idea de dividir una totalidad en partes iguales. La fracción está formada por dos términos: el numerador y el denominador.

NUMERADOR indica el número de partes iguales que se han tomado o considerado de un entero. DENOMINADOR indica el número de partes iguales en que se ha dividido un entero.

Grafica las siguientes fracciones propias e impropias:

1) =

2) =

3)

=

4)

=

5) =

6)

7)

8)

=

9)

=

10)

=

=

=

11)

=

12)

=

13) =

14)

=

15)

=

16)

=

17)

=

18)

19)

=

20)

=

=

Convierte a fracción las siguientes fracciones impropias, dibuja para conseguirlo: 1) 1

1 1

1 3

=

2) 4 = 7)

9

5 6

3) 9

=

2 4

8) 12

11) 10

1 3

=

12) 15

16) 16

1 4

=

17) 3

2 3

1 4

=

=

3 4

2 5

=

1 4

4) 11 =

=

9) 1

1 2

5) 1 = =

6)

6

3 4

=

10) 7

13) 3

1 4

=

14) 8

1 2

18) 8

3 7

=

19) 10 =

=

5 7

2 5

=

15) 10

3 8

=

20) 18

3 6

=

Completa las siguientes igualdades: 1) 4 =

2) 5 =

2

6) 11 =

9

11) 30 = 16) 6 =

9

12

7) 5 =

3) 4 =

8

12

12) 9 =

1

17) 12 =

10

3

8) 13 = 13) 6 = 18) 20 =

11

4

5

4) 7 =

5) 9 =

2

9) 28 = 14) 7 = 19) 49 =

7

6

4

11

10) 8 = 15) 8 =

20) 52 =

2

5

3

Completa simplificando la fracción: 1)

15  20 4

2)

2  4 2

3)

13  26 2

4)

4  6 3

5)

6)

4  8 2

7)

6  27 9

8)

6  10 5

9)

20  28 7

10)

9  27 3 9  24 8

11)

20  30 3

12)

10  18 9

13)

24  32 4

16)

16  20 5

17)

20  64 7

18)

8  22 11

14) 19)

15  20 4

15)

12  33 11

30  60 2

20)

32  24 3

Simplifica las siguientes fracciones

1)

98 147

=

2)

273 637

=

3)

332 415

=

5)

252 = 441

6)

623 979

=

7)

370 444

=

9)

3003 6006

13)

411 = 685

17)

2006 7021

21)

2401 19208

=

=

8)

2002 5005

=

11)

1503 2338

=

12)

14) 6170 =

15)

2478 3186

=

16)

1727 1884

7404

=

=

=

10)

1212 1515

285 513

4)

343 7007

=

18)

4359 11624

=

19)

7075 11320

=

20)

2138 19242

22)

12460 21805

=

23)

8505 13365

=

24)

16005 18139

= = =

Escribe como número mixto las siguientes fracciones:

1.

112 11

6.

21 = 7

=

2.

108 12

=

3.

8 5

7.

125 25

=

8.

19 7

= =

4.

63 10

=

5.

9.

80 11

=

10.

100 11

15.

102 19

=

20.

354 61

=

11.

32 8

=

12.

7 2

=

13.

25 8

=

14.

85 19

16.

81 9

=

17.

5 2

=

18.

31 4

=

19.

115 35

= =

95 18

Suma las siguientes fracciones: 1)

5 10 23 4    = 21 21 21 21

2)

3 5 2   8 8 8

4)

1 2  3 3

5)

3 8 11 23    17 17 17 17

7)

2 5 7   9 9 9

8)

5 8 10 15    7 7 7 7

= =

10)

18 32 40 1 16     53 53 53 53 53

=

13)

17 3 5 11 6     84 84 84 84 84

=

16)

5 7  12 24

11)

=

=

3)

1 7 11 13    6 6 6 6

23 15 20 44    6 6 6 6

17)

5 11  8 64

20)

1 1 1   = 2 4 8

=

=

22)

9 8 13   10 15 75

=

23)

3 1 2   21 2 49

25)

1 1 1   12 16 18

=

26)

8 13 7   60 90 120

28)

7 3 1 3    20 40 80 15

29)

12)

14)

5 7 1   4 8 16

=

=

=

19)

=

=

= =

2 5 2 7    300 500 1000 250

=

3 7 12   11 11 11

=

6)

3 1 5 7    4 4 4 4

9)

2 3 4   5 5 5

=

=

41 37 25 71 63     79 79 79 79 79

15)

2 5  3 6

=

=

18)

7 11  = 24 30

21)

7 8 11   5 15 60

24)

3 7 11   = 5 4 5

=

27)

13 4 9   121 55 10

30)

5 2 1 3    16 48 9 18

=

=

RESTA DE FRACCIONES

Resta las siguientes fracciones: 1.

24 10  35 35

=

2.

17 7  20 20

4.

8 3  15 15

=

5.

7 5 1   8 8 8

7.

4 1  5 5

8.

19 12  42 42

=

10.

11 7 4   12 12 12

13.

1 1  2 6

16.

11 7  8 24

19.

7 7  6 8

22.

7 3  62 155

25.

93 83  120 150 5 6

=

46 20 9   = 51 51 51

6.

9 5  16 16

9.

=

23 11 7   25 25 25

=

=

12.

7 1 3 1    2 2 2 2

14.

3 1  5 10

=

15.

7 1  12 4

=

17.

3 2  7 49

=

18.

3 1  8 12

=

20.

11 14  10 15

=

21.

11 7  12 16

23.

7 1  80 90

=

24.

11 2  150 175

=

=

26.

101 97  = 114 171

27.

57 17  160 224

=

=

29. 7  4

=

=

1 6

=

3.

11 1  14 14

=

28. 6  3

=

=

=

11.

3 5

3 10

=

5 6

30. 8  5

=

1 12

=

=

Realiza los siguientes ejercicios combinados: 1.

1 1 1 1    9 15 6 30

2.

6 15 8   9 25 15

4.

1 1 1 1    = 4 5 6 8

5.

3 5 7   4 8 12

7.

5 1 4   6 90 7

8.

1 2 7 1    50 75 150 180

11.

31 43 59   108 120 150

14.

2 7 11 13    40 80 36 72

17.

13 1 1 1    2 32 64 128

=

=

10.

11 9 3   26 91 39

13.

1 1 1 1    6 7 12 14

16.

7 11 1 3    20 320 160 80

19.

7 1 1 1    11 121 1331 6 1 6

22. 9  5  4 25. 6

1 12

= =

3 7

=

3 1  56 98

3 5

=

26.

3 24

2 5 1   3 6 12

6.

11 7 3   15 30 10

9.

4 7 1   41 82 6

= =

=

111 113 117   200 300 400

=

15.

7 5 4   12 9 24

=

18.

15 1 1 1    16 48 96 80 1 3

21. 6  1 

2 5

24. 80  3  4 = 1 9

29. 9   3  2 =

=

3 10

2 3

7 1  48 60

=

1 3

2 5

=

27. 9   5

30. 16  14  7

2 9

Calcula los siguientes productos: 2 3  3 2

4.

6 7 8   = 7 8 9

=

2.

3 4 5   4 5 6

5.

7 16  = 8 21

=

=

=

Multiplicación de Fracciones

1.

=

=

3 5

=

7 1 1 3 2 20 16 5 5 8

=

3.

12.

=

1 8

23. 35   =

=

20. 3   = 1 8

=

1 1 7 4  15 30 25

28. 8  1

=

=

3.

4 10  5 9

6.

7 19 26   = 19 13 21

=

52 4  24 13

7.

=

23 17 7   34 28 69

8.

10.

90 41 34   15 108 82

13.

13 72  4 39

16.

5 7 3 1    6 10 14 5

=

=

11.

21 11  22 49

14.

7 8 22 1    8 11 14 4

17.

2 6 1   3 7 4

= =

=

20. 2  3  1

1 4

1 13

=

23. 10

1 9

2 73

=

26. 3  1  1

2 7

3 11

=

29. 1  1 =

25. 8  1

28. 6  1

=

=

4 19

22. 3  1

5 6

=

1 6

19. 3  2

9.

3 4

1 17

=

1 3

1 2

2 3

=

12.

2 6 10 1    = 3 5 9 8

15.

24 51  102 72

18.

3 17 5 38    = 5 19 34 75 1 7

4 5

1 4

2 9

=

1 3

1 2

21. 2  2  3  4 =

1 1 3 3 1 10 101 152

1 4

18 90  15 36

=

24. 5  2 =

=

27. 1  1  1 =

11 1 1 26 37

1 2

1 3

2 9

1 3 2 = 83 21

30. 9  1

1 5

DIVISION DE FRACCIONES

Calcula las siguientes divisiones de fracciones: 1.

3 4  4 3

5.

7 14  8 9

9.

19 38  21 7

13.

= = =

50 25  61 183

17. 15 

3 4

=

=

2.

6 5  11 22

6.

3 5  8 6

=

=

3.

11 7  14 22

7.

8 4  9 3

10.

30 3  14 82

=

11.

21 6  30 7

14.

72 6  91 13

=

15. 8 

18.

11  44 = 12

=

4.

5 2  6 3

8.

5 3  = 12 4

=

12.

104 75  105 36

=

16.

81  18 = 97

19. 9  =

20.

50  14 = 73

1 2 2 3

=

=

3 5

21. 7  =

22. 26 

16  16 = 41

25.

1 4

1 5

=

13  39 50

26.

3 5

29. 5  6 =

1 8

30. 2  3

42 5

=

27. 1  2

1 3

23. 21 1 2

=

9 10

24.

3 5 = 8 1 4

=

1 3

28. 3  4 =

=

Calcula los siguientes ejercicios combinados: 

1  11 3 6

1)  4    

  2)  5  4   1 1  4

R. 2

3 2 5    5 3 6

R.

2 5

5)

1 3 3 7)    

R.

4 9

 8)  

4)

2

4



2

1  3 

1 5

10)   1   1   R.  

1  8 

13)  60     30  

1

21) 4 

2

7  8 



R. 2

 14)  

1 2 2 5 3)   3   1 R.

R.

54 65

6)

6

R. 2 1 9

5

8

10  1   10 50  12

R.

2 5

2



4

5 2 6    6 3 5 

3 4

9)  8    4 



2

4

2

8 3

Sabemos que la multiplicación se puede ver como una suma por ejemplo:

⏟

1 24

R. 2

1 12

1  8 

1 4

15) 10    10

LA MULTIPLICACIÓN COMO POTENCIA

ó

R. 1

3 242

3  1   5 2  3  1  1     5         4 4  2   8 15  2  2  2 

⏟

1 5

13

12)  7  3   14  6  R. 



5 6



9 32

R. 1

18) 1  1    2  1   7  

2 

20)  1  3  7    4   5   2   2  10 



3

71 136

17) 1 :  1  1  1 

19) 2  1  1   1  1    

5 6

11)  2     2   R. 1

 2  1   1    16)  3   3   2 3

2

R.

2  1  30  6



5 6

1 2

9  1 1  2 1  10  3 4

3

1   16 



5  5

3 

2

4

1 2

55 329

De hecho, la multiplicación nos permite ahorrar tiempo al momento de hacer cuentas pues es más fácil recurrir al algoritmo de la multiplicación que a estar sumando un número n-veces. Además que es más práctico. Por ejemplo, la multiplicación: ⏟ Es mucho más sencillo resolverla con el algoritmo de la multiplicación:

Ahora bien, cuando multiplicamos un número por él mismo n-veces ¿podríamos expresarlo de una manera más simple?

La respuesta es sí, es posible expresar la multiplicación de un número por el mismo mediante la potenciación. Una potencia es un producto de factores (números) iguales. Está formada por la base y el exponente.

Base

Exponente

Potencia

El factor que se repite se llama base. El número de veces que se repite el factor, o sea la base, se llama exponente. Esto significa que si se tiene la potencia (dos elevado a seis o a la sexta), la base será y el exponente , lo cual dará como resultado porque el se multiplica por si mismo veces ( ). Ejemplos: El exponente es , esto significa que la base, el , se debe multiplicar por sí misma cinco veces.

El exponente es , esto significa que la base, , se debe multiplicar por sí misma dos veces. El exponente es , esto significa que la base, , se debe multiplicar por sí misma cuatro veces. Ejercicios: 1. Expresar en forma de potencias: a) b) c) ( ( ( ( ( ( (

d) (

(

(

e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f)

(

)(

)

2. Escribir en forma desarrollada y efectuar la operación de potencias: a) b) ( c) (

d) e) ( ) f)

(

)

OBSERVACIONES 1.- Podemos hacer uso de la propiedad conmutativa para resolver algunos ejercicios, por ejemplo: (

(

ó

2.- Las potencias de exponente

son iguales a : ( )

3.- Las potencias de exponente

(

son iguales a la base: (

4.- Las potencias de base 1 siempre son 1:

( )

Ejercicios: 1. Expresar en forma de potencias: a) b) c) d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e) (

(

(

( (

(

2. Resolver: a) ( b)

c) d)

Propiedades de los exponentes 

Potencia de base positiva: Si la base es positiva, la potencia siempre será un entero positivo, independiente de los valores que tome el exponente, es decir, de que sea par o impar. Ejemplos: Exponente impar Exponente par



Potencia de base negativa: Si la base impar.

es negativa el signo de la potencia dependerá de si el exponente es par o

a) Si el exponente es par, la potencia es positiva. Ejemplos: (

(

(

(

(

(

Ley de los signos ( (

(

(

(

(

b) Si el exponente es impar, la potencia es negativa. Ejemplos: (

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

En resumen: Base Positiva Positiva Negativa Negativa

Exponente Par Impar Par Impar

Potencia Positiva Positiva Positiva Negativa

Ejercicio: Determina si la potencia es positiva o negativa en cada caso. a) b) c) d) e)

( ( ( (

______________ ______________ ______________ ______________ ______________

f) g) h) i) j)

_____________ ______________ ______________ ______________ ______________

( ( ( ( (

Multiplicación de potencias de igual base Para multiplicar potencias de igual base, se suman los exponentes y se mantiene la base.

Ejemplos: c) (

a) b)

d) ( )

(

(

( )

( )

División de potencias de igual base Para dividir potencias de igual base, se restan los exponentes y se conserva la base. ó Ejemplos: a)

c)

b)

d) ( (

(

(

(

(

( ( )

Multiplicación de potencias de igual exponente Se multiplican las bases y se conserva el exponente. ( Ejemplos: a)

(

b) (

(

(

c) (

(

d) ( )

( )

(

(

(

)

( ( )

División de potencias de igual exponente Se dividen las bases y se conserva el exponente. ó

(

( )

Ejemplos: a)

( )

c)

( )

b)

( )

d)

( )

( )

Potencia elevada a potencia Se eleva la base al producto (multiplicación) de los exponentes; o sea, se conserva la base y se multiplican los exponentes. ( Ejemplos: a) ( b) (

c) (( d) (( ) )

( ( )

( ( )

Potencia de base racional (fraccionaria) Para elevar una fracción a potencia se elevan por separado numerador y denominador. ( ) Ejemplos: ( ) Veamos el porqué: ( )

( )( )( )( )( )( ) c) ( )

a) ( ) (

b) ( )

Potencia de exponente negativo Cualquier número se puede expresar como una fracción, basta con agregar un ejemplo:

en el denominador por

9 En una fracción, si el exponente es negativo, el numerador se invierte con el denominador, y el exponente cambia de signo. ( )

( )

Ejemplos: a)

( )

( )

d) ( )

( )

b)

( )

( )

e) ( )

( )

c) ( )

( )

Potencias de base 10 En las potencias de 10, el exponente nos indica la cantidad de ceros que corresponden. ⏟ Ejemplos: a)

⏟

b)

⏟

c)

⏟

d)

⏟

NOTA: En las potencia de base 10 también aplican todas las propiedades anteriormente descritas. Ejercicios Simplifica utilizando las propiedades y escribe la potencia a)

m) ( )

b)

n) ( )

c) ( d) ( )

( ( )

z) ( ) aa)

( )

o) ( ) p) ( ) q) (

e) r)

(

bb) (

)

cc) (

)

dd)

( )

f) s) (( ee) (

g) t) h)

(

u) v)

i) j)

(( ) )

(

w) ( )

(

k) (

(

x) ( )

l)

( )

y) ( )

( )

ff) gg) hh) (

) ( (

(

)

RADICAL. La radicación o raíz de un número es el proceso contrario a la potencia y la forman los siguientes elementos

ÍNDICE DE RAÍZ

3

64

=

RAÍZ

4

RADICAL RADICANDO El índice del radical indica la potencia a la que hay que elevar la raíz. Por convención el índice de raíz 2 no se escribe y cuando el radical no lleva índice se entiende que es 2. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 9 es 3, porque tres al cuadrado es 9. √

√

Reglas de los signos de radicación. a) Índice par. Si la raíz cuadrada de 9 es 3 porque

, también la raíz cuadrada de 9 es -3. ¿Por qué?

( (

Por lo tanto la raíz cuadrada (y en general cualquier raíz de índice par) de un numero positivo puede tener dos resultados uno positivo y otro negativo. Un número negativo, no puede tener raíz de índice par, porque si elevamos un número negativo a una potencia par, siempre será positivo. (

(

b) Índice impar. Un número negativo en cambio sí puede tener una raíz impar, porque al elevar un número negativo a una potencia impar dará como resultado un número negativo. y

( ( (

√

(

√

Propiedades 1.- ( √ )

ejemplo: ( √ )

2.- √

porque √

ejemplo: √

por que

3.- √

√ √ √ ejemplo: √ Comprobando. Si multiplicamos √ √ 4.- √

√ √

ejemplo: √

√ √

√

√

√

(

(

Extracción de factores en un radical. Un radicando se descompone en factores para simplificar. Para extraer un factor de un radical, descomponer el radicando en factores de manera que los factores tengan raíz exacta de acuerdo al índice que se tenga. Si alguno de los factores tiene raíz, se extrae la raíz de ese número. El cociente de la división sale fuera del radical, y el resto queda dentro. Ejemplo: √ √

El radicando se descompone en factores. Aplicando teorema 3

√ √

√

√

Ejercicios: Descomponer en factores y sacar raíz a los factores si es posible: 1.

2. √

√

3. √

4. √

Introducción de factores. La introducción de factores también se hace para la simplificación de los radicales. Cuando se desea introducir un factor o factores dentro de un radical, solo se eleva a un exponente igual al índice del radical. √

√

Ejemplo:

(

√

√

(

√

√

Ejercicios: a)

b)

√

c)

√

√

Suma y resta de radicales. Estas operaciones se efectúan solo si el índice de los radicales son iguales. √

√ (

√

Ejemplo: √

√ (

√

√

√

√ (

Ejercicios: a)

√

√

c)

√

√

b) √ √

√

d) √

√ √

√ e) √

√