UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO, RECINTO DE MAYAGUEZ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS MATEMATICAS EXAMEN DEPARTAMENTAL FINAL: PRE-CALCULO I, MATE 3171 NOMBRE:_________________________ NUM. DE ESTUDIANTE: ________________ SECCION: ____________ PROFESOR: _________________________ El plagio no está permitido. Simpli…que todas sus respuestas. Sólo puede usar calculadora cientí…ca. Preguntas durante el examen no serán permitidas.

I.

(40 puntos) En los siguientes ejercicios seleccione la mejor alternativa: 1.

2.

3.

4.

5.

Al simpli…car la expresión (3x + 2) (2x + 4) ; se obtiene: a. x 2 b. x + 1 c. x + 1 (3x + 2) (2x + 4) = x 2 d. x 1 e. Ninguna de las anteriores p Si f (x) = 2 x entonces f ( 2) =: a. 0 b. 1 p c. 3 f ( 2) = 2 ( 2) = 2 d. 2 e. Ninguna de las anteriores Las coordenadas del vértice de la grá…ca de la función cuadrática 2 f (x) =4 (x + 3) 2; son: a. (3; 2) b. ( 3; 2) c. (3; 2) V ( 3; 2) d. ( 3; 2) e. Ninguna de las anteriores La pendiente de la línea recta 4x 2y = 0, es: a. m = 1=2 b. m = 2 c. m = 1=2 despejando y = 2x ) m = 2 d. m = 2 e. Ninguna de las anteriores El centro y radio de la circunferencia (x 4)2 +(y + 1)2 = 36, es: a. C ( 4; 1), r = 6 b. C ( 4; 1), r = 6 C (4; 1) ; r = 6 c. C (4; 1), r = 6 d. C (4; 1), r = 6 e. Ninguna de las anteriores

1

6.

El dominio de la función f (x) = x2x+x+ 1 2 ; es: a. R f 2g b. R f 2; 1g x+1 x+1 c. R f2; 1g x +x 2 = (x+2)(x d. R f 2; 1g e. Ninguna de las anteriores 2

7.

8.

9.

10.

1) ;

dom (f ) = R

f 2; 1g

La solución de la ecuación 2x = 4x+3 ; es: a. x = 6 b. x = 2 c. x = 3 2x = 4x+3 = 22(x+3) ) x = 2x + 6 ) x = d. x = 6 e. Ninguna de las anteriores La valor de log4 16; es: a. 4 b. 3 c. 16 d. 2 e. Ninguna de las anteriores

6

log4 16 = log4 42 = 2log4 4 = 2

La inversa de la función f (x) = 2x + 8 a. f 1 (x) = 12 x + 4 b. f 1 (x) = 12 x 4 c. f 1 (x) = 12 x + 4 y = 2x + 8; despejando x : x = 21 x 1 1 d. f (x) = 2 x 4 e. Ninguna de las anteriores El campo de valores (rango) de la función a. (0,1) b. ( 1,5) c. ( 5,1) d. ( 1,1) e. Ninguna de las anteriores

4; respuesta b

f (x) =52x+1

Los reales positivos porque la función exponencial toma valores positivo 11.

Dada la expresión "cuadre y reste 5" , la representación en forma de función es: a. f (x) = (x + 5)2 b. f (x) = (x 5)2 c. f (x) = x2 5 f (x) = x2 5 d. f (x) = x2 + 5 e. Ninguna de las anteriores

12.

Dado P (x) = 7x3 6x2 + 6x 5 , entonces P (1) = a. 0 b. 1 c. 3 P (1) = 7 6 + 6 d. 2 e. Ninguna de las anteriores 2

5=2

13.

El conjunto solución de la desigualdad jxj a. [ 1; 1] b. ( 1; 1) c. ( 1; 1) 1 x 1 d. [0; 1) e. Ninguna de las anteriores

14.

La solución de la ecuación x2 = 36: a. x = 6 b. x = 6 c. x = 36 x= d. x = 6 e. Ninguna de las anteriores

15.

16.

17.

18.

19.

1;

es:

6

Identi…que la función que no es 1-1: p a. f (x) = x b. f (x) = x2 1; x 1 c. f (x) = x2 1 c d. f (x) = x1 e. Ninguna de las anteriores La solución de la ecuación log2 x = 4; es: a. x = 4 b. x = 41 c. x = 16 log2 x = 4 , x = 42 = 16 1 d. x = 16 e. Ninguna de las anteriores Evalúe i67 =: a. 1 b. 1 c. i d. i e. Ninguna de las anteriores

i67 = ii66 = i i2

33

33

= i ( 1)

=

i

La grá…ca de y2 + x2 = 6; es simétrica con respecto a: a. Eje X b. Eje Y tiene todas las simetrías, respuesta c. Origen d. Todas las anteiores e. Ninguna de las anteriores La solución de la ecuación cuadrática x2 + 49 = 0, es: a. x = 7i b. x = 7i c. x = 7i x2 + 49 = 0 ) x2 = 49 ) x = d. x = 7 e. Ninguna de las anteriores

3

p

d

49 =

7i

20.

Si s varía directamente proporcional a la raíz cuadrado de t. Si s = 10 y t = 25, el valor de la constante k de proporcionalidad es: a. k = 50 b. k = 5 c. k = 2 d. k = 12 e. Ninguna de las anteriores p p s = k t ) 10 = k 25 ) k = 2

II.

Resuelva los siguientes ejercicios: 1.

Dado el polinomio P (x) = x3 2x2 + 5x + 6 :prob 58, pag 261 a. (5 puntos) Halle los ceros reales de P Posibles ceros racionales: 1; 2; 3; 6 RR positivas: 1 cambio de signo, por lo tanto tiene un cero real positivo P ( x) = x3 2x2 5x + 6 RR negativas: 2 cambios de signo, por lo tanto tiene dos o ningún cero real negativo, como la suma de sus coe…centes es cero, 1 es un cero. Aplicando división sintética: 1 1 2 5 6 1 1 6 1 1 6 0 El cociente es: q (x) = x2 x + 6 = x2 + x 6 = (x + 3) (x 2) Por lo tanto los ceros son: 3; 1; 2 b.

(5 puntos) Trace la grá…ca de

P y 9 8 7 6 5 4 3

x P (x)

2 0 1 2 6 8

2 1 x −4

−3

−2

−1

1 −1 −2 −3 −4 −5 −6

10i 2. (6 puntos) Evalúe prob 41 pag 268 1 2i 10i 10i 1+2i 10i (1 + 2i) 10i + 20i2 = = = = 1 2i 1 2i 1+2i 1 + 22 5

4

20 + 10i = 5

4 + 2i

2

3

4

5

3.

Dada la función racional

f (x) =

2x + 6 , 6x + 3

halle:

prob 42 pag 289

a.

(1 punto) el intercepto con el eje Y ___(0; 2)___

b.

(1 punto) los interceptos con el eje X ___(

c.

(1 puntos) asíntotas verticales ___x = 21 ____

d.

(1 punto) asíntota horizontal ___y =

e.

(6 puntos) hacer un bosquejo de la grá…ca de la función

1 3

3; 0)___

___

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 −7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

x 1

−1

2

3

4

5

6

7

8

−2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10

1.

4.

(5 puntos) Halle el cociente y residuo al dividir

6x3 + 2x2 + 22x

pag 251 2x2 +1

3x + 1 6x3 + 2x2 + 22x 6x3 + 3x cociente: q (x) = 3x + 1; residuo: r (x) = 19x 2x2 + 19x 2 2x +1 19x 1

5

1

por

2x2 +1 prob 21

2

5.

(9 puntos) Trace la grá…ca de las función f (x) = 1 x x sisi xx> 2 2 , indicando los interceptos con los ejes coordenados y su rango. ;prob 40 pag 160 x 1 0 1 2 x 2 x>2: 1 x2 0 1 0 3 x 2 Interceptos: Eje X: (1; 0) ; Eje Y: (0; 1) x

2:

3 3

y

4

3

2

1 x −4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

6.

(6 puntos) Halle la ecuación de una recta que pasa por el punto paralela a la recta x + 2y = 6. prob 31 pag 116 La pendiente de la recta dada se obtiene despejando y : y = 12 x + 3 ) m = La ecuación de la recta es: y ( 6) = 21 (x 1) despejando para y : y = 12 x 11 2

7.

(1; 6)

y es

1 2

(8 puntos) Determine el tiempo que le toma a una inversión de $1,000 que se compone continuamente a una tasa de 8.5% anual llegar a $2,000. prob 79 pag 339 Sea A (t) la cantidad que se obtiene en el tiempo t: En este problema se tiene: P = 1000; r = 8:5% = 0:085; t =?; A (t) = 2000 Como se compone continuamente, se tiene: A (t) = P ert sustituyendo se tiene: 2000 = 1000e0:085t ) e0:085t = 2 aplicando ln ln 2 = 8:154 672 712 ln e0:085t = ln 2 ) 0; 085t = ln 2 ) t = 0:085 Aproximadamente se requiere invertir $1000 durante 8.15 años

6

8.

Si

f (x) =x3 + 2

a.

(2 puntos)

f g

(1) =

b.

(3 puntos)

(f c. (f

f (1) g(1)

=

y 3 1

p g(x) = 3 x f g

prob 36 pag 197

(1)

=3 (f

g) (x)

p p 3 g) (x) = f (g (x)) = f ( 3 x) = ( 3 x) + 2 = x + 2

(1 puntos)

(f

g) (8) usando el resultado anterior

g) (8) = 8 + 2 = 10

Bono (5 puntos) Halle un 3 y 1 + i:prob 40 pag 276

son

,

polinomio con coe…cientes enteros de grado 3 cuyos ceros

El otro cero es 1 i y el polionomio es de la forma: P (x) = a (x + 3) (x (1 + i)) (x (1 i)) = ax3 + ax2

7

4ax + 6a