EL NÚMERO REAL

1

1.- LOS NÚMEROS IRRACIONALES. NÚMEROS REALES 1- Indicar a qué conjuntos ( Ν, Ζ, Q , R ) pertenecen los siguientes números: ⌢ -2 ; 3; -4/ 5; 16/ 4; 4´31; − 25 ; 3 − 4 ; 3´ 6 ; π - 4 ; 18/ 5 ; 18´4

Ν

3 ; 16/ 4

Ζ Q

-2 ; − 25 ⌢ -4/ 5 ; 3´ 6 ; 4´31 ; 18´4 ; 18/ 5

R

3

−4 ; π-4

2.- Indica cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales: 3

−8 ;

2;

Q

3

1

2π ;

−8 ;

3

2 4;

2 ; 1,455555… 3

2 4 ; 2/3 ; 1,455555…

2 ; 2π ;

I

;

1 3

3.- Entre los dos números dados sitúa un número irracional:

a) 2 y 3 ⇒ c)

π 3

b) 2 2 y 4 2 ⇒ 3 2

2

y π ⇒

2π 3

d)

2 y

5 ⇒

3

2.- APROXIMACIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO REAL 1.- Indica si las siguientes aproximaciones de a) 2,2

b)

c) 2,24

5 = 2,23606797... lo son por defecto o por exceso:

d) 2,236

Por defecto

2,2 ; 2,23 ; 2,236

Por exceso

2,24 ; 2,23607

e) 2,23607

2.-Escribe las aproximaciones por defecto y por exceso a la primera cifra decimal de los siguientes números e indica después cuál de las dos aproximaciones constituye su redondeo a las décimas: a) 6,23

b) 7,28

c) 0,55

d) 52,471

e) 2, 7ˆ

Número

Aproximación por defecto

Aproximación por exceso

Redondeo a la décimas

6,23

6,2

6,3

6,2

7,28

7,2

7,3

0,55

0,5

0,6

0,5 – 0,6

52,471

52,4

52,5

52,5

2, 7ˆ

2,7

2,8

2,8

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3.- Redondea a dos cifras decimales los siguientes números y di cuáles de las aproximaciones son por defecto y cuáles por exceso: a)

35 8

b) 13,4972

c)

d)

7

Número

Redondeo a la centésimas

Aproximación

35/8

4,38

Por exceso

13,4972

13,50

Por exceso

7

2,65

Por exceso

37

6,08

Por defecto

37

4.-Redondea los siguientes números hasta las centésimas y acota, en cada caso, los errores absolutos cometidos: ⌢ ⌢ a) 12,30412 b) 102,34537 c) 6,034511 d) 1´6 e) 5 f) 17´23

Número

Redondeo a la centésimas

Cota error absoluto

12,30412

12,30

12,30412 – 12,3 =0,00412 < 10- 2

102,34537

102,35

| 102,34537 – 102,35 | = 0,00463 < 10- 2

6,034511

6,03

6,034511 – 6,03 = 0,004511 < 10- 2

⌢ 1´ 6

1,67

1,67 – 1´ 6 < 0,0033… < 10- 2

5

2,24

2,24 –

⌢ 17 ´ 23

⌢

5 = 0,0039… < 10

-2

17,23 – 17 ´ 23 = 0,003333…< 10-2 ⌢

17,23

5.- Aproxima los siguientes números de forma que el error absoluto sea inferior a lo que se indica en cada caso: a) 7,0852 e = 0,001 b) 4,2785 e = 0,01

a) Aproximación: 7,085

Error absoluto: | 7,0852 - 7,085 | = 0,0002

b) Aproximación: 4,28

Error absoluto: | 4,2785 - 4,28 | = 0,0015

6.-Si quieres tomar

11 = 3,3166247... con tres cifras decimales, cometiendo el menor error posible,

¿qué aproximación debes tomar?

La aproximación es 3,317 | 11 - 3,317 | = 0,00037… | 11 - 3,316 | = 0,00062…

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7.- Juan y Luisa han obtenido la expresión decimal 20,47813 como solución de un ejercicio. Juan redondea a la primera cifra decimal, mientras que Luis prefiere hacerlo a la tercera cifra decimal. ¿Cuál es el error absoluto, el relativo y el porcentual que comete cada uno de ellos? Aproximación a la décima

Error absoluto

Error relativo

Error porcentual

20,5

|20,47813 – 20, 5| = 0,02187

0, 02187 = 0,001067 20, 47813

0,1%

Aproximación a la milésima

Error absoluto

Error relativo

Error porcentual

20,478

|20,47813 – 20, 478| = 0,00013

0, 00013 = 0,000006 20, 47813

0,0006%

8.- En una tienda de tejidos tienen un metro defectuoso, en lugar de medir 1 m mide 987 mm. ¿Cuánta tela de menos le han dado a una señora que ha comprado 16 m de un tejido cuyo precio es de 12,75 €/m? ¿Cuál ha sido la cantidad de dinero cobrado de más?

Por cada metro le da 13 mm menos de tela ⇒ En 16 m le da 208 mm = 0,208 m menos Le han cobrado de más: 0,208 · 12,75 = 2,652 € 9.- Al medir un puente con una cinta métrica, se comete un error absoluto menor que 0,5 cm, mientras que al determinar la longitud de un lápiz con una regla, se comete un error absoluto inferior a 1 mm. Se sabe que las medidas exactas del puente y del lápiz son, respectivamente, 54,45 m y 18,50 cm. ¿qué medida es más exacta?

Error absoluto en el puente < 5 mm ⇒ Error relativo: Error absoluto en el lápiz < 1 mm ⇒ Error relativo:

5 = 0,00009182 < 10-4 54450

1 = 0,005405 < 10-2 185

Es más exacta la del puente porque el error relativo es inferior

3.- VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL 1.- Halla los siguientes valores absolutos: a) | 4 - | 5 – 7| |

| 4 - | 5 – 7| | = | 4 - 2 | = 2 b)

|2·|7–3|-5·|4-1|-3|

| 2 · | 7 – 3 | - 5 · | 4 - 1 | - 3 | = | 2 · 4 - 5 · 3 - 3 | = | 8 - 15 - 3 | = | -10 | = 10 c)

5 2 1 -1 - 4 3 2 5 2 1 1 1 1 −1 − − = − = 4 3 2 4 6 12

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d)

4

5 6 9 −3 − − 2 5 4 5 6 9 1 21 1 21 10 − 63 53 −3 − − = − − − = − = =− 2 5 4 6 20 6 20 60 60

e)

1 1 5 − + 2· − 1 2 3 6 1 1 5 1 2 1 2 5 − + 2· − 1 = + = + = 2 3 6 6 3 6 3 6

f) 8 −

2 7 + −4 3 6

8−

2 7 22 17 22 17 61 + −4 = + − = + = 3 6 3 6 3 6 6

2.- Representa en una recta los conjuntos de números siguientes: a)

|x|=3

-3 c)

b)

3

-2

| x| ≤ 5

-5

|x|4

-4

5

4

3.- Clasifica las siguientes igualdades según sean verdaderas o falsas. a) |-2| = 2

Verdadera

b) | 4 – 12 | = | 4 | - | 12 |

Falsa: | 4 – 12 |= |-8| = 8 mientras que | 4 | - | 12 | = 4 – 12 = -8

c) | 15 – 6 | = | 15 | - | 6 |

Verdadera

d) | -3 · 6 | = | -3 | · | 6 |

Falsa: | - 3 · 6 |= |- 18| = 18 mientras que | -3 |· | 6 | = 3 · 6 = 18

e) | 3 – 9 | = | | 3 | - | 9 | |

Verdadera

f) | 8 + 3 | = | 8 | + | 3 |

Verdadera

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4.- ORDEN EN ℜ. DESIGUALDADES NUMÉRICAS. INTERVALOS. 1.- Indica cuáles de los siguientes números están en el intervalo (-1,6]: -2

-1

0

15

6

5

-0´8

26

37

3 8

3

Los números de dicho intervalo son aquellos valores x que verifican -1 < x ≤ 6 Luego están en dicho intervalo: 0, 6, -0´8,

5,

26 ,

2.- Indica todos los números que pertenecen a los siguientes intervalos: a) [3,5)

b) [2,7]

d) [7, +∞ ∞)

c) [5, 8)

e) (2,3)

f) (-∞ ∞, -4)

a) x ∈ [3,5) ⇔ 3 ≤ x < 5 b) x ∈ [2,7] ⇔ 2 ≤ x ≤ 7 c) x ∈ [5, 8) ⇔ 5 ≤ x < 8 d) x ∈ [7, +∞) ⇔ x ≥ 7 e) x ∈ (2,3) ⇔ 2 < x < 3 f) x ∈ (-∞, -4) ⇔ x < - 4 3.- Escribe con simbología adecuada los siguientes intervalos de números reales: a) Los números negativos mayores que –7. b) Los números positivos menores o iguales que 5. c) Los números comprendidos entre –2 y 9, ambos incluidos. d) Los números menores que 10 y mayores o iguales que –3. e) Los números cuyo valor absoluto es menor que 3.

a) (7, +∞)

b) (-∞, 5]

c) [-2,9]

d) [-3,10)

e) |x| < 3 ⇔ (-3,3)

4.- Escribe, mediante intervalos, los posibles valores de x para que las siguientes expresiones tengan sentido real: 1 2 1 a) x −3 b) 5 + x c) d) e) 2 x+3 x−2 x −4

a) x – 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3 ⇒ x ∈ [3, +∞) b) 5 + x ≥ 0 ⇒ x ≥ -5 ⇒ x ∈ [-5, +∞) c) x – 2 ≠ 0 ⇒ x≠ 2 ⇒ x ∈ (- ∞. 2) ∪ (2, +∞), o bien, R - {2} d) x + 3 ≠ 0 ⇒ x≠ 3 ⇒ x ∈ (- ∞. 3) ∪ (3, +∞), o bien, R - {3} e) x2 – 4 ≠ 0 ⇒ x≠ 2 y x≠ - 2 ⇒ R - {± 2}

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5.- Halla la intersección de los siguientes intervalos: a) (1,3] ∩ [2,4]

b) [0,4] ∩ (2, 7)

c) (-∞ ∞,8) ∩ [4, ∞)

d) (1,2) ∩ (-4, ∞)

e) (-∞ ∞, 3) ∩ [-4, ∞)

f) [-10,10) ∩ [-3, 4]

a) (1,3] ∩ [2,4] = [2, 3]

b) [0,4] ∩ (2, 7) = (2,4]

c) (-∞,8) ∩ [4, ∞) = [4, 8)

d) (1,2) ∩ (-4, ∞) = (1,2)

e) (-∞, 3) ∩ [-4, ∞) = [- 4, 3)

f) [-10,10) ∩ [-3, 4] = [-3, 4]

6.- Halla la unión de cada dos intervalos del ejercicio anterior.

a) (1,3] ∪ [2,4] = (1, 4]

b) [0,4] ∪ (2, 7) = [0, 7)

c) (-∞ ∞, 8) ∪ [4, ∞) = R

d) (1,2) ∪ (-4, ∞) = (-4, ∞)

e) (-∞ ∞, 3) ∪ [-4, ∞) = R

f) [-10,10) ∪ [-3, 4] = [-10,10)

7.- Representa en la recta real los siguientes conjuntos de números: a) | x | = 4

b) | x | < 3

a) | x | = 4

c)  x ≤7

d) | x | ≥ 2

b) | x | < 3

-4

4

c) | x| ≤ 7

-3

3

d) | x | > 2

-7

-2

7

2

2 8 8.- Dado el intervalo  ,  , se pide: 5 3 a) Hallar un número entero, uno racional y uno irracional que pertenezca a dicho intervalo. b) Calcular el punto medio de dicho intervalo. c) Calcular la distancia entre el punto medio y uno de los extremos. 1 4 a) Número racional: , 2 5 Número irracional: b) El punto medio:

c)

5,

2

1  2 8  1 46 23 =  + = · 2  5 3  2 15 15

23 2 17 − = 15 5 15

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