DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 4×4 O MÁS PREGUNTA 1 Calcular los determinantes siguientes:

a)

1

0

−1

2

3

1

−4

5

0 3

3 10

2 −3 4 −5

1 −2

3

−1

1

2

−2 −2 3

2

b) 1

1 2 1 1 1 −4 −3 −2 −5 3 −2

2

2

−2

c)

0 0 3

0 0 −1 0 −1 0 −1 0 0

3 0 0

0 3 0

0 0

0 −1 −1 0

3 0

0 3

0 0

−1

0

0

0

3

0

RESOLUCIÓN Para resolver el determinante de una matriz cuadrada de orden 4×4 o más es recomendable aplicar el método de “Reducción del orden” o también llamado método del pivote. Expondremos el método en los casos a) y b).

1 0 −1 2 3 1 −4 5 a) A = 2 −3 0 3 4 − 5 3 10 1ro. Escogemos una fila o columna cualquiera. De preferencia aquella que tenga algún 1 como elemento. Mejor aún si conteniendo el 1 también tiene elementos iguales a cero. Escogemos la fila 1 2do. Escogemos el pivote de la fila o columna considerada. Siempre es recomendable escoger como pivote al 1. Ciertamente se puede escoger cualquier número como pivote, sin embargo las operaciones se facilitan si escogemos al 1. Escogemos el elemento a11 = 1 como pivote. 3ro. Apoyándonos del pivote hacemos operaciones con filas o columnas con la intención de buscar ceros en la fila o columna escogida. Tener en cuenta: “Si busco ceros en una fila, DEBO hacer operaciones con columnas; y si busco ceros en una columna, DEBO hacer operaciones con filas” Buscamos ceros en la fila 1, para ello realizaremos las siguientes operaciones: c3 + c1, c4 – 2c1. Recuerde que al hacer operaciones con filas o columnas, por ejemplo c4 – 2c1, esto significa tres cosas: i) A la columna 4 le vamos a restar el doble de la columna 1. ii) El resultado de dicha operación va a ir en la columna 4. iii) La columna 1 no cambia.

[email protected]

Operando:

1 0 − 1 + 1 2 − 2(1) 1 0 0 0 3 1 − 4 + 3 5 − 2(3) 3 1 −1 −1 A = = 2 − 3 0 + 2 3 − 2(2) 2 − 3 2 −1 4 − 5 3 + 4 10 − 2(4) 4 −5 7 2

4to. Una vez logrados los ceros en la fila o columna escogida, aplicamos la siguiente regla (regla 1): A = (PIVOTE)×(COFACTOR DEL PIVOTE) Recuerde que el cofactor de un elemento aij se calcula multiplicando el factor (-1)i+j por el determinante menor. El determinante menor es aquel que resulta al eliminar la fila y columna correspondiente al elemento que se analiza. En tanto la suma de “i+j” solo puede tomar valores pares o impares, el factor (-1)i+j resultará igual a 1 o -1. Si “i+j” es par el factor será 1, si “i+j” es impar el factor será -1. Esto hace ver que el cofactor resultará igual al determinante menor, si la posición del elemento es tal que “i+j” es par. Y el cofactor resultará igual al determinante menor con signo cambiado, si la posición del elemento es tal que “i+j” es impar. En nuestro caso, el pivote 1 está en la posición a11, con lo cual i+j = 1+1 = 2 es par. Luego el cofactor del pivote será igual a su determinante menor.

1 Luego, aplicando la regla 1 podemos escribir:

1 Es decir:

A = (1)× − 3 −5

−1 −1 2 7

−1 2

−1 −1

A = −3 −5

2 7

− 1 , el mismo que siendo de orden 3×3 se puede resolver 2

aplicando la Regla de Sarrus (teoría básica). Aplicando obtenemos:

A = 11

b) Para resolver este caso, aplicaremos el método descrito en a) para bajar – primero al orden 4×4. Una vez logrado esto, aplicaremos el mismo procedimiento para bajar al orden 3×3. Llegado a este orden aplicaremos la regla de Sarrus.

1 −2 3 −2 −2 2 −1 1 3 2 A = 1 1 2 1 1 1 −4 −3 −2 −5 3 −2 2 2 −2 1ro. Escogemos una fila o columna cualquiera. Escogemos la fila 3 2do. Escogemos el pivote de la fila o columna considerada. Escogemos el elemento a35 = 1 como pivote.

[email protected]

3ro. Apoyándonos del pivote hacemos operaciones con filas o columnas con la intención de buscar ceros en la fila o columna escogida. Buscamos ceros en la fila 3, para ello realizaremos las siguientes operaciones: c1 - c5, c2 – c5, c3 – 2c5, c4 – c5.

Operando:

A =

1 − (−2) 2−2

− 2 − (−2) −1− 2

1−1 1 − (−5)

1−1 2 − 2(1) 1−1 1 − 4 − (−5) − 3 − 2(−5) − 2 − (−5) − 5

3 − (−2) − 2 − (−2) 3

0

7

3 − 2(−2) 1 − 2(2)

2 − 2(−2)

− 2 − (−2) − 2 3− 2 2

2 − (−2)

−2

0 −2

0 −3 −3 1

2

A = 0 6

0 1

0 7

0 1 3 −5

5

0

6

4 −2

4to. Una vez logrados los ceros en la fila o columna escogida, aplicamos la regla 1: A = (PIVOTE)×(COFACTOR DEL PIVOTE) En nuestro caso, el pivote 1 está en la posición a35, con lo cual i+j = 3+5 = 8 es par. Luego el cofactor del pivote será igual a su determinante menor.

Luego, aplicando la regla 1 podemos escribir:

Es decir:

3 0 7 0 −3 −3 A = 6 1 7 5 0 6

3 0 7 0 −3 −3 A = (1)× 6 1 7 5 0 6

0 1 3 4

0 1 3 4

Como se puede notar hemos obtenido el determinante de una matriz de orden 4×4. Volvemos a aplicar el método para reducirlo al orden 3×3. Aunque esta vez lo haremos en forma abreviada. Escogiendo el elemento a32 = 1 como pivote, buscaremos ceros en la columna 2. Para ello haremos: f2 + 3f3

Operando:

3 18 A = 6 5

0 7 0 0 18 10 1 7 3 0 6 4

El pivote 1 está en la posición a32, con lo cual i+j = 3+2 = 5 es impar. Luego el cofactor del pivote será igual a su determinante menor con signo cambiado, o lo que es lo mismo -1 por el determinante menor.

[email protected]

Luego, aplicando la regla 1 podemos escribir:

3 7 0 A = (1)×(-1)× 18 18 10 5

6

4

Lo que resolviendo (aplicando Sarrus) nos lleva a la respuesta: A = 118.

O

BSERVACIONES Antes de proponer la resolución del siguiente ejercicio vale la pena hacer ciertas precisiones. El método de reducción del orden que se aplicó en los casos a) y b) se sustenta básicamente en estas dos propiedades de los determinantes: Propiedad: En una matriz cuadrada: si a los elementos de una fila (o columna) se le suman (o restan) los elementos de otra fila (o columna) multiplicados por una constante conveniente, el determinante no cambia su valor. Propiedad: En una matriz cuadrada: si los elementos de una fila (o columna) son todos nulos excepto uno de ellos, el determinante es igual al producto del elemento no nulo por su respectivo cofactor. Como se pudo ver el método consiste básicamente en pasar del determinante de una matriz de orden dado a otra de orden inmediato inferior. Esto se hace de manera sucesiva hasta llegar al orden 3×3 donde se puede aplicar la Regla de Sarrus. Para lograr esta reducción se aplican repetidas veces las propiedades anteriormente citadas. De lo anterior se desprende que una desventaja del método se presenta cuando se trabajan determinantes de orden mayor a 5. Ya que si bien se puede aplicar el método, este resulta en extremo trabajoso. Por otro lado, es frecuente encontrar determinantes de matrices de orden mayor a 5, en los cuales sus elementos se encuentran distribuidos de una manera particular. (Véanse las distribuciones de los elementos en las preguntas 1c, 2, 3 y 4 de este documento). En estos casos lo recomendable sería esforzarse en llegar a una matriz triangular. Superior o inferior, no importa. ¿Por qué?, ¿Qué gano con esto? Es que de esa manera podríamos aplicar la siguiente propiedad de los determinantes: Propiedad El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. No existe una estrategia única para formar la matriz triangular. Esta depende de la manera particular en que se encuentren distribuidos los elementos de la matriz que se analiza. Lo importante es llegar a formar la matriz triangular. ¿Cómo llegamos a ella?, Ahí está el reto. En los siguientes ejercicios se muestran algunas estrategias a tener en cuenta.

c)

0 0 3

0 0 −1 0 −1 0 −1 0 0

3 0 0

0 3 0

0 0

0 −1 −1 0

3 0

0 3

0 0

−1

0

0

0

3

0

[email protected]

Observe la matriz cuadrada. Nótese la distribución de los elementos. Todos son ceros excepto los de las diagonales. Es como si ellos formaran una equis (X) en la matriz. Véase además que todos los elementos de la diagonal principal son iguales entre sí (3) y todos los elementos de la diagonal secundaria también son iguales entre sí (-1). Encontramos aquí una distribución particular de los elementos de la matriz que se analiza, y siendo esta de orden mayor (6×6), buscaremos entonces una matriz triangular inferior. Recuerde que en una matriz triangular inferior los elementos que se encuentran POR ENCIMA DE LA DIAGONAL PRINCIPAL deben ser todos CEROS. Bastará con hacer cero los elementos a16, a25 y a34. c6 +

Hacemos las operaciones:

1 1 1 c1, c5 + c2, c4 + c3 3 3 3

3

0

0

0

0

0

0

3

0

0

0

0

0

0

3

0

0

0

0

0 8 −1 3

0

0

0

−1

0

0

8 3

0

−1

0

0

0

0

8 3

Como se puede notar, tenemos el determinante de una matriz triangular inferior. Por tanto será igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

8 8 8 A = 3× 3× 3× × × 3 3 3

Luego: A = 512

PREGUNTA 2

( )

A = a ij

6×6

⎧b ⎪ tal que a ij = ⎨a ⎪0 ⎩

... i = j ... i + j = 7 ; Hallar A ... otro caso

RESOLUCIÓN Construimos la matriz cuyo determinante es desconocido.

b 0 0 0 0 a 0 b 0 0 a 0 0 0 b a 0 0 0 0 a b 0 0 0 a 0 0 b 0 a

0 0 0 0 b

Nótese la distribución de los elementos. ¿Ha visto alguna situación parecida antes?, ¿No es verdad que los elementos están distribuidos en forma de X?. Encontramos aquí un caso similar al estudiado en el ejercicio anterior (1c). Por esa razón seguiremos las mismas recomendaciones. Buscaremos una matriz triangular inferior. Haremos operaciones que hagan cero los elementos a16, a25 y a34. Hacemos las operaciones:

c6 -

a a a c1, c5 - c2, c4 - c3 b b b

[email protected]

a b 0 0 0− 0 b a 0 b 0 0− 0 b a 0 0 b a− b b a 0 0 a b− a b a 0 a 0 0− 0 b a a 0 0 0− 0 b

Lo que resulta:

a 0− 0 b a a− b b a 0− 0 b a 0− 0 b a b− a b a 0− 0 b

a b b a 0− 0 b a 0− 0 b a 0− 0 b a 0− 0 b a b− a b

a−

b 0 0 0 b 0

0 0

0 0

0 0

0 0 b

0 b2 − a 2 b

0

0

0

0

0 0 a 0 a a

0

0 0

0 0

b2 − a 2 b 0

0 b − a2 b 2

Como se puede notar, tenemos el determinante de una matriz triangular inferior. Por tanto será igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

A = b×b×b×

b2 − a 2 b2 − a 2 b2 − a 2 × × b b b

Luego: A = (b 2 − a 2 ) 3

PREGUNTA 3

⎧− 2 ⎩0

... si i ≠ j

Si A = [aij] es una matriz de orden n×n tal que a ij = ⎨

... si i = j

; Hallar A .

RESOLUCIÓN Construimos la matriz cuyo determinante es pedido.

0

− 2 − 2 ... − 2 − 2

− 2 0 − 2 ... − 2 − 2 − 2 − 2 0 ... − 2 − 2 A = : : : : ... : − 2 − 2 − 2 ... 0 − 2 − 2 − 2 − 2 ... − 2

0

Observe la matriz cuadrada. Nótese la distribución de los elementos. Los elementos de la diagonal principal son iguales entre sí (0) y todos los demás elementos también son iguales entre sí (-2). Encontramos aquí una distribución particular de los elementos de la matriz que se analiza, y siendo esta de orden mayor (n×n), buscaremos una matriz triangular inferior.

[email protected]

Tal como se mencionó anteriormente, la sugerencia es llegar a una matriz triangular, el asunto es como llegamos a ella. Proponemos los siguientes pasos: f1 + (f2 + f3 +…+ fn)

Hacemos la operación:

A =

− 2( n − 1) − 2(n − 1) − 2(n − 1) ... − 2(n − 1) − 2(n − 1) −2 0 −2 ... −2 −2 −2 −2 0 ... −2 −2 : −2

: −2

: −2

: ...

... 0

: −2

−2

−2

−2

...

−2

0

Factorizamos -2(n-1) de la primera fila

A = − 2(n − 1)

1 1 1 ... 1 1 − 2 0 − 2 ... − 2 − 2 − 2 − 2 0 ... − 2 − 2 : : : : − 2 − 2 − 2 ...

... 0

− 2 − 2 − 2 ... − 2

: −2 0

Buscamos ceros en la f1. Hacemos las operaciones: c2 – c1, c3 – c1, …, cn – c1

A = − 2(n − 1)

1 0 0 ... 0 − 2 2 0 ... 0 − 2 0 2 ... 0

0 0 0

: : : : ... : − 2 0 0 ... 2 0 − 2 0 0 ... 0

2

Tenemos el determinante de una matriz triangular inferior. Entonces: A = − 2(n − 1)(1 × 2 × 2 × ... × 2)

A = − 2(n − 1) × 2 n −1 A = − (n − 1) × 2 n PREGUNTA 4

Dada la matriz A = (aij)n×n tal que

⎧ ja ⎪a ⎪ a ij = ⎨ ⎪0 ⎪⎩− ja

... i < ... i = ... i = ... i >

j j =1 , Hallar A j≠1 j

RESOLUCIÓN

[email protected]

Tenemos

A =

a 2a −a 0 − a − 2a

3a 3a 0

... ... ...

(n − 1)a (n − 1)a (n − 1)a

na na na

... 0

: na

: : − a − 2a

: : − 3a ...

− a − 2a

− 3a ... − (n − 1)a

0

Hacemos: f2 + f1, f3 + f1,…, fn + f1

A =

a 2a 3a ... (n − 1)a na 0 2a 6a ... 2(n − 1)a 2na 0 0 3a ... 2(n − 1)a 2na : 0

: 0

: 0

: ...

... (n − 1)a

: na

0

0

0

...

0

na

Tenemos el determinante de una matriz triangular superior. Aplicando la propiedad:

A = (a × 2a × 3a × ... × ( n − 1)a × na ) A = (1 × 2 × 3 × ... × ( n − 1) × n ) × (a × a × a × ... × a × a ) A = n!×a n

[email protected]