Universidad de Vigo

Departamento de Física Aplicada Ampliación de Física. Año Académico 2008-2009. E.T.S.I.Industriales Boletín # 7 Vigo 4 de mayo de 2009

Problema 7.1.- Una espira rectangular plana de lados a y b paralelos a los ejes OX y OY respectivamente, se mueve en el plano XY con velocidad uniforme v paralela al eje OX y sentido de las x crecientes. En el plano XY existe un campo magnético de dirección perpendicular a dicho plano y módulo B(x,t) = Bo cos(wt)cos(kx) , donde Bo , w y k son constantes. Determínese la fuerza electromotriz inducida en la espira en función del tiempo. Supóngase que, para t=0 el lado de la espira más atrasado en el sentido del movimiento está situado en la posición x=0. Solución:

ε=(Bobω/k) senωt [senk(x+a)-senkx] - Bobv cosωt [cosk(x+a)-coskx]

Problema 7.2.- Frente a una línea conductora rectilínea indefinida recorrida por una corriente I(t) se mueve perpendicularmente a ella con una velocidad constante v una espira cuadrada conductora de lado d, resistencia R y autoinducción L, tal como se indica en la figura. Si la línea y la espira son, en todo momento, coplanarias, hállese la ecuación diferencial que liga a ambas intensidades I(t) e i.

I(t)

µο

i

d

v d

r

Solución: iR+Ldi/dt = (µod/2π)[-Ln((r+d)/r) dI/dt + Ivd/[r(r+d)]

Problema 7.3 (Examen SEPTIEMBRE 2003).- Una espira rectangular de resistencia R y lados a y b, está contenida en plano en el que existe una línea conductora rectilínea indefinida recorrida por una corriente I(t) = Iocos(wt), como muestra la figura. Calcular la fuerza sobre cada uno de los lados (MN, NP, PQ y QM) de la espira. Solución: FNP =[(µo2b2Io2ω)/(4π2R(c+a))]Ln((c+a)/c) senωt cosωt (-i) FQM =[(µo2b2Io2ω)/(4π2Rc)]Ln((c+a)/c) senωt cosωt (i) FMN =[(µo2b2Io2ω)/(4π2R)]Ln2((c+a)/c) senωt cosωt (j) FNP = - FMN

c

Q

P b

I(t)

M

N a

Problema 7.4 (Examen JUNIO 2003).- Considere un solenoide semi-infinito y núcleo de aire, con N´ vueltas por unidad de longitud, por donde circula una intensidad de corriente variable dada por I=Ioe-αt, siendo Io y α constantes. En el extremo superior del solenoide, concéntrico a el y sin tocarlo, se fija un anillo delgado de aluminio de

radio a, ligeramente mayor que el radio del solenoide, y resistencia R, como se indica en la figura. Suponiendo que el campo magnético producido por el I solenoide tiene la misma dirección, sentido y módulo en a toda la superficie encerrada por el anillo y coincide con el valor en el eje del solenoide. También suponga que la autoinducción del anillo es despreciable: (a)¿Cuál es la intensidad de corriente inducida en el anillo? (b)¿Cuál es el campo magnético, en el centro del anillo, I producido por la corriente inducida? y ¿Cuál es su dirección y sentido?.

Solución: (a) i= (µoIoN´πa2αe-αt)/2R (b) B =[(µo2IoN´πaα)/4R] e-αt uz

Problema 7.5.- Calcular la inductancia mutua por unidad de longitud entre dos líneas de transmisión de dos cables conductores cada una A-A`y B-B` mostradas en la figura adjunta. Asúmase que los radios de los cables conductores son mucho más pequeños que d y D. Solución: M =(µo/2π)Ln[1+(d/D)2]

A

d

D

B

Problema 7.6 (Examen DICIEMBRE 2004).- Una espira cuadrada de alambre se mueve con velocidad constante en dirección transversal a un campo magnético uniforme confinado en una región cuadrada cuyos lados son de longitud el doble de las de la espira. Calcular y hacer un gráfico esquemático de la f.e.m. inducida en la espira en función de la distancia x, desde x = -2l hasta x = 2 l, especificando claramente su sentido en cada punto. Problema 7.7 (Examen SEPTIEMBRE 2004).- Un toroide delgado de radio medio b y sección S, está dividido en dos mitades por un plano que contiene al eje de revolución, cuyos materiales tienen permeabilidades µ1 y µ2 , respectivamente. Sobre el toroide se arrollan N espiras por las que circula una corriente I. Calcular los vectores H y B en ambos materiales y el coeficiente de autoinducción L del circuito.

Solución: B= NI/[πb((µ1+ µ2)/( µ1 µ2))] uφ H1= (NI/πb)( µ2/µ1+ µ2)] uφ H2= (NI/πb)( µ1/µ1+ µ2)] uφ L= (NS/πb)(µ1 µ2)/( µ1 + µ2)]

A`

B`

Problema 7.8(SEPTIEMBRE 2008).-Se tiene un núcleo magnético toroidal de permeabilidad µ y sección rectangular de radio interior a exterior b y altura h, tales que no se puede considerar que el toroide sea delgado. Sobre este núcleo se han bobinado dos arrollamientos de N1 y N2 vueltas respectivamente, ambos uniformemente distribuidos a los largo de la coordenada circunferencial del toroide. 1. Calcular la inducción magnética B producida por el arrollamiento N1 en todo el espacio cuando pasa por el una corriente de intensidad I constante. 2. Calcular el coeficiente de autoinducción del arrollamiento 1 3. Calcular el coeficiente de inducción mutua entre ambos arrollamientos. Solución: 1) B =

µNI 2πr

, 2)

M 11 =

µN1h ⎛ b ⎞ µN1 N 2 h ⎛ b ⎞ ln⎜ ⎟ , 3) M 12 = ln⎜ ⎟ 2π 2π ⎝a⎠ ⎝a⎠

Problema 7.9(Examen SEPTIEMBRE 2005).- Una espira cuadrada de lado 2b se encuentra situada entre dos hilos paralelos, separados una distancia 2a. La espira es coplanaria con los dos hilos y dos de sus lados son paralelos a ellos, estando su centro separado una distancia c del punto medio entre los hilos. I1 Halle la fuerza sobre la espira cuando ambos hilos I Io o circula una corriente Io pero en sentido opuesto entre sí, y por la espira fluye una corriente I1. d Solución: F = (I1 Io µo 2ab/ π )[(1/((b+c)2-a2) – 1/(a2-(c-b)2) i

c

Problema 7.10(Septiembre 2006).- Una espira cuadrada plana de lados a está contenida en el plano XY, en el que existe una línea conductora rectilínea indefinida recorrida por una corriente variable que sigue la ley I(t)=Io(1-e-αt) con Io I(t) y a constantes (véase figura). Despreciando la autoinducción de la espira: v a) Determínese la fuerza electromotriz inducida

a x en la espira, supuesta en reposo, y el coeficiente de inducción mútua entre el largo hilo y la espira. b) Si la espira se desplaza con velocidad uniforme v paralela al eje OX y sentido de los x crecientes, determínese la fuerza electromotriz inducida en la espira. Suponga que para t=0 el lado de la espira más atrasado en el sentido del movimiento está situado en la posición x=0. Solución: (b) ε =

(a)

aµ o I o 2π

ε =−

aµ o I o ⎛ x + a ⎞ −αt Ln⎜ ⎟αe 2π ⎝ x ⎠

−αt ⎡ ⎛ vt + a ⎞ a(1 − e ) ⎤ −αt ⎟+ ⎢− αe Ln⎜ ⎥ ⎝ vt ⎠ (vt + a)t ⎦⎥ ⎣⎢

L12 =

aµ o ⎛ x + a ⎞ Ln⎜ ⎟ 2π ⎝ x ⎠

Problema 7.11 (Diciembre 2006).- En el interior de un solenoide indefinido, de radio R y de N´e espiras por unidad de longitud y que soporta una corriente alterna Ie=Ieosenωt se dispone, concentricamente con él, una varilla infinitamente larga de radio a, siendo a