DERIVADAS INTRODUCCIÓN La observación de un fenómeno, un cambio, conduce a una función. Observamos, por ejemplo, la inflación a lo largo del tiempo en una economía particular. Observamos en un embalse como el nivel del agua va variando, creciendo en tiempo lluvioso, decreciendo en sequía… Como crece o decrece la función que representa el fenómeno es el aspecto que, probablemente, más nos interesa desde un punto de vista práctico a fin de hacer previsiones y tomar las medidas oportunas cuando la magnitud que estudiamos se acerca a valores que consideramos peligrosos. La forma natural de medir la variación de una magnitud Y que cambia al cambiar otra X es: “Y varía (crece o decrece) tanto cuando X varía tanto”. Por ejemplo, la forma de medir el empinamiento de una escalera será “en dos metros medidos en el suelo la escalera asciende un metro”. Esto está bien cuando la variación es uniforme, pero para una escalera que tuviese el perfil como el de una montaña rusa no valdría de mucho. El empinamiento es muy distinto según donde nos encontremos. Esta dificultad conduce de forma natural a la noción de variación en un punto o variación instantánea. En términos matemáticos esto nos lleva a la noción de derivada de una función. Éste es el camino natural y relativamente sencillo que seguiremos en este tema. Aprender a manejar bien la derivada es esencial para obtener mucha información interesante sobre el fenómeno representado por la función que consideramos.

1. MEDIDA DEL CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN 1.1.

TASA DE VARIACIÓN MEDIA

Tanto la gráfica como la expresión analítica de una función dan los valores de una variable en relación con los de otra. La variación, el cambio de una variable con respecto a la otra puede producirse de forma más o menos rápida. y

y

x

x

En estas dos gráficas “y” aumenta al aumentar “x”, pero en la segunda lo hace más deprisa. ¿Cómo se mide esto? Para conseguir medir la rapidez de cambio de una variable con respecto a la otra tendremos que referirnos a lo que varía “y” con relación a lo que varía “x”, es decir, a la variación relativa.

DEFINICIÓN Se define la TASA DE VARIACIÓN MEDIA de una función f (x) en un intervalo [a, b] y se denota por T.V.M [a, b] como: T.V.M. [a, b] =

f (b) − f (a ) b−a

Es decir, la T.V.M. [a, b] es el cociente entre el incremento que experimenta la función en el intervalo, ∆y = f (b) − f (a ) , y la amplitud del intervalo, ∆x = b − a .

Con frecuencia al intervalo se le designa mediante la expresión variación media se obtiene así:

T.V.M. [a, a + h] =

f (a + h) − f (a ) h

[a, a + h] . En tal caso, la tasa de

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA TASA DE VARIACIÓN MEDIA Sea y = f (x) una función real de variable real y sean P (a, f (a )) y P1 (a + h, f (a + h)) dos puntos de la curva. Trazamos la recta secante a la curva que pasa por P y P1.

La pendiente de esta recta es: m PP = tgα = 1

f ( a + h) − f ( a ) = T.V.M. [a, a + h] h

Es decir, la T.V.M. [a, a + h] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f (x) en los puntos P (a, f (a )) y P1 (a + h, f (a + h))

EJEMPLO: Supongamos un móvil que se desplaza según la ecuación f (t ) = t 2 − 4t donde t = tiempo (en segundos) y f (t) = espacio recorrido (en metros) Calcular la velocidad media en los intervalos [0,2] , [2,4] y [4,6]

v m [0,2] = T.V.M.[0,2] =

f (2) − f (0) − 4 − 0 = = −2 m/s 2−0 2

v m [2,4] = T.V.M.[2,4] =

f (4) − f (2) 0 − (−4) = = 2 m/s 4−2 2

v m [4,6] = T.V.M.[4,6] =

f (6) − f (4) 12 − 0 = = 6 m/s 6−4 2

1.2.

CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO: DERIVADA

La tasa de variación media da una primera idea de la rapidez conque la función crece o decrece en un intervalo, pero muchas veces la información que proporciona no es suficiente para tener totalmente caracterizada a la función. En la mayoría de las ocasiones es interesante y útil conocer la variación que experimenta la función en cada punto, es decir, “la variación instantánea de la función”. El siguiente ejemplo pone de manifiesto este hecho: La velocidad media de un vehículo, que se desplaza por una autovía (velocidad máxima permitida 120 km/h) entre dos puntos A y B ha sido de 90 km/h y sin embargo le han puesto una multa por exceso de velocidad, ¿cómo explicamos este hecho? Aunque la velocidad media ha sido de 90 km/h, en un instante determinado del recorrido el vehículo ha sobrepasado los 120 km/h, es decir, su velocidad instantánea era superior a 120 km/h, y por eso le han multado.

Si se quiere determinar la variación instantánea de una función en un punto (proceso que equivale a calcular la velocidad instantánea) los extremos del intervalo de variación [a, a + h] deberán aproximarse infinitamente, es decir, h deberá tender a cero, h → 0 . Por tanto, el crecimiento de una función en un punto se obtiene mediante el siguiente límite: T.V.I. (a) = lim T.V.M. [a, a + h] = lim h→ 0

h →0

f (a + h) − f (a ) h

El nombre que se le da en matemáticas a este limite es derivada de f(x) en a y se designa por f´(a).

DEFINICIÓN Se llama derivada de una función f(x) en el punto a y se designa por f´(a) al siguiente límite, si existe y es finito: f ′(a ) = lim h →0

f ( a + h) − f ( a ) h

La derivada de una función en un punto, si existe, es un número real. Si existe la derivada de una función en un punto se dice que dicha función es derivable en ese punto.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Sea y = f (x) una función real de variable real y sean P (a, f (a )) y P1 (a + h, f (a + h)) dos puntos de la curva. Trazamos la recta secante a la curva que pasa por P y P1. La pendiente de esta recta es: m PP = 1

¿Qué sucede cuando h → 0 ?

f ( a + h) − f ( a ) = T.V.M. [a, a + h] h

 P1 , P2 , P3 , ...., Pn ... → P    h → 0 PP1 , PP2 , PP3 ... → t ≡ recta tangente a la curva en el punto P ⇒ f ′(a ) = mt   m PP = T .V .M .[a, a + h], m PP = T .V .M .[a, a + h2 ], m PP = T .V .M .[a, a + h3 ] .... → f ′(a ) 2 3  1

Es decir, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto, mt = f´(a), y mide el crecimiento de la función en ese lugar. Por tanto, la ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA y = f (x) EN EL PUNTO DE ABSCISA x = a es: y = f (a ) + f ′(a ) ⋅ ( x − a )

OBSERVACIÓN Como se puede observar en la figura, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto, es decir, la derivada de una función en un punto, mide el crecimiento de la función en dicho punto.

Si la pendiente de la recta tangente es positiva, f ′(a ) > 0 ⇒ f (x) es creciente en x = a Si la pendiente de la recta tangente es negativa, f ′(a ) < 0 ⇒ f (x) es decreciente en x = a Es decir, el estudio de la derivada de una función nos proporciona su monotonía.

1.3. FUNCIÓN DERIVADA Se define la función derivada de f (x) y se denota por f ′(x) como la función que asocia a cada x ∈ Dom( f ) el valor de su derivada si existe.

f ′( x) = lim h →0

f ( x + h) − f ( x) h

EJEMPLO: Dada la función f ( x) = x 2 − 3 x calcula: a) La derivada de f ( x) en el punto x = 2 , f ′(2) . b) La función derivada de f (x) , f ′(x) . c) La ecuación de la recta tangente a f (x) en x = 1 . d) La ecuación de la recta tangente a f (x) paralela a la recta r : 5 x − y − 6 = 0 .

a)

[

2

[

2

] [

]

f ( 2 + h ) − f ( 2) (2 + h ) − 3 ⋅ (2 + h ) − 2 2 − 3 ⋅ 2 = lim 4 + +4h + h 2 − 6 − 3h + 2 = = lim h →0 h →0 h →0 h h h 2 h +h h ⋅ (h + 1) lim = lim = lim(h + 1) = 1 ⇒ f ′(2) = 1 h →0 h → 0 h→0 h h f ′(2) = lim

b)

] [

]

(x + h ) − 3 ⋅ (x + h ) − x 2 − 3x = lim x 2 + +2 xh + h 2 − 3x − 3h − x 2 + 3 x = f ( x + h) − f ( x) = lim h→0 h →0 h→0 h h h 2 h + 2 xh − 3h h ⋅ (h + 2 x − 3) lim = lim = lim(h + 2 x − 3) = 2 x − 3 ⇒ f ′( x) = 2 x − 3 h →0 h → 0 h→ 0 h h f ′( x) = lim

c) Recta tangente a f ( x) en x = a

Pto → P(a, f (a) )   ⇒ y = f (a) + f ′(a) ⋅ ( x − a) Pendiente → mt = f ′(a) 1) En primer lugar hallamos el punto de tangencia entre recta y función.

P(1, f (1) ) → P(1,−2) 2º) Ahora hallamos la pendiente de la recta tangente y utilizamos para ello la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.

mt = f ′(1)   ⇒ mt = −1 f ′( x) = 2 x − 3 3º) Finalmente (utilizando la ecuación punto-pendiente de una recta) determinamos la ecuación de la recta tangente pedida: Recta tangente a f (x) en x = 1 : t : y = −2 − 1( x − 1) t : y = −x −1 d) Ecuación de la recta tangente a f (x) paralela a la recta r : 5 x − y − 6 = 0 . 1) En primer lugar hallamos la pendiente de la recta tangente y utilizamos para ello el hecho de que si dos rectas son paralelas entonces sus pendientes son iguales

r : 5 x − y − 6 = 0 ⇒ r : y = 5 x − 6 ⇒ mr = 5

  ⇒ mt = 5 Si dos rectas son paralelas tienen la misma pendiente ⇒ mt = mr  2) Ahora determinamos el punto de tangencia y utilizamos para ello la interpretación geométrica de la derivada.

mt = 5

  ⇒ f ′( x) = 5 Interpretación geométrica de la derivada ⇒ mt = f ′( x)

Es decir, el punto de tangencia es aquél en el que la derivada ( f ′( x) = 2 x − 3) vale 5 : f ′( x) = 5 ⇒ 2 x − 3 = 5 ⇒ 2 x = 8 ⇒ x = 4

x=4

 2  ⇒ f (4) = 4 − 3 ⋅ 4 = 16 − 12 = 4 f ( x) = x − 3x  2

Por tanto, el punto de tangencia es P(4, f (4) ) → P(4,4) 3) Finalmente (utilizando la ecuación punto-pendiente de una recta) determinamos la ecuación de la recta tangente pedida:

Pto → P(4,4)   ⇒ t : y = 4 + 5 ⋅ ( x − 4) ⇒ t : y = 5 x − 16 Pendiente → mt = 5

OBSERVACIÓN: El estudio de la derivada de una función nos proporciona su monotonía. f ( x) = x 2 − 3 x → Dom( f ) = ℜ f (x) es continua y derivable en todo su dominio

 f ′( x) = 2 x − 3   f ′( x) = 0 ⇔ 2 x − 3 = 0 ⇔ 2 x = 3 ⇔ x = 1,5

Signo de

f (x)

f ′(x) es

−∞

+∞

1,5

−

+

decreciente

creciente

10

11