DERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar xo El teorema de Lagrange dice que:

f(3) - f(-1) = f ´(xo) [3- (-1)]

donde f´(x) = 2x + 4  f´(xo) = 2xo + 4 f (3) = 32 + 4·3 - 2 = 19 Como f(-1) = 1 - 4 – 2 = - 5 Aplicando el teorema 19 – (-5) = 4·(2 xo + 4)  24 = 4 · (2 xo + 4) ; 6 = 2 xo + 4 ; 2 xo = 2 ;  xo = 1

[-1,3]

Aplicar el teorema del valor medio a la función f(x) en el intervalo indicado, calculando el valor e que predice el teorema. Interpretarlo geométricamente. a) f(x) = senx en [0, /2] b) f(x) = x4 - 3x2 en [0, 2] c) f(x) = cosx en [-/2, /2] d) f(x) = x en [0,4] a) f(x) = sin x es continua en [0, /2] por ser función sinusoidal de un polinomio f ‘(x) = cos x es continua en (0, /2)

f(x) es derivable en (0, /2)

La tag en xo es paralela a la cuerda.

b) f(x) = x4 - 3x2 es continua en [0, 2] por ser función polinómica f ‘(x) = 4x3 - 6x es continua en (0,2)

2 -1

0 -3 -1 -2 2 1

2 -2

-1

x=-1

f(x) es derivable en (0,2)

(0,2)

2x2 - 2x - 1 = 0

0

La m c = = 2 En xo =

; f ‘(xo) = 2

En xo = ; f‘(xo) = 2 Las tangentes en cada xo son paralelas a la curva.

c) f(x) = cos x es continua en [-/2, /2] por ser función sinusoidal de un polinomio f ‘(x) = - sin x es continua en (-/2, /2) =>

f(x) es derivable en (-/2, /2)

En xo = 0, la mt = 0 mc = 0 por ser la recta y = 0 la cuerda entre A y B La tangente es paralela a la recta

 La m c = tg  En xo= 1 mt = 1/2 = f ‘(1) La tg en x = 1 es paralela a la cuerda AB

Aplicar Rolle, hallando el x0 , a la f(x) = x ⅔ en [-1 , 1]

Calcula el valor de a, para la recta tangente a la gráfica de función y = f(x) = - ax 2 +5x - 4 en el punto de abscisa 3 corte al eje X en el punto x = 5. y- yo = mt· (x - xo) mt = y’

(3) = - 6a + 5

Para y = 0 ; x = 5

mt

=-1

y - (- 9a + 11) = (- 6a +5) (x - 3)

 0 + 9a – 11 = (- 6a + 5)·(5 - 3)

9a – 11 = - 12 a + 10 ; yo = 2,

xo = 3  yo = - 9a + 15 – 4 = - 9a +11

21 a = 21; a = 1 Ecuación tangente: y – 2 = - 1· (x - 3)

Calcula y expresa lo más simplificadamente posible la derivada de:

Calcular la derivada en el punto x = 0 de la función f(x) = x · arc tg(x2)

Calcular simplificando todo lo posible el resultado, la derivada de las funciones : a) f(x) = Ln

·(x+

; b) g(x) =

)

(x+

)

0

a)

b)

, por ser una

en el intervalo [-2, b]. Calcular

de grado 1, continuas

1 y 0, continuas

Ǝ xo

x

x

R

R => f(x) derivable en (-2, b)

(-2, 10) / f’ (xo) = 0

a)

 f(x) es continua en [0,2]

b)

  c)

Dada la parábola de ecuación y = x2 - 2x + 5, se considera la recta r que une los puntos de esa parábola, de abscisas x1 = 1 y x2 = 3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola que es paralela a la recta r. Calculemos las ordenadas de los puntos P y Q de la recta r P(1, 1 - 2 + 5) = (1, 4)

Q(3, 9 - 6 + 5) = (3, 8)

Calculemos la ecuación de la recta r, donde su vector es PQ = (2, 4)

su pendiente es

=2

Por otro lado, la pendiente de la recta tangente a la curva, se calcula hallando la derivada de la curva, particularizada para la abscisa del punto. y' = 2x - 2 ==> m = y'(xo) = 2xo - 2 Igualando las dos pendientes 2xo - 2 = 2 ==> 2xo = 4 xo = 2 y la yo = 5 El punto de tangencia será T(2, 5) La ecuación de la recta tangente será: y - 5 = 2 · (x - 2) ===> y = 2x + 1

Dadas las funciones f(x) = x² + π y g (x) = sen x + cos x , calcula la derivada en x = 0 de las funciones f [g(x)] y g[f(x)] . h (x) = f [g(x)] = ( sen x + cos x)² + π h’ (x) = 2 · (sen x + cos x ) · (cos x – sen x) = 2 (cos² x - sen² x) h’ (0) = 2 · (1 – 0) = 2 i (x) = g [f(x)] = sen ( x² + π) + cos (x² + π) i’ (x) = 2x · cos (x² + π) – 2x· sen (x² + π) i’(0) = 0· cos π – 0· sen π = 0

Demostrar que, cualquiera que sea el número real a, la ecuación x + 10x + a = 0, no tiene nunca dos soluciones reales. 5

Supongamos que la ecuación si tiene dos soluciones reales distintas x1, x2 y que x1 < x2 La función f(x) = x5 + 10x + a = 0 es continua y derivable en todo R, por ser una función polinomica. En consecuencia la f(x) es continua en el cerrado [x1,x2] y derivable en el abierto (x1,x2). Como además, la f(x1) = f(x2) = 0 por ser soluciones de la ecuación, si aplicamos el teorema de Rolle a mi f(x), debería existir un punto xo  (x1,x2) que verifique: f '(xo) = 0 y como la f '(x) = 5·x4 + 10 = 0 no tiene soluciones reales, no existirá ningún valor real xo que verifique Rolle. En consecuencia final, la f(x) no puede tener dos soluciones reales, ya que no existe ni máximo ni mínimo  la función será siempre creciente o decreciente.

Demostrar que la ecuación x3 + 6x2 + 15x - 23 = 0 no puede tener mas de una raíz real. Consideremos la función f(x) = x3 + 6x2 + 15x - 23 en la que el dominio de mi función es toda la recta R. Si calculamos f '(x) = 3x2 + 12x + 15 podemos calcular que dicha derivada es siempre positiva, para ello podemos ver que la ecuación f '(x) = 0 no se verifica para ningún valor de x ya que la ecuación 3x2 + 12x + 15 = 0 no tiene soluciones reales. Esto nos indica que f '(x) mantiene siempre el signo constante y además será siempre positiva ya que f '(0) = 15 > 0. Al ser f '(x) > 0 nos dice que la f(x) es siempre creciente para todo valor de R y al pasar de - a + la función se anulara en algún valor de x, pero solo en un punto, con lo que la ecuación inicial tendrá solo una raíz real.

Demostrar que la ecuación x18 - 5x + 3 = 0 no puede tener mas de dos raíces reales. Si consideramos la función f(x) = x18 - 5x + 3 , las raíces de dicha ecuación serán los números x para los que se cumple que f(x) = 0. Si calculamos la derivada de f(x)

f '(x) = 18x17 - 5 ; Hagamos f '(x) = 0 ==>

Al ser una raíz de índice impar, la derivada se anulara para un solo valor de x, con lo que según el Teorema de Rolle, existirá un solo máximo o un solo mínimo y por tanto la función f(x) solo podrá cortar al eje de abscisas en dos puntos, con lo que la ecuación no puede tener mas de dos raíces reales.

Derivar las siguientes funciones

Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal (recta perpendicular a la tangente) en el punto de abscisa 0, a la gráfica de la función dada por: f(x)=2·x·

= 2·(x - 0) => y (x - 0) =>

Determinar el valor de a para que la recta tangente a la gráfica de la función y = f(x) = x4 + ax en el punto x =0 sea perpendicular a la recta y +x = 3. mt = y’(0)

La recta

y = - x – 3 tiene de pendiente mn = - 1

y’ = 3x2 + a

mt = (y’(0)) = a

Al ser perpendiculares mt ∙ mn = - 1

a·(-1) = - 1

 a=1

Determinar un punto sobre la parábola y = x2 comprendido entre los puntos A(1,1) , B(3,9) en el que la tangente a la parábola sea paralela a la recta AB. Si aplicamos Lagrange a los extremos a = 1 y b = 3 en donde la f(b) = 9 y la f(a) = 1

Como

9 - 1 = (3 - 1) · f '(xo)

Como la f '(x) = 2x

8 = 4 · xo ==> xo = 2

f(b) - f(a) = (b - a) · f '(xo)

y la yo = 4

El punto será (2, 4)

Discutir si la ecuación cos x = 2 – x posee alguna solución real positiva. ¿Puedo asegura que hay una sola solución? Creamos una f(x) = cos x – 2 + x para comprobar la hipótesis de Bolzano en [0, b].    f(x) es continua xR Signo f(0) = cos 0 - 2 + 0 = 1 - 2 = - 1 0 Signo f(/2) = cos /2 – 2 + /2  0 Signo f() = cos  – 2 +  = - 3 +   0 en  0,   o mejor en  /2,   => Signo f (/2)  Signo f() Existe al menos un x0  (/2,  )  f(x0) = 0   Existe al menos una solución real positiva en (/2, ) Como falla la 3ª hipótesis de Rolle f(/2)  f() No puedo asegurar la existencia de máximo o mínimo  f(x) es siempre creciente o decreciente y eso implica que en (/2, ) hay un solo valor en el que f(x0) = 0

En la ecuación de la recta y = mx + b, explicar como se determinarían los números m y b para que sea tangente a la gráfica de la función y - f(x) en el punto de esta de abscisa p. Por ser m la pendiente de la recta ==> m = f '(p) La ecuación de la recta que pasa por (p, f(p)) y tiene por pendiente f '(p) será: y - f(p) = f '(p) · (x - p) y despejando la y queda: y = f '(p) · x – f '(p) · p + f(p) Identificando con la ecuación de la recta podemos sacar que b = - f '(p).p + f(p)

En el segmento de parábola comprendido entre los puntos A(1, 1) y B(3, 0), hallar un punto cuya tangente sea paralela a la cuerda. Aplicando la interpretación geométrica de Lagrange. Si f(x) = ax² + bx + c

por pasar por A y B

Además f´(x0) = m ; Si la recta AB es de la forma

y - 0 = m ·(x - 3)

¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = │x – 1│ en el intervalo [0,2]?

No es derivable por no ser f ´(x) continua en x = 1

 Para que f(x) sea continua es necesario que los limites laterales coincidan y que f(x) este definida en [-    al menos un punto del cerrado.

Estudiar si se cumplen las hipótesis de Rolle para la función f (x)= x³ - 9x en [-3,3] y si es cierto, comprobar la existencia de al menos una raíz real de f´(x) = 0 en el intervalo considerado. a) f (x) es continua por ser un polinomio de grado 3 b) f´ (x) = 3x² - 9. Por ser f´(x) un polinomio de grado 2, f´(x) escontinua  f(x) es derivable en (-3,3)

Verifica Rolle 

xo f´(xo) = 0 ; 3xo² - 9 = 0 ;

Explicar en que consiste la regla de la cadena para derivar una función compuesta. Como aplicación, derivar la función f(x) = arc sen 2x · (1 - x2)1/2 La regla de la cadena se utiliza para hallar la derivada de funciones compuestas. Si f(x) = g(h(x)) entonces f '(x) = g'( h(x) ) · h'(x) En nuestro caso h(x) = 2x · (1 - x2)1/2 con lo que

Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de la función g(x) = | en el punto de abscisa x = 2

=>

Halla las ecuaciones de la recta tangente y normal a las siguientes curvas en los puntos que se indican. en

(x - 4) => en

;

= 45º=

Hallar la derivadas de las funciones : a) y = xsin x y = xsin x ; Ln y = Ln xsin x = sin x · Ln x ; y´/ y = cos x · Ln x + sin x · 1/x ; y´= (cos x · Lnx + sen x / x ) · xsenx b) y = (senx)x y =( senx)x ; Lny = Ln (senx)x = x · Lnsenx ; y´ / y = Ln(senx) + x · (cos x / sen x) ; y´ = [ Ln(senx) + x · cotgx) ] (sen x ) x c) y = 2senx y = 2 senx ; y´ = cos x · 2 senx · log 2 d) y = sen3x y = sen3x ; y´= 3 sen2x · (senx)´ = 3 sen2x · cos x

Hallar la función derivada de y = (1 - cos x ) . cotg x Si llamo u(x) = 1 - cos x y v(x) = cotg x

y' = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x)

Hallar la derivada primera, segunda, tercera, cuarta ... Escribir la expresión simplificada de la derivada de orden 18 de esa función.

La ecuación ex = 1 + x tiene evidentemente la raíz x = 0. Probar que no tiene más raíces reales. El que tenga la raíz x = 0 se comprueba ya que e0 = 1 + 0 Ahora bien, si estudiamos la función y = ex - x - 1 podemos calcular sus máximos o mínimos. y' = ex - 1 ==> y' = 0 ==> ex - 1 = 0 ==> ex = 1 ==> Ln ex = Ln 1 ==> x = 0 es posible máximo o mínimo. y'' = ex ==> y''(0) = e0 > 0 ==> Mínimo en (0,0) Al no existir ningún otro máximo ni mínimo en mi función, esto quiere significar que la función será siempre decreciente hasta llegar al x = 0, y que después del x = 0 será siempre creciente. Por ello puedo asegurar que mi función no volverá a anularse para ningún otro valor de x, o lo que es lo mismo, que la ecuación ex = 1 + x no se verificara para otro valor que no sea el cero ya observado.

Al estar el radicando elevado al cuadrado, este sera siempre > 0 y f(x) sera continua en toda la R.

f(x)

verifica Rolle : No podemos asegurar que exista x0 (0, 4) / f´(x0) = 0



f(x) es continua en x = 0

f(x) no es derivable en x = 0 b) No existe contradicción ya que al no ser derivable en x = 0 perteneciente (-1,1) no se verifica Rolle a pesar de que f (-1) = f(1) = ½ pero Rolle no niega que exista un x0

(-1,1) / f´(x0) = 0 sino que no lo puede asegurar, aunque en este caso si que

existe x0 = 0 tal que f´(0) = 0

Sea una función f (x) tal que f (x) y f´(x) son continuas en todo R. Demostrar si f(y además la única raíz real de f´(x) es, esto implica que la única raíz real de f(x) = 0 es   Para demostrarlo supongamos que existe R /   Si supongo que f( ) = 0  f´() = 0 esto nos indica que si existe un valor  que hace su derivada 0. Esto nos implica que exista una raíz real para f´(x), que sería  en contra del enunciado que nos dice que la única raíz real de f´es  

El teorema de Rolle dice que si f(x) es continua en [a,b] y derivable en (a,b), además de que f(a) = f(b) => x0 / f ‘(x) = 0. Aquí me dicen que la f(x) tiene como derivada f ‘(x) = sen x²; si ésta f ‘(x) es continua en R lo será en el Como la función sin x² es continua siempre que lo sea x² y ésta es una función polinómica continua en R luego f ’(x) = sin x² es continua en y por tanto es derivable en . Si f(x) es derivable, antes ha tenido que ser continua en . Rolle me dice que además f(0) = f y como f(0) = 0 f = 0 para que se verifique el teorema.

Se considera la parábola y = 2x2. Determinar un punto de la misma en el que la tangente a la parábola sea paralela a la recta que pasa por los puntos de la parábola A(1,2) y B(2,8) Se aplica la formula de Lagrange f(b) – f (a) = (b – a) · f ´(xo);  f ´(x) = 4x 

a) Determinar m y n para que se cumplan las hipótesis del teorema del

valor medio en el intervalo [-4,2]. b) Hallar los puntos del intervalo cuya existencia garantiza el teorema. PAU Junio 1999 a) Para que se verifique Lagrange, la f(x) debe ser continua y derivable en [-4,2] Obliguemos a que sea continua en [-4,- 2), (- 2,2] y en x = - 2 En los intervalos será continua m,n por ser f. polinómicas.

. Calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x=3 , y para ello, calcularemos la pendiente de la recta.

x + 9y - 6 = 0 Calculemos los puntos de corte de la tangente con los ejes

Si el termino independiente de un polinomio en x es igual a 3 y el valor que toma ese polinomio para x = 2 es 3, probar que su derivada se anula para algún valor de x; razonar que ese valor pertenece a un cierto intervalo que se especificara. Llamemos P(x) = an ·xn + an-1 · xn-1 + ... + a1 ·x + 3 P(0) = an · 0 + an-1 · 0 + ... + a1 · 0 + 3 = 3 Además nos dicen que P(2) = 3, por tanto P(0) = P(2) = 3. Como P(x) es función continua y derivable en toda la recta real podremos aplicar el Teorema de Rolle, con lo que existe un valor x = a en el intervalo (0,2) tal que P'(a) = 0

Si f(x) = 2 + x3·(x - 2)2 probar que la ecuación f´(x) = 0 posee al menos una raíz en (0, 2) sin calcular su derivada. Para que xo sea raiz es necesario que f´(x0) = 0 Se aplica Rolle, por ser f(x) continua en [0,2] y derivable en (0,2) y además f(0) = 2 + 03· (0 – 2)2 = 2 ; f(0) = f(2) f(2) = 2 + 23·(2 – 2)2 = 2 al verificarlo

x0

R / f´(x0) = 0

Por Lagrange f(2) - f(0) = f´(x0) ·[2 – 0] 2 – 2 = f´(x0) · 2 ;

0 = f´(x0) · 2;

f´(x0) = 0

Si la derivada de una función f es positiva para todos los valores de la variable. ¿Puede haber dos números distintos a, b, tales que f(a) = f(b)?. Razonarlo. Si fuera f(a) = f(b) para dos números distintos a y b, puesto que f es derivable, también es continua y podría aplicarse el teorema de Rolle. Habría entonces un numero c entre a y b, tal que f '(c) = 0, lo cual es imposible ya que f '(x) > 0 para todo numero x, según dice el enunciado. Luego no puede haber dos números distintos a, b, tales que f(a) = f(b).

Para buscar el punto de corte de la tangente con el eje OX resolveremos el sistema:

luego la tangente corta al eje en Q (2x, 0) Para ver que los triángulos formados son isósceles solo será necesario demostrar que: d(OP) = d(PQ)