Univ. de Alcal´ a de Henares C´ alculo. Segundo parcial.

Ingenier´ıa de Telecomunicaci´ on Curso 2004-2005

Derivadas parciales segundas. Polinomios de Taylor. 1.

Derivadas parciales segundas

En la primera parte del curso hemos visto que, para estudiar la curvatura (concavidad) de la gr´afica de una funci´on f , es necesario emplear la derivada segunda o derivadas de orden superior de f . Ese estudio de las derivadas superiores nos ha llevado a introducir los polinomios (y series) de Taylor. A su vez, esto permite entre otras cosas desarrollar criterios de existencia de extremos (m´aximos y m´ınimos). En este cap´ıtulo veremos como esas ideas se generalizan a funciones de varias variables, dejando para el siguiente el problema de los extremos. Vamos a empezar por definir las derivadas de orden superior de estas funciones. Las definiciones son las naturales. Empecemos con un ejemplo. Ejemplo 1. Sea f : R2 → R dada por f (x, y) = x6 + 5xy + 8y 4 Entonces f es derivable en todo R2 . Podemos representar sus dos derivadas parciales en un esquema como este: ∂f

= 6x5 + 5y fff2 ∂x f f f f ff ∂ ∂x

f (x, y) = x6 + 5xy + 8y 4 ∂

XXXXX∂y XXXX+ ∂f

∂y

= 5x + 32y 3

Las dos derivadas parciales son polinomios, y por tanto derivables en todo el plano.Es decir, que podemos calcular de nuevo las derivadas parciales de cada una de ellas, como en este esquema: µ ¶ ∂ ∂f 4 30x = ∂ ∂x ∂x ∂xhh3 hhhh

∂

∂f = 6x5 + 5y ∂ VVVV∂y ∂x 6 VVVV m + mmm

∂x mm mmm m m mmm mmm

∂ 5= ∂y

f (x, y) = x6 + 5xy + 8y 4

QQQ QQQ ∂ QQQ ∂y QQQ QQQ QQ(

∂ 5= ∂ ∂x ∂x hhh4

µ

µ

hhhh

∂f = 5x + 32y 3 ∂ ∂y VVVV∂yV V* 96y 2

1

∂ = ∂y

∂f ∂x ∂f ∂y

µ

¶

¶

∂f ∂y

¶

Ejemplos como ´este nos llevan a definir: Definici´ on 2 (Derivadas parciales segundas).  Si la funci´ on f : R2 → R dada por z = f (x, y) es derivable en todos los puntos de una bola  B(¯  p, r) centrada en el punto p¯ = (x0 , y0 ), entonces tiene sentido hablar de las funciones derivadas  parciales   ∂f ∂f  ,  ∂x ∂y    ya que se pueden calcular en todos los puntos de esa bola. Si estas derivadas parciales son a su   vez funciones derivables en el punto p¯, entonces las derivadas parciales de esas funciones son   las derivadas parciales segundas de f en p. Hay cuatro de estas derivadas segundas, que se   representan con esta notaci´ on:   µ ¶ µ ¶  2  ∂ f ∂ ∂f ∂2f ∂ ∂f    =    ∂x2 = ∂x ∂x ,  ∂y∂x ∂y ∂x   µ ¶ µ ¶    ∂2f ∂ ∂f ∂2f ∂ ∂f   = , = ∂x∂y ∂x ∂y ∂y 2 ∂y ∂y Observaci´ on. Estas definiciones, y la notaci´on, se extienden de forma evidente a funciones vectoriales, es decir a f : Rn → Rm . Si tenemos y¯ = f (¯ x), con x ¯ = (x1 , . . . , xn ), y¯ = (y1 , . . . , ym ) y f = (f1 , . . . , fm ), entonces cada una de sus derivadas parciales segundas se obtiene, a partir por ∂fi , derivando parcialmente con respecto a una variable xk . La notaci´on habitual ejemplo de ∂xj es entonces: ∂ 2 fi si es k 6= j ∂xk ∂xj y ∂ 2 fi si es k = j ∂x2j Otra notaci´on com´ un (y a veces muy conveniente) es: ∂ 2 fi 2 = Djk fi ∂xj ∂xk Otras derivadas de orden superior. Por supuesto, si las derivadas segundas resultan derivables podemos repetir la definici´on anterior y obtener unas derivadas parciales terceras, etc. En general hablaremos de la derivada parcial r-´esima (o de orden r) de f con respecto a xj1 xj2 . . . xjr para indicar las variables con respecto a las que derivamos, y el orden en que lo hacemos. Las notaciones m´as comunes son ´estas: ∂rf = Djr1 ...jr f ∂xj1 . . . ∂xjr Funciones C k y C ∞ . Una funci´on f : Rn → Rm cuyas derivadas parciales (primeras) existen y son continuas en todos los puntos de un abierto U se dice que f es de clase C 1 en U , o que f ∈ C 1 (U ) (a veces se dice que f es de clase 1, simplemente). De la misma forma, si todas las 2

derivadas de orden menor o igual que k son continuas en todos los puntos de U , diremos que f es de clase C k en U , o que f ∈ C k (U ). Si f tiene derivadas parciales continuas de todos los ´ordenes (para todo k) en todos los puntos de U diremos que f es de clase C ∞ en U , o que f ∈ C ∞ (U ). Estas funciones se llaman a menudo funciones suaves . Cuando decimos que f es de clase C k en el punto p, significa que existe una bola centrada en p en la que f es de clase C k . 1 Ejemplo 3. Recordemos que la funci´ on f (x) = xk sen , que hemos visto en la primera parte x del curso, es de clase C k−1 pero no es C k .

1.1.

Igualdad de las derivadas parciales cruzadas: Lema de Schwarz

En el ejemplo 1 (p´agina 1) hemos calculado las derivadas parciales segundas de una funci´on f (x, y) y hemos visto que se obten´ıa: ∂2f ∂2f = ∂x∂y ∂y∂x Este resultado no es una casualidad, ni una particularidad de ese ejemplo, sino la manifestaci´on de un resultado general. Para entender este resultado es bueno pensar en el caso dimensional. Cuando calculamos µ ¶ ∂ ∂f ∂2f = ∂x∂y ∂x ∂y en un punto (x0 , y0 ) tenemos que estudiar el cociente: ∂f ∂y (x, y0 )

−

∂f ∂y (x0 , y0 )

x − x0 cuando x est´a muy cerca de x0 . Lo m´as razonable es aproximar cada una de las derivadas parciales con respecto a y mediante un cociente como ´este: f (x,y)−f (x,y0 ) y−y0

−

f (x0 ,y)−f (x0 ,y0 ) y−y0

x − x0

=

f (x, y) − f (x, y0 ) − f (x0 , y) + f (x0 , y0 ) (x − x0 )(y − y0 )

∂2f y hace aproximaciones similares ∂x∂y llegar´a a un resultado semejante. Sin embargo, para justificar que estas aproximaciones pasan bien al l´ımite es necesario suponer que las derivadas parciales que intervienen son continuas. En definitiva, se tiene este resultado: Dejamos para el lector comprobar que si empieza con

Teorema 4 (Lema de Schwarz).  Si f : U ⊂ Rn → R es una funci´ on escalar de clase C 2 en un conjunto abierto U entonces, para  todo punto p ∈ U se tiene:    ∂2f ∂2f  (p) = (p) ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi 3

∂2f ∂2f y se llaman derivadas parciales cruzadas, y el lema de Scwharz ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi asegura la igualdad de las derivadas parciales cruzadas. De hecho, para que se cumpla la igualdad de las derivadas parciales cruzadas es suficiente con que las derivadas segundas existan en todos los puntos de una bola B(p, r) y que al menos una de ellas sea continua en p. Hemos enunciado as´ı el lema de Shwarz porque a menudo lo m´as sencillo es comprobar que f es de clase C 2 . Pero es importante comprender que no se puede prescindir completamente de la continuidad de las parciales, como muestra este ejemplo. Las derivadas

Ejemplo 5. Sea f : R2 → R dada por:  x2 − y 2  xy 2 f (x, y) = x + y2  0

(x, y) 6= (0, 0) (x, y) = (0, 0)

Sugerimos al lector que compruebe que:  ∂f   (0, y) = −y   ∂x   ∂f   (x, 0) = x ∂y sean cuales sean x e y. (El c´ alculo en (0, 0) de ambas derivadas parciales debe hacerse directamente como un l´ımite.) Por lo tanto es: ∂2f (0, 0) = l´ım x→0 ∂x∂y

∂f ∂y (x, 0)

−

∂f ∂y (0, 0)

x−0

−x = −1 x→0 x

= l´ım

Por un razonamiento similar se llega a ∂2f (0, 0) = 1 ∂y∂x Es decir, que:

∂2f ∂2f (0, 0) 6= (0, 0) ∂x∂y ∂y∂x

∂2f en un punto gen´erico (x, y) 6= (0, 0) (en ese punto, ∂x∂y por supuesto, el orden de derivaci´ on es indiferente) y a continuaci´ on estudie la continuidad en el origen de la funci´ on obtenida (por ejemplo mediante las rectas que pasan por el origen). Es muy conveniente que el lector calcule

1.1.1.

Derivadas cruzadas de orden superior

Por supuesto, si f es de clase C k , entonces da igual el orden de derivaci´ on en las parciales de cualquier orden hasta k, siempre que derivemos el mismo n´ umero de veces con respecto a cada variable. Es decir, que si (i1 , . . . , ik ) es una lista de k n´ umeros del 1 al n, y (j1 , . . . , jk ) es otra ordenaci´on (permutaci´on) de la lista (i1 , . . . , ik ), se tiene: ∂kf ∂kf = ∂xj1 · · · ∂xjk ∂xi1 · · · ∂xik en cualquier punto p de U . 4

2.

Polinomios de Taylor.

2.1.

El caso de las funciones de dos variables

La idea que queremos desarrollar es una generalizaci´on natural de lo que hemos hecho en el caso de las funciones de una variable. En esta secci´on, para hacer gradualmente ese proceso de generalizaci´on, empezamos por considerar el caso de una funci´on de dos variables, pongamos z = f (x, y), que queremos aproximar cerca de un punto p = (x0 , y0 ) mediante polinomios. 2.1.1.

Polinomios de primer y segundo orden

Por lo que hemos aprendido, sabemos que la estrategia para obtener aproximaciones m´as y m´as precisas consiste en considerar polinomios de grado cada vez m´as alto. El polinomio de grado uno de una funci´on z = f (x, y) es, obviamente, el polinomio que define a su plano tangente. De manera que, si llamamos T1,p f (x, y) a ese polinomio de grado 1 en el punto p, se tiene: µ ¶ µ ¶ ∂f ∂f T1,p f (x, y) = f (x0 , y0 ) + · (x − x0 ) + · (y − y0 ) ∂x p ∂y p Como hemos se˜ nalado, un plano es un objeto lineal, que no puede detectar fen´omenos como la curvatura. Si queremos obtener una aproximaci´ on m´as precisa y con m´as informaci´on, debemos considerar un polinomio de grado superior. Si la funci´on f es suficientemente regular en p (por ejemplo si es de clase C 2 o m´as en una bola centrada en p), la expresi´on que se obtiene para el polinomio de Taylor de grado dos en p es la que reflejamos en la siguiente definici´on: Definici´ on 6 (Polinomio de Taylor de grado dos).  Si z = f (x, y) es de clase C 2 en el punto p, entonces su polinomio de Taylor de grado dos en  ese punto es   µ ¶ µ ¶  ∂f ∂f   T2,p f (x, y) = f (x0 , y0 ) + · (x − x0 ) + · (y − y0 )+  ∂x p ∂y p  "µ #  µ 2 ¶ ¶ µ 2 ¶  2f ∂ ∂ f 1 ∂ f  · (x − x0 ) · (y − y0 ) + + · (x − x0 )2 + 2 · (y − y0 )2 2! ∂x2 p ∂y∂x p ∂y 2 p En la segunda l´ınea de esta f´ormula aparecen los t´erminos de grado dos, que involucran a las derivadas segundas de f en p. Como puede verse, los t´erminos de grado menor coinciden con los del polinomio de Taylor de orden uno. Esta es una propiedad general de los polinomios de Taylor, y que ya conocemos en el caso de funciones de una variable: al aumentar el grado del polinomio se a˜ naden nuevos t´erminos a los ya conocidos. El siguiente teorema nos confirma que este polinomio es la aproximaci´ on que busc´abamos. Recordemos de la primera parte del curso que, para usar el polinomio de Taylor de grado dos, hemos pedido que la funci´on sea derivable tres veces. Teorema 7.  Supongamos que existe una bola B(p, r), centrada en p = (x0 , y0 ), en la que f es de clase C 3 .  Entonces, si (x, y) es cualquier punto de esa bola, se tiene    o (k(x − x0 , y − y0 )k) f (x, y) = T2,p f (x, y) + o (k(x − x0 , y − y0 )k) , donde l´ım =0 (x,y)→p k(x − x0 , y − y0 )k2 5

Es decir, que el error que se comete al usar T2,p f (x, y) como aproximaci´ on al valor f (x, y) es muy peque˜ no: es peque˜ no comparado con el cuadrado de la distancia de (x, y) a p. Adem´as, al igual que en el caso de una variable, el polinomio de Taylor T2,p f (x, y) es el u ´nico polinomio de grado dos con esta propiedad. Veamos un ejemplo: Ejemplo 8. Dada la funci´ on z = f (x, y) = sen(xy) su polinomio de Taylor en el punto p = (π/2, 1) se calcula teniendo en cuenta estos valores: f (p) = sen(π/2) = 1 ∂f ∂f = y cos(xy) ⇒ = 0, ∂x ∂x p µ 2 ¶ µ 2 ¶ ∂ f ∂ f 2 = −y sen(xy) ⇒ = −1 2 ∂x p ∂x2 p µ 2 ¶ µ 2 ¶ ∂ f ∂ f = = cos(xy) − xy sen(xy) ∂y∂x ∂x∂y

∂f ∂f = x cos(xy) ⇒ =0 ∂y ∂x p µ 2 ¶ µ 2 ¶ ∂ f ∂ f 2 = −x sen(xy) ⇒ = −1 2 ∂y p ∂y 2 p µ 2 ¶ µ 2 ¶ ∂ f ∂ f ⇒ = = −π/2 ∂y∂x p ∂x∂y p

Por lo tanto el polinomio que buscamos es: T2,p f (x, y) = 1 + 0 · (x − π/2) + 0 · (y − 1)+

2.1.2.

+

¤ 1 £ (−1) · (x − π/2)2 + 2 · (−π/2) · (x − π/2) · (y − 1) + (−1) · (y − 1)2 2!

=

1 1 2 3 1 1 1 − x + xπ − π 2 − π xy + π 2 y − y 2 + y 2 2 8 2 4 2

Formas cuadr´ aticas

En el pr´oximo cap´ıtulo trataremos sobre los extremos locales de una funci´on de dos variables z = f (x, y). La herramienta b´asica para hacerlo es el polinomio de Taylor que acabamos de describir. Y, como en el caso de una variable, para poder decidir si un cierto punto es un m´aximo, un m´ınimo o ninguna de ambas cosas, tendremos que analizar los t´erminos de orden dos (las derivadas segundas) de ese polinomio. Por esa raz´on nos vamos a detener ahora a analizar con algo de detenimiento esos t´erminos de orden dos, para expresarlos de una forma m´as conveniente. ´ La expresi´on que necesitamos se aprende en un curso de Algebra Lineal, al estudiar las formas cuadr´ aticas. Dada una matriz cuadrada A = (aij ), de orden n, y un vector x ¯ = (x1 , . . . , xn ) de n R , podemos combinarlos de esta forma    a11 a12 · · · a1n x1   ¡ ¢  a21 a22 · · · a2n   x2  q(¯ x) = x1 x2 · · · xn     . ..    ..  . an1 an2 · · ·

ann

xn

Es decir, interpretamos el vector x ¯ a la izquierda como una matriz fila (1, n) y a la derecha como una matriz columna (n, 1). Y multiplicamos las tres matrices que aparecen aqu´ı; el resultado es una matriz (1, 1), es decir, un n´ umero. 6

Ejemplo 9. Si usamos x ¯ = (x1 , x2 ) es un vector cualquiera de R2 , entonces la forma cuadr´ atica asociada a la matriz µ ¶ 1 3 A= 5 −1 se obtiene calculando: ¡

=

¡

x1 x2

¢

µ

¢

µ

1 3 5 −1

¶

= q(x1 , x2 ) = x1 x2 ¶ x1 + 3x2 = x21 + 3x1 x2 + 5x2 x1 − x22 = x21 + 8x1 x2 − x22 5x1 − x2

Como puede verse, el resultado es un polinomio de grado dos en las coordenadas (x1 , x2 ). Adem´ as, todos los t´erminos del polinomio son de grado dos, no hay t´erminos de grado uno o cero (el polinomio es homog´eneo). Rec´ıprocamente, dado cualquier otro polinomio homog´eneo de grado dos en (x1 , x2 ) (sin t´erminos de grado uno o cero), como, por ejemplo, q˜(x1 , x2 ) = 2x21 + 8x1 x2 + 6x22 podemos encontrar una matriz A que permite expresar q˜(x1 , x2 ) como la forma cuadr´ atica asociada a esa matriz. Por ejemplo, poniendo q˜(x1 , x2 ) = 2x21 + 8x1 x2 + 6x22 = 2x21 + 5x1 x2 + 3x2 x1 + 6x22 se observa que podemos usar la matriz µ A=

2 5 3 6

¶

Y si escribimos el mismo polinomio q˜(x1 , x2 ) de esta otra forma q˜(x1 , x2 ) = 2x21 + 8x1 x2 + 6x22 = 2x21 + 10x1 x2 − 2x2 x1 + 6x22 vemos que podemos usar tambi´en esta otra matriz µ ¶ 2 10 A= −2 6 Como se ve, hay una cierta arbitrariedad en la elecci´ on de la matriz, asociada a los t´erminos cruzados x1 x2 . Podemos eliminar esa arbitrariedad pidiendo que la matriz A sea sim´etrica. En ese caso, s´ olo hay una matriz posible: ¶ µ ¶µ ¡ ¢ 2 4 x1 q˜(x1 , x2 ) = 2x21 + 8x1 x2 + 6x22 = 2x21 + 4x1 x2 + 4x2 x1 + 6x22 = x1 x2 x2 4 6

7

Resumimos las anteriores observaciones en una definici´on: Definici´ on 10 (Forma cuadr´ atica).  Dada una matriz cuadrada de orden n A = (aij ) y sim´etrica (es decir, con aij = aji ), la  forma cuadr´ atica asociada a la matriz A es la aplicaci´ on q : Rn → R definida mediante:       a11 a12 · · · a1n x1     ¡ ¢   a21 a22 · · · a2n   x2   x x · · · x ¯·A·x ¯T q(x , . . . , x ) =    =x . 1 2 n 1 n .  ..    ..    xn an1 an2 · · · ann     donde el vector x ¯ se interpreta como una matriz fila (1, n), y x ¯T es su matriz traspuesta (una matriz columna).

2.1.3.

Matriz Hessiana

Ahora que disponemos de este lenguaje de formas cuadr´aticas, podemos volver a los polinomios de Taylor. Si nos fijamos en los t´erminos de grado dos del polinomio de Taylor, que son "µ # µ 2 ¶ ¶ µ 2 ¶ ∂2f ∂ f 1 ∂ f · (x − x0 ) · (y − y0 ) + · (x − x0 )2 + 2 · (y − y0 )2 2! ∂x2 p ∂y∂x p ∂y 2 p observaremos que estos t´erminos son homog´eneos en x − x0 e y − y0 . Por lo tanto, podemos usar la notaci´on matricial para representarlos como una forma cuadr´atica:   2 ∂ f ∂2f ¶ µ 2 ∂y∂x  ¢ 1 ¡ x − x0   ∂x x − x0 y − y0   y − y0 2!  ∂2f ∂2f  ∂x∂y ∂y 2 p La matriz que aparece en esta expresi´on se merece un nombre: Definici´ on 11 (Matriz Hessiana).  Si f es dos veces derivable en el punto p = (x0 , y0 ), entonces su matriz hessiana en p es la  matriz 2 × 2:  2   ∂ f ∂2f    ∂x2  ∂y∂x     Hf (p) =    2 2    ∂ f ∂ f   ∂x∂y ∂y 2 p    Obs´ervese que si f es de clase C 2 en p entonces la matriz hessiana es sim´etrica (Lema de Schwarz). Como veremos en el pr´oximo cap´ıtulo, el an´alisis de la forma cuadr´atica que define el hessiano es esencial para caracterizar los extremos locales de una funci´on de varias variables. 8

2.1.4.

Polinomios de orden m´ as alto

Naturalmente, si en el punto p la funci´on f es de una clase C k con k > 3, podemos seguir buscando aproximaciones polin´omicas de grado superior. Por ejemplo, el polinomio de grado tres se obtiene sumando al de grado dos estos t´erminos de grado tres: "µ ¶ µ 3 ¶ 1 ∂3f ∂ f 3 t3,p (f )(x) = · (x − x0 ) + 3 · (x − x0 )2 · (y − y0 )+ 3 3! ∂x p ∂x2 ∂y p # µ 3 ¶ µ 3 ¶ ∂ f ∂ f 3 · (x − x0 ) · (y − y0 )2 + · (y − y0 )3 ∂x∂y 2 p ∂y 3 p De manera que, como dec´ıamos el polinomio de Taylor de grado tres es T3,p (f )(x) = T2,p (f )(x) + t3,p (f )(x) ¿Cu´al es la justificaci´on del coeficiente 3 que acompa˜ na a la derivada este t´ermino proviene de tres derivadas parciales cruzadas iguales: ∂3f , ∂x∂x∂y

∂3f , ∂x∂y∂x

∂3f ∂y∂x∂x

De la misma forma el coeficiente 3 que acompa˜ na a la derivada tres derivadas parciales cruzadas iguales: ∂3f , ∂x∂x∂y

∂3f , ∂x∂y∂x

∂3f ? La raz´on es que ∂x2 ∂y

∂3f proviene de estas otras ∂x∂y 2

∂3f ∂y∂x∂x

N´ umero de derivadas parciales cruzadas coincidentes. En general, el polinomio de Taylor de grado k es de la forma: Tk,p (f )(x) = t0,p (f )(x) + t1,p (f )(x) + t2,p (f )(x) + · · · + tk,p (f )(x) = Tk−1,p (f )(x) + tk,p (f )(x) donde tk,p (f )(x) son los t´erminos de orden k de este polinomio. Para poder escribirlos necesitamos averiguar cu´antas derivadas cruzadas de orden k coinciden, como hemos hecho en el caso k = 3. Ejemplo 12. Este problema es puramente combinatorio. Una derivada parcial tal como ∂7f ∂x5 ∂y 2 se obtiene derivando f siete veces, cinco de ellas con respecto a x y dos con respecto a y. Un posible orden de derivaci´ on es ´este: µ µ µ µ µ µ µ ¶¶¶¶¶¶¶ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂f ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x

9

Pero si f es de clase C 7 , se puede intercambiar las posiciones de las x y las y, sin que cambie el resultado. Es decir, que en general tenemos µ µ µ µ µ µ µ ¶¶¶¶¶¶¶ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂f ∂?? ∂?? ∂?? ∂?? ∂?? ∂?? ∂?? y tenemos a nuestra interrogaciones. ¿De se trata simplemente resto con x. Se trata

disposici´ on cinco letras x y dos letras y para colocarlas en lugar de las cu´ antas formas distintas podemos hacerlo? Es f´ acil darse cuenta de que de decidir en qu´e dos posiciones colocamos las dos y, y luego rellenar el de elegir las dos posiciones de las y entre siete posibles; en combinatoria ¡¢ 7! se aprende que la respuesta es 72 = = 21. Es decir, que hay 21 ´ ordenes distintos 2!((7 − 2)!) de derivaci´ on que producen el mismo valor de la derivada parcial. Generalizando el ejemplo anterior es f´acil ver que, dada una derivada parcial de orden k, de la forma ∂kf ∂xi ∂y j (donde, naturalmente, se debe cumplir i + j = k), se pueden encontrar µ ¶ µ ¶ k k k! = = i j i!j! derivadas cruzadas iguales. Con estos resultados, es f´acil entender que los t´erminos de grado k del polinomio de Taylor son (aqu´ı se usa que j = k − i): ¶ k µ ¶µ ∂kf 1 X k tk,p (f )(x) = (x − x0 )i (y − y0 )k−i k! i ∂xi ∂y k−i p i=0

Y por tanto el polinomio de grado k completo es: à ! ¶ k s µ ¶µ X 1X s ∂sf Tk,p (f )(x) = (x − x0 )i (y − y0 )s−i s! i ∂xi ∂y s−i p s=0

i=0

(por convenio, la derivada de orden 0 de f es la propia f ). Teorema de Taylor en orden k evidente:

La generalizaci´on del teorema (7), de la p´agina 5, es ahora

Teorema 13.  Supongamos que existe una bola B(p, r), centrada en p = (x0 , y0 ), en la que f es de clase C k+1 .  Entonces, si (x, y) es cualquier punto de esa bola, se tiene     o (k(x − x0 , y − y0 )k) f (x, y) = Tk,p f (x, y) + o (k(x − x0 , y − y0 )k) , donde l´ım =0 (x,y)→p k(x − x0 , y − y0 )kk

10

2.2.

Polinomios de Taylor en general

La extensi´on de todas estas ideas a funciones de n variables es una mera cuesti´on de notaci´on y formalismo. Vamos a describir el polinomio de orden k de una funci´on de n variables, pongamos z = f (x1 , . . . , xn ). Para escribir este polinomio necesitamos referirnos a todas las derivadas parciales de un cierto orden s de f . Cada una de estas derivadas es de la forma: ∂sf ∂xi11 ∂xi22 · · · ∂xinn donde i1 , i2 , . . . , in son n´ umeros naturales que cumplen i1 + · · · + in = s. Es necesario hacer de nuevo un an´alisis combinatorio para establecer cu´antas derivadas cruzadas iguales hay. El resultado es que el s´ımbolo anterior representa a: µ ¶ k k! = i1 !i2 ! · · · in ! i1 , i2 , . . . , in La definici´on del polinomio de Taylor y el correspondiente teorema quedan as´ı: Definici´ on 14 (Polinomio de Taylor general).  Si z = f (x1 , . . . , xn ) es de clase C k en el punto p = (a1 . . . , an ), entonces su polinomio de Taylor  de grado k en ese punto es     !  µ ¶Ã s k  s X X k ∂ f  T (f )(x) = 1 (x1 − a1 )i · · · (xn − an )s−i  k,p i1 i2 in s! i1 , i2 , . . . , in ∂x1 ∂x2 · · · ∂xn p s=0 i1 +···+in =s Teorema 15.  Supongamos que existe una bola B(p, r), centrada en p = (a1 , . . . , an ), en la que f es de clase  C k+1 . Entonces, si x = (x1 , . . . , xn ) es cualquier punto de esa bola, se tiene    o (k(x1 − a1 , . . . , xn − an )k) f (x) = Tk,p f (x) + o (k(x1 − a1 , . . . , xn − an )k) , donde l´ım =0 x→p k(x1 − a1 , . . . , xn − an )kk

11