ENCUENTRO # 10 TEMA:Operaciones con polinomios CONTENIDOS: 1. Multiplicación de polinomios. 2. Productos notables. DESARROLLO

Ejercicio Reto x−2 √ 1. Al racionalizar el denominador de la fracción se obtiene: √ √ √3 + 2x + 5 √ 2x + 5 − 3 2x + 5 + 3 2x − 5 − 3 2x + 5 − 3 A) B) C) D) 4 2 2 2 a2 (a + b2 )(a3 − b3 )(a2 − b) para a = 1 y b = −2 2. El valor numérico de la expresión (a2 + b2 )(2a − 3b2 ) es: 27 15 A) 10 B)− 27 C) 18 C) 18 D) 17 10 35 35 Regla de los signos. (+)(+) = + (+)(−) = −

(−)(+) = −

(−)(−) = +

Multiplicación de polinomios Ley de los exponentes para la multiplicación. En la multiplicación de términos con la misma base los exponentes se suman. am · an = am+n

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Monomio por monomio Al multiplicar monomios, primero se multiplican los coeficientes y después las partes literales. Ejemplo 1.1. ¿Cuál es el resultado de (−5x4 y 5z)(3x2 y 6 z). Solución: Se multiplican los coeficientes y las bases: (−5x4 y 5 z)(3x2 y 6 z) = (−5)(3)x4 x2 y 5 y 6zz Se aplican las leyes de los signos y de los exponentes: = −15x4+2 y 5+6z 1+1 = −15x6 y 11 z 2 Ejemplo 1.2. Realiza la siguientes operación:(− 45 a6 b5 c5 )(− 23 a2 bc4 ). Solución: Se efectúa el producto de las fracciones y se aplica la ley de los exponentes para las partes literales. 5 2 2 5 10 (− a6 b5 c5 )(− a2 bc4 ) = (− )(− )a6+2 b5+1 c5+4 = a8 b6 c9 4 3 4 3 12 Ejemplo 1.3. Realiza (3x2n−1 y 3n )(−2x4n−3 y 2n ) Solución: Se aplica el mismo procedimiento que en los ejemplos anteriores, no importa que los exponentes de las partes literales sean expresiones algebraicas. (3x2n−1 y 3n )(−2x4n−3 y 2n ) = −6x(2n−1)+(4n−3) y 3n+2n = −6x6n−4 y 5n

Ejercicios propuesto 1. Resuelve las siguientes operaciones: (a) (4x3 y 5z)(6x5 y 4z)

(e) (5am bn c)(−2a2 b3 c)

(b) ( 34 xyz)(− 52 z 4 )

(f) (6m2x+8 n4x )(−7mx−6 n5 )

(c) (−10m6 p)(−5m2 p3 )

(g) (−9x3m y 2n−1)(4x5 y 6)

(d) (9c5 m9 p2 )(− 13 c6 m)

3 x+1 x (h) (− 67 a4x−3 b2x c4 )(− 14 a bc )

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(i) (− 12 x4n−1 y 2a )(4x2−3a y 1−2a )

(k) (− 43 a6 b)( 23 a2 bc)(− 21 ac)(−2b2 c2 )

(j) ( 31 a3 b2 c)( 25 a4 bc2 )(6ac)( 10 a4 b2 ) 3

(l) (2a8x b6 )(−2m2x n3 )(−5a2 m3 n5x )

Polinomio por monomio Se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio o viceversa, como lo ilustran los siguientes Ejemplo 1.4. Resuelve (5x5 y 4 − 3x4 y 3z + 4xz 4 )(−3x4 y) Solución: Se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio: (5x5 y 4 − 3x4 y 3 z + 4xz 4 )(−3x4 y) = (5x5 y 4)(−3x4 y) + (−3x4 y 3z)(−3x4 y) + (4xz 4 )(−3x4 y) = −15x9 y 5 + 9x8 y 4 z − 12x5 yz 4 Ejemplo 1.5. Realiza el siguiente producto:(−7ax+3 b1−2x )(4a3x−1 b2x − 5a3x−2 b2x+1 + 3a3x−3 b2x+2 ) Solución: Se realiza el producto del monomio por cada uno de los elementos del polinomio: (−7ax+3 b1−2x )(4a3x−1 b2x − 5a3x−2 b2x+1 + 3a3x−3 b2x+2 ) = (−7ax+3 b1−2x )(4a3x−1 b2x )+(−7ax+3 b1−2x )(−5a3x−2 b2x+1 )+(−7ax+3 b1−2x )(3a3x−3 b2x+2 ) = −28a4x+2 b + 35a4x+1 b2 − 21a4x b3

Ejercicios propuesto 1. Realiza los siguientes productos: (a) (−3m)(5m4 − 3m3 + 6m − 3)

(b) (−3ab)(2a2 − 7ab + 8b2 )

(c) (−5xy 2 z)(7x6 y 2z − 3x5 y − 4xz)

(d) (5m3 n − 3m4 p + 6m2 )(8mp3 )

(e) (−2xn−2 )(7x5 − 8x2 + 6x3 − 9x + 2)

(f) (3a2x+1 b4x − 7a2x b4x+1 − 4ax b3x+1 )(−3ax+1 b1−x )

(g) (−5x2m y n+1)(5x3m y 2n − 2x3m+1 y 2n+1 − 4x3m+2 y 2n+2)

(h) ( 43 x3 y)( 43 x2 − 13 y 2 + 6xy) (i) ( 25 a6 − 27 a4 b2 + 85 a2 b4 −

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1 b)( 45 ab2 c) 16

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(j) ( 45 a6m+1 b2m − 27 am+3 cm )(−5a3 c4 )

(k) (− 45 mx n4 )( 34 m2x+3 n3a − 54 m2x+2 n3a−1 − 27 m2x n)

Polinomio por polinomio Para multiplicar polinomios por polinomios, se siguen los pasos indicados en los siguientes ejemplos: Ejemplo 1.6. Efectúa la siguiente operación: (5x2 − 3x − 2)(4x − 3x2 − 6) Solución: Se escriben los factores de la multiplicación en forma escalonada (como en las multiplicaciones aritméticas), y se ordenan los polinomios con respecto a los exponentes en forma ascendente o descendente, según se quiera. 5x2 × −3x2

−3x −2 4x −6

Se multiplica el primer término del polinomio de abajo por cada uno de los términos del polinomio de arriba. 5x2 × −3x2 −15x4

−3x 4x +9x3

(−3x2 )(5x2 ) = −15x4 (−3x2 )(−3x) = +9x3 (−3x2 )(−2) = +6x2

−2 −6 +6x2

A continuación se multiplica el segundo término del polinomio de abajo por cada uno de los términos del polinomio de arriba y los resultados se colocan debajo de sus respectivos términos semejantes del primer resultado. 5x2 × −3x2 −15x4

−3x 4x +9x3 +20x3

−2 −6 +6x2 −12x2

−8x

(4x)(5x2 ) = 20x3 (4x)(−3x) = −12x2 (4x)(−2) = −8x

Se repite el paso anterior para cada uno de los términos siguientes (si es que existe). 5x2 × −3x2 −15x4

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−3x 4x +9x3 +20x3

−2 −6 +6x2 −12x2 −30x2

−8x +18x +12

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(−6)(5x2 ) = −30x2 (−6)(−3x) = 18x (−6)(−2) = 12

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Por último, se realiza la suma. 5x2 × −3x2 −15x4

−3x 4x +9x3 +20x3

−15x4

+29x3

−2 −6 +6x2 −12x2 −30x2 −36x2

−8x +18x +12 +10x +12

Por consiguiente, el resultado es:−15x4 + 29x3 − 36x2 + 10x + 12 Ejemplo 1.7. Efectúa la siguiente operación:(5x4y − 3x2 y 3 − 6xy)(3x4 y − 4x2 y 3 + 3xy) Solución: Se acomodan los polinomios de manera vertical y se realiza el procedimiento descrito en el ejemplo anterior. 5x4 y × 3x4 y 15x8 y 2

15x8 y 2

−3x2 y 3 −4x2 y 3 −9x6 y 4 −20x6 y 4 −29x6 y 4

−6xy +3xy −18x5 y 2 +15x5 y 2 −3x5 y 2

+12x4 y 6 +12x4 y 6

+24x3 y 4 −9x3 y 4 +15x3 y 4

−18x2 y 2 −18x2 y 2

Por tanto, el resultado es: 15x8 y 2 − 29x6 y 4 − 3x5 y 2 + 12x4 y 6 + 15x3 y 4 − 18x2 y 2

Ejercicios propuestos Efectúa los siguientes productos. 1. (x − 7)(x + 2)

8. ( 35 x − 12 y)( 32 x − 12 y)

2. (m + 9)(m − 8)

9. ( 32 y − 13 x)(− 54 x − 21 y)

3. (−x + 2)(3 − x)

10. (x2 − 2xy + y 2 )(x − y)

4. (3x + 7)(x + 4)

11. (m2 − mn + n2 )(m + n)

5. (2x − 5)(3x + 2)

12. (5x2 − 7y 2 − 4xy)(3x − 2y)

6. (n2 + 4)(n2 − 7)

13. ( 51 a2 − 3ab + 31 b2 )( 23 a − 27 )

7. ( 21 x − 3)(x + 34 )

14. ( 25 x2 + 15 y 2 − 34 xy)(4x − 31 y)

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15. (mx−1 − na − 1)(m − n)

21. (m + n − p)(m − p − n)

16. (bm − bm+1 + bm+2 )(b + 1)

22. (2m − 3n + 5p)(n + 2p − m)

17. (2xm+1 + xm+2 − xm )(xm+3 − 2xm+1 )

23. (a + b − c)(a − b + c)

18. (xa+2 − 2xa + 3xa+1 )(xa + xa+1 )

24. (x2 − 2x + 1)(x4 − 2x2 + 2)

19. (3x2 − 5x − 2)(2x2 − 7x + 4)

25. ( 12 x2 − 32 x + 52 )(6x2 − 4x − 2)

20. (4x3 − 2x2 y + 6xy 2 )(x2 y − xy 2 − 2y 3 )

26. (xm +xm+1 −xm+2 )(xm −xm+1 +xm+2 )

Productos Notables Definición 1. Los productos notables se obtienen con un simple desarrollo, sin necesidad de efectuar el producto.

Cuadrado de un binomio El desarrollo de la suma de dos cantidades al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo; esta regla general se expresa con la fórmula: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Ejemplo 2.1. Desarrolla (x + 7)2 Solución: Al aplicar la regla general: −→ El cuadrado del primer término:(x)2 = x2 −→ El doble producto del primer término por el segundo:2(x)(7) = 14x −→ El cuadrado del segundo término:(7)2 = 49 Se suman los términos resultantes y se obtiene: (x + 7)2 = x2 + 14x + 49

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Ejemplo 2.2. ¿Cuál es el resultado de desarrollar (3m + 5n)2 ? Solución: (3m + 5n)2 = (3m)2 + 2(3m)(5n) + (5n)2 = 9m2 + 30mn + 25n2 Ejemplo 2.3. Desarrolla ( 12 a + 3)2 . Solución: 1 1 1 1 ( a + 3)2 = ( a)2 + 2( a)(3) + (3)2 = a2 + 3a + 9 2 2 2 4 Ejemplo 2.4. Desarrolla (5m2x−3 + n4x )2 Solución: (5m2x−3 + n4x )2 = (5m2x−3 )2 + 2(5m2x−3 )(n4x ) + (n4x )2 = 25m4x−6 + 10m2x−3 n4x + n8x El desarrollo del cuadrado de una diferencia de dos cantidades, es igual a: (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 En este desarrollo los términos se sustituyen con signo positivo, como lo ilustran los siguientes ejemplos: Ejemplo 2.5. ¿Cuál es el desarrollo de (4x4 − 9y 3 )2 ? Solución: (4x4 − 9y 3)2 = (4x4 )2 − 2(4x4 )(9y 3) + (9y 3)2 = 16x8 − 72x4 y 3 + 81y 6 Ejemplo 2.6. Desarrolla (3x2 y − 2x5 z)2 Solución: (3x3 y − 2x5 z)2 = (3x3 y)2 − 2(3x3 y)(2x5 z) + (2x5 z)2 = 9x6 y 2 − 12x8 yz + 4x10 z 2

Cuadrado de un trinomio El desarrollo de la expresión: (a + b + c)2 es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos, más los dobles productos de las combinaciones entre ellos: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

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Ejemplo 2.7. Desarrolla (x + 2y + 3z)2 Solución: (x + 2y + 3z)2 = (x)2 + (2y)2 + (3z 2 ) + 2(x)(2y) + 2(x)(3z) + 2(2y)(3z) = x2 + 4y 2 + 9z 2 + 4xy + 12yz + 6xz Ejemplo 2.8. Obtén el resultado de (4m − 7n − 5)2 Solución: (4m − 7n − 5)2 = (4m)2 + (−7n)2 + (−5)2 + 2(4m)(−7n) + 2(−7n)(−5) + 2(4m)(−5) = 16m2 + 49n2 + 25 − 56mn + 70n − 40m Ejemplo 2.9. Desarrolla ( 12 xm+1 + 2xm + xm−1 )2 Solución: ( 12 xm+1 + 2xm + xm−1 )2 = ( 12 xm+1 )2 + (2xm )2 + (xm−1 )2 + 2( 12 xm+1 )(2xm ) + 2(2xm )(xm−1 ) + 2( 21 xm+1 )(xm−1 ) = 14 x2m+2 + 4x2m + x2m−2 + 2x2m+1 + 4x2m−1 + x2m

Ejercicios propuestos Desarrolla las siguientes expresiones 1. (x + 8)2

2 11. ( 3x −

2. (m − 10)2

12. (3x2 + 4xy 7 )2

3. (a − 3)2

13. (6x3m−2 + 5y 4mz 3 )2

4. (2a − 1)2

14. (m4a−5 + 2x2a+1 )2

5. ( 54 x − 31 )2

15. ( 54 a2m−1 − 23 b)2

6. (7a − 3b)2

16. ( 35 x3a−2 + 65 y 1−3a )2

7. (4x3 + 5y)2

17. ( x5 −

8. (9a3 − a2 b)2

18. (x + 2y + 3z)2

9. (1 − 34 xy)2

19. (3x − 2y + 1)2

10. ( 14 x − 2y 3)2

20. (a2 + 5a + 4)2

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4a

8

1 2 ) 4y

b4x y a+1 2 ) 5

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24. (ax − by + cz )2

21. (3x2 + 2y 2 − 1)2 22. ( 12 a + 13 b + c)2 23. ( x2 +

3 y

− z1 )2

25. (ax+1 − 2ax − ax−1 )2

Binomios conjugados (suma por diferencia) Son de la forma (a + b)(a − b) y su resultado es la diferencia de los cuadrados de ambas cantidades, como se ilustra en la fórmula: (a + b)(a − b) = a2 − b2 Ejemplo 2.10. Desarrolla (x + 6)(x − 6) Solución: (x + 6)(x − 6) = (x)2 − (6)2 = x2 − 36 Ejemplo 2.11. Desarrolla (m − 4)(m + 4) Solución: (m − 4)(m + 4) = (m)2 − (4)2 = m2 − 16 Ejemplo 2.12. Resuelve (−2x3 + 7)(−2x3 − 7) Solución: (−2x3 + 7)(−2x3 − 7) = (−2x3 )2 − (7)2 = 4x6 − 49 Ejemplo 2.13. − Desarrolla ( 10 3 Solución: (

3m4 )( 10 2 3

+

3m4 ) 2

10 3m4 10 3m4 10 3m4 2 100 9m8 − )( + ) = ( )2 − ( ) = − 3 2 3 2 3 2 9 4

Ejemplo 2.14. Resuelve (5x2a−3 + y 4m )(5x2a−3 − y 4m ) Solución: (5x2a−3 + y 4m )(5x2a−3 − y 4m ) = (5x2a−3 )2 − (y 4m )2 = 25x4a−6 − y 8m

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Productos donde se aplican binomios conjugados Ejemplo 2.15. El resultado de (m + n − p)(m + n + p) es: Solución: Los elementos de ambos factores se agrupan de la siguiente manera: [(m + n) − p][(m + n) + p] = (m + n)2 − p2 Se desarrolla el binomio y finalmente el resultado es: m2 + 2mn + n2 − p2 Ejemplo 2.16. Desarrolla (x + y − 3)(x − y + 3) Solución: El producto se expresa de la siguiente manera y se procede a aplicar el producto de binomios conjugados: (x + y − 3)(x − y + 3) = [x + (y − 3)][x − (y − 3)] = (x)2 − (y − 3)2 = x2 − y 2 + 6y − 9 Ejemplo 2.17. ¿Cuál es el resultado de (2x − 3y − z + 5)(2x − 3y + z − 5)? Solución: Se agrupan los términos y se aplica la fórmula para binomios conjugados: (2x − 3y − z + 5)(2x − 3y + z − 5) = [(2x − 3y) − (z + 5)][(2x − 3y) + (z − 5)] = (2x − 3y)2 − (z + 5)2 Se desarrollan los binomios, se eliminan los paréntesis y se ordenan los términos: = (4x2 − 12xy + 9y 2) − (z 2 − 10z + 25) = 4x2 − 12xy + 9y 2 − z 2 + 10z − 25 = 4x2 + 9y 2 − z 2 − 12xy + 10z − 25

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Ejercicios propuestos 1. Desarrolla los siguientes productos: (i) (3ax−4 + b3x )(3ax−4 − b3x )

(a) (x + 3)(x − 3) (b) (a − 1)(a + 1)

(j) (8y 2a−3 − 4x4a )(8y 2a−3 + 4x4a )

(c) (k − 8)(k + 8)

(k) (a + b − c)(a + b + c)

(d) (4m − 9n)(4m + 9n)

(l) (x + y − 3)(x + y + 3)

(e) (5x4 y + 4z)(5x4 y − 4z)

(m) (4x + 3y − z)(4x − 3y + z)

(n) (x2 − xy + y 2 )(x2 + y 2 + xy)

(f) (7a4 b3 − cd5 )(7a4 b3 + cd5 )

(g) ( 53 m + 1)( 35 m − 1)

(o) (m4 − m2 − m)(m4 + m2 + m)

(h) ( 76 x3 − 32 )( 67 x3 + 23 )

(p) ( 21 m − 32 n − 41 )( 12 m + 23 n + 41 )

Binomios con término común Son de la forma (x+a)(x+b), su resultado es un trinomio cuyo desarrollo es el cuadrado del término común, más la suma de los términos no comunes por el término común, más el producto de los no comunes. Ejemplo 2.18. Desarrolla (x − 6)(x + 4) Solución: (x − 6)(x + 4) = x2 + (−6 + 4)x + (−6)(4) = x2 − 2x − 24 Ejemplo 2.19. Resuelve (5x − 4)(5x − 2) Solución: (5x − 4)(5x − 2) = (5x)2 + (−4 − 2)(5x) + (−4)(−2) = 25x2 − 6(5x) + 8 = 25x2 − 30x + 8 Ejemplo 2.20. ¿Cuál es el resultado de (n4 + 10)(n4 − 8)? Solución: (n4 + 10)(n4 − 8) = (n4 )2 + (10 − 8)n4 + (10)(−8) = n8 + 2n4 − 80

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Ejemplo 2.21. Desarrolla (x + y − 3)(x + y + 7). Solución: (x + y − 3)(x + y + 7) = [(x + y) − 3][(x + y) + 7] = (x + y)2 + (−3 + 7)(x + y) + (−3)(7) = (x + y)2 + (4)(x + y) + (−21) = x2 + 2xy + y 2 + 4x + 4y − 21 Ejemplo 2.22. Desarrolla (2m + 3n − 4)(2m − 5n + 2). Solución: (2m + 3n − 4)(2m − 5n + 2) = [2m + (3n − 4)][2m + (−5n + 2)] = (2m)2 + (3n − 4 − 5n + 2)(2m) + (3n − 4)(−5n + 2) = 4m2 + (−2n − 2)(2m) + (−15n2 + 6n + 20n − 8) = 4m2 + (−4mn − 4m) + (−15n2 + 26n − 8) = 4m2 − 4mn − 4m − 15n2 + 26n − 8 = 4m2 − 15n2 − 4mn − 4m + 26n − 8

Ejercicios propuestos 1. Resuelve los siguientes productos: (j) (m3 − 4)(m3 − 8)

(a) (x − 8)(x + 5)

(k) ( 31 m + 25 )( 31 m − 12 )

(b) (m + 7)(m − 4)

(l) ( 34 y + 16 )( 43 y − 58 )

(c) (x − 10)(x − 2) (d) (x − 1)(x − 8)

(m) ( 56 x2 − 41 y 2 )( 65 x2 + 31 y 2 )

(e) (m − 3)(m + 8)

(n) (a + b + 3)(a + b + 4)

(f) (2x − 6)(2x + 4)

(o) (a − 2b + 1)(a − 2b + 5)

(g) (3m + 6)(3m − 4)

(p) (m2 + n2 − 5)(m2 + n2 + 9)

(h) (6x − 4)(6x + 3)

(q) (2x + y + 2)(2x + y − 1)

(i) (x2 − 10)(x2 + 6)

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(r) (a + 5b + c)(a − 5b + c)

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Cubo de un binomio Es de la forma (a + b)3 , su desarrollo es un polinomio de cuatro términos al que se llama cubo perfecto y su desarrollo es el cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. (a ± b)3 = a3 ∓ 3a2 b ± 3ab2 ∓ b3 Ejemplo 2.23. Desarrolla (m + 5)3 Solución (m + 5)3

= (m)3 + 3(m2 )(5) + 3(m)(5)2 + (5)3 = m3 + 15m2 + 75m + 125

Ejemplo 2.24. Desarrolla el siguiente binomio (x − 4)3 . Solución: (x − 4)3

= (x)3 + 3(x)2 (−4) + 3(x)(−4)2 + (−4)3 = x3 − 12x2 + 48x − 64

Ejemplo 2.25. ¿Cuál es el resultado de (3x4 − 2y 3)3 ? Solución: (3x4 − 2y 3)3

= (3x4 )3 + 3(3x4 )2 (−2y 3 ) + 3(3x4 )(−2y 3 )2 + (−2y 3)3 = 27x12 − 54x8 y 3 + 36x4 y 6 − 8y 9

Ejercicios propuestos Resuelve los siguientes productos: 1. (x − 1)3

6. (5m2 + 2n5 )3

2. (m + 6)3

7. (4x2 + 2xy)3

3. (x − 2)3

8. (3m4 − 4m3 n)3

4. (2x + 1)3

9. (x + 31 )3

5. (3a − 4)3

10. (x − 81 )3

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11. ( 23 x − 41 )3 12. ( 13 x4 + y)3

13. (2x2a−3 − 3y 4a+1 )

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