Polinomios Desde la secundaria estamos acostumbrados a trabajar con polinomios, los cuales identificamos con expresiones de la forma p(x) = a0 + a1 x + . . . + an xn

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donde x es la “variable” y a0 , a1 , . . . , an son constantes que podr´ıan ser n´ umeros naturales, enteros, racionales, reales o pertenecer a alg´ un otro conjunto. Lo que pasa es que podemos considerar los polinomios de m´as de una forma. Por ejemplo, es usual pensar que un polinomio es una funci´on en los n´ umeros reales. Pero lo que se obtiene por este enfoque ser´a llamado aqu´ı m´as bien funci´on polinomial. M´as bien el punto de vista algebraico es el que nos interesa. Un polinomio ser´ıa una expresi´on como en el lado derecho de (1) en una indeterminada x, sin ning´ un significado concreto adicional. Es interesante el ejercicio de tratar de representar expresiones del tipo (1) en t´erminos puramente conjuntistas. Dejamos al lector la tarea.

Operaciones y propiedades Un polinomio es una expresi´on de la forma (1) donde a0 , a1 , . . . , an son elementos de un anillo D que, para efectos de este curso, podr´ıan ser los n´ umeros enteros, los racionales o los reales y x es un elemento que no est´e en D. Llamamos grado del polinomio a la potencia m´as alta de x en (1) que tenga un coeficiente no cero. Vamos a empezar sumando polinomios. Suponga que tenemos dos polinomios p(x) = a0 + a1 x + . . . + an xn q(x) = b0 + b1 x + . . . + bm xm .

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Suponga tambi´en que los coeficientes son n´ umeros enteros, racionales o reales (o que est´an en alg´ un dominio de integridad). La regla de suma es f´acil: sumamos los coeficientes de t´erminos similares. Digamos que m ≥ n, tendr´ıamos p(x) + q(x) = (a0 + b0 ) + . . . + (an + bn )xn + . . . + bm xm .

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Por ejemplo, si p(x) = −3 + x y q(x) = 5 + x − 2x2 + x3 , tenemos p(x) + q(x) = 2 + 2x − 2x2 + x3 . 1

Un poco m´as complicada es la multiplicaci´on de polinomios (al menos desde el punto de vista de los coeficientes). De acuerdo con la propiedad distributiva deber´ıamos formar la expresi´on p(x)q(x) =

n X m X

i j

ai b j x x =

i=0 j=0

n X m X

ai bj xi+j

i=0 j=0

y agrupar t´erminos semejantes (aquellos con la misma potencia de x). Esto nos dar´ıa una expresi´on de la forma p(x)q(x) = a0 b0 + (a1 b0 + a0 b1 )x + . . . + ck xk + . . . + an bm xn+m (4) P donde ck = ai bk−i con la suma extendi´endose por aquellos i que cumplen 0 ≤ i ≤ n y tambi´en 0 ≤ k − i ≤ m. En el ejemplo anterior tendr´ıamos p(x)q(x) = −15 + 2x + 7x2 − 5x3 + x4

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El conjunto de polinomios en una variable x y con coeficientes en D se denotar´a D[x]. Con las definiciones dadas no es dif´ıcil ver que D[x] cumple las propiedades de anillo: 1. La suma es conmutativa 2. La suma es asociativa 3. Existe elemento neutro p(x) = 0 (el polinomio cuyos coeficientes son todos cero) para la suma 4. Existe el inverso aditivo para la suma 5. El producto es conmutativo 6. El producto es asociativo 7. Existe el elemento neutro p(x) = 1 (el polinomio cuyo u ´nico coeficiente no cero es a0 = 1) para la multiplicaci´on 8. La multiplicaci´on distribuye con respecto a la suma

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Las demostraciones se dejan de ejercicio. Hay m´as: podemos ver que D[x] es un dominio de integridad en los casos que nos interesan, es decir no hay divisores de cero. En efecto, esto ser´ıa as´ı para cualquier dominio de integridad D. Prob´emoslo: Suponga que p(x) y q(x) son polinomios no nulos (no todos los coeficientes son cero) como en (2) y que p(x)q(x) = 0. En las expresiones de (2) siempre podemos suponer que an 6= 0 y que bm 6= 0. Sin embargo, de la ecuaci´on (4) se deducir´ıa que an bm = 0 que que este es el coeficiente de xn+m . Pero entonces tendr´ıamos que an = 0 o bm = 0, de acuerdo con las propiedades de D. Esto es una contradicci´on. Por lo tanto alguno de los polinomios p(x) o q(x) debe ser no nulo. A pesar de que no existen inversos multiplicativos en D[x] para polinomios de grado mayor a 0, es interesante el tratar de encontrarlos. No vamos a proceder con plena rigurosidad en lo que sigue ya que el material se cubre en un curso m´as avanzado. Supongamos que queremos encontrar un polinomio en D[x] que sea el inverso de 1 − x. La tradicional divisi´on larga de polinomios que se aprende en secundaria nos permite hacer esto. Eso s´ı, debemos colocar 1 − x en ese orden y resignarnos a que los residuos aumenten de grado. Encontrar´ıamos que el procedimiento nunca para y que se obtiene 1 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + . . . 1−x Intuitivamente, esto nos indica que se requieren polinomios de grado infinito para encontrar el inverso de 1 − x. Lo mismo va a ocurrir para cualquier polinomio de grado mayor o igual a 1. Estos “polinomios infinitos” son de mucha utilidad en la matem´atica y se introducen en un curso m´as avanzado bajo el nombre de series de potencias.

Funciones polinomiales Otro enfoque para el estudio de los polinomios es el de considerarlos funciones. Por ejemplo, si p(x) ∈ Q[x] es de la forma p(x) = a0 + a1 x + . . . + an xn , entonces podemos definir una funci´on p : Q → Q tal que f (c) = a0 + a1 c + . . . + an cn . Eso es lo que se conoce como funci´on polinomial. Note c´omo usamos la misma notaci´on para el polinomio y para la funci´on polinomial, a pesar de ser objetos distintos. Al igual que para otras funciones, decimos que c ∈ D es una ra´ız (o cero) de la funci´on polinomial p(x) ∈ D[x] si p(c) = 0. Un resultado importante es el siguiente.

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Teorema 1 Una funci´on polinomial que no sea id´enticamente igual a cero y de grado n puede tener a lo sumo n ra´ıces. Prueba: Procedemos por inducci´on sobre el grado de la funci´on polinomial. El lector podr´a verificar f´acilmente que una funci´on polinomial de grado 0 y que no sea nula no tiene ra´ıces. Suponga ahora que toda funci´on polinomial de grado menor o igual a n tiene a lo sumo n ceros. Sea p(x) una funci´on polinomial de grado n + 1. Si no tuviera ra´ıces el teorema se cumple. Por lo tanto podemos suponer que tenga al menos una ra´ız c. Si p(x) = a0 + a1 x + . . . + an+1 xn+1 tendr´ıamos 0 = ao + a1 c + . . . + an+1 cn+1 . Restando ambas expresiones obtenemos p(x) = a1 (x − c) + . . . + ai (xj − cj ) + . . . an+1 (xn+1 − cn+1 ) Del ejercicio 5 deducimos que j

j

x − c = (x − c)

j−1 X

xi cj−1−i = (x − c)qj (x)

i=0

donde qj (x) es una funci´on polinomial de grado j−1. Por lo tanto, una factorizaci´on sencilla nos da como resultado p(x) = a1 (x − c) + . . . + ai qj (x) + . . . an+1 qn+1 (x) = (x − c)q(x), donde q(x) tiene grado n. De la expresi´on p(x) = (x − c)q(x) deducimos que toda ra´ız de p(x) debe ser ra´ız de x − c o´ de q(x). Por hip´otesis de inducci´on q(x) tiene a lo sumo n ra´ıces y es f´acil ver que la u ´nica ra´ız de x − c es x = c. Por lo tanto p(x) tiene a lo sumo n + 1 ra´ıces, con lo cual hemos probado el teorema.  El siguiente teorema parece obvio, sin embargo requiere prueba. Note que, por definici´on, dos polinomios iguales dar´ıan lugar a funciones iguales. 4

Teorema 2 Si dos funciones polinomiales son iguales entonces los polinomios que definen son tambi´en iguales. Prueba: Si dos funciones polinomiales p(x) y q(x) son iguales entonces la forma polinomial r(x) = p(x) − q(x) tendr´ıa infinitas ra´ıces (todo n´ umero ser´ıa una ra´ız). Supongamos que r(x) no es el polinomio nulo. Entonces (usando el ejercicio 2) el grado n de r(x) es finito. Por lo tanto, de acuerdo con el teorema anterior, r(x) no puede tener m´as de n ceros. Esto es una contradicci´on. 

Algoritmo de la divisi´ on La estructura propia de los polinomios permite expresar polinomios complicados en t´erminos de productos de polinomios m´as sencillos. En esta secci´on estudiaremos esas propiedades para polinomios en D[x] cuando D son los n´ umeros racionales o los n´ umeros reales (es general cuando D es un cuerpo). Suponga que tenemos polinomios p(x), q(x) y a(x) en D[x] y que se cumple la relaci´on a(x)q(x) = p(x). Entonces decimos que a(x) divide a p(x) (a(x)|p(x)). Tambi´en es com´ un decir que a(x) es un factor de p(x). Hay ocasiones en que la relaci´on de divisibilidad de polinomios se cumple de manera trivial y no dice nada sobre la estructura de los polinomios. Este es el caso con los polinomios de grado cero (las constantes). Estos polinomios dividen de manera obvia a cualquier polinomio: Sea p(x) un polinomio y a(x) = a0 una constante, entonces p(x) = a0 (a−1 0 p(x)) = a(x)q(x)

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donde q(x) es claramente un polinomio en D[x]. Por ejemplo, el polinomio p(x) = x2 + 1 se puede escribir como x2 + 1 =


1 2x2 + 2 2

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A estos divisores de p(x) los llamamos divisores impropios y no van a ser de nuestro inter´es. En consecuencia llamamos divisores propios de p(x) a aquellos polinomios a(x) de grado mayor que uno tales que exista un polinomio q(x) de grado mayor que uno y que cumpla 5

p(x) = a(x)q(x)

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Al igual que en el caso de los n´ umeros enteros, el algoritmo de la divisi´on juega un papel fundamental en el estudio de las factorizaciones (y otras propiedades) de polinomios. El siguiente teorema es fundamental. Teorema 3 Sean a(x) y p(x) dos polinomios en D[x] con a(x) 6= 0. Entonces existen polinomios q(x) y r(x) tales que p(x) = a(x)q(x) + r(x)

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donde r(x) tiene grado estrictamente menor al grado de a(x). Prueba: Escribamos p(x) = b0 + b1 x + . . . + bm xm y a(x) = a0 + a1 x + . . . + an xn donde an y bm son distintos de cero. Note que si p(x) tiene grado menor a a(x), entonces podemos tomar q(x) = 0 y r(x) = p(x) y con esa escogencia se cumple la conclusi´on del teorema. As´ı que supongamos que el grado de p(x) es mayor o igual al de a(x), es decir m ≥ n. La idea a utilizar es que es f´acil crear una combinaci´on lineal de p(x) y a(x) que sea de grado menor al grado de p(x). La principal observaci´on es que p(x) − (bm /an )xm−n a(x)

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es un polinomio de grado estrictamente menor a m, pues los t´erminos de grado m se cancelan en la resta. Habiendo hecho la observaci´on, procedemos por inducci´on generalizada sobre m el grado de p(x). Recuerde que estamos trabajando para m ≥ n. Si m = n, de acuerdo con la observaci´on anterior, el polinomio b(x) = p(x) − (bm /an )xm−n a(x) es de grado menor a n, por lo tanto si escribimos p(x) = a(x)(bm /an )xm−n + b(x) 6

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notamos que la escogencia q(x) = (bm /an )xm−n y r(x) = b(x) satisface la conclusi´on del teorema. Supongamos ahora que podemos hacer la descomposici´on (9) para cualquier polinomio de grado menor o igual a m. Requerimos probar lo mismo para un polinomio cualquiera p(x) de grado m + 1. La ecuaci´on (11) sigue siendo v´alida y, al igual que antes, el grado de b(x) es menor o igual a m. Pero es aqu´ı donde aplicamos la hip´otesis de inducci´on para encontrar q0 (x) y r0 (x) con el grado de r0 (x) menor que el grado de a(x) y tales que b(x) = a(x)q0 (x) + r0 (x).

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Sustituyendo (12) en (11) tenemos
p(x) = a(x) (bm /an )xm−n + q0 (x) + r0 (x).

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Claramente la asignaci´on q(x) = (bm /an )xm−n + q0 (x) y r(x) = r0 (x) nos indica que el resultado tambi´en es cierto en este caso. Por el principio de inducci´on hemos probado el teorema.  Lo siguiente es una muestra del uso que podemos dar al algoritmo de la divisi´on. Suponga que a(x) = x − c. Tendr´ıamos p(x) = (x − c)q(x) + r(x)

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Como el grado de r(x) es menor que uno (que es el grado de x − c) entonces r(x) = r es una constante. Considere ahora la igualdad (14) vista como funciones polinomiales. Evaluando ambos lados en x = c se tiene que r = p(c). Por lo tanto, p(x) = (x − c)q(x) + p(c).

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En particular, si c es una ra´ız de p(x) tendr´ıamos que p(x) = (x − c)q(x). Es f´acil ver que existen polinomios sobre Q o sobre R que no tienen ra´ıces (x2 + 1 es un ejemplo v´alido en ambos casos). Sin embargo, existen √ cuerpos donde esto no pasa. Los n´ umeros complejos D agregan el n´ umero −1 (una ra´ız de x2 + 1)para obtener lo que se conoce como un cuerpo algebraicamente cerrado, es decir uno donde todo polinomio tiene ra´ıces. Este resultado se conoce como el teorema fundamental del ´algebra. Su prueba llev´o mucho tiempo y esfuerzo y fue concretada por Gauss a finales del siglo XVIII.

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Ejercicios 1. Muestre que 4(x − 8)3 − (x2 − 3x + 1)2 es un polinomio y encuentre su grado y sus coeficientes. 2. Pruebe que el grado de la suma de dos polinomios es menor o igual al mayor de los grados de cada uno de los polinomios. Encuentre un ejemplo donde no haya igualdad. 3. Pruebe que el grado del producto de dos polinomios es la suma de los grados de cada uno de los polinomios. 4. Sea p(y) un polinomio en la variable y y q(x) un polinomio en la variable x. Si hacemos la sustituci´on formal y = q(x) para obtener p(q(x)) muestre que esto es un polinomio. ¿Cu´al es su grado? 5. Pruebe que, si x, y ∈ Q, entonces n

n

x − y = (x − y)

n−1 X

xi y n−1−i

i=0

6. Divida 3x3 − 5x2 + 10x − 3 por 3x + 1. 7. Demostrar que q(x) y r(x) son u ´nicos en (9). 8. Use el procedimiento impl´ıcito en el Teorema 1 para escribir el polinomio p(x) = −8x4 − 31x3 + 2x2 − 7x + 4 en la forma p(x) = (x + 4)q(x) donde el grado de q(x) es 3. 9. x = −1 es una ra´ız de x3 + 4x2 − 7x − 10. ¿Cu´ales son las otras ra´ıces? 10. Sea p(x) = a0 + a1 x + . . . + xn (note que an = 1) y suponga que c1 , . . . , cn son n ra´ıces distintas de p(x). Pruebe que a0 = (−1)n c1 × . . . × cn y que an−1 = −c1 − . . . − cn .

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