Universidad Carlos III de Madrid

2

Desvanecimiento de pequeña y gran escala z

Modelos de gran escala …

Explican el comportamiento de las potencia a distancias mucho mayores que la longitud de onda (~ km). ¾ ¾

z

Espacio Libre, Okumura-Hata Bloqueo: Log-distancia, Log-normal (modelo gaussiano en dB)

Modelos de pequeña escala Explican en distancias comparables a la longitud de onda (~ m). … Multitrayecto y Doppler …

…

Modelado estadístico (SFF) ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

Amplitud → Rayleigh Relación Eb/N0 → Exponencial Valor medio Número de cruces por un umbral. Modelos discretos

3

Canales con Multitrayecto z

Respuesta al impulso de un canal multitrayecto N (t )

h(t ;τ ) = ∑ ri (t ;τ )δ (t − τ i (t )) i =1 l ra o p m e T t2 za n a ri Va

h(t2 ;τ )

h(t1 ;τ )

t1

t0

τ(t2)

τ(t1)

h(t0 ;τ )

τ(t0)

Dispersión temporal

4

Canal Multitrayecto Dispersión del retardo y Ancho de Banda de coherencia … Función de autocorrelación de h(t ;τ ) E ⎡⎣h∗ (t;τ1 )h(t + Δt;τ 2 )⎤⎦ = φh (Δt;τ1,τ 2 ) = φh (Δt;τ1 )δ (τ 2 −τ1 ) …

WSSUS

Potencia a la salida del

Si hacemos Δt=0, φh (0;τ1,τ 2 ) = E ⎡⎣h (t;τ1 )h(t;τ 2 )⎤⎦ → canal en función de τ ∗

Autocorrelación

φ h (0;τ )

|h(d,τ)|2

z

Fourier

Tm d Dispe rsión

temp oral

τ

Δt ianz r Va

p em aT

l o ra

τ

Φh (Δf )

BC ≈

1 Tm

Tm : Max. dispersión del retardo BC : Ancho de banda de coherencia

Δf

5

Caracterización del retardo en canales multitrayecto z

En la práctica, en lugar de medir la respuesta al impulso de un canal, se utiliza el perfil de potencia recibida, es decir φh(0;τk). …

Medimos los niveles de potencia recibida en función del retardo. ¾

z

“power delay profile”

Modelo discreto …

Supone que φh(0;τk) es una colección de impulsos que definen los retardos multitrayecto

φ h (0; τ ) 0 dBm -10 dBm -20 dBm -30 dBm

τ 0

…

1

2

5

(µs)

Su transformada de Fourier define la respuesta en frecuencia del canal.

6

Caracterización del retardo en canales multitrayecto z

z

Retardo medio : ∑ τ k φh (0;τ k ) τ = k ∑ φh (0;τ k )

donde φh(0;τk) es la potencia recibida con retardo τk

k

Dispersión rms del retardo “rms delay spread” ∑ τ k2φh (0;τ k ) 2 σ τ = τ 2 − (τ ) donde τ 2 = k ∑ φh (0;τ k ) k φ h (0; τ ) 0 dBm -10 dBm -20 dBm -30 dBm

τ 0

1

2

5

(µs)

7

Caracterización del retardo en canales multitrayecto φ h (0; τ )

4.38 µs 1.37 µs

0 dBm -10 dBm -20 dBm -30 dBm

τ

0

1

2

5

(µs)

τ = (1 )( 5 ) + ( 0 . 1 )( 1 ) + ( 0 . 1 )( 2 ) + ( 0 . 01 )( 0 ) = 4 . 38 μ s _

[ 0 . 01 + 0 . 1 + 0 . 1 + 1 ]

2 2 2 2 τ 2 = (1)(5) + (0.1)(1) + (0.1)(2) + (0.01)(0) = 21.07 μ s 2

[0.01+ 0.1+ 0.1+1]

σ τ = 21 .07 − (4 .38 ) 2 = 1 .37 μ s

8

Perfil del retardo de potencia: Modelo continuo z

Ejemplo -85

Potencia de señal recibida (dBm)

φ h (0; τ ) Dispersión del retardo RMS (στ) = 46.4 ns -90

τ =

Retardo medio (τ) = 45 ns -95

∫ τφh (0;τ ) dτ ∫ φh (0;τ ) dτ

Máximo retardo < 10 dB = 110 ns -100

Umbral de ruido

-105

0

50

100

150

200

Retardo (ns)

250

300

350

400

450

τ

9

Valores típicos de la dispersión del retardo

()

στ = τ 2 − τ

2

donde

∫

τ2 =

τ 2φ h (0;τ ) dτ

∫

φ h (0;τ ) dτ

Rural 2 Rural 1 Suburbano Edificio oficinas 2 Edificio oficinas 1

10ns

50ns

150ns

500ns

1µs

2µs

3m

15m

45m

150m

300m

600m

5µs

10µs

25µs

3Km

7.5Km

10

Interferencia Intersimbólica TS Periodo Símbolo

φ h (0; τ )

4.38 µs 1.37 µs

0 dBm -10 dBm -20 dBm

στ=1.37 μs 0

1 2

5

-30 dBm

(µs)

0

τ 1

2

4.38

TS > 10στ

--- No se necesita igualación

TS < 10στ

--- Igualación necesaria

En el ejemplo anterior, TS debe ser mayor que 14µs para evitar la ISI. •Velocidad menor de 70Kbaudios (approx)

5

(µs)

11

Interferencia Intersimbólica φ h (0; τ )

TS Periodo Símbolo

4.38 µs 1.37 µs

0 dBm -10 dBm -20 dBm -30 dBm

στ=1.37 μs 0

1 2

5

0

(µs)

4.38

τ 1

2

5

(µs)

Símbolos interferidos por TS < 10στ

--- Igualación necesaria

En el ejemplo anterior, TS debe ser mayor que 14µs para evitar la ISI. •Velocidad menor de 70Kbaudios (approx)

12

Ancho de banda de coherencia Dominio de la frecuencia

Dominio del tiempo

s (t )

S( f ) F f 0 TS

1 TS

t

Margen de frecuencias en el que la respuesta es plana

στ dispersión del retardo φ h (0; τ )

Φh (Δf ) F

Bc Alta correlación entre las amplitudes de dos sinusoides de frecuencias f1, f2 que cumplen |f1- f2| < BC

Δf

13

Dispersión del retardo-ancho de banda de coherencia z

La dispersión del retardo y el ancho de banda de coherencia (Bc) son invesamente proporcionales

Bc ≈

1 50σ τ

…

Dos sinusoides separadas en frecuencia Bc Hz tienen una correlación de 0.9

Bc ≈

Dos sinusoides separadas en frecuencia Bc Hz tienen una correlación de 0.5

1 5σ τ

Ejemplo

φ h (0; τ )

4.38 µs

_

_

τ = 4 . 38 μ s τ 2 = 21 .07 μ s 2

1.37 µs 0 dB

()

στ = τ 2 − τ

-10 dB

2

Bc (50%) ≈

-20 dB -30 dB

τ 0

1

2

5

(µs)

= 1.37 μ s

1 5σ τ

= 146 kHz

Ancho de banda para GSM = 200 KHz

14

Dispersión Doppler Se origina cuando existe movimiento relativo entre transmisor y receptor. z Dispersión Doppler, BDoppler: describe el ensanchamiento en frecuencia debido al desplazamiento Doppler z

…

Si se transmite una sinusoide de frecuencia fc, el retorno contendrá frecuencias en el rango: (fc-max(fDoppler) , fc+max(fDoppler));

∫− f ( f

− f c ) S ( f − f c ) df

fm

B Doppler =

z

2

m

fm

∫− f

m

S ( f − f c ) df

1.5

S( f ) =

Tiempo de coherencia TC =

⎛ f − fc ⎞ ⎟ ⎝ fm ⎠

BDoppler

2

π fm 1 − ⎜

1 1 λ = = max( f Doppler ) f m v fc - fm

…

En la práctica

Tc =

9 16π f m2

0, 423 = fm

fc

fc + fm

f

15

Tiempo de coherencia Dominio del tiempo

Periodo de símbolo

Dominio de la frecuencia

Ancho de banda de transmisión

fc+fm

fc-fm

Tc

Tiempo de coherencia: intervalo sobre el que la respuestas impulsionales del canal están muy correladas

fc - fm

fc + fm

2 ∫− f ( f − f c ) S ( f − f c ) df fm

B Doppler =

m

fm

∫− f

m

S ( f − f c ) df

16

Tipos de Fading de Pequeña Escala z

Según se vio antes pueden existir diferentes tipos de efectos que alteran la señal. Por un lado, la propagación multitrayecto produce dispersión en tiempo, y fading selectivo en frecuencia … Por otro, la dispersión Doppler produce dispersión de frecuencia y fading selectivo en tiempo …

z

Ambos mecanismos son independientes entre si.

17

Clasificación de canales Según la dispersión del retardo (multitrayecto)

Fading Plano 1. BS < BC Ù στ < Ts 2. Distribución Rayleigh, Ricean 3. Conserva espectro de la señal transmitida

Fading selectivo en frecuencia 1. BS > BC Ù στ > Ts 2. Intersymbol Interference 3. No conserva espectro de la señal transmitida 4.

Pueden resolverse las componentes

de Multipath. Canal

Canal

Señal

Señal BC

BS

BS

frec.

BC

frec.

18

Clasificación de canales Según la dispersión del retardo (multitrayecto)

Fading Plano 1. BS < BC Ù στ < Ts 2. Distribución Rayleigh, Ricean 3. Conserva espectro de la señal transmitida

Fading selectivo en frecuencia 1. BS > BC Ù στ > Ts 2. Intersymbol Interference 3. No conserva espectro de la señal transmitida 4.

Pueden resolverse las componentes

de Multipath.

19

Clasificación de canales Según las varianza temporal (Doppler)

Fast Fading

Slow Fading

1. Alta dispersión Doppler 2. 1/BDoppler ≅ TC < Ts

1. Baja dispersión Doppler 2. 1/BDoppler ≅ TC> Ts

Signal

Signal Doppler BD

BS

freq.

Doppler BS

BD

freq.

20

Tipos de Fading de Pequeña Escala z

Estos efectos se pueden combinar: por ejemplo un canal puede tener a la vez fading plano y fading rápido. …

z

Ello ocurre si la respuesta a impulso del canal es esencialmente un solo impulso (fading plano) pero esta respuesta, o sea el impulso, toma diferentes amplitudes según cuando se aplica la excitación, y el cambio ocurre más rápido que la variación de la señal de banda base (fading rápido).

Un canal selectivo en frecuencia con fading rápido presenta múltiples impulsos de respuesta a un impulso y estos cambian más rápido que la señal transmitida

21

Tipos de Fading de Pequeña Escala

Ts

Fading plano lento

Fading plano rápido

στ

dispersión multi trayecto rms

Ts = duración del símbolo

más multipath Fading selectivo lento

Fading selectivo rápido más Doppler spread

Tcoherencia

Ts

22

Tipos de Fading de Pequeña Escala

Bs

Fading selectivo

Fading selectivo en

en frecuencia rápido frecuencia lento

Bs = ancho de banda de la señal en banda base

BC más multipath Fading plano

Fading plano

rápido

lento más Doppler spread

BDoppler

Bs

23

Efecto en el tiempo de la dispersión Doppler Intensidad (normalizada por el valor cuadrático medio) de señal en un entorno de comunicaciones móviles Intensidad de señal (dB por encima rms)

z

…

⎛ r (t ) ⎞ ⎟ ⎝ R RMS ⎠

ρ (t ) [dB]=20log 10 ⎜ 10 5 0 -5 -10 -20 -25 -30 -35 -40

fc = 900 MHz v = 120 km/h

λ

50

v = 33 [ m/s ] f Doppler = 100 [ Hz ]

Desvanecimiento selectivo en tiempo

2 0

λ = 0.33 [ m ]

100 150 Tiempo (ms)

200

250

¿Cuál es el modelo estadístico que la describe?

24

Modelado de canales móviles N(ρTH) es el número de veces que la señal cruza un cierto nivel ρTH por unidad de tiempo. …

Para valores de ρTH muy grandes o muy pequeños, habrá un pequeño número de cruces. Intensidad de señal (dB por encima rms)

z

⎛ r (t ) ⎞ ⎟ ⎝ R RMS ⎠

ρ (t ) [dB]=20log 10 ⎜ 10 5 0 -5 -10 -20 -25 -30 -35 -40

N ( ρ TH ) ↓ N ( ρ TH ) ↑

ρ TH [dB] N ( ρ TH ) ↓

0

50

100 150 Tiempo (ms)

200

250

25

Modelado de canales móviles con desvanecimientos lentos y planos en frecuencia (SFF) z

Si tenemos en cuenta que...

(

)

0

z

... y que la distribución de probabilidad 2 ⎡ R 2 ⎤ 1 exp ⎢ − p ρ , R = 2 

ρ e− ρ ⎥ 2π b2 ⎣ 2b2⎦

p R ( R ) → Rayleigh   

(

)

p R ( R ) → Gaussiana

Se puede demostrar que...

z

2π f Doppler ρ e

[Cruces/segundo]

N(ρ) tiene su máximo para ρ=1/√2 es decir, con |r(t)| 3 dB bajo el valor rms. …

Doppler

N (ρ ) =

−ρ2

N(ρ)/f

z

Numero de Cruces por segundo (normalizado)

∞ N ( ρ ) = ∫ R ⋅ p ρ , R dR

N max = π e

1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 -30

-25

-20

-15

-10

ρ [dB] (normalizado)

-5

− 3 dB

0

5

Valor máximo

N max = f Doppler π e

26

Modelado de canales móviles z

Duración media de un desvanecimiento por debajo del nivel “ρTH” …

Se define como el tiempo durante el cual la señal está por ⎡ r ( t ) promedio ⎤ ≤ ρTH ⎥ debajo de un nivelPrρ⎢THR específico. −ρ ρ τ=

¾

z

⎣⎢

RMS

N ( ρTH )

⎦⎥ =

1− e

2 TH

2π f Doppler ρTH e − ρTH 2

=

e

2 TH

−1

ρ f Doppler 2π

Cuando ρ TH = 0.1 (-20 dB ), ⎫ → τ RMS = 2 mseg. Ejemplo: ρTH (umbral) 20 dB por debajo del ⎬valor de la envolvente. f c = 1.5GHz, v = 50km/h ⎭

Sabiendo la tasa a la cual la señal en el receptor cae de un cierto nivel “ρTH” y por cuanto tiempo se mantiene (en promedio) por debajo, podremos determinar el numero esperado de símbolos

27

Ejemplo z

Considere un canal de comunicaciones móviles con desvanecimiento. v v Frecuencia de portadora: fc ⎫ ⎬ f Doppler = cos θ = f c cos θ c λ Velocidad del móvil: v ⎭ … Modulación binaria: Rb r (t ) … …

z

Dicho canal quiere modelarse empleando un modelo de canal discreto de dos estados:

Envolvente de ρ (t ) señal normalizada

=

Desvanecimiento

RRMS

ρUmbral

Estado S0 “bueno”: ρ > ρUmbral … Estado S1 “malo”: ρ < ρUmbral …

z

Tiempo t

ρUmbral es un dato conocido. P 1− P

1− p

S0 Pr(e)=0

S1 Pr(e)=1-h

p

28

Ejemplo ρ (t ) = z

La distribución estadística de la envolvente se puede caracterizar como Rayleigh. …

r (t ) RRMS

Desvanecimiento

Por tanto, la probabilidad de que la envolvente normalizada caiga por debajo de un valor ρUmbral es

Pr [ ρ (t ) ≤ ρUmbral ] = 1 − e − ρUmbral

ρUmbral

2

1

N ( ρUmbral )

Tiempo t

[segundos/cruce]

z

El valor medio del número de veces que la envolvente normalizada cruza el umbral en dirección positiva, por periodo de símbolo 2 es: N ( ρUmbral ) = 2π f Doppler ρUmbral e− ρUmbral [Cruces/segundo]

z

1/N(ρUmbral) también especifica la separación media, en segundos, entre dos desvanecimientos.

29

Ejemplo z

ρ (t ) =

Relación con el modelo de canal discreto …

r (t ) RRMS

Desvanecimiento

La probabilidad de estar en el estado malo es igual a la probabilidad de que la envolvente caiga por debajo del umbral ρUmbral

π1 =

2 P = 1 − e− ρUmbral P+ p

ρUmbral

Tiempo t

1− p

P

1− P

S1 Pr(e)=1-h

S0 Pr(e)=0

1ª Ecuación, dos incógnitas

…

p

p π0 = P+ p

π1 =

P P+ p

30

Ejemplo z

La duración media de los desvanecimientos es Pr [ ρ (t ) ≤ ρUmbral ] eρ − 1 τ = = 2 Umbral

N ( ρUmbral )

1

z

r (t ) RRMS

e

2 ρUmbral

−1

ρ Umbral f Doppler 2π

ρUmbral

Supongamos que acabamos de entrar en el estado “malo”. ¾

El número medio de símbolos durante una ráfaga en el estado “malo” (⇔ desvanecimiento) es 1/p

1 p= Rbτ 1

2ª Ecuación

…

τ0

τ1 1

N ( ρUmbral )

[ bits]

Modelo de Gilbert …

Desvanecimiento

[seg.]

El número medio de símbolos (bits) transmitidos durante un desvanecimiento es: Rbτ 1 = Rb

z

ρ Umbral f Doppler 2π

ρ (t ) =

[segundos/cruce]

Tiempo t

1− p

P

1− P

S1 Pr(e)=1-h

S0 Pr(e)=0

p Si p = 10−2 , en media se necesitan 100 simbolos para que se produzca una transicion desde S1 a S0