Introduccion a la Cosmologia y Estructuras a Gran Escala Sebastian Bruzzone Octubre 2006

´Indice general 0.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0.2. Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0.2.1. Redshift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2.2. Radiacion Cosmica de Fondo . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2.3. Abundancia Primordial de Elementos . . . . . . . . . . . 2 0.2.4. La edad del Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2.5. Estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3. Modelos Cosmologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3.1. Redshift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.3.2. El Universo Hoy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.3.3. El Universo Temprano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0.3.4. Horizontes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 0.3.5. Historia Termal, la relacion t-T . . . . . . . . . . . . . . . 11 0.3.6. Nucleosintesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 0.3.7. Radiacion Cosmica de Fondo (CMB) . . . . . . . . . . . . 15 0.4. Inflacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0.4.1. Motivacion para la Inflacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0.4.2. El problema de la chatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0.4.3. Problema del Horizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0.4.4. Reliquias No Deseadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0.4.5. Definicion de Inflacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0.4.6. Campos Escalares en Cosmologia . . . . . . . . . . . . . . 22 0.4.7. Aproximacion Estandar a la Inflacion:Slow-Roll Inflation . 23 0.4.8. Relaciones entre inflacion y el desarrollo lento . . . . . . . 24 0.4.9. Cantidad de Inflacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0.4.10. Soluciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0.5. Estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0.5.1. Ideas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0.5.2. El modelo mas simple para el origen de estructuras(Revisando las Ideas Generales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0.5.3. Fluctuacion de Vacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0.5.4. Evolucion lineal de perturbaciones cosmologicas. . . . . . 29 0.5.5. Entrando al horizonte y la perturbacion de curvatura R . 30 0.5.6. Anisotropias en CMD a grandes angulos . . . . . . . . . . 31 0.5.7. Anisotropias en CMB a gran escala y formacion de estructuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 0.6. Algunos valores del WMAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 .1. Ideas sobre Relatividad General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

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Resumen El fin de este trabajo es presentar una introduccin a la Cosmologia, las ecuaciones mas importantes relacionadas con la evolucion del Universo, asi como tambien de una inspeccion general del modelo del Hot Big Bang en la seccion Modelos Cosmologicos. A pesar de ser un modelo exitoso en la descripcion de las abundancias primordiales de elementos, presenta dificultades a la hora de abordar temas como la soprendente homogeneidad de la radiacion cosmica de fondo, la edad del Universo, las aparentes condiciones iniciales particulares para el Universo actual y de la creacion de estructuras primordiales. Como forma de enfrentar estas y otras cuestiones, un modelo inflacionario es brevemente discutido seguido del modelo del Hot Big Bang en la seccion Inflacion. En esta seccion se presentaran nociones elementales de un modelo inflacionario como asi de los campos que son sospechosos de general tal proceso de expansion. Como final, discutiremos brevemente como la materia oscura podria ser la encargada de la creacion de las primeras anisotropias en la densidad, dando origen asi a las primeras galaxias en la seccion Estructuras. Dentro de esta ultima seccion, se presentan, sin mucha argumentacion, algunas herramientas avanzadas para describir la evolucion de las perturbaciones encargadas de la aparicion de las primeras esctructuras.

0.1.

Introduccion

La premisa central en la cosmologia moderna es que al menos a gran escala, el Universo es homogeneo e isotropico. Esto ha sido inferido de las observaciones, mas espectacularmente de la cuasi igualdad en la temperatura de la radiacion cosmica de fondo. No obstante, a pesar de esta homogeneidad a gran escala, son bien conocidas la inhomogeneidades en regiones a escalas menores, donde el material aglomera en galaxias y en cumulos de galaxias. Se cree que estas irregularidades han crecido con el tiempo a traves de mecanismos gravitacionales, partiendo de una distribucion cuasi homogenea en un pasado. El comportamiento a gran escala del Universo puede ser desctrito si asumimos que este es homogeneo e isotropico en la mayoria de su extension. Luego imponemos irregularidades a corta escala. En la mayor parte de la evolucion del Universo, estas irregularidades pueden ser consideradas peque˜ nas perturbaciones en dicha evolucion, y que podran ser abordadas usando una teoria lineal de perturbaciones. La piedra angular de la cosmologia moderna es la teoria de nucleosintesis(Pagel 1997; Schramm y Turner 1998), donde se explica la abundancia primordial de los elementos mas livianos en la tabla periodica. Esta teoria se apoya en el modelo del Hot Big Bang, y su exito nos asegura que el modelo da una correcta descripcion del Universo empezando en alguna epoca antes de la generacion de los elemento livianos, la nucleosintesis. En un principio la densidad de energia estaba dominada por las particulas ultrarelativistas, llamadas radiacion y luego diminada por las particulas no relativistas, materia. En contraste con esta imagen que tenemos del Universo, no se sabe con certeza como se comporto el Universo un tiempo muy anterior a la nucleosintesis. Se piensa, de acuerdo al Modelo Estandar de particulas elementales, que el Universo era gaseoso en epocas muy tempranas salvo por muy breves transiciones de fase. Siendo poco especificos, esta era gaseosa generalmente se le conoce como el Big Bang, donde el termino caliente se omite porque no tiene necesariamente que estar en equilibrio termodinamico o ser dominado por radiacion. Antes de esto se supone que existio una epoca de inflacion, durante la cual la densidad de energia estuvo dominada por el potencial de los campos escalares. La Inflacion se supone que determina las condiciones iniciales para el Big Bang, incluida las perturbaciones. En la ultimas secciones se iguala la velocidad de la luz, c a uno, de manera que las velocidades se expresen en fracciones de la velocidad de la luz. Donde sea relevante se igualara ¯h a uno. Tambien es conveniente a menudo tomar la energia como unidad, y si igualamos la constante de Boltzmann a uno tendremos tambien la temperatura medida en unidades de energia. Con la constante de Newton G definimos la Masa Reducida de Planck M P l =(8πG)−1/2 . Con un valor para M P I =4,342x10−6 g la cual se convierte en una energia de 2,436x1018 GeV

0.2.

Observaciones

Cualquier modelo del Universo deberia ser capaz de eplicar o describir las siguientes observaciones.

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0.2.1.

Redshift

Las lineas espectrales de galaxias lejanas estan desplazadas hacia el rojo, donde observacionalmente uno encuentra la siguiente relacion conocida como Ley de Hubble c∆λ = H0 dr (1) cz ≡ λ donde λ es la longitud de onda, dr es la distancia de dos observadores solidarios a la expansion del Universo, o ¸comoving observers”. Aqui c seria igual a uno y H0 es la constante de Hubble cuyo valor reciente es: H0 = 100hkms−1 M pc−1

(2)

La incertidumbre h fue por mucho tiempo bastante grande (0,4 < h < 1). Mediciones con el telescopio Hubble indican que h = 0,65 ± 0,08 . Valores mas recientes del satelite WMAP dan h = 0,71 ± 0,04

0.2.2.

Radiacion Cosmica de Fondo

En todas direcciones uno observa una radiacion de cuerpo negro a una temperatura de T = 2,74K. Esta coincide extremadamente bien con la distribucion de Planck, es mas, es el mejor ajuste jamas obtenido para dicha curva. Las anisotropias en escalas angulares de alrededor de 7 grados descubiertas por el satelite COBE son del orden de δT ≈ 10−5 (3) T Se han encontrado fluctuaciones de temperatura a menores distribuciones angulares por los experimentos con globos Boomerang y Maxima y por el satelite WMAP.

0.2.3.

Abundancia Primordial de Elementos

Si uno trata, a partir de observaciones, de estimar las abundancias primordiales de elementos antes de que la materia fuese procesada en las estrellas uno obtiene las siguientes fracciones: 4

He (H +4 He) D H 7 Li H

0.2.4.

≈ 0,25 3

≈

He ≈ 10−4 − 10−5 H

≈ 10−10

La edad del Universo

La edad de las estrellas en cumulos globulares estan estimadas en 15 ± 3 Gyrs(1Gyrs=109 a˜ nos). Estudios de 1997 indican que las edades de estas viejas estrellas pueden haber sido sobrestimadas, dando una cota superior para ellas cercana a 10Gyrs. 2

0.2.5.

Estructuras

Figura 1: Fluctuacion relativa en densidad como funcion de la escala en Mpc La materia se encuentra condensada en estrellas, galaxias y cumulos de galaxias. A grandes escalas de alrededor de 100Mpc la materia se agrupa en estructuras filamentosas que encierran grandes volumenes vacios o desprovistos de materia. A escalas aun mayores se observa una distribucion homogenea, y el Universo parece casi el mismo en cualquier direccion donde se mire, es isotropico. La parte visible del Universo es alrededor de 3000Mpc.

0.3.

Modelos Cosmologicos

Asumiremos que el Universo es homogeneo e isotropico para simplificar las cosas. Asumiremos tambien que la materia puede ser descrita como un fluido perfecto. Es decir que se tiene un fluido cuya entropia se conserva (no tenemos viscosidades ni flujo de calor). Dicho fluido sera caracterizado por una densidad ρ, en un marco en reposo de materia con presion p. Entonces podemos pensar en las galaxias, en promedio1 , como las moleculas en un fuido, ubicadas en posiciones espaciales fijas. La distancia relativa entre las galaxias crecera con el tiempo debido a la expansion del Universo, esta distancia sera proporcional al factor de escala a(t) donde t es el tiempo cosmico. Un ¸comoving point.es un punto que se mueve con la expansion del Universo, definido formalmente como como la ubicacion de un observador que mide una densidad de momento igual a cero. La distancia para un ¸comoving point”dado, 1 Usaremos

el promedio para no considerar galaxias con velocidades peculiares

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medida desde nuentra ubicacion, puede ser escrita como r(t)=xa(t). Donde la constante x es la ¸comoving distance es igual a la distancia fisica en la presente epoca. Una variable un poco diferente, conocida como el tiempo conforme es de utilidad2 . Esta se define como 2

dτ =

dt a(t)

Para una particula moviendose a velocidad c=1, la coordenada de distancia viajada en un intervalo de tiempo conforme ∆τ es ∆τ . En cualquier epoca, la razon de expansion del Universo viene dada por el ˙ a(t) . El tiempo de Hubble H −1 y la longitud parametro de Hubble, H= a(t) de Hubble cH −1 coinciden al valer c = 1 La distancia de Hubble es de vital importancia debido a que nos provee de un estimativo de la distancia en la que la luz puede viajar durante un intervalo de tiempo en el cual el Universo se ha expandido apreciablemente. Esta distancia comunmente se le denomina horizonte. Debido a la finitez de la velocidad de la luz no podemos ver a distancia arbitrariamente grandes por lo que existira un llamado horizonte de particulas. Este ultimo horizonte nos dara una idea de la distancia viajada por la luz desde el origen del Universo, con a = 0. Podemos definir un ultimo horizonte, conocido como horizonte de sucesos, que sera la distancia viajada por la luz en un futuro. Para muchos propositos, uno puede ignorar la expansion del Universo en una region mucho menor que la distancia de Hubble, en un intervalo de tiempo mucho menor que el tiempo de Hubble, en pocas palabras, en la escala de Hubble(region en espacio-tiempo). Procesos como la propagacion de ondas o el establecimiento de equilibrio termodinamico ocurren como si no hubiese expansion alguna. Estos procesos no pueden concebirse a grandes escalas. Veremos mas adelante en el estudio de las inhomogeneidades como poder cuantificar escalas espaciales, es decir, dada una escala como esta se compara con la escala de Hubble correspondiente, digamos, longitud de Hubble. Las perturbaciones seran analizadas mediante un desarrollo de Fourier en un numero de onda solidario a la expansion, o un c¸omoving wave number”k. El inverso de este numero de onda define una longitud para la escala correspondiente a un modo particular de las inhomogeneidades. Al menos mientras las perturbaciones tengan peque˜ nas amplitudes, estas seran .estiradas”por la expansion por lo cual considerar unidades solidarias a la expansion sera favorable. Podremos comparar los modos con la longitud de k Hubble considerando el cociente , si es mayor que 1, el modo se dice que aH estara dentro del horizonte, mientras que si es menor que la unidad, el modo estara fuera del horizonte, lo cual significa que la escala es demasiado grande como para ser afectada por procesos causales. Con lo asumido anteriormente, se puede probar que los unicos elementos de linea que verifican las ecuaciones de Einstein tienen la forma ds2 = c2 dt2 − a(t)2 ( 2 Sera

dr2 + r2 (dθ2 + sin(θ)2 dφ2 )) 1 − kr2

muy util al momento de interpretar diagramas de espacio-tiempo

4

(4)

que son las soluciones con simetria esferica para el vacio de las ecuaciones de Einstein, donde k puede ser elegido como 1,0 o −1 de acuerdo si k < 0, k = 0 o k > 0. Estos elementos de linea describen espacios que se expanden o comprimen en el tiempo debido a un factor de escala a(t) y t es el tiempo propio medido por un observador fijo en coordenadas espaciales. Es estos modelos uno podra hablar de tiempo cosmico. k = 0: El espacio es plano, no siendo asi el espacio-tiempo. Es como el espacio ordinario, infinito en extension. Un Universo abierto. k < 0(k = −1): Este es tambien un Universo abierto pero con geometria hiperbolica. k > 0(k = +1): Este espacio es finito, el asi llamado Universo cerrado. Es el analogo a una esfera bidimensional pero en un espacio de cuatro dimensiones, no siendo espacio-tiempo. Una forma analoga de escribir el elemento de linea es: ds2 = c2 dt2 − a(t)2 (dχ2 + σ(χ)2 (dθ2 + sin(θ)2 dφ2 ))

(5)

Siendo r = σ = {sinχ, χ, sinhχ} para k = {+1, 0, −1} respectivamente. En esta ecuacion el tiempo propio es simplemente t para galaxias solidarias a la expansion.

0.3.1.

Redshift

Veremos como ahora el redshift en la lineas espectrales de galaxias puede ser explicado en terminos de un Universo en expansion. Supongamos que se envia una se˜ nal luminosa es enviada desde el punto(χ1 , θ1 , φ1 ) en un tiempo t1 y es recibida en coordenadas (0, θ1 , φ1 ) en un tiempo t0 , o sea en el presente. Este seria un camino radial ya que dθ = 0 y dφ = 0 de otra forma el Universo no seria isotropico. Como sabemos, las se˜ nales de luz viajan siguiendo geodesicas en el espaciotiempo, verificando entonces ds2 = 0. ds2 Z

t0

t1

cdt a(t)

=

0 ⇒ 0 = c2 dt2 − a(t)2 dχ2

= χ1

(6) (7)

De forma similar para una se˜ nal enviada en t1 + dt1 y recibida en t0 + dt0 Z t0 +dt0 cdt = χ1 (8) t1 +dt1 a(t) Restando (7) y (8) tenemos: Z t0 +dt0 Z t0 cdt cdt0 cdt1 cdt 0= − = − a(t) a(t) a(t ) a(t 0 1) t1 +dt1 t1

(9)

si asumimos que el tiempo entre las dos se˜ nales dt corresponde a un periodo, T = λ/c, ya que como este es infimamente mas peque˜ no que la edad del universo, podemos ademas considerar a constante: a(t0 ) dt0 λ0 = = a(t1 ) dt1 λ1 5

(10)

Notar que la longitud de onda crecera proporcionalmente con el factor de escala a(t). Obtenemos entonces el redshift: z≡

a(t0 ) a0 λ0 − λ1 = −1≡ −1 λ1 a(t1 ) a1

(11)

Podemos ahora desarrollar a1 alrededor de t0 (presente): a(t1 ) = a(t0 ) +

da 1d2 a |t (t1 − t0 ) + ... |t0 (t1 − t0 ) + dt 2dt2 0

(12)

Con esto hecho, sustituyendo en la definicion de redshift, uno encuentra: z = H0 (t0 − t1 ) + (1 + en donde H0 ≡

q0 2 )H0 (t0 − t1 )2 + .. 2

(13)

a˙0 a0 a ¨ y q0 = − 2 . a0 a˙0

Tenemos que la constante de Hubble nos da una medida de la velocidad de expansion del Universo y q0 , el parametro de desaceleracion, una medida de como se frena la expansion en la actualidad. Este parametro q0 es de importancia ya que uno esperaria que la gravedad enlenteciese la expansion del Universo debido a la accion conjunta de toda la materia presente en este. Vemos que para pequ˜ nas distancias d ≈ (t0 − t1 ), encontramos asi la ley de Hubble: cz = H0 d

(14)

Es decir cuando z 0

20

(85)

La inflacion a veces se describe como una rapida expansion, pero no es claro respecto a que la expansion se supone que es rapida. Hay una definicion alternativa para la condicion de inflacion que no permite una interpretacion fisica. Inflacion ⇐⇒

d H −1