INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA

M. Sc. Samuel Canchaya Moya CONSULTOR

INDICE Introducción El concepto de autocorrelación Introducción al análisis variográfico geoestadístico La varianza de estimación o extensión Introducción al krigeage El concepto de Anisotropía Bibliografía.

INTRODUCCION Ya se han cumplido más de cuatro décadas del nacimiento de la Geoestadística Matheroniana (MATHERON 1962a, 1963); por lo que estos métodos, basados en la Teoría de la Variables Regionalizadas, están lo suficientemente difundidos en la actualidad. Es por este motivo que la mayor parte de paquetes importantes de software que se aplican a la minería, presentan módulos de evaluación por krigeage, que es el método de estimación geoestadístico (MATHERON 1962b; DAVID 1976; DELFINER & DELHOMME 1973) superior a cualquier otro por sus características de no sesgo y mínimo error. Sin embargo en la actualidad todavía se realizan evaluaciones con métodos tradicionales. Las principales razones son: la simplicidad y rápida aplicación de estos últimos, en comparación con el mayor grado de dificultad que implica la evaluación por krigeage; además de la necesidad de tener un mínimo conocimiento especializado para aplicar el método geoestadístico. En algunos países, entre ellos Estados Unidos de Norteamérica, se entiende por Geoestadística a cualquier aplicación de la estadística en Geología y ramas afines, como Minería y Petróleo; en este trabajo estamos considerando como tal sólo a la Geoestadística Matheroniana, cuya principal herramienta es el Variograma. Con el tiempo es posible que la estimación de reservas por métodos tradicionales se circunscriba sólo a una necesidad académica, histórica o a ciertos casos donde se sepa de una regionalización completamente aleatoria, cosa muy rara en la naturaleza. En una encuesta estadística realizada por CHAMPIGNY & ARMSTRONG (1993), involucrando a las 19 empresas de oro mas representativas del mundo, antes de la última década del presente siglo sólo el 11% de ellas no está utilizando la geoestadística para la estimación de reservas. Aquellas personas que sólo aplican métodos estadísticos tradicionales (univariables y multivariables) en el análisis de variables regionalizadas (geo-referenciadas en el tiempo o el espacio) tienen y van a tener una serie de problemas, la mayor parte de los cuales a veces no pueden explicar. La principal restricción de los métodos estadísticos tradicionales es la abstracción que hacen de la ubicación de las muestras en el tiempo o el espacio. El objetivo principal es utilizar los conceptos y parámetros de la caracterización variográfica geoestadística para minimizar las limitaciones intrínsecas de los métodos tradicionales. Esto no es difícil de realizar ya que en la actualidad, prácticamente todos los paquetes medianos y grandes de software aplicados a geología, minería y metalurgia tienen en sus módulos de estimación de reservas alguna forma de hacer análisis variográfico geoestadístico. El presente trabajo ha sido preparado para que sirva de guía teórica del Curso que se va a dictar a varios ingenieros de la Mina El Brocal S. A.

AUTOCORRELACION Las denominadas variables regionalizadas son aquellas cuyos valores (realizaciones) están relacionados con ubicaciones precisas en el tiempo o espacio (variables geo-referenciadas). Es de esperar que dos valores contiguos Z(xi) y Z(xi+h), separados una distancia h, estén relacionados entre sí (autocorrelación), es decir que sus valores sean dependientes el uno del otro; esto debido a que casi siempre toda variable tiene un patrón de distribución (o estructura, como se le llama en geoestadística), ya que nada es al azar en la naturaleza. También sabemos que debido a la complejidad de los procesos geológicos no habrá patrones de distribución idénticos. Lo mismo ocurre con la mayor parte de variables involucradas en procesos de beneficio de minerales (Mineralurgia). La estadística clásica no puede reconocer dichas estructuras ya que sus parámetros y funciones no toman en cuenta la ubicación de los datos. Por ejemplo, la altura media de los alumnos de un salón no se modificará así éstos se cambien de asiento una y otra vez. Para explicar esto nos referiremos a la fig. 1, en la cual hacia el borde izquierdo se está representando dos tramos (puede ser de galería, taladro, etc.) con las leyes que se han analizado cada cierta distancia. Salta a la vista que los valores del tramo A tienen un patrón de distribución o estructura (los valores aumentan hacia el centro y disminuyen hacia los flancos); mientras que en el tramo B tenemos una distribución al azar. Nótese que en ambos casos estamos usando los mismos dígitos, por lo que no sorprende que la media “m” la varianza “σ σ2” y el histograma en los dos tramos sean los mismos; mas no así la función variograma “γγ(h)” que en el tramo A muestra una clara dependencia con respecto a “h”, que es la separación entre las muestras; mientras que en el tramo B dicha función es independiente de h, lo cual es típico de distribuciones al azar, prácticamente inexistentes en la naturaleza; ya que por lo general, las variables cuantificables o semicuantificables, relacionadas con los yacimientos, se originan por determinados procesos que les imprimen un patrón característico, es decir todo lo contrario a una distribución al azar.

INTRODUCCION AL ANALISIS VARIOGRAFICO GEOESTADISTICO El variograma es una de las herramientas más poderosas que tiene la geoestadística. Vamos a definirla tomando el caso de un depósito D, el cual consiste de una infinidad de puntos xi, cada uno de ellos con un valor determinado de la variable Z(xi) que nos interesa estudiar (puede ser ley de Au, contenido de As, intensidad de una alteración, peso específico, dureza, porosidad etc.). Estas entidades son denominadas variables regionalizadas porque sus valores corresponden a ubicaciones precisas en el tiempo o espacio. Es de esperar que dos valores contiguos Z(xi) y Z(xi+h), separados una distancia h, estén relacionados entre sí (autocorrelación), es decir que sus valores sean dependientes el uno del otro; esto debido a que casi siempre toda variable tiene un patrón de distribución (o estructura, como se le llama en geoestadística), ya que nada es

al azar en la naturaleza. También sabemos que debido a la complejidad de los procesos geológicos no habrán patrones de distribución idénticos. La estadística clásica no puede reconocer dichas estructuras ya que sus parámetros y funciones que no toman en cuenta la ubicación de los datos. Por ejemplo, la altura media de los alumnos de un salón no se modificará así éstos se cambien de asiento una y otra vez. Para explicar esto nos referiremos a la fig. 2, en la cual hacia el borde izquierdo se está representando dos tramos (puede ser de galería, taladros, etc.) con las leyes que se han analizado cada cierta distancia. Salta a la vista que los valores del tramo A tienen un patrón de distribución o estructura (los valores aumentan hacia el centro y disminuyen a los flancos); mientras que en el tramo B tenemos una distribución al azar. Nótese que en ambos casos estamos usando los mismos dígitos, por lo que no sorprende que la media “m” la varianza “σ σ2” y el histograma en los dos tramos sean los mismos; mas no así la función variograma “γγ(h)” que en el tramo A muestra una clara dependencia con respecto a “h”, que es la separación entre las muestras; mientras que en el tramo B dicha función es independiente de h, lo cual es típico de distribuciones al azar, prácticamente inexistentes en la naturaleza. El variograma puede ser estimado a partir de datos experimentales (por ejemplo las leyes provenientes de una campaña de muestreo) empleando la fórmula general :

n-h

∑  Z (x i + h) - Z(x i) 2 i=1

2 γ (h) = =

donde: Z Z(x) Z(x+h) h n 2 γ(h) γ(h)

: : : : : : :

(1) (n-h)

es la variable estudiada es el valor de dicha variable en el punto x es el valor de la variable en el punto (x+h) es el paso entre las muestras (distancias iterativas) número de pares de valores valor de la función variograma para un valor h. valor de la función semivariograma (denominada usualmente variograma)

Todos los paquetes de “software” aplicados a minería utilizan esta fórmula para el cálculo de los variogramas experimentales; las respectivas facilidades gráficas nos mostrarán variogramas con apariencia similar a la que se a idealizado en la fig. 3, que nos servirá para explicar los principales parámetros de la función variograma.

Dentro de la distancia a (alcance), la variable es totalmente estructurada, es decir depende, o está controlada, por la función γ (h). Mas allá de a la variable es aleatoria, o sea independiente de la función variograma: la curva se transforma en una meseta (C+Co) cuyo valor teóricamente debe coincidir con la varianza estadística de todos los datos involucrados en el cálculo del variograma, lo cual no siempre es el caso. Para h = 0 la función variograma debería dar cero y pasar por el origen; sin embargo la función a veces presenta una “discontinuidad al origen” simbolizada como Co (efecto pepita), que nos da cuenta de cambio bruscos de los valores a pequeña escala, lo cual generalmente sucede cuando se sobrepasa subestructuras por debajo de la escala de trabajo. Este valor también puede aparecer debido a errores sistemáticos: en el muestreo o durante el proceso de análisis químico. En la fig. 3 se muestra algunos ejemplos de variogramas experimentales (sucesión de puntos), debidamente ajustados a variogramas teóricos (curvas continuas), algunos de los mas importantes se muestran en la fig. 4. Al ajustar un variograma experimental a uno teórico, se debe determinar los parámetros mencionados en los párrafos anteriores. Tales parámetros y la forma misma del variograma ajustado nos serán de ayuda para optimizar los principales métodos de estimación de reservas. Los variogramas experimentales se pueden calcular a partir de una sucesión lineal de puntos, como por ejemplo a lo largo de un taladro de perforación (variograma monodimensional); también se pueden calcular a partir de un conjunto de datos ubicados en un mismo plano (variograma bidimensional), como por ejemplo una veta, un manto angosto, un banco o una sección cualquiera. En la actualidad existen programas que permiten el cálculo de variogramas a partir de una distribución tridimensional (variograma 3D), lo que antes sólo se podía realizar subdividiendo en cuerpo tridimensional en tajadas (bancos o secciones). Los detalles de cálculo de los variogramas experimentales escapan al sentido del presente trabajo. Se puede calcular el variograma de prácticamente cualquier variable; lo único que necesitamos es un conjunto de datos experimentales con su ubicación en el tiempo o el espacio. Esto quiere decir que no sólo vamos a poder trabajar con leyes, sino que también podemos procesar otras variables menos comunes como: peso específico, porosidad, densidad de fracturamiento, potencia de la estructura, precio del oro, etc. Sólo necesitamos una forma de cuantificarlas para luego procesarlas con la fórmula (1) de manera similar como se hace con las leyes.

En el análisis variográfico, la única restricción que se debe atender es la “hipótesis de estacionariedad”, que exige que el variograma se calcule para un dominio con un determinado patrón de distribución constante. Lo cual automáticamente implica tener en cuenta las discontinuidades geológicas: fallas, cambios de litología, alteración, etc. La solución mas práctica es circunscribirse a dominios estacionarios, es decir realizar el análisis variográfico respetando las discontinuidades geológicas. Es por eso que la correcta aplicación de la geoestadística nos obliga a tener muy en cuenta la información geológica, lo cual en buena cuenta es lograr el tan ansiado equilibrio entre los métodos determinísticos y probabilísticos; siendo difícil que una aplicación geoestadística se haga de espaldas a la información geológica y mineralógica.

LA VARIANZA DE ESTIMACION O EXTENSION

5

Estamos obligados a explicar este concepto, ya que está involucrado en cualquier estimación de reservas, que no es otra cosa que la “extensión” del valor de una o mas muestras relativamente puntuales (volumen v), a un volumen mayor V (panel o bloque); extensión que irremediablemente implica un error, que no es otra cosa que la diferencia entre el valor estimado y el valor real. En la estadística clásica y por ende en todos los métodos de estimación de reservas tradicionales, no es posible estimar tal error, ya que primero es necesario conocer el valor real, cosa que es imposible incluso al final de la vida de la mina. Esto es una de las principales diferencias entre los problemas industriales, técnicos o científicos puros, donde generalmente es posible conocer el valor real y por ende el error. Para aplicaciones en ciencias naturales y sus derivados (geoelogía, ingeniería forestal, batimetría, minería, etc.) la geoestadística tiene una alternativa para determinar este error: la varianza de estimación

σ

2 E

, la cual no depende de los valores reales de la información v utilizada ya que se expresa en función del variograma por la fórmula:

2

σE

= 2 γ ( V, v ) - γ ( v 2 ) - γ ( V2 )

(2)

donde :

γ (V, v) : designa el valor medio de γ(h) = γ (MM’) cuando los dos puntos de apoyo M y M’ del vector h describen independientemente uno del otro, los dos volúmenes o conjuntos V y v.

γ (V2) : designa el valor medio de γ(h) cuando los dos puntos de apoyo M y M’ del vector h describen, independientemente uno del otro, el volumen V.

γ ( v2) : designa el valor medio de γ (h) cuando los dos puntos de apoyo M y M’ del vector h describen, independientemente uno del otro, el volumen v.

Por lo general, en configuraciones sencillas a veces es suficiente con emplear ábacos para estimar esta varianza de dispersión y con ese conocimiento tomar decisiones a priori, tan trascendentales que pueden comprometer los resultados de una campaña de exploración o la decisión de abandonar un proyecto rentable. Por ejemplo en el ábaco de la fig. 5 se comparan dos configuraciones por tramos, una con las muestras en los extremos y la otra con la muestra en el centro del tramo. Resulta obvio que el error involucrado al estimar (extender) la ley de un tramo desde la ley centrada es mayor que el error que resulta al asignar la ley a partir de puntos de muestreo en los extremos del tramo; esto es válido para distancias de muestreo mayores que los del alcance del variograma respectivo. Para casos algo mas complicados debemos utilizar la fórmula (2), que sólo se basa en el variograma y en las características geométricas de los paneles, mas no en los valores que puedan tener los taladros. Lo cual nos permite estimar el error a priori: ¡antes de perforar el primer metro!

INTRODUCCION AL KRIGEAGE La forma más simple y más errónea de calcular valores desconocidos a partir de valores conocidos es el promedio aritmético simple. Es erróneo porque no se tiene consideración alguna de la posición relativa de los valores conocidos con respecto al punto, panel o bloque a estimar. Se dio un gran paso histórico cuando se consideró necesario ponderar los valores de las muestras que participan en la asignación de un promedio a un punto, bloque o panel; estos métodos se clasifican como métodos de distancias ponderadas.

6

A FIG. 6

4 P

B

1 C

P* =

6+5+4+1 4

5

D

P* = 4.0

Los métodos de ponderación por el inverso de la “n” potencia de la distancia (IPD) son los mas difundidos de todos los métodos tradicionales. Sin embargo, debido a que también involucran una serie de suposiciones e imposiciones empíricas y arbitrarias, su aplicación encuentra una serie de problemas, algunos de los cuales se pueden minimizar con ayuda de la información que brinda el variograma. Para ello vamos a referirnos a la fig. 6, en la cual tenemos cuatro puntos (A, B, C y D) con sus respectivas leyes (6, 4, 1 y 5). Se trata de estimar el valor desconocido en el punto P. La forma mas simple es sumar los cuatro datos y dividirlos entre cuatro. En este caso a cada valor le estamos asignando arbitrariamente en mismo peso; independiente de su cercanía o lejanía al punto P.

Intuitivamente sentimos que esto no es correcto, que de alguna manera, las muestras más cercanas deben influir mas que las lejanas; y que por lo tanto, debe haber una distancia mas allá de la cual, dicha influencia debe ser despreciable. Esto último da origen a la denominada “área de influencia”, que se suele aplicar en todos los métodos IPD. En el caso de una configuración bidimensional, dicha área de influencia es un círculo; mientras que en el caso de una tridimensional es una esfera. Hay dos problemas que resultan como consecuencia inmediata de esto; por un lado el uso de una figura isométrica, implica que estamos idealizando al considerar una regionalización isótropa; por otro lado el radio de dicha área de influencia es seleccionado en forma completamente arbitraria. Salta a la vista de que manera podemos mejorar la calidad de los métodos IPD aplicando un área de influencia a partir del análisis variográfico realizado en varias direcciones, convenientemente seleccionadas.

En la fig. 7 se muestra paso a paso la estimación del valor de P usando el método del Inverso del Cuadrado de la Distancia ICD; nótese que se ha aplicado un radio de influencia (R=70); el cual arbitrariamente ha dejado fuera de cálculo al valor del punto A. Si hubiéramos escogido R=90, el punto A se incluiría en los cálculos; mientras que con R=60; sólo entrarían los puntos B y C. Los resultados obviamente dependerán de esta selección; lamentablemente el método por si mismo no cuenta con la posibilidad de resolver este problema. Algunos variogramas experimentales como el de la fig. 3A, presentan bajadas súbitas de su meseta, en este caso a la altura de h = 40. Esto es lo que se denomina efecto hoyo y corresponde a subregionalizaciones alternadas, como la alternancia de zonas ricas y pobres. En la mina de donde proviene el ejemplo se tienen clavos auríferos separados unos 40 metros entre si. Estas discontinuidades también deberían ser consideradas al momento de la configuración de los paneles y bloques.

FIG. 7 ESTIMACION POR EL METODO DEL INVERSO DEL CUADRADO DE LA DISTANCIA:

6

A

R = 70 RADIO DE INFLUENCIA

B

P C

d

4

PA 90

1 R

5

D

(1/d) (1/d)2

λi

Ley

fuera de R

6

PB 20 0.050 0.0025 0.81

4

PC 50 0.020 0.0004 0.13

1

PD 65 0.015 0.0002 0.06

5

0.095 0.0031 1.00

P*ICD = 0.81x4 + 0.13x1 +0.06x5 = 3.67

P*ICD = 3.67

Otro aspecto importante es el denominado “drift” o tendencia que presentan ciertos variogramas después de alcanzar la meseta. Tal es el caso del variograma de la fig. 3C, en el cual se nota una subida constante de los puntos del variograma, a partir de h = 160. La presencia de “drifts” es señal de no-estacionariedad, producto de la presencia de tendencias muy marcadas en la distribución de las variables. De lo único que hay que tener cuidado en este caso es de no configurar paneles con dimensiones que nos comprometan con este drift; que para el caso de la fig. 3C sería 160 metros. Si tuviéramos variogramas con una tendencia mas marcada o dominante, es preferible primero ajustar a los datos una superficie de tendencia (“trend surface”) y luego trabajar con los residuos; de lo contrario en lugar de realizar la estimación por krigeage simple, hacerlo por el llamado krigeage universal (MATHERON 1969). A continuación vamos a presentar, de manera muy simplificada, el método de krigeage. Para una explicación mas amplia referirse a: DAVID (1976, 1977), JOURNEL & HUIJBREGTS (1978: 303-343) y GUIBAL & TULCANAZA (1974: 16-32). Básicamente el método de krigeage nos da la posibilidad de asignar un ponderador exacto λ i a cada valor Zi que participa en la estimación de un valor desconocido P* (punto, panel o bloque). De manera similar a los métodos IPD, el valor estimado de P se calcula de ecuaciones lineales de la forma :

P* = ∑ λ i Z i

(3)

Cada valor del ponderador λi se calcula de un sistema de ecuaciones denominado sistema de Matheron; la forma general de presentar este sistema de ecuaciones es como sigue:

n

∑

λi γ ij = λpi - µ

j =1

(4)

n

∑ λ j =1 j =1

Donde : i, j : 1, 2, 3 .... , n. γ ij : es el valor promedio del variograma γ(h) = γ (MN) cuando M recorre la muestra n = i y N recorre independientemente la muestra j. λpi : es el valor medio del variograma γ(h) = γ (MN) cuando M se mueve sobre el panel P y N se mueve independientemente sobre la muestra i. µ : es el parámetro de Lagrange. Lo que se obtiene es un sistema con (n+1) ecuaciones y (n+1) incógnitas (los n ponderadores λi y el parámetro de Lagrange µ), que se resuelven para encontrar el valor de cada ponderador λi , éstos son luego reemplazados en la ecuación ( 3 ) para finalmente encontrar el valor estimado P* de la variable en estudio. Tal sistema de Matheron tiene a su vez la propiedad de otorgar una varianza de estimación mínima, cuya expresión matemática general es : n

σ 2 = ∑ λi γpj + µ - γ pp k j =1

(5)

la cual representa la medida de la precisión de la estimación, y que no depende de los valores reales de la información utilizada. Volviendo a la fig. 6, vemos como la aplicación de la ecuación (4) nos permite configurar un sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas (entre ellas los λi). Para resolver este sistema sólo necesitamos calcular por computadora o estimar por ábacos los variogramas γi y γip, basados en el análisis variográfico; para luego reemplazarlos en el sistema de ecuaciones y resolverlo. Procediendo de esta forma se obtuvieron los valores λi que se dan en la fig. 8. Nótese que el mayor ponderador es λD, que concentra el 55% del peso; mientras que el más bajo es λB, con sólo el 10%.

FIG. 8 ESTIMACION POR KRIGEAGE:

6 A C

P

B

4

1 D

ANISOTROPIA R = 80 r = 40

5

γAAλA + γABλB +γACλC + γADλD + µ = γAP γBAλA + γBBλB +γBCλC + γBDλD + µ = γBP γCAλA + γCBλB +γCCλC + γCDλD + µ = γCP γDAλA + γDBλB +γDCλC + γDDλD + µ = γDP λA + λ B + λ C + λ D = 1 λA = 0.20 λB = 0.10 P*K = AλA + BλB + CλC + DλD λC = 0.15 P*K = 3.10 λD = 0.55 ERROR DE ESTIMACION =

2

K

= ∑ γiP λi

+

γPP - µ

Estos resultados podrían parecer contrarios a lo que nos dicta nuestra intuición, sobre todo si estamos acostumbrados a los métodos IPD; puesto que los valores mas lejanos tienen mas peso que los mas cercanos. Lo que pasa es que existe un marcado ”trend” de mineralización en dirección NW, por lo que es de esperar una mejor continuidad de los valores en dicha dirección y consecuentemente una mayor variabilidad en la dirección ortogonal. Esta característica del patrón de distribución se refleja en el peso de los ponderadores. Calculando el valor de γPP, y reemplazándolo en la ecuación (5), junto con los ya conocidos µ y λiP, se calcula la varianza de krigeage σk2; que nos permite tener una idea concreta de nuestro error de estimación; parámetro que no se puede calcular en ninguno de los otros métodos de estimación.

FIG. 9 ESTIMACION DE LA LEY MEDIA EN EL TRAMO S2 A S3

ω

γ (h ) = h ω

VARIOGRAMA:

γ (h)

1

Z2

λ

2

S3 Z3

λ

3

S4 Z4

λ

COMENTARIOS:

4 MEJOR ESTIMADOR:

0.25

0

MEDIA

En la Fig. 9 se muestra γ (h) VARIOGRAMA cómo los ponderadores LINEAL adquieren valores diferentes 1 dependiendo de la “estructura” de cada distribución, característica γ (h) GRAN REGULARIDAD que se encuentra reflejada 3/2 en su respectivo variograma. Se trata de estimar por krigeage la ley media de la porción entre los puntos S2 y S3. Zi es ponderador respectivo.

0.25

0.25

LEY MEDIA

0.25

UNICO CASO DE VALIDEZ DE LOS METODOS CLASICOS

h

γ (h) REGULARIDAD

0.07

0.43

0.43

0.07

0.50

0.50

0

LOS DOS PUNTOS MAS CERCANOS AL SEGMENTO ESTIMADO TIENEN MAS PESO

h 0

NO INTERVIENEN LOS PUNTOS LEJANOS PROPIEDAD CARACTERÍSTICA DEL VARIOGRAMA LINEAL

h LOS PONDERADORES DE Z1 Y

- 0.03 0.53 h

0.53

- 0.03

Z4

SON NEGATIVOS

DEBIDO A LA EXTREMA CONTINUIDAD DE LA MINERALIZACION

la ley correspondiente al punto de muestreo i; y λi el

Estamos empleando una función variograma de la forma: valores (columna de la izquierda de la figura en cuestión).

10

λ

S2

EFECTO DE PEPITA PURO

1/2

S1 Z1

γ (h) = hω

en la cual le asignamos a ω diferentes

Vemos que el único caso en que pueden tener validez los métodos empíricos clásicos, es en el caso A; donde el variograma nos informa que en tal distribución existe plena independencia entre las leyes, es decir una distribución al azar (efecto de pepita puro). Los ponderadores en este caso tiene el mismo peso o valor λi = 0.25. Sólo en algunos yacimientos aluviales de oro se encuentra este tipo de distribuciones; quizás debido a la relativa violencia con que se deposita el material aluvional, de tal forma que la naturaleza no tiene tiempo para imponer un patrón de distribución, por lo que las partículas de oro se encuentran diseminadas prácticamente al azar. Para ω = ½, el variograma corresponde a una distribución de regularidad media, por lo tanto, los puntos mas cercanos al segmento estimado tendrán mas peso (λ2 y λ3 6 veces mayores que

λ1 y λ4). Los variogramas de este tipo por lo general se obtienen en yacimientos diseminados tipo pórfido, en oro diseminado en rocas volcánicas y en algunas vetas hidrotermales de alcance epitermal. Para ω = 1, el variograma es lineal; por lo tanto el peso se concentra casi totalmente en los puntos mas cercanos (λ2 = λ3 = 0.5); de tal forma que los puntos mas lejanos prácticamente no intervienen en la estimación (λ1 = λ4 = 0). Variogramas de este tipo son frecuentes en vetas hidrotermales, meso- a hipotermales. Para ω = 3/2, el variograma corresponde a una distribución de gran regularidad, es decir con una continuidad extrema de la mineralización, a tal punto que las muestras mas lejanas al segmento estimado tendrán pesos negativos (λ1 = λ4 = - 0.03). Este tipo de variogramas se encuentran en yacimientos estratiformes o de origen sedimentario. También en le caso de mantos de carbón; o cuando se evalúa la potencia de cuerpos tabulares o el peso específico en zonas de litología homogénea.

EL CONCEPTO DE ANISOTROPIA Raras veces las distribuciones resultan isótropas (Fig. 11), lo cual quiere decir que los variogramas en todas sus direcciones son similares. Esto es inusual, ya que casi siempre los procesos geológicos son “direccionales”, es decir, por lo general tienen una dirección o componente preferencial, concepto relacionado principalmente al flujo o flujos de mineralización. Para aclarar esto vamos a referirnos a la fig. 10 (simplificada a partir de CANCHAYA & BERNUY 1983), en la cual se muestra varios tramos de muestreo a lo largo de galerías y chimeneas sobre una veta. Como los flujos mineralizantes generalmente son sub-verticales, el patrón de distribución a lo largo de las chimeneas será diferente al de las galerías; lo cual quedará expresado en los respectivos variogramas y principalmente en el alcance a. Para el caso se ha obtenido ah = 10 y av = 20. Por lo tanto tenemos una distribución anisótropa y consecuentemente debemos definir una elipse de FIG. 11 influencia, tomando como ejes los valores de ah y av.

REGIONALIZACION ISOTROPA

Cualquier variable está estructurada dentro del alcance a de su respectivo variograma, mas allá de él, su comportamiento, por ser al azar, será impredecible. Por lo tanto para cubicar reservas probadas se configura paneles con dimensiones menores o iguales que 2a, tal como se ha procedido en la Fig. 10. Si quisiéramos cubicar más reservas probadas, deberíamos diseñar subniveles cada 40 metros (dos veces el alcance en av ); mientras que la separación ideal entre chimeneas deberá ser 20 metros (dos veces el alcance en ah ). Estos conceptos se pueden aplicar también para dimensionar el reconocimiento con taladros diamantinos desde las labores subterráneas. Hay dos tipos de anisotropía: zonal y geométrica. Cuando los variogramas en varias direcciones presentan diferentes alcances tenemos anisotropía geométrica; mientras que cuando presentan diferentes mesetas se trata de anisotropía zonal. En la figura 12 estamos mostrando otro ejemplo ilustrativo. Se trata de una sección, perpendicular al rumbo, de un manto tufáceo potente que contiene mineralización del tipo diseminada, la cual aumenta paulatinamente del techo al piso. Este patrón de distribución queda claramente expresado en los variogramas direccionales, que se obtuvieron a partir de muestras de este manto, los cuales están graficados en la mitad inferior de la fig. 12. Tal como era de esperar, los tres variogramas son diferentes, presentando no sólo diferentes mesetas (anisotropía zonal) sino además anisotropía geométrica (diferentes alcances).

La dirección E-W corresponde a un variograma casi de efecto de pepita puro y con la mas alta varianza; podríamos percibir esta irregularidad de la mineralización imaginando que recorremos el manto, con un analizador químico portátil, a lo largo de cualquier línea horizontal paralela a la dirección E-W indicada. Por el contrario, si recorremos el manto a lo largo de una línea perpendicular a la hoja (N-S) notaremos una gran continuidad de los valores y una mínima variación estructural de los mismos; lo cual está plenamente expresado en el variograma respectivo, que muestra la mejor estructuración y el mayor alcance de los tres mostrados en la fig. 12. Un recorrido similar en dirección vertical, permite comprender porqué el variograma en esa dirección tiene mejor estructura y menos varianza que el de la dirección EW. Es una idealización muy peligrosa suponer que los patrones de distribución son isótropos, ya que los millares de estudios variográficos de diferentes tipos de yacimientos, en la bibliografía mundial, nos indican que la mayor parte de los patrones de distribución son anisótropos. El concepto de anisotropía geométrica tiene relación directa con el denominado ”radio de alcance” de los métodos tradicionales; que como ya hemos visto sólo se podrá usar en regionalizaciones isótropas. Es mas apropiado hablar de elipse (para bloques bidimensionales) o elipsoide de alcance (para bloques tridimensionales). Consecuentemente, y salvo en justificadas excepciones, las mallas de perforación deberían ser rectángulos o paralelepípedos; y no necesariamente cuadrados o cubos, como generalmente se usa.

S. Canchaya/Dic. 2005

BIBLIOGRAFIA Aquí se está consignando no sólo la bibliografía citada en el presente trabajo, sino además, bibliografía adicional seleccionada con la intención de dar a loa participantes la posibilidad de profundizar los temas que más le interesan.

ALFARO, M. & MIGUEZ, F. (1976) Optimal interpolation using transitive methods.- In: GUARASCIO, M. et al. (eds.): Advanced Geostatistis in mining industry; D. Reidel Publ. Co., Holland: 91-99. ALVAREZ, A. & MARBEAU, J. P. & OVIEDO, L. & VERA, F. (1979) Estudio comparativo por geoestadística de las vetas más representativas de Casapalca y San Cristóbal. - Bol. Soc.geo. Perú, 62: 107-123. ARGUELLES, V. & ALVAREZ, A.(1976) Estudio geológico y geoestadístico de la veta P, Mina CasapalcaCentromin Perú.- An. XIII Conv. Ing. Minas, Arequipa; I-13, 11p. BERNUY, O. (1979) Estudio comparativo de evaluación de reservas por diferentes métodos.- Bol. Soc. geol. Perú, 62: 83-105. BERNUY, O (1980a) Aplicaciones de la simulación exploración minera.- Bol. Soc. geol. Perú, 65: 15-21.

de yacimientos como ayuda al planeamiento de la

BERNUY, O (1980b) Observaciones geoestadísticas del yacimiento de Antamina.- Bol. Soc. geol. Perú, 67: 119. BERNUY, O & JOURNEL, A. (1977) Simulation d’une reconnaissance séquentielle.- Revue de l’Industrie Minérales, Oct.: 472-478. BERNUY, O & CASTILLA, F. & GUIBAL, D. (1976) Estudio geoestadístico del Banco 3500-Michiquillay.- Bol. Soc. geol. Perú, 53-54: 7-28. BROOKER, P. I. (1975a) Optimal block estimation by kriging.- Proc. Aus. Ind. Min. Metall., 253: 15-19. BROOKER, P. I. (1975b) Avoiding unnecessary drilling. Proc. Aust. Inst. Min. Metall., 253: 21-23. BROOKER, P. I. (1978) Geostatistical Calculations Using True and Estimated Values from a Simulated Deposit.- Proc. Australasian Inst. Min. Metall. 268: 63-69. CANCHAYA, S. (1980) Estudio geológico económico de la Mina Bella Unión, Hualgayoc.- Inf. priv. Bella Unión. Minas S.A., 74p. CANCHAYA, S. (1983) Los métodos computarizados en geología.- Bol. Soc. geol. Perú, 72: 11-28 CANCHAYA, S. (1984a) El método geoestadístico: una presentación comparativa con los métodos tradicionales de estimación de reservas.- Minería. CANCHAYA, S. (1984b) Geología económica de la mina Bella Unión, Cajamarca.- Tesis Ing. Univ. Nac. Ing. (en prep.). CANCHAYA, S. (1984c) Métodos geoestadísticos en la Industria Minera.- Minería, 182/183: 23-43. CANCHAYA, S. & BERNUY, P. (1983) Estudio geoestadístico de las vetas ‘A’;y ‘Z’ de la Mina Bella UniónHualgayoc.- Bol. Soc. geol. Perú, 72: 29-47. CANDIOTTI, H. (1979) Geology and Quantitative Data Analysis of Quellaveco Porphyry Copper Deposit.Master-These, Univ. Leicester, England, 18p. CASTILLA, F. & GUIBAL, D. & BERNUY, O. (1975) Estudio estructural geoestadístico del yacimiento Michiquillay.- Bol. Soc. geol. Perú, 46: 35-52. CHAMPIGNY, N. & ARMSTRONG, M. (1993) Geostatistics for the Estimation of Gold Deposits.- Mineralium Depos. 28, 279-282

CLARK, I. (1984) Practical Geostatistics.- Elsevier; 129 p. CUEVA, E.(1976) Modelo geoestadístico de evaluación de reservas para yacimientos reconocidos con malla regular.- An. XIII Conv. Ing. Minas, Arequipa; I-14, 7p. DAVID, M. (1972) Grade-Tonnage Curve: Use and Misuse in Ore Reserve Estimation.- Trans. Inst. Min. Metall., 81: A129-132. DAVID, M. (1976) The Practice of Kriging.- In: GUARASCIO, M. et al. (eds.): Advanced Geostatistics in the Mining Industry; D. Reidel Publ. Co., Holland: 31-48. DAVID, M. (1977) Geostatistical Ore Reserve Estimation.- Elsevier; 364p. DAVID, M. & DOWD, L. & KOROKOV, S. (1974) Forecasting Departure from Planning in Open Pit Design and Grade Control.- Proc. 12th. APCOM Symp., Colorado School of Mines: F131-F149. DAVIS, J. C. (1973) Statistics and Data Analysis in Geology.- John Wiley & Sons (New York); 550p DELFINER, P. & DELHOMME, J. P. (1973) Optimum Interpolation by Kriging.- Cent. Morph. Math., Fontainebleau, Report, N343, August 1973. DELFINER, P. & DELHOMME, J. P. (1975) Optimum Interpolation by Kriging.- In: DAVIS, J. C. et al. (Ed.) Display and Analysis of Spatial Data; NATO Advanced Study Institute; Wiley : 96-114 DOWD, P. (1971) Applications of Geostatistics.- Internal Report, Zinc Corporation, N.B.H.C., Broken Hill, Australia (citado por JOURNEL & HUIJBREGTS 1978: 256-261). DOWD, P. (1975) Mine planning and ore reserve estimation with the aid of a digigraphic console display.C.I.M. Bull., Feb. 1975: 39-43. FRANCOIS-BONGARCON, D. & MARECHAL, A. (1976) A new method for open-pit design and parameterization of the final pit contour.- Proceedings of the 14th International APCOM Symposium, Pennsylvania State University, Oct. 1976: 573-583. GEOFFROY, J. DE & WIGNALL, T. K. (1970) Statistical decision in regional exploration: Application of regression and Bayesian classification analysis in the southwest Wisconsin zinc area.- Econ. Geol., 65: 769-777. GUIBAL, D. (1976) Elementos de geoestadística aplicada, apuntes del Seminario, Cerro Verde-Junio 1976; Lima (Reporte interno-Minero Perú), 190p GUIBAL, D. & TULCANAZA, E. (1974) Fundamentos de geoestadística aplicada.- Apuntes del 1er. Seminario peruano de geoestadística, Minero Perú - U.N.I., Lima, Sec.- Oct. 1974; 47p. GY, P. (1999) Sampling for Analytical Purposes.- John Wiley & Sons; 153 p. HOWARTH, R. J. & LEAKE, B. E. (1980) The role of data processing in the geological sciences.- Sci. Prog. Oxf., 66: 295-329. HUIJBREGTS, Ch. (1976) Selection and grade tonnage relationships.- In: GUARASCIO. M. Advanced Geostatistics in mining industry; Reidel, Holland; 113-135.

et al. (eds.):

HUIJBREGTS, Ch. & MATHERON, G. (1970) Universal kriging an optimal approach to trend surface analysis.In Decision-making in the Mineral Industry Cand. Inst. Min. Metall. Special vol. 12: 159-169. JOURNEL, A. (1969) Krigeage Universel et Cartographies automatique.- Paris, Ed.: Service hydrographique de la Marine. JOURNEL, A. (1969) Presentación general de la Geoestadística (Minería) - An. XI Conv. Ings Minas, Secc. Geología: 10-22p. JOURNEL, A. G. (1973) Grades fluctuations at various scales of a mine output.- Centre de Morphologie Mathématique, Fontainebleau, Report N348. JOURNEL, A. (1974a) Geostatistics for conditional simulation of ore bodies.- Econ. Geol., 69: 673-687.

JOURNEL, A. (1974b) Simulations Conditionnelles.- Théorie et Pratiqué.- These Docteur - Ingenieur, Univ. Nancy, 110p. JOURNEL, A. (1974c) Presentación general de la geoestadística (Minería).- El Ingeniero Geólogo N° 16: 37-49; Lima. También en An. XI Conv. Ings. Minas. JOURNEL, A. G. (1976) Ore grade distributions and conditional simulations-two geostatistical approaches.- In: GUARASCIO, M. et al. (eds.): Advanced Geostatistics in Mining industry; D. Reidel Publ. Co., Holland: 195-202. JOURNEL, A. G. & HUIJBREGTS, Ch. J.(1978) Mining Geostatistics - Academic press, London 600p. KRIGE, D. G. (1961) Developments in the valuation of gold mining properties from borehole results.- 7th. Commonwealth Min. Metall. Congress., Johannesburg, April; 20p. KRIGE, D. G. (1966) Two dimensional weighted moving average trend surfaces for ore valuation.- Proc. Symp. on math . statist. and computer applications in ore valuation, J. Johannesburg: 13-38. KRUMBEIN, W. C. (1972) The computer in geological perspective.- In: MERRIAM (de.) Computer applications in the earth sciences: 251-272. MARECHAL, A. (1976) Selecting mineable blocks: experimental results observed on a simulated orebody.- In; GUARASCIO, M. et al. (eds.): Advanced Geostatistic in the mining industry; D. Reidel Publ. Co., Holland :137161. MATHERON, G. (1962a) Traité de Géostatistique Appliquée, T.1.- Le Krigeage.-Mémoires du B.R.G.M N° 14, 333p. MATHERON, G. (1962b) Traité de Géostatistique Appliquée, T.2.- Le Krigeage.-Mémoires du B.R.G.M N° 24, 171p. MATHERON, G. (1963) Principles of Geostatistics.- Econ. Geol. 58: 1246-1266. MATHERON, G. (1965) Les variables régionalisés et leur estimation.- Masson et Cie, - Paris, 212p. MATHERON, G. (1967) Kriging, or polynomial interpolation procedures?.- Trans. Canad. Inst. Min. metall., 70:240-244. MATHERON, G. (1969) Le krigeage universel.- Cah. Cent. Morph. Math., Fasc. 1, C.G. Fontainebleau, 82p MATHERON, G. (1971) The theory of regionalized variables and its applications.-Les Cahiers du Centre de Morphologie Mathématique, Fasc. 5, CG, Fontainebleau. MATHERON, G. & FORMERY, P (1963) Recherche d’optimum dans la reconnaissance et la mise en exploitation des gisements miniers.- Ann. des Mines, Mai : 23-42; June :2-30. MPANDE, M.M. (1981) Spatial variation in Zambian Copperbelt orebodies.- Ph.D. Thesis. MPANDE, M.M. (1982) Geostatistical system of classifying sulphide deposits.- Applied earth science, I.M.M. Transactions, Sect. B, 91 : 845-846. NEIRA, C.(1977) Presentacion de los principales métodos de diseño óptimo de pits, I Parte.- Inf. Int. Dpto. Geoestadística - Minero Perú, 32p. OLEA,R.(1972) Application of regionalized variable theory to automatic contouring.-Spec. Rep. amer. Petroleum Inst., Res. Proj. N°131, 191p. PELISSONNIER, H. (1972) Les dimensions de gisements de cuivre du monde. Essai de métallogénie quantitative.- Mémoires du B.R.G.M, 57; 405 pp.; 90 fig.,5 coloured maps. RENDU,J.M. (1971a) Some applications of geostatistics to decision-making in exploration.-Decision Making in the Mineral Industry, Canadian Inst. Min. Metall., Spec. Vol. 12 : 175-184.

RENDU,J.M. (1971b) Some applications of geostatistics to decision-making in exploration.-Dr. Ing. These, Columbia Univ., New York, 273p. RENDU,J.M. (1976) Bayesian decision theory applied to mineral exploration and mine valuation.- In: GUARASCIO et al. (eds.) : Advanced Geostatistics in Mining Industry; Reidel, Holland : 435-445. RENDU, J.M. (1981) An introduction to Geostatistical Methods of Mineral Evaluation.- South afric. Inst. Min. Metall.; 84 p SERRA, J. (1967) Un critère nouveau de découverte de structures : le variogramme.- Sciences Terre, 12: 277299. SWITZER,P. & PARKER, H.M.(1976) The problem of ore versus waste discrimination for individual blocks :the lognormal model.- In : GUARASCIO et al. (eds.) : Advanced Geoestatics in Mining Industry; Reidel, Holland : 203-218. TULCANAZA, E. (1975) Los procedimientos geoestadísticos en el análisis y estimación de yacimientos.CITEM, 1:6-23. TULCANAZA, E. (1976) Una aplicación geoestadística en la Mina Casapalca.- Minas, edic. Centenario; CEIGMM-UNI:36-43.