Determinaci´on de alta exactitud del centro de gravedad para pesas de diferentes simetr´ıas Jhon Escobar Laboratorio de Masa Grupo de trabajo de Metrolog´ıa Superintendencia de Industria y Comercio, Bogot´ a D.C. Marzo 15 de 2010 Resumen El desconocimiento de la localizaci´ on del centro de gravedad dentro de la metrolog´ıa de masa de alta exactitud es una de las fuentes de error al momento de determinar la masa de un objeto de prueba, en particular cuando este u ´ltimo y el patr´ on de trabajo difieren en su forma geom´etrica, de all´ı que se vuelva necesario el desarrollo de un m´etodo para calcular dicho valor. Siguiendo esta idea, diversos laboratorios de masa como los ubicados en el Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) o el Centro Nacional de Metrolog´ıa de M´exico (CENAM) implementaron un m´etodo para conocer la ubicaci´ on del centro de gravedad con una incertidumbre del orden de los micr´ ometros. En este trabajo se presenta un montaje experimental similar al propuesto en el BIPM y el CENAM y se calcula el centro de gravedad de varios objetos de prueba, algunos de ellos con geometr´ıa cil´ındrica y uno de ellos con simetr´ıa de cuello y cabeza de bot´ on cuyo centro de gravedad se conoce por documento anexado al certificado de calibraci´ on. Finalmente se analiza la aplicabilidad del m´etodo propuesto y su implementaci´ on en el Laboratorio de Masa de la SIC.

1.

Introducci´ on

gravitacional no puede ser considerado despreciable), la posici´on del centro de gravedad cambia ligeramente con respecto al centro de masa del sistema, y por lo tanto ambos conceptos 1.1. ¿C´ omo calcular el centro de masa de un deben ser diferenciados2 . En las p´aginas siguientes, y teniendo en cuenta que la gravedad puede ser considerada uniforme, objeto? los t´erminos de centro de masa y centro de gravedad van a ser equivalentes y por lo tanto ser´an usados de manera indistinta. El centro de masa de un conjunto de part´ıculas o de cuerpos extendidos se entiende como un punto en donde se considera que la masa total del sistema se encuentra concentrada y todas las fuerzas externas act´ uan sobre ´el [1]. Este concepto es de gran utilidad a nivel operativo en f´ısica debido a que permite realizar c´alculos relacionados con la cinem´ atica y la din´amica de sistemas de part´ıculas o de cuerpos r´ıgidos de manera ´agil y sencilla. Antes de mostrar una forma te´ orica para calcular el centro de masa de un objeto debe hacerse claridad frente a los conceptos de centro de masa y centro de gravedad, siendo este u ´ltimo el t´ermino importante durante el desarrollo del presente trabajo. En la mayor´ıa de textos los t´erminos centro de masa y cenFigura 1.1. Sistema extendido en un sistema de coordenadas cartesiano. tro de gravedad son usados de manera indistinta debido a que (Imagen tomada de [1].) 1 la gravedad puede ser considerada uniforme . Sin embargo, en problemas en donde las dimensiones del objeto de estudio son tan grandes que el vector gravedad no puede ser considerado Para calcular el centro de masa de un cuerpo extendido, constante (es decir, el no paralelismo de las l´ıneas del campo supongamos que ´este es dividido en N elementos de masa. Si rj 1 Una forma de visualizar el concepto gravedad uniforme se obtiene al suponer que el no paralelismo de las l´ ıneas de campo gravitacional es considerado despreciable para el problema de estudio. 2 Para una discusi´ on m´ as detallada se recomienda al lector ver [2], cap. 19.

1

es la posici´on de la j-´esima part´ıcula y mj es su masa, entonces el centro de masa del sistema se puede escribir como

−

∂g H = 3, 086 × 10−6 H ∂h

(5)

N 1 X mj rj M j=1

−2 −1 (1) en donde la constante tiene unidades de [m s m ]. Este valor muestra que, para una diferencia de altura de centros de gravedad de 1 cm se tiene un gradiente gravitacional igual a −8 −2 Tomando el l´ımite en el cual N tiende a un valor infinito, la 3,086×10 m s , lo cual implica una correcci´on de aproxisumatoria mostrada en la ecuaci´ on (1) se transforma en una madamente 3 µg para dos patrones de 1 kg [4, 5]. Cabe notar que el valor del gradiente gravitacional dado por la ecuaci´on integral, por lo tanto se tiene (5) es una aproximaci´on te´orica en la cual se ha supuesto Z que el planeta es un cuerpo s´olido de densidad uniforme cuyo 1 rdm (2) movimiento de rotaci´on se da a una velocidad constante, por R= M lo tanto este valor va a cambiar para cada lugar de la tierra Ahora bien, para visualizar mejor esta integral, supongamos dependiendo de las condiciones geol´ogicas y la latitud del terque el elemento de masa mostrado en la figura 1.1 tiene un vo- reno donde se ubique el laboratorio de calibraci´on, de all´ı que lumen dV , entonces para un objeto con una densidad ρ tenemos sea necesario calcular este t´ermino de manera experimental. Un ejemplo de esto se observa en el laboratorio de masa del dm = ρdV , y la ecuaci´ on (2) se reescribe como Instituto Nacional de Metrolog´ıa de Brasil INMETRO, el cual Z reporta un valor local del gradiente gravitacional igual a 1,9 1 R= rρdV (3) ×10−6 m s−2 m−1 , que implica correcciones del orden de 2,9 M µg para la comparaci´on entre su patr´on de 1 kg de Pt-Ir y peDe esta u ´ltima ecuaci´ on vemos dos cosas: primero, el c´alcu- sas con la geometr´ıa referenciada en [3], y del orden de 1,6 µg lo del centro de masa implica el desarrollo de una integral de para la comparaci´on entre su patr´on de Pt-Ir y una pesa con volumen que, para objetos no sim´etricos, puede llegar a ser geometr´ıa cil´ındrica [7]. Un ejemplo de mediciones realizadas bastante complicada de resolver de manera exacta; segundo, la con el valor te´orico del gradiente gravitacional dado por [6] se ubicaci´on del centro de masa depende en gran medida del tipo observa en [8], en el cual se hacen correciones de hasta 50 µg de material usado para la fabricaci´ on del objeto de estudio, a la diferencia en masa para comparaciones entre pesas patr´on esto debido a que si la densidad del mismo no es uniforme la y combinaciones de masas patr´on. Ejemplos como estos muesintegral de la ecuaci´ on (3) puede ser complicada de calcular. tran claramente la importancia de la determinaci´on del centro Para el caso espec´ıfico de las pesas usadas como patrones de de gravedad de una pesa en el contexto de la metrolog´ıa de medici´on en los laboratorios de masa, la geometr´ıa y densidad masa de alta exactitud. de ´estas esta muy bien determinada (es decir, la densidad de las pesas patr´on puede ser considerada uniforme)3 , de all´ı que esta expresi´on llegue a ser bastante u ´til en el calculo te´orico 2. Equipo y principio de operaci´ on del centro de masa para pesas patr´ on. El c´ alculo del centro de masa para objetos de alta simetr´ıa como discos, l´aminas, cilindros o esferas es bastante sencillo de realizar debido a que para 2.1. Equipo este tipo de objetos el centro de masa va a estar ubicado sobre El montaje dise˜ nado para este experimento, el cual fue deel eje de simetr´ıa principal y a la mitad de la altura total del sarrollado e implementado en el BIPM [4] y el CENAM [5] (ver cilindro, luego Fig. 2.1), consta de las siguientes partes:

R=

h=

1.2.

H 2

(4)

Un puente rectangular fabricado en bronce con una hendidura en forma de cu˜ na a todo lo largo de ´este; dicho puente es acoplado en sus extremos a dos barras fabricadas tambi´en en bronce y cuyos extremos inferiores son dise˜ nados en forma de cuchilla. El puente es representado por la letra C en las figuras 2.1 y 2.2.

Centro de gravedad en metrolog´ıa de masa de alta exactitud

En metrolog´ıa de masa de alta exactitud, cuando se realiza la comparaci´on de dos patrones de masa, la diferencia en la geometr´ıa o en la densidad de ´estos hace que en general var´ıe la posici´on del centro de gravedad de estos cuerpos, y por lo tanto se deba hacer una correcci´ on debida al gradiente vertical del campo gravitacional terrestre [4, 5]. Tomando como referencia [6], el t´ermino de correci´ on viene dado por la expresi´on 3 Ver

La longitud de este puente fue determinada en el Laboratorio de Metrolog´ıa Dimensional de la Superintendencia de Industria y Comercio (SIC) usando una m´aquina de coordenadas, obteni´endose L = (150, 027 ± 0, 031) mm

[3], Anexo A y numeral 10

2

(6)

El factor de cobertura usado es k=2. Una columna de altura variable y fabricada en acero, que es usada como soporte para el puente y as´ı poder nivelar ´ la altura a la cual el puente va a estar colocado. Esta es representada mediante la letra B en las figuras 2.1 y 2.2. Como instrumento de pesaje es usado una balanza Mettler Toledo modelo PB4002-S/FACT, el cual tiene un capacidad de medici´ on m´ axima de 3100 g y una resoluci´on de 0,01 g; en las figuras 2.1 y 2.2 es representado mediante la letra A.

Figura 2.2. Montaje para la posici´ on 2.

Ahora bien, cambiando el objeto de prueba a la posici´on mostrada en la figura 2.2 y realizando el mismo procedimiento, se obtiene h=

m2 L − d tan β m0

(8)

donde m2 es la indicaci´on del instrumento cuando el objeto de prueba es colocado en dicha posici´on. Combinando las ecuaciones (7) y (8) se llega a la expresi´on 

 (m0 − m1 + m2 ) L h= m0 2

(9)

Figura 2.1. Montaje experimental (posici´ on 1).

Con respecto al resultado obtenido en la ecuaci´on (9) debe notarse que, aunque no aparece expl´ıcitamente el valor del ´angulo β, existe una contribuci´on al error en la medici´on del centro de gravedad del objeto de prueba asociado al valor de este ´angulo. 2.2. Principio de operaci´ on Como ejercicio, sup´ongase que β = 0, con esto el valor de la masa de la pesa debe ser igual a la suma de las marcaciones del Colocando el objeto de prueba (el cual es identificado co- intrumento de pesaje en las posiciones 1 y 2, esto es mo D) en la posici´on indicada en la figura 2.1, y aplicando las ecuaciones de equilibrio est´ atico y rotacional para el sistema m0 = m1 + m2 (10) conformado por la pesa, el puente y ambos objetos a la vez4 se obtiene la expresi´on Bajo esta condici´on es claro que las ecuaciones (7) y (8) se reescriben como h=

(m0 − m1 ) L + d tan β m0

(7)

(m0 − m1 ) L m0 m2 h2 = L m0

h1 =

donde h representa la altura del centro de gravedad5 , m0 es la masa del objeto de prueba, m1 es la indicaci´ on del instrumento de pesaje cuando el objeto de prueba es colocado en dicha posici´on, L es la longitud de la barra, d es la distancia del centro de gravedad al eje x, y β es el ´ angulo formado por el platillo del instrumento de pesaje y el eje x.

(11) (12)

En estas ecuaciones, h1,2 representa la posici´on del centro de gravedad obtenido en la posici´on 1,2. Bajo este resultado, es claro que la ecuaci´on (9) puede ser entendida como un promedio de los valores de h1,2 bajo la suposici´on β = 0.

4 Se ha tomado como origen de coordenadas el punto de contacto de la cuchilla y el platillo del instrumento de pesaje, con el eje x paralelo al puente, sobre el eje definido por las cuchillas del puente. 5 Medida desde la base del objeto de prueba

3

3.

Procedimiento y resultados

Con estas pesas es posible hacer un an´alisis sobre qu´e tan confiable es este m´etodo en la determinaci´on de la altura del centro de gravedad de una pesa y cual es el error intr´ınseco en la 3.1. Procedimiento medida debido a todas las variables que se discutieron anteriormente. La altura total de las pesas cil´ındricas fue medida El experimento consta de tres fases: en el Laboratorio de Metrolog´ıa Dimensional de la SIC, y la altura del centro de gravedad para estas pesas se supone conocido La primera fase tiene en cuenta la colocaci´ on del puente. usando la ecuaci´on (4). Una de las cuchillas del puente debe ser ubicada en el centro del platillo de la balanza, y la otra cuchilla es ubicada sobre la columna de altura variable. Una vez hecho Pesa Masa H UH (k=2) h esto, se debe tratar que las dos cuchillas queden ubicadas 1 1 kg - 20,64 mg 65,873 mm 0,037 mm 32,936 mm a la misma altura con el fin de evitar al m´ aximo una con2 1 kg - 13,35 mg 70,032 mm 0,018 mm 35,016 mm tribuci´on al error en el c´ alculo de la altura del centro de 3 1 kg - 631,01 mg 70,560 mm 0,039 mm 35,280 mm gravedad debido a la elevaci´ on del puente, tal como se 4 100 g - 2,01 mg 31,214 mm 0,015 mm 15,607 mm describi´o en la secci´ on anterior. 5 364,15592 g 39,325 mm 0,032 mm 19,662 mm La colocaci´on de la cuchilla en el centro del platillo tamPTB-00206 1 kg - 0,21 mg 80,300 mm 36,258 mm bi´en es otro factor que debe tenerse muy en cuenta, esto Tabla 3.1. Informaci´on b´asica de las pesas usadas en el experimento. El t´ermino H hace referencia a la altura total de la pesa. debido a que si esta condici´ on no se cumple deben implementarse correcciones relacionadas con la excentricidad de la balanza. Esta contribuci´ on al error puede ser miniDurante el experimento se realizaron 10 series de datos, cada mizada tomando la lectura de cero antes de cada mediuna de estas consta de 30 datos tomados para las posiciones 1 ci´on. y 2 m´as las lecturas del cero anotadas antes de la lectura en Una vez el puente este nivelado, la balanza se pone en estas dos posiciones, lo cual nos da un total de 120 datos por cero6 y luego se coloca el objeto de prueba, tal como se cada serie. muestra en la figura 2.1, una vez se ha tomado la lectura respectiva se anota la lectura de cero. Despu´es de hacer lo anterior, vuelve y se coloca el objeto 3.2. Resultados de prueba, esta vez como se muestra en la figura 2.2, se Para la determinaci´on del centro de gravedad de las pesas anota la indicaci´ on respectiva y al retirarse el objeto de 1 a 5 y PTB-00206 se realizaron los siguientes pasos: para cada prueba se registra nuevamente la lectura del cero. dato registrado en las posiciones 1 y 2 se realiz´o la correci´on Se usaron seis objetos de prueba para hacer este experimento: debido al empuje del aire y luego, usando la ecuaci´on (9) se calcul´o h, por lo tanto se tienen 30 valores de h por cada serie de medici´on; de esta forma, el valor del centro de gravedad Una pesa con geometr´ıa cil´ındrica, masa nominal 1 kg y calculado viene dado por el promedio de estos 30 valores. En la fabricada en bronce (pesa 1). tabla 3.2.1. se observan los resultados del centro de gravedad y Dos pesas con geometr´ıa cil´ındrica, masa nominal 1 kg y la desviaci´on est´andar obtenidos para cada una de las pesas de fabricadas en acero inoxidable (pesas 2 y 3) prueba. Una pesa con geometr´ıa cil´ındrica, masa nominal de 100 g y fabricada en bronce (pesa 4). 3.2.1. Incertidumbre tipo A Una pesa con geometr´ıa cil´ındrica cuyas dimensiones son similares al patr´ on internacional de masa localizado en Como se observa en las tabla 3.2.1, se tienen 10 valores de Par´ıs, esta pesa est´ a fabricada con acero inoxidable7 , por h asociados a cada serie, por esto la incertidumbre tipo A es lo tanto su masa no es de 1 kg (pesa 5)8 . calculada como la ra´ız de la suma cuadr´atica de la desviaci´on Por u ´ltimo, se us´ o una pesa de masa nominal 1 kg con est´andar obtenida para cada una de las series dividida entre la umero total de series, luego geometr´ıa de cuello y cabeza de bot´ on cuya altura y cen- ra´ız del n´ tro de gravedad es conocido por documento de la Mettler p Toledo anexo al certificado de calibraci´ on, esta pesa se u21 + u22 + · · · + u210 √ uA = identifica como PTB-00206. N 6 Es

decir, se tara. recordarse que fue usada una aleaci´ on de platino e iridio para fabricar el patr´ on internacional de masa. La gran diferencia en densidad entre la aleaci´ on de Pt-Ir (ρ=21400 kg m−3 ) y el acero inoxidable (ρ=8000 kg m−3 ) es la responsable directa de la diferencia en masa entre el patr´ on internacional y el cilindro usado en el experimento. 8 Las pesas 2, 3 y 5 fueron dise˜ nadas y fundidas en Colombia por Produpesas. 7 Debe

4

N´ umero de

Pesa 1

Pesa 2

Pesa 3

Pesa 4

Pesa 5

Pesa PTB-00206

serie

h (mm)

uh (mm)

h (mm)

uh (mm)

h (mm)

uh (mm)

h (mm)

uh (mm)

h (mm)

uh (mm)

h (mm)

uh (mm)

1

33,236

0,007

35,457

0,009

35,725

0,035

15,924

0,015

20,089

0,004

36,551

0,002

2

33,235

0,011

35,458

0,009

35,733

0,027

15,897

0,006

20,093

0,004

36,552

0,003

3

33,248

0,013

35,455

0,008

35,743

0,019

15,935

0,014

20,094

0,004

36,557

0,002

4

33,247

0,010

35,457

0,010

35,725

0,027

15,929

0,006

20,094

0,006

36,535

0,004

5

33,214

0,012

35,458

0,009

35,722

0,033

15,929

0,012

20,095

0,005

36,528

0,005

6

33,207

0,004

35,458

0,009

35,723

0,035

15,917

0,010

20,094

0,005

36,525

0,003

7

33,214

0,005

35,457

0,010

35,730

0,040

15,943

0,010

20,109

0,008

36,529

0,005

8

33,213

0,004

35,459

0,011

35,723

0,038

15,932

0,007

20,100

0,005

36,539

0,004

9

33,204

0,005

35,460

0,008

35,728

0,032

15,945

0,012

20,105

0,006

36,530

0,004

10

33,213

0,003

35,458

0,010

35,731

0,039

15,962

0,017

20,106

0,005

36,533

0,004

Tabla 3.2.1. Datos obtenidos para la pesas 1 a 5 y PTB-00206.

3.2.2.

Incertidumbre asociada al empuje del aire (ua )

Incertidumbre tipo B

Las componentes de incertidumbre tipo B que se evaluaron son:

La ecuaci´on usada para evaluar este tipo de incertidumbre est´a dada por

Incertidumbre asociada a la masa de prueba (um0 ). u2a = ρ2a [(2 × 104 )2 + (3, 4 × 103 uT )2 + (10−3 uP )2

Para la pesa PTB-00206 se us´ o el valor de incertidumbre incluido en su certificado de calibraci´ on, mientras que las pesas 1 a 5 fueron calibradas en el Laboratorio de Masa de la SIC y a partir de la incertidumbre calculada en la calibraci´on se determin´ o que pod´ıa ser usado un valor de incertidumbre correspondiente a pesas clase M1 de acuerdo con [3], tabla 1. Debido a que en esta tabla se muestran las incertidumbres expandidas para estas pesas con un factor de cobertura k=2, es claro que um0 viene dado por um0 =

+ (9 × 10−5 uHrel )2 ]

donde uT , uP y uHrel son las desviaciones est´andar correspondientes a la medici´on de temperatura, presi´on y humedad relativa durante la toma de datos, y sus valores vienen dados por:

uT = 0, 5◦ C uP = 0, 3 mbar uHrel = 1, 96 %

Um0 2

Estos datos son tomados de certificados de calibraci´on expedidos por la SIC. Con estos datos y usando la ecuaci´on (13), la contribuci´on por efecto del empuje del aire es ua = 0, 00155 mg/cm3 .

Incertidumbre asociada a la longitud del puente (uL ) Esta t´ermino viene dada por la expresi´ on uL =

(13)

UL 2

A partir de esto, la expresi´on para el c´alculo de la incertidumbre tipo B es de la forma

donde UL es la incertidumbre expandida del puente reportada en la ecuaci´ on (6). 2  2  2  Incertidumbre asociada a la resoluci´ on de la balanza u2B = L(m1 − m2 ) u2m + m0 − m1 + m2 u2L +2 L χ2 0 2m20 2m0 2m0 (ures ) 2 Para calcular la contribuci´ on a la incertidumbre por re- donde el t´ermino χ viene dado por soluci´on de la balanza, se sigui´ o la indicaci´on de [3], ecuaci´on C.6.4-2, la cual es de la forma χ2 = (V ua )2 + u2res

d ures = √ 2 3

siendo V el volumen de la pesa. De este modo, la desviaci´on est´andar combinada es calculada a partir de la expresi´on

donde d representa la resoluci´ on de la balanza. Para este caso, se obtiene ures =0,003 g.

uc = 5

q

u2A + u2B

En la tabla 3.2.2 se observan los valores de la altura del centro de gravedad calculado para cada pesa, su incertidumbre expandida con factor de cobertura k=2 y el error obtenido en el c´alculo del centro del centro de gravedad con respecto al valor te´orico reportado en la tabla 3.1. Pesa

h(mm)

Uh (mm)

1

33,223

0,017

0,287

2

35,458

0,020

0,442

de micr´ometros), lo cual evidencia la eficiencia del m´etodo empleado para determinar esta variable, tambi´en es cierto que la aplicabilidad de este m´etodo puede ser cuestionable desde el punto de vista de la cantidad de mediciones que se llevaron a cabo. En los datos reportados en [5] se obtienen valores de incertidumbre del mismo orden obtenido en este trabajo con una cantidad mucho menor de mediciones, esto debido a que en [5] se us´o un instrumento de pesaje con una resoluci´on de 1 mg, mientras que en el presente trabajo se us´o una balanza con una resoluci´on de 100 mg. Esto hace ver que, si se llega a disponer de una balanza con una mejor resoluci´on es posible realizar un c´alculo del centro de gravedad con una buena precisi´on y con un n´ umero menor de mediciones por pesa, lo que implica una mejor aplicabilidad de este m´etodo en el Laboratorio de Masa.

Error (mm)

3

35,728

0,068

0,448

4

15,931

0,025

0,324

5

20,098

0,011

0,436

PTB-00206

36,538

0,011

0,280

Tabla 3.2.2. Centro de gravedad promedio e incertidumbre expandida calculado para cada una de las pesas.

En los resultados mostrados en la tabla 3.2.2 se pueden ver cosas muy interesantes; primero, a partir de lo comentado en la secci´on 3.1, es posible clasificar las pesas usadas en tres grupos que son: dos pesas de bronce, tres pesas de acero inoxidable fabricadas en Colombia y una pesa de acero inoxidable fabricada en Alemania. Al observar el error calculado en la determinaci´on del centro de gravedad se nota que para las dos pesas de bronce se obtiene un error del orden de los 300 µg, y para las tres pesas de acero inoxidable colombianas se obtiene un error del orden de los 440 µg, lo cual, junto con el error obtenido para la pesa PTB-00206, muestra que la densidad de las pesas juega un factor determinante en el c´ alculo del centro de gravedad de ´estas. Ahora bien, es razonable pensar que la diferencia en el error calculado entre las pesas colombianas y la pesa PTB-00206 refleja la diferencia en densidad entre el tipo de acero usado en la fabricaci´on de estas pesas, y lleva a pensar que el acero usado para fabricar las pesas colombianas es menos homog´eneo en su estructura con respecto al acero alem´ an.

4.

Conclusiones

Se observ´o que el montaje experimental implementado para la determinaci´on de la posici´on del centro de gravedad para pesas con simetr´ıa cil´ındrica y con cuello y cabeza de bot´on se manejan incertidumbres en el c´alculo del orden de los microgramos, sin embargo se nota la existencia de un error intr´ınseco en la medici´on con respecto al valor te´orico del mensurando que puede ser atribuido a diversos factores asociados tanto a la calidad de las pesas (homogeneidad en la densidad de ´estas y el acabado superficial de las mismas), y al montaje experimental en s´ı (resoluci´on del instrumento de pesaje usado, calidad en el dise˜ no del puente, movimientos de la cuchilla del puente que descansa sobre el platillo de la balanza y la condici´on de β=0); se estima que mejorando estos factores se puede reducir el error intr´ınseco en el calculo de la posici´on del cento de gravedad y se puede mantener el mismo rango de incertidumbre con un n´ umero menor de mediciones por pesa.

Ahora bien, es claro que el m´etodo usado muestra un error sistem´atico en la medici´ on del centro de gravedad, error que puede atribuirse a factores tales como:

Las ideas mencionadas anteriormente muestran que, una vez mejorado el montaje experimental teniendo en cuenta los problemas antes mencionados, y aprovechando la sencillez del montaje experimental, la posibilidad de implementar el c´alculo de la posici´on del centro de gravedad es totalmente viable en el Laboratorio de Masa, todo esto con el objetivo de introducir en el c´alculo de error en masa el t´ermino de correcci´on por gradiente gravitacional terrestre. La introducci´on de este factor de correcci´on es de vital importancia al momento de realizar intercomparaciones con otros institutos nacionales de metrolog´ıa, para la ampliaci´on del rango de acreditaci´on ante el Deutsche Akkreditierungsstelle (DAKKS), para la calibraci´on de pesas clase E1 , de acuerdo a lo establecido en la OIML R-111, y para mejorar la calidad del servicio prestado por el laboratorio.

La condici´on β = 0 no se cumple de manera exacta. Al colocar y retirar la pesa, la cuchilla ubicada sobre el platillo de la balanza alcanza a moverse un poco, lo cual se evidencia en un cambio en la lectura del cero. La cara inferior de las pesas de acero inoxidable no es totalmente plana, por el contrario tiene un peque˜ no sumidero en forma de cu˜ na y por lo tanto hace que el centro de gravedad del objeto se desplace un poco con respecto a su valor te´orico. Las caras internas del puente no son lo suficientemente planas, causando que la cara inferior de las pesas no quede en contacto pleno con el puente, generando as´ı peque˜ nos desplazamientos en la posici´ on del centro de gravedad con respecto al eje principal del montaje experimental.

Referencias

Finalmente, aunque la incertidumbre en la determinaci´on del [1] Kleppner, D., Kolenkow, R., An Introduction to Mechanics. centro de gravedad es muy buena (del orden de las decenas McGraw-Hill Kogakusha LTD, 1973. 6

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