Determinantes

DETERMINANTES 1.

DEFINICIÓN.

A toda matriz cuadrada se le puede hacer corresponder un número (determinante) cuyo cálculo se puede hacer de las siguientes maneras:

1.1.

DETERMINANTE DE SEGUNDO ORDEN. a 11 a 12 det A = A = = a 11 a 22 − a 21 a 12 a 21 a 22 Es decir, es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el de la diagonal secundaria. EJEMPLO:

1.2.

2 5 4 6

= 12 − 20 = −8

DETERMINANTE DE TERCER ORDEN. REGLA DE SARRUS. a 11 a 12 a 13 det A = A = a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33

= [ a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 12 a 23 a 31 ] − [ a 13 a 22 a 31 + a 23 a 32 a 11 + a 12 a 21 a 33 ]

4

2

3

1 − 3 7 = (12 + 0 + 28) − (18 + 0 − 2) = 40 − (−20) = 60 2 0 −1

EJEMPLO:

Ejercicios 1 a, b, c, d.

1.3.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1) Un determinante no varia si se cambian sus filas por columnas, es decir, el determinante de una matriz cuadrada A coincide con el de su transpuesta A = A t .

EJEMPLO:

2 4 3 5

2 3

= 10 − 12 = −2

4 5

20

= 10 − 12 = −2

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Determinantes

2) Si todos los elementos de una columna (o fila) son nulos, el determinante también lo es. 0 2 7

0 − 5 3 = 0·(-5)·(-2) + 0·1·7 + 0·2·3 + 0·8·(-5)·7 + 0·1·3 + 0·2·(-2) = 0 0 1 −2 3) Si en un determinante se cambian entre si dos columnas (o filas), el determinante cambia de signo, pero conserva el valor absoluto.

2 4 3 5

3 5 = 12 − 10 = 2 2 4

= 10 − 12 = −2

4) Si todos los elementos de una columna (o fila) se multiplican por un número, el determinante queda multiplicado por el mismo número. 2 4 = −2 3 5

4 4

= 20 − 24 = −4 = 2

2 4

6 5 3 5 Luego para multiplicar un número por un determinante, es suficiente con multiplicar los elementos de una fila o columna por ese número. 5) Suma de determinantes: •

•

Dos determinantes solo pueden sumarse cuando: o Tienen la misma dimensión. o Son todos los elementos iguales excepto los de una línea (fila o columna) Para sumarlos, los elementos iguales se mantienen; la fila o columna desigual se suma, obteniéndose un determinante de la misma dimensión

2

5 1

2

3

1

2

5+3

1

7 2 3 + 7 − 1 3 = 7 2 + (−1) 3 = −16 −1 4 0 −1 3 0 −1 4 + 3 0 Recíprocamente, un determinante se puede descomponer en la suma de dos determinantes, que tienen la misma dimensión que el primero y, todas las líneas iguales menos una. Si sumamos estas dos líneas desiguales se obtiene la fila o columna correspondiente del determinante inicial.

2 5+3 1 2 5 1 2 3 1 7 2 −1 3 = 7 2 3 + 7 −1 3 −1 4 + 3 0

−1 4 0 −1 3 0 21

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Determinantes

6) Si una fila o columna es combinación lineal de las otras el determinante es nulo. 1 2 2 •1+ 3 • 2 1 2 2 •1 1 2 3 • 2 1 2 1 1 2 2 2 5 2 • 2 + 3 • 5 = 2 5 2 • 2 + 2 5 3 • 5 = 2 2 5 2 + 32 5 5 = 2 • 0 + 3 • 0 = 0 3 4 2 •3+ 3•4 3 4 2 •3 3 4 3•4 3 4 3 3 4 4

Casos particulares: - Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales el det. es cero. - Si dos filas o columnas son proporcionales el det. es nulo. - Si un det. ≠ 0 ⇒ que ninguna fila ( o columna) es C. L. de las restantes filas ( o columnas).

7) Si a una fila o columna de una matriz se le suma una C.L. de las otras, el determinante no varia. 2 5 1 Sea 7 2 3 −1 4 0

2 + 2 •5−1 5 1 2 5 1 2 •5−1 5 1 2 5 1 7+ 2•2− 3 2 3 = 7 2 3 + 2•2− 3 2 3 = 7 2 3 −1 + 2 • 4 − 0 4 0 −1 4 0 2 • 4 − 0 4 0 − 1 4 0 1442443 1ª Columna es C. L. de las otras → Det = 0

8) | A·B| = |A|·|B| 9) Si A es una matriz de dimensión nxn, entonces: | α·A|= αn·|A| Ejercicios: 2, 3, 4, 5, 6.

1.4

DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR ADJUNTOS Sea A una matriz cuadrada, adjunto Aij del elemento aij es el determinante que se obtiene de quitar en A, la fila i y la columna j, multiplicado por (-1)i+j. Se pueden desarrollar por este método los determinantes de orden mayor o igual que 3. Consiste en elegir una fila o columna del determinante dado; este, será igual a la suma de todos los productos que se obtienen al multiplicar cada elemento, de la fila o columna elegida, por su adjunto. En primer lugar, conviene conseguir una fila o columna de ceros excepto un elemento (aplicando la propiedad 7)

Ejercicios: 1 e, f, g, h.

22

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Determinantes

2. RANGO DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES

2.1

MENOR DE ORDEN H

Es el determinante de una submatriz cuyos elementos pertenecen a la intersección de h filas y h columnas de una matriz EJEMPLO:

3  6 −1  2 

2.2

0   5  0 − 3  0 1 

1 2

⇒

6 5 2 1

es un menor de orden 2

MENOR ORLADO.

Si a un menor de orden h se le añade una fila y una columna, distintas de las h utilizadas anteriormente se obtiene otro menor de orden h +1 que se llama menor orlado EJEMPLO:

1 2 3 4   A =  − 1 3 2 1 1 0 0 3  

Tomando la 2ª y 3ª filas y 1ª y 2ª columnas, obtenemos el −1 3 menor de orden 2. 1 0

Los orlados de este menor son:

1

2 3

−1 3 2 1 0 0

1 y

23

2 4

−1 3 1 1 0 3

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Determinantes

2.3

RANGO DE UNA MATRIZ

Es el máximo orden de sus menores no nulos EJEMPLO 1

 1 3 − 2 1   Hallar el rango de (A) =  4 − 3 5 3  2 7 3 5   a11= 1 ≠ 0 ⇒ el rango es por lo menos 1 1 3 =-3-12 ≠ 0 ⇒ el rango es por lo menos 2 4 −3 1 3 −2 4 −3 5 = (-9-56+30)-(12+35+36) ≠ 0 ⇒ rango (A)=3 2 7 3

EJEMPLO 2 Calcular el rango de:

1

0

3 −1 1 3 7 1 3 7

3.

1 0 2 5    (A) =  3 − 1 4 2  7 − 3 8 − 4  

Cuando todos los orlados del mismo orden son cero diremos que esa fila es C.L. de las otras y se quita.

= -1 ⇒ rango por lo menos es 2

 2  4 = (−8 − 18) − (−14 − 12) = −26 + 26 = 0  8  ⇒ Fila 3ª es C L de la 1ª y 2ª 5  2 = (4 − 45) − (−35 − 6) = −41 + 41 = 0   −4  Rango (A)=2 Ejercicios 7. 0 −1 −3 0 −1 −3

CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTES.

 a11   a 21 Consideramos la matriz: ( A) =  ....  a  n1

a12 ... a1n   a 22 a 2 n  .... ....   a n 2 a nn 

24

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Determinantes

La matriz cuadrada (A) es regular si, y sólo si, su determinante A ≠ 0 entonces ∃ su inversa A −1 que se calcula como sigue: 1- Se calcula el adjunto (Aij) de cada elemento aij 2- En la matriz A se sustituye cada elemento por su adjunto, obteniéndose la matriz de adjuntos Aij 3- Se halla la transpuesta de la matriz de adjuntos (Aij)t =Aji A ji . 4- Se divide esta última matriz por el det (A). A Resumiendo:  A11  1  A12 −1 (A ) =  A ....  A  1n

EJEMPLO

 A11  A A21 ... An1    A22 ... An 2   A12 = A .... ....   ....  A2 n Ann   A1n  A 

A21 A

...

A22 A .... A2 n

A

 A  An 2  A ....  Ann  A  An1

 2 − 3 1   A =  1 2 0  hallar A −1 .  3 5 3  

Ejercicios 8 3.2 PROPIEDADES DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ 1) (A – 1) – 1= A 1 2) (k·A) – 1 = · A −1 k 3) (A·B) – 1 = B – 1·A – 1 1 4) A −1 = . Demuestra esta última propiedad A

4

TEOREMA DE ROUCHÉ - FRÖBENIUS. Sea el sistema:

 a 11 x1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b1   (1) a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2   ...............................................  a m1x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m 

25

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Determinantes

 a 11 a 12 .... a 1n   a 11 a 12 .... a 1n b1   a a .... a   a a .... a b  donde: 21 22 2n  21 22 2n 2   (A) = y (A / B) =   ......................   ......................       a m1 a m2 .... a mn   a m1 a m2 .... a mn b m 

La condición necesaria y suficiente para que el sistema (1) tenga solución es que rango(A) = rango(A/B)

a) Si rango (A) = rango (A/B) = n (n es el número de incógnitas) el sistema es compatible y determinado. b) Si rango (A) = rango (A/B) = p < n. Es un sistema Compatible Indeterminado, de grado de indeterminación n-p (Las soluciones estarán en función de n – p parámetros. RESUMIENDO: Rango (A)= rango (A / B) COMPATIBLE

Rango ( A )

5

≠ rango ( A / B )

 rango(A) = rango(A / B) = n Determinado   rango(A) = rango(A / B) < n Indeterminado ⇒INCOMPATIBLE.

REGLA DE CRAMER. Sirve para obtener la solución de un sistema de ecuaciones lineales.

5.1 EN SISTEMAS COMPATIBLES Y DETERMINADOS Tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. a x +a x +a x =b  11 1 12 2 13 3 1  a 21x1 + a 22 x 2 +a 23 x 3 = b 2  Puesto que |A| ≠ 0 Ran (A)=3=Ran(A/B) el a 31x1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3   sistema es compatible determinado. Si llamamos: Ax al resultado de sustituir en |A| la columna de los coeficientes de x por la de los términos independientes. Ay al resultado de sustituir en |A| la columna de los coeficientes de y por la de los términos independientes. 26

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Determinantes

Az al resultado de sustituir en |A| la columna de los coeficientes de z por la de los términos independientes Su solución es: x =

Ax

y=

A

Ay A

z=

Az A

Esta regla se puede generalizar a los sistemas de n ecuaciones con n incógnitas.

5.2 EN SISTEMAS COMPATIBLES E INDETERMINADOS Consideramos un sistema de m ecuaciones y n incógnitas Como |A|=0 Ran (A) = Ran (A/B)= p< n sobran m-p ecuaciones que se quitan (nos quedamos con aquellas que son independientes) y n – p incógnitas que se toman como parámetros y se pasan a la columna de los términos independientes. Ejercicio 9.

10.- SISTEMAS HOMOGENEOS

Un sistema de ecuaciones lineales, tal que todos sus términos indepen-dientes son nulos, se llama sistema homogéneo.

a 11x1 + a 12 x 2 +...+ a 1n x n = 0  a 21x1 + a 22 x 2 +...+ a 2n x n = 0  S ............................................... a m1x1 + a m2 x 2 +...+ a mn x n = 0 

Todo sistema homogéneo cumple las propiedades: - tiene solución, pues se verifica para: x1= x2 =....= xn.= 0 Esta es la solución trivial (0,0,...0). - Para que tenga otras soluciones distintas de la trivial, es necesario y suficiente que Ran (A)