DETERMINANTES DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Asociado a cada matriz cuadrada A hay un número llamado determinante de A, denotado como “det A”. Los determinantes nos proporcionan un método para el cálculo de la matriz inversa (en caso de existir) y un criterio para estudiar si una matriz es o no invertible. Sus aplicaciones son múltiples en todas las ramas de las ciencias que tratan problemas lineales en los que necesariamente aparecen matrices y por tanto, determinantes. Si A es una matriz cuadrada de primer orden, entonces A tiene sólo un elemento. Así, A = (a11 ) y definimos “det A” = a11 Definición del determinante de una matriz A de 2x2

a12  a  = a11a22 − a21a12 " det A" =  11  a21 a22  El determinante de una matriz se expresa como " det A" o A para este texto utilizaremos la notación " det A" Ejemplo1: Búsqueda del determinante de una matriz de 2x2  3 − 2  Encontrar “det A” si A =   4 − 6

SOLUCIÓN  3 − 2  = (3)(−6) − (4)(−2) = −18 + 8 = −10 " det A" =  4 − 6

Los menores y los cofactores son de gran utilidad para encontrar determinantes de matrices de orden n>1.

( )

Definición de menores y cofactores Sea A = aij una matriz cuadrada de orden n>1

1) El Menor M ij del elemento aij es el determinante de la matriz de orden n-1 obtenido al borrar el renglón i y la columna j. 2) El cofactor Aij del elemento aij es Aij = (−1) i + j M ij Para hallar el menor de un elemento, borramos el renglón y la columna en que aparece el elemento y luego encontramos el determinante de la matriz cuadrada resultante. Para obtener el cofactor de aij de una matriz cuadrada A = aij , encontramos el menor y lo multiplicamos por

( )

1 ó -1, dependiendo de si la suma de i y j es par o impar, respectivamente. Otra forma de recordar el signo ( −1) i + j asociado con el cofactor Aij es considerar la siguiente tabla de signos más y menos Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

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+  − +  − M 

− + − K  + − + L − + − L  + − + L  M M M 

Ejemplo2:

 2 −1 5    Si A =  4 3 0  , buscar M 11 M 22 M 32 A11 A22 y A32 1 − 3 4   SOLUCIÓN Al borrar los renglones y columnas de A apropiados obtenemos  3 0  = (3)(4) − (−3)(0) = 12 M 11 =   − 3 4 2 5  = (2)(4) − (1)(5) = 8 − 5 = 3 M 22 =   1 4  2 5  = (2)(0) − (4)(5) = −20 M 32 =   4 0 Para obtener los cofactores, utilizamos la fórmula Aij = (−1)i + j M ij A11 = (−1)1+1 M 11 = (1)(12) = 12 A22 = (−1) 2+ 2 M 22 = (1)(3) = 3

A32 = (−1)3+ 2 M 32 = (−1)(−20) = 20 El determinante “det A” de una matriz cuadrada de tercer orden se define así: Definición del determinante de una matriz A de 3x3  a11 a12 a13    " det A" =  a21 a22 a23  = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 a   31 a32 a33 

Así el determinante se halla al multiplicar cada elemento del renglón uno por su cofactor y sumarlos, esto se conoce como expandir renglón uno ( ExpR1 ) . Para hallar el determinante de una matriz se puede expandir cualquier de los tres renglones o columnas así: ExpR2 = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23 ExpR3 = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 ExpC1 = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31 ExpC2 = a12 A12 + a22 A22 + a32 A32 ExpC3 = a13 A13 + a23 A23 + a33 A33 Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

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Ejemplo3:

− 2 3 1   Encuentre " det A" si A =  5 1 4   1 2 3   SOLUCIÓN Vamos a expandir El renglón dos ExpR2 = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23

" det A" = 5 A21 + A22 + 4 A23 Debemos hallar los menores y multiplicarlos por los cofactores. Para hallar el M 21 eliminamos el renglón dos y la columna uno así: − 2 3 1   A =  5 1 4  Y lo multiplicamos por el cofactor A21  1 2 3    3 1  = (3)(3) − (2)(1) = 9 − 2 = 7 M 21 =   2 3 A21 = (−1) 2+1 M 21 = (−1)(7) = −7 Para hallar el M 22 eliminamos el renglón dos y la columna dos así:

− 2 3 1   A =  5 1 4  Y lo multiplicamos por el cofactor A22  1 2 3    − 2 1  = (−2)(3) − (1)(1) = −6 − 1 = −7 M 22 =   1 3 A22 = (−1) 2+ 2 M 22 = (1)(−7) = −7 Para hallar el M 23 eliminamos el renglón dos y la columna tres así

− 2 3 1   A =  5 1 4  Y lo multiplicamos por el cofactor A23  1 2 3  

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 − 2 3  = (−2)(2) − (1)(3) = −4 − 3 = −7 M 23 =   1 2

A23 = (−1) 2+3 M 23 = (−1)(−7) = 7 Reemplazando en la ecuación inicial tenemos: " det A" = 5(−7) + (−7) + 4(7) = −35 − 7 + 28 = −14

" det A" = −14

Ahora hallaremos el determinante de esta matriz expandiendo la columna tres ExpC3 = A13 + 4 A23 + 3 A33 5 1  = (5)(2) − (1)(1) = 10 − 1 = 9 M 13 =  1 2

A13 = (−1)1+3 M 13 = (1)(9) = 9  − 2 3  = (−2)(2) − (1)(3) = −4 − 3 = −7 M 23 =   1 2 A23 = (−1) 2+3 M 23 = (−1)(−7) = 7

 − 2 3  = (−2)(1) − (5)(3) = −17 M 33 =   5 1 A33 = (−1)3+3 M 33 = (1)(−17) = −17

Reemplazando en la ecuación inicial tenemos: " det A" = 9 + 4(7) + 3(−17) = 9 + 28 − 51 = −14

" det A" = −14

Podemos expandir cualquiera de los tres renglones o columnas y el determinante siempre será el mismo.

Ejemplo4:

 2 −1 6    Encuentre " det A" si A =  4 5 2  1 0 − 2   Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

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SOLUCIÓN Coma el tercer renglón contiene un cero, expandiremos por ese renglón para evaluar sólo dos cofactores. Así: ExpR3 = A31 − 2A33 No necesitamos evaluar A32 , pues al multiplicarla por a32 el resultado será cero.  −1 6   = (−1)(2) − (5)(6) = −2 − 30 = −32 M 31 =   5 2 A31 = (−1)3+1 M 31 = (1)(−32) = −32

 2 − 1  = (2)(5) − (4)(−1) = 10 + 4 = 14 M 33 =  4 5 

A33 = (−1)3+3 M 33 = (1)(14) = 14 " det A" = −60

" det A" = −32 − 2(14) = −60

Para simplificar los cálculos, podemos realizar transformaciones elementales de renglones para obtener ceros y hallar menos cofactores. Volvamos al ejemplo anterior y hallemos nuevamente el determinante.  2 −1 6   2 −1 6      Encuentre " det A" si A =  4 5 5R1 + R2 → R2 14 0 32  2  1 0 − 2  1 0 − 2     ExpC2 = (−1) A12 + (0) A22 + (0) A32

ExpC2 = − A12 14 32   = (14)(−2) − (1)(32) = −28 − 32 = −60 M 12 =   1 − 2 A12 = (−1)1+ 2 M 12 = (−1)(−60) = 60

Reemplazando en la ecuación inicial tenemos: " det A" = −60

" det A" = −(60) = −60

Podemos ver como utilizando el método de eliminación los cálculos se reducen significativamente, llegando a calcular el determinante con un solo cofactor. Definición del determinante de una matriz A de nxn El determinante de una matriz A de orden nxn es la expansión del cofactor por una de las filas o de las columnas

" det A" = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ai 3 Ai 3 + L + aim Aim " det A" = a1 j A1 j + a2 j A2 j + a3 j A3 j + L + a nj Anj

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TEOREMAS SOBRE DETERMINANTES 1) Si A es una matriz cuadrada de orden n>1, entonces el determinante de A se puede hallar multiplicando los elementos de cualquier fila o columna por sus respectivos cofactores y sumando los productos resultantes 2) Si todo elemento de una fila o columna de una matriz cuadrada A es cero, entonces " det A" = 0 3) Si A es una matriz cuadrada, entonces A es invertible si y sólo si " det A" =/ 0 4) " det AT " =" det A" 5) Si dos filas o columnas de una matriz cuadrada A son idénticos, entonces " det A" = 0 6) Si dos filas o columnas de una matriz cuadrada A son múltiplo escalar de otra, entonces " det A" = 0 7) Si a partir de una matriz A se obtiene una matriz B al intercambiar dos filas o columnas, entonces " det B" = −" det A" 8) Si a partir de una matriz A se obtiene una matriz B al multiplicar cada elemento de una fila o columna de A por un número real k, entonces " det B" = k " det A" 9) Si a partir de una matriz A se obtiene una matriz B al sumar k veces cualquier fila o columna de A a otra fila o columna para un número real k, entonces " det B" =" det A" Ejemplo5:

1 − 3 2    Hallar el valor de α para que " det A" =  0 2 4  = −46 3 2 α    2  1 − 3   4  0 2 − 3R1 + R3 → R3  0 11 − 6 + α  ExpC1 = A11

4  2  = 2(−6 + α ) − (11)(4) = −12 + 2α − 44 = 2α − 56 M 11 =  11 − 6 + α  A11 = (−1)1+1 M 11 = (1)(2α − 56) = 2α − 56 " det A" = 2α − 56

− 46 = 2α − 56

α =5

Ejercicio  4 −1 3    Hallar el valor de β para que " det A" =  2 0 β  = 46 3 −5 4    Los determinantes se usan para solucionar sistemas de ecuaciones lineales mediante la regla de Cramer. Se obtienen las soluciones como cocientes de dos determinantes.

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Definición de la regla de Cramer para un sistema de tres variables. El valor de cada incógnita es una fracción cuyo denominador es el determinante formado con los coeficientes de las incógnitas (determinante del sistema) y cuyo numerador es el determinante que se obtiene sustituyendo en el determinante del sistema la columna de los coeficientes de la incógnita que se halla por la columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas. X=

" det Ax " " det A"

 b1   b2 b X=  3  a11   a21 a  31

a12 a22 a32 a12 a22 a32

Y= a13   a23  a33  a13   a23  a33 

" det Ay "

Z=

" det A"

 a11   a21 a Y =  31  a11   a21 a  31

b1 b2 b3 a12 a22 a32

a13   a23  a33  a13   a23  a33 

" det Az " " det A"

 a11   a21 a Z =  31  a11   a21 a  31

a12 a22 a32 a12 a22 a32

b1   b2  b3  a13   a23  a33 

Ejemplo6:

Resolver el siguiente sistema por el método de los determinantes.

 x +y +z = 4  2 x − 3 y + 5 z = − 5 3 x + 4 y + 7 z = 10  1 1 1   " det A" =  2 − 3 5  3 4 7  

1 1 1   − 2 R1 + R2 → R2  0 − 5 3  − 3R1 + R3 → R3  0 1 4 

ExpC1 = A11  − 5 3  = −23 M 11 =   1 4 A11 = (−1)1+1 M 11 = −23 1 1  4   " det Ax " =  − 5 − 3 5   10 4 7    ExpC3 = A13

" det A" = −23

1 1  4   − 5R1 + R2 → R2  − 25 − 8 0  − 7 R1 + R3 → R3  − 18 − 3 0 

 − 25 − 8   = −69 M 13 =   − 18 − 3 

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A13 = (−1)1+3 M 13 = −69

" det AX " = −69 Página 7

1 4 1   " det Ay " =  2 − 5 5   3 10 7   

1 4 1   − 2 R1 + R2 → R2  0 − 13 3  − 3R1 + R3 → R3  0 − 2 4 

ExpC1 = A11  − 13 3   = −46 M 11 =   − 2 4 A11 = (−1)1+1 M 11 = −46

" det AY " = −46

4  1 1   " det Az " =  2 − 3 − 5   3 4 10   

4  1 1   − 2 R1 + R2 → R2  0 − 5 − 13  − 3R1 + R3 → R3  0 1 − 2 

ExpC1 = A11

 − 5 − 13   = 23 M 11 =   1 −2 

A11 = (−1)1+1 M 11 = −23

" det AZ " = 23

Entonces los valores de las tres variables son:

X=

− 69 =3 − 23

Y=

− 46 =2 − 23

Z=

23 = −1 − 23

Así la solución del sistema es: (x = 3, y = 2, z = −1)

Regla de Cramer (forma general) X1 =

" det Ax n " " det Ax1" " det Ax 2 " ,L, X n , X2 = " det A" " det A" " det A"

La regla de Cramer resulta ineficaz si se aplica a sistemas con un gran número de ecuaciones, ya que deben evaluarse muchos determinantes. Tampoco se puede usar si " det A" = 0 o si el número de ecuaciones no es el mismo que el número de variables. Otra forma de hallar determinantes, es utilizando la regla de Sarrus

Regla de Sarrus Cuando el determinante es de orden tres se usa la regla de Sarrus, que consiste en sumar todos los productos que se obtienen al multiplicar dos o tres elementos de la matriz de todas las formas posibles, con la condición de que en cada producto exista un elemento de cada fila y uno de cada columna, con sus signos correspondientes. Es aconsejable aumentar la matriz con las dos primeras columnas y multiplicar en forma diagonal.

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Definición de la regla de Sarrus para un sistema de tres variables.  a11 a12  " det A" =  a21 a22 a  31 a32

a13  a11 a12  a23  a21 a22 a33  a31 a32

= (a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 ) − (a31a22 a13 + a32 a23a13 + a33a21a12 ) Ejemplo7: Hallar el determinante del ejercicio 1.5.4. Utilizando la regla de Sarrus

 2 −1 6  2 −1   " det A" =  4 5 2 4 5  1 0 − 2 1 0   = [(2)(5)(−2) + (−1)(2)(1) + (6)(4)(0)] − [(1)(5)(6) + (0)(2)(2) + (−2)(4)(−1) = [(−20) + (−2) + (0)] − [(30) + (0) + (8)] = −22 − 28 = -60

Ejemplo8: Resolver el siguiente sistema utilizando la regla de Sarrus.

 2 x + y − 3z = 12   5 x − 4 y + 7 z = 27 10 x + 3 y − z = 40   12 1 − 3  12 1    27 − 4 7  27 − 4  40 3 − 1  40 3 [(48) + (280) + (−243)] − [(480) + (252) + (−27)] − 620  X = = = =5 2 1 − 3 [(8) + (70) + (−45)] − [(120) + (42) + (−5)] − 124  2 1    5 −4 7  5 −4 10 3 − 1 10 3   2  5 10 Y=  2  5 10 

− 3 2  27 7  5 40 − 1 10 1 − 3 2  −4 7  5 3 − 1 10 12

12 27 40 [(−54) + (840) + (−600)] − [(−810) + (560) + (−60)] 496 = = = −4 1 [(8) + (70) + (−45)] − [(120) + (42) + (−5)] − 124 −4 3

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2 1   5 −4 10 3 Z= 2 1   5 −4 10 3 

12  2 1  27  5 − 4 40 10 3 [(−320) + (270) + (180)] − [(−480) + (162) + (200)] 248 = = = −2 − 3 2 1 [(8) + (70) + (−45)] − [(120) + (42) + (−5)] − 124  7  5 −4 − 1 10 3

Así la solución del sistema es: ( x = 5, y = −4, z = −2)

Ejercicios de la sección Hallar el determinante de las siguientes matrices  2 − 3  1.  1 0 

− 2 3   2.   −1 − 5

 2 − 3  3.  5 6 

 2 − 6  4.   −1 − 4 

 2 −1 0    5.  5 − 5 8   4 7 0  

 −1 2 0    6.  2 0 − 6  4 0 1   

 2 −1 5    7.  4 6 2   − 4 2 − 10   

 −1 2 2   8.  3 3 6   4 0 5  

 2 3 6   9.  1 4 5  2 3 1  

− 2 4 5   10.  3 1 0  4 − 5 6  

 − 5 2 1   11.  4 3 6  − 2 1 0  

 4 − 5 2   12.  1 0 3   1 0 5  

 2 4 6    13.  − 2 4 − 6   4 4 12   

− 6 2 4   14.  5 5 6   3 7 8  

 3 5 6   15.  − 7 8 9   4 2 5  

2 1 4    17. Hallar el valor de β para que " det A" =  3 1 2  = 19 0 3 β    3 2 1   18. Hallar el valor de α para que " det A" =  0 α 4  = −8 2 1 0  

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 3 5 6   19. Hallar el valor de η para que " det A" = η 1 2  = 24  3 2 1   ϑ 5 4    20. Hallar el valor de ϑ para que " det A" =  2 1 3  = −38  0 4 2   Utilizar la regla de Cramer para resolver los siguientes sistemas

2 x + 3 y = 2 21.   x − 2y = 8

4 x + 5 y = 13 22.  3 x + y = − 4

2 p + 5q = 16 23.  3 p − 7q = 24

7 a − 8b = 9 24.  4a + 3b = − 10

2 x − 3 y + 4 z = − 17  25. 3 x − 2 y + 3 z = − 17  x + 2 y − 7 z = 37 

 x − 2 y − 3z = − 1  26. 2 x + y + z = 6  x + 3 y − 2 z = 13 

 x + 3y − z = − 3  27. 3 x − y + 2 z = 1 2 x − y + z = − 1 

 2x − 3 y + 2z = − 3  28. − 3 x + 2 y + z = 1  4x + y − 3z = 4 

− x + 3 y + z = 1  29.  2 x + 5 y = 3  3x + y − 2 z = − 2 

3 x + 2 y − z = 4  30.  2 y − 6z = 4 3 x + 2 y + 4 z = 0 

2 x + 2 y − z = 3  31.  2 y − 6z = 4  x − 5 y + 4z = 2 

2 x + 2 y − z = 5  32. 3 x − 2 y + 5 z = 4 5 x − 5 y + 4 z = 2 

33. Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 y un total de $2000. Si el número de billetes de $10 es el doble que el número de billetes de $20, averigua cuántos billetes hay de cada tipo. 34. Se dispone de tres cajas A, B y C con monedas de 1 euro. Se sabe que en total hay 36 euros. El número de monedas de A excede en 2 a la suma de las monedas de las otras dos cajas. Si se traslada 1 moneda de la caja B a la caja A, esta tendrá el doble de monedas que B. Averigua cuántas monedas había en cada caja.

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