DIMENSIONAMIENTO A ESFUERZO DE CORTE Con la determinación de las armaduras de flexión no concluye el dimensionamiento de las vigas ya que los elementos flexados en las zonas cercanas a los apoyos se produce un comportamiento distinto de las mismas que provoca la aparición de esfuerzos que no son absorbidos por estas armaduras y que pueden provocar la falla de las mismas. A partir de la experiencia de colapso de elementos estructurales, ensayos y pruebas de laboratorio, como los que se observan en las fotografías siguientes, pudo determinarse que podía producirse la falla de una viga por causas deferentes de las analizadas para flexotracción, flexión pura y flexocompresión, volcadas en los diagramas de Dominios.

A ello hay que considerar el hecho de que el hormigón se fisure cuando aparecen tensiones de tracción y traslade sus esfuerzos a las armaduras de acero implicó que no fueran de aplicación las teorías de corte estudiadas para materiales homogéneos y elásticos como el acero como es la llamada teoría de Juravsky o Colignon que se ha estudiado en el curso anterior.

Para ingresar al tema se hará previamente una reseña de otras formas de rotura diferentes de las ya vistas. A continuación se puede apreciar la vista de una viga donde se indican las posibles fallas que aparecen en una viga de hormigón armado:

1) Rotura por flexión. Se incluyen tanto la rotura frágil por estallido de la cabeza comprimida de flexión como la rotura dúctil por excesiva apertura de fisuras de tracción por flexión. 2) Rotura por tracción por esfuerzo de corte: Se produce por la apertura inadmisible de fisuras de tracción de forma oblicua cuando la armadura transversal es escasa. 3) Rotura por compresión por esfuerzo de corte: Cuando la fisura por tracción de esfuerzos de cortes se eleva demasiado reduce la sección comprimida que estalla por compresión. 4) Rotura por compresión en el alma: Se produce en vigas como almas delgadas como es el caso de las vigas T o en I (son usuales en hormigón premoldeado). Se produce por tensiones de compresión por efecto del corte que no pueden descender hacia el apoyo porque la sección de hormigón es demasiado pequeña. 5) Rotura en el apoyo: Aunque el momento en un apoyo articulado es cero aparecen en las vigas cuyas reacciones son considerables efectos de tracción en los apoyos que pueden provocar el resbalamiento de las armaduras con respecto al hormigón. Estas formas de rotura aunque parecen de naturaleza diferente, están emparentadas de alguna u otra forma con el esfuerzo de corte, por lo que al realizar el dimensionado de hormigón armado para corte, se engloban toda esta serie de formas de rotura. ESFUERZO DE CORTE El esfuerzo de corte es la proyección de la resultante izquierda y derecha sobre una dirección normal al eje de la pieza y se expresa bajo la forma de un resbalamiento de la sección respecto de las secciones contiguas. Ahora bien, como se trata de un traslado de fuerza por fuera de la sección aparece siempre vinculado a la flexión aunque tiene una especificidad propia. Además, para el análisis del corte es preciso tomar en cuenta al conjunto de la pieza y no a secciones aisladas como se pudo ver en el tema de dominios. El efecto del esfuerzo de corte en una sección de hormigón presenta dos casos diferentes. El primer caso es el que se produce antes de que aparezca la primera fisura en el hormigón. En estas condiciones el hormigón armado se

comporta como un material similar al acero, es decir, que resiste de igual manera tracción y hormigón. Este caso es teórico ya que en realidad es casi imposible evitar que el hormigón se fisure ya que las mismas pueden aparecer en el propio proceso constructivo (discontinuidades en el hormigón, contracción por fragüe o por temperatura, etc.) y no por la aparición de esfuerzos de tracción, pero su análisis es necesario para entender por qué aparecen las fisuras por esfuerzos de corte. El segundo caso es el que corresponde al hormigón fisurado (Estado II). ESFUERZOS DE CORTE EN EL HORMIGÓN SIN FISURAR (ESTADO I) Antes de que aparezca la primera fisura en el hormigón, éste se comporta como un material elástico, similar al acero. Por eso son válidos los estudios realizados sobre materiales homogéneos como puede ser el acero y que fueron vistos en el curso anterior. Para introducir el tema, consideraremos una viga simplemente apoyada con una carga uniforme los momentos flexores de valores nulos en los apoyos crecen hacia el centro del tramo. En forma inversa, los esfuerzos de corte que son máximos en los apoyos, disminuyen hacia el centro de la viga hasta hacerse nulos. Hasta acá En el material se producen tensiones de compresión y de tracción que viajan hacia y respectivamente se alejan los apoyos, según aparece en el diagrama siguiente:

Como puede observarse las trayectorias de las tensiones tracción (inferiores) y de compresión (superiores) se encuentran prácticamente paralelas a la dirección de la viga en el centro de la misma. Esto se explica por la teoría de flexión que ya ha sido estudiada. Ahora bien, también resulta claro que estas direcciones se curvan al atravesar el eje neutro adquiriendo direcciones a 45º y 135º. Esto se explica por la Teoría de Resistencia de Materiales y excede los alcances de este curso, pero la explicación es que cuando no hay tensiones por efecto de la flexión, pero sí hay tensiones tangenciales estas no sólo tienen la dirección vertical sino que también tienen una dirección paralela al del eje neutro (tensiones de resbalamiento). La combinación de ambas tensiones

provoca lo que se llama un estado biaxial de tensiones lo que da origen a la aparición de tensiones oblicuas con los ángulos de inclinación mencionados. La aparición de tensiones tangenciales es producto de nuestra comodidad al elegir un eje de coordenadas X e Y paralelo y normal al eje de la viga. En realidad existen dos direcciones en cada sección denominadas direcciones principales en las cuales las tensiones tangenciales son nulas. A esas direcciones corresponden las llamadas tensiones principales σI y σII. Sin embargo, es muy engorroso trabajar directamente con tensiones principales ya que al cambiar los esfuerzos no sólo cambian de valor sino también de dirección. Por ello se trabaja por separado con tensiones de flexión y de corte y, de ser necesario se combinan para obtener las tensiones principales de acuerdo a las siguientes fórmulas:

Cuando en una viga actúan el momento flexor y el esfuerzo de corte se producen distribuciones de tensiones normales y tangenciales de acuerdo a las siguientes dos leyes: Ahora bien combinando ambas tensiones se obtienen las tensiones principales y de allí el diagrama obtenido anteriormente. Flexión M σ= W Jouravsky - Colignon Q x Sy τ= Jxb Gráficos Una forma simplificada de obtener la tensión cortante en el eje neutro de una viga rectangular resulta de la siguiente deducción. b x h²

Sy = 8 b x h3 J= 12 Q x Sy τ=

3xQ =

Jxb

2xbxh

De aquí resulta que cuando el esfuerzo de corte es máximo se producen tensiones de compresión y de tracción que en el eje neutro poseen una inclinación de 45º y 135º. En la ilustración siguiente se observa la diferente inclinación de las tensiones a diferentes alturas de la sección bajo la acción de flexión y corte.

ESFUERZOS DE CORTE EN EL HORMIGÓN FISURADO (ESTADO II) Cuando aparecen fisuras en el hormigón las tensiones cortantes se comportan en forma diferente en la zona comprimida del hormigón que en la zona traccionada. En la primera el hormigón se comporta como un material homogéneo y por lo tanto la fórmula de Collignon sigue siendo válida, pero al sobrepasar el eje neutro el hormigón deja de colaborar y las tensiones cortantes se mantienen constantes hasta llegar a la armadura de tracción como se indica en el gráfico. El hecho de que entre el eje neutro y las armaduras sólo existan tensiones transversales produce que las tensiones principales mantengan su inclinación (45º y 135º) y ello explica por qué en la rotura por corte, cerca de los apoyos (donde el esfuerzo de corte es grande) aparezcan fisuras inclinadas a 45º que nacen en la zona inferior y se prolongan hasta el eje neutro. Asimismo como la tensión cortante desde el eje neutro su valor viene determinado por la fórmula deducida en el punto anterior.

Q τ= bxz Fue investigador alemán E. Mörsch una teoría que permite explicar el funcionamiento de una viga de hormigón armado cuando la misma se encuentra fisurada por efectos del esfuerzo de corte. Su la conoce como “TEORÍA DEL RETICULADO ANÁLOGO” o “ANALOGÍA DEL RETICULADO. Consiste en asimilar una viga de hormigón armado a un reticulado ideal en el cual las barras comprimidas representan al hormigón y las barras traccionadas a las armaduras de acero. Considerando un reticulado de igual luz que una viga simplemente apoyada de hormigón armado, los cordones superiores e inferiores representan los esfuerzos de compresión y de tracción respectivamente, característicos de la flexión. El cordón comprimido es de hormigón, en tanto que el cordón traccionado es de acero (las armaduras del dimensionamiento a flexión). En el alma, las fisuras inclinadas que se forman determinan prismas (de ancho igual al ancho de la viga) de hormigón de 45º de inclinación con dirección hacia los apoyos (diagonales comprimidas). A su vez las armaduras que “cosen” las fisuras tienen dirección perpendicular a las anteriores, estas serían las armaduras de corte (diagonales traccionadas a 45º) que descienden del cordón superior hacia el inferior, alejándose de los apoyos. Ahora bien, un reticulado no sólo puede armarse con barras inclinadas, también puede formarse colocando barras verticales que trabajen a tracción. Estas armaduras verticales que cumplen también una función constructiva ya que envuelven las armaduras horizontales y se denominan “estribos”, también se utilizan como armadura para absorber esfuerzos de corte. En la práctica al proyectar la armadura de corte, debe tenerse presente que no basta con considerar reticulados simples, estáticamente determinados ya que debido a la gran separación que se producen entre barras traccionadas una fisura que se origine entre ellas puede llevar a la rotura. En consecuencia se combinan diagonales y estribos que están más juntos conformando reticulados de alta hiperestaticidad. La teoría expuesta por Mörsch tuvo aceptación universal y siempre debe suponerse la inclinación de los elementos comprimidos a 45º y elegir la inclinación de la armadura del alma entre β = 45º y β = 90º. Planteando el reticulado con bielas de compresión a 45º y bielas de tracción con una inclinación entre 45º y 90º, se pueden ir descomponiendo fuerzas a partir de los nudos.

Comenzando por el nudo del apoyo A, lo primero que puede notarse es que existe una componente horizontal de tracción en el apoyo que no existiría de considerarse a la viga como “de alma llena”. Por ejemplo si consideramos una viga de alma llena con una carga concentrada en su eje: Al existir momento nulo en el apoyo tanto los esfuerzos de compresión como de tracción son nulos. Asimismo el momento máximo genera los siguientes esfuerzos de compresión y de tracción. Si se trazan los diagramas de compresión y de tracción obtenidos a partir de M/z y se les superpone los correspondientes al reticulado se obtiene. Comparando los diagramas podemos observar que la formulación de la analogía del reticulado no sólo determina los esfuerzos en el hormigón y en la armadura por efecto del corte. También tiene influencia en los esfuerzos tracción y de compresión producto de la flexión. No en cuanto a su valor máximo por lo que sigue siendo válido el dimensionamiento efectuado por el método Kh y ms, pero sí en cuanto a la extensión de esos esfuerzos. En efecto el diagrama de esfuerzos de tracción de las armaduras sufre un desplazamiento de valor “v”, también llamado decalaje, además de lo ya dicho en cuanto a que en el apoyo existe un esfuerzo de tracción en estas barras.

En realidad desde el tiempo en que Mórsch planteó su teoría mucho tiempo ha pasado y las investigaciones han continuado postulando reformas a esta idea. En particular, se ha postulado que la inclinación de las barras comprimidas puede ser menor lo que tiene como efecto una reducción en las armaduras necesarias para absorber el corte. Este cambio complejiza el reticulado simple considerado por Mörsch, incluso porque si se reduce la armadura necesaria, las diagonales comprimidas se aplanan. Para mantener las ventajas de cálculo de la teoría de Mörsch se utiliza el concepto de grado de cobertura del esfuerzo cortante según la teoría de Mörsch y se cuantifica mediante una factor denominado η (eta del alfabeto griego). Si se considera la combinación de barras dobladas y estribos verticales la descomposición de fuerzas es la siguiente:

Como puede verse, mantener la armadura a 45º junto con los estribos verticales disminuye el esfuerzo en las armaduras, pero aumenta el esfuerzo de compresión en el alma de la viga. En conclusión puede establecerse que: a) Al disminuir la inclinación de las diagonales comprimidas se reduce sensiblemente el esfuerzo de tracción de las armaduras, lo que implica que se necesita menos cuantía. Sin embargo, el esfuerzo de compresión en el alma aumenta lo que aumenta el riesgo de rotura por compresión de alma (caso c, pág.).

b) Las tensiones de compresión inclinadas en el alma cuando se utilizan solamente estribos es aproximadamente el doble de las mismas tensiones cuando se utilizan barras dobladas. c) La sección necesaria de armadura de barras inclinadas es menor que la de estribos. Como contrapartida, el rendimiento del material no es tan grande ya que hay que considerar que las longitudes de anclaje (longitud necesaria para que la barra reciba los esfuerzos que le transmite el hormigón) son mucho mayor. Asimismo, desde el punto de vista de la productividad de la mano de obra la utilización de estribos es mucho más conveniente. EFECTOS DE LA APLICACIÓN DE FUERZAS Y DE APOYOS Cuando se producen cargas sobre las vigas existen diferentes efectos según la carga se traslade a los apoyos por compresión o tracción. En el primer caso el efecto es favorable en cuanto a los esfuerzos de corte ya que responde a la configuración del reticulado análogo. Las fuerzas comprimen el apoyo viajando por el hormigón sin provocar incrementos en los esfuerzos en las armaduras, lo que permite reducir su valor. Cuando la carga “cuelga” de la estructura es necesario que se tome en cuenta este efecto colocando una armadura vertical o inclinada que traslade la fuerza hacia el cordón superior. El efecto de reducción por apoyo tiene dos casos. El primero, denominado apoyo directo, es aquel en el cual la viga apoya sobre un elemento que trabaja a compresión (columna o tabique). En ese caso la reducción es máxima ya que es caso más favorable. El segundo caso, apoyo indirecto, corresponde a los apoyos de viga sobre otra viga. En este caso la viga apoya sobre un nudo del reticulado correspondiente a la otra viga. En este caso la reducción debe ser menor y hay que prever una armadura en la viga para transmitir los esfuerzos al extremo superior DIMENSIONAMIENTO AL CORTE SEGÚN EL CIRSOC 201 Basándose en la analogía del reticulado con las modificaciones indicadas el Reglamento argentino CIRSOC, inspirado en la norma alemana DIN 1045, establece una secuencia de pasos para dimensionar la armadura por corte, la cual como es rotura dúctil (con fisuración previa) utiliza un coeficiente de seguridad ν = 1.75. El primer paso consiste en realizar la reducción del esfuerzo de corte, producto del efecto de los apoyos. Para ello no toma como valor de corte el máximo sino que desplaza la coordenada mediante un valor r: Este valor depende del tipo de apoyo Apoyo directo: cuando la viga descarga sobre un elemento comprimido como puede ser una columna o un tabique.

r

c +

h

2 +

2

=

donde: c (ancho de apoyo del elemento comprimido) h (altura útil de la viga) Apoyo indirecto: cuando la viga apoya sobre otra viga. h r

= 2

donde: c (ancho de apoyo del elemento comprimido) h (altura útil de la viga) Con el valor de corte reducido se obtiene la tensión de corte τo. Como hemos visto este valor es también válido para el Estado II (fisurado) El bo es el valor del ancho de alma de la viga (no el del ancho colaborante de la placa) y el valor de z se puede obtener de diferentes maneras: a) z = Kz x h donde Kz es un valor que se obtiene del cálculo de Kh o ms. b) z = 0.85 x h que es un valor más conservador Dado que cuando menor es la cuantía (relación entre sección de acero y de hormigón) mayores son las tensiones de compresión en el hormigón, la posibilidad de reducirlas depende de la capacidad a compresión del hormigón que surge de la resistencia característica. De esta forma para las diferentes calidades de hormigón, las tensiones de corte definen tres zonas, a partir de valores de tensión límite. Hay que tener en cuenta que para cada tipo de hormigón hay un valor máximo para una sección dada que impide el riesgo de rotura por compresión de alma. Una vez establecido este límite el resto del cálculo consiste en determinar la armadura necesaria para absorber los esfuerzos de tracción. A continuación indicaremos que significan estas tres zonas que han quedado definidas.

ZONA 1 τo < τo12 La norma establece que debido a que en esta zona las tensiones de corte son tan bajas que no es necesario realizar una verificación de la armadura para esfuerzos de corte. La inclinación de las bielas comprimidas puede ser muchos menor a 45º por lo que los esfuerzos en las armaduras son de poca magnitud. Sin embargo, para cualquier zona el CIRSOC 201 establece que tiene que haber un grado de cobertura (η) del 40% de la tensión de corte: τ = η x τo

= 0.40 x τo

ZONA 2 τo12 < τo < τo2 En esta zona el valor de la tensión e corte es tal que es necesario verificar la armadura para absorber los esfuerzos de corte. Sin embargo, se puede admitir una reducción. En este caso la inclinación de las diagonales comprimidas es menor a 45º pero no inferior a los 14º. Ahora bien como en el límite superior la situación es prácticamente la correspondiente a la teoría de Mörsch el grado de cobertura va decreciendo, con un mínimo de 0.40. Estas es una función cuadrática, sin embargo, a los efectos prácticos se considera una función lineal con la tensión reducida como valor máximo. ZONA 3 τo2 < τo < τo3 En esta zona el valor de la tensión es tan alto que no se admite ningún tipo de reducción del corte para dimensionar las armaduras. Las bielas de compresión tienen una inclinación de 45º por lo que la teoría de Mörsch es válida y por lo tanto el grado de cobertura η = 1. En el caso de superarse el límite superior, existe riesgo de rotura frágil por compresión en el alma y, por tal motivo, hay que redimensionar la sección.

Los valores límite surgen de la tabla siguiente:

DIMENSIONAMIENTO DE ARMADURAS PARA ABSORBER EL ESFUERZO DE CORTE Ya hemos anticipado que las armaduras para absorber esfuerzos de corte deben poseer una inclinación entre 45º y 90º. Los estribos están formados por barras de pequeño diámetro (entre 6 mm y 12 mm) que conforman un cuadro que envuelve las armaduras horizontales y que se colocan a una separación uniforme. Para pequeños anchos de vigas se utiliza un único estribos, pero si el ancho es mayor a 40 cm se pueden colocar estribos dobles, triples, etc. No sólo se utilizan como armadura de corte, también cumplen funciones constructivas y son útiles para limitar la fisuración del alma de la viga por efectos de contracciones de fragüe, acciones térmicas, etc. Por esta razón, las vigas siempre tienen que tener estribos con una separación máxima y deben absorber, al menos un 25% de los esfuerzos de corte. Las separaciones máximas de estribos dependen de la zona de corte en que se encuentre la viga. La tensión que absorben los estribos surge de la siguiente fórmula: 2 x n x βs τest =

s x bo x ν donde: n (cantidad de estribos) βs (tensión de fluencia del acero, para el acero Tipo III: 4200 Kg/cm²) s (separación de estribos) bo (ancho del alma de la viga) ν (coeficiente de seguridad que como en este caso es rotura dúctil, es igual a 1,75) Es posible utilizar estribos como única armadura de corte. Es cierto que producen un aumento del consumo del material, pero, como contrapartida, existe un ahorro sustancial de mano de obra y una reducción del tiempo de armado lo que ha provocado que una tendencia al abandono del doblado de barras. En esta caso, para el cubrimiento de la armadura de flexión en apoyos se utilizan barras rectas adicionales. Además de los estribos se puede absorber el corte con barras dobladas. Estas barras comúnmente se inclinan a 45º, sin embargo, en vigas muy altas pueden levantarse a 60º. En general economizan material no sólo porque la inclinación a 45º es más eficiente sino porque puede utilizarse como armadura de corte las barras que se levantan para cubrir los momentos negativos de los apoyos de flexión. De no disponerse armaduras suficientes para absorber la totalidad del corte pueden colocarse barras inclinadas adicionales sólo para absorber corte. El esfuerzo de tracción que deben absorber las barras dobladas corresponde al volumen de tensiones determinado por el ancho de la viga y la diferencia entre las tensiones de estribos y la tensión de corte (efectuadas las reducciones por zona).

τ0 - τest

Barras dobladas

τest

Est ribos

Para determinar la longitud de la base del triángulo (l1) se utiliza el principio de la semejanza de triángulos de lo que resulta: (τo - τest) l1

= τo

El esfuerzo de tracción que deben absorber las armaduras es: (τo - τest) x l1 x bo Z

= 2

Con este esfuerzo se determina la sección de acero necesaria que debe cubrirse con las barras. Como al inclinarse a 45° la sección de las barras es mayor, la sección necesaria resulta:

τ0 - τest

Barras dobladas

τest

Est ribos

Z x βs Febd = 2 xν con ν (1,75, rotura dúctil) DOBLADO DE BARRAS Una vez determinada la armadura de flexión y corte se puede determinar la longitud y la ubicación de las barras. De esta forma se pueden realizar los planos y planillas de armaduras. Los primeros indican la ubicación de las mismas y en las segundas se vuelca la longitud a cortar ya doblar de cada barra. Para determinar la ubicación de las armaduras de corte se debe tener en cuenta que las mismas se dimensionaron con la hipótesis de que la tensión de todas las barras era igual. Al mismo tiempo hay que tener presente que la influencia de una barra para absorber corte tiene una longitud máxima. El esfuerzo que absorbe cada barra viene determinado por el área del diagrama de tensiones en cuyo baricentro se encuentra. Existen métodos para determina las áreas iguales de un triángulo, como por ejemplo el método de Pendarieff, pero su aplicación práctica es restringida. Lo que sí hay que tomar en cuenta es que todo la extensión de la parte del diagrama de tensiones absorbido por barras dobladas debe estar cubierto y que las barras deben estar ubicadas de manera escalonada (no doblar barras muy próximas entre sí). Por

otra parte, hay que tener en cuenta que existen separaciones máximas de las barras de acuerdo a la zona en la que se encuentran. Ahora bien, el armado también incluye a las armaduras de flexión. Las mismas se dimensionan para el máximo de los momentos de tramo y para los momentos de apoyo. Sin embargo, no es necesario que las armaduras superiores e inferiores se continúen a todo lo largo de la viga ya que eso significaría un consumo excesivo de material. Las barras inferiores del tramo pueden levantarse en los apoyos y utilizarse para absorber la flexión en los mismos. Según la norma se pueden levantar hasta la mitad de la armadura en un apoyo final y hasta 2/3 en un apoyo intermedio, siempre dejando dos barras inferiores como mínimo. Asimismo las barras que ya no absorben esfuerzos de tracción (como las armaduras adicionales de apoyo) se pueden cortar. ¿En qué punto puedo doblar las barras o cortarlas? En efecto, es necesario que la armadura absorba el esfuerzo de tracción en cada sección sin exceder la tensión límite. Asimismo hay que considerar que toda barra necesita una longitud de anclaje para alcanzar su tensión de trabajo y otro detalle del cual ya hemos hablado al considerar la analogía del reticulado: el decalaje “v”. El decalaje (ver pág.) surgía de considerar a la viga de hormigón armado como un reticulado, lo que también significaba que en el apoyo se debía cubrir el esfuerzo de tracción que se producía. El procedimiento para determinar la ubicación, corte y doblado de las armaduras se obtiene dibujando el diagrama de esfuerzos de tracción. Para ello en primer lugar hay que aplicar la siguiente fórmula: Z

= M / (Kz x h)

A continuación se calcula el decalaje según la siguiente tabla: Desplazando el diagrama de Z se obtiene el diagrama de esfuerzos tracción. Posteriormente se obtiene el esfuerzo que absorbe cada barra mediante el siguiente cálculo: Zφ

= Fe (cm²) x 2400 Kg/cm²

Sumando los esfuerzos de cada barra se obtiene el diagrama de esfuerzos resistentes de las barras que nunca debe cortar al diagrama de esfuerzos de tracción, incluyendo el decalaje.

Combinando la necesidad de cubrir al corte y al diagrama de esfuerzos de tracción se determina la ubicación en que se pueden cortar y doblar las barras. En la práctica este procedimiento es engorroso por lo que sólo se realiza en las vigas importantes de una planta, utilizándose reglas prácticas en la mayor parte de los casos. A continuación se resumen gráficamente diferentes prescripciones relativas al armado de vigas a flexión y corte.