Cuadrado Latino

1 DISEÑO CUADRADO LATINO : DCL

El agrupamiento de las unidades experimentales en dos direcciones (filas y columnas) y la asignación de los tratamientos al azar en las unidades, de tal forma que en cada fila y en cada columna se encuentren todos los tratamientos constituye un diseño cuadrado latino. Características: 1. Las u.e. se distribuyen en grupos , bajo dos criterios de homogeneidad dentro de la fila y dentro de la columna y heterogeneidad en otra forma. 2. En cada fila y en cada columna, el número de unidades es igual al número de tratamientos. 3. Los tratamientos son asignados al azar en las unidades experimentales dentro de cada fila y dentro de cada columna. 4. El número de filas = número de columnas = número de tratamientos. 5. Los análisis estadísticos T-student, Duncan, Tuckey y en pruebas de contraste se procede como el diseño completo al azar y el diseño de bloques. La desviación estandar de la diferencia de promedios y la desviación estandar del promedio, están en función del cuadrado medio del error experimental. El nombre de cuadrado Latino se debe a R.A. Fisher [The Arrangement of Field Experiments, J. Ministry Agric., 33: 503-513 (1926)]. Las primeras Aplicaciones fueron en el campo agronómico, especialmente en los casos de suelos con tendencias en fertilidad en dos direcciones. Formación de cuadrados latinos Suponga 4 tratamientos A,B,C y D, con estos tratamientos se pueden formar 4 cuadros diferentes llamadas típicas o estandar (en la primera fila y en la primera columna se tiene la misma distribución). ┌─────────┐ │ A B C D │ │ B A D C │ │ C D B A │ │ D C A B │ └─────────┘

┌─────────┐ │ A B C D │ │ B C D A │ │ C D A B │ │ D A B C │ └─────────┘

┌─────────┐ │ A B C D │ │ B D A C │ │ C A D B │ │ D C B A │ └─────────┘

┌─────────┐ │ A B C D │ │ B A D C │ │ C D A B │ │ D C B A │ └─────────┘

De cada cuadro se obtienen 144 formas diferente, en total se tienen 576 cuadros diferentes.

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La siguiente tabla permite relacionar el numero de cuadros en función del tamaño. ┌──────────┬────────┬──────────┬──────────────┐ │ Tamaño │ Nro de │ │ Núm total │ │ del │ formas │ Valor de │ de cuadrados │ │ cuadrado │ típica │ n!(n-1)! │ diferentes │ ├──────────┼────────┼──────────┼──────────────┤ │ 3 x 3 │ 1 │ 12 │ 12 │ │ 4 x 4 │ 4 │ 144 │ 576 │ │ 5 x 5 │ 56 │ 2880 │ 161280 │ │ 6 x 6 │ 9408 │ 86400 │ 812851200 │ └──────────┴────────┴──────────┴──────────────┘

n = tamaño del cuadro. Asignación de tratamientos. Los tratamientos deben asignarse empleando uno de los cuadros de los posibles, es decir si son cuatro tratamientos, escoger entre los 576 posibles. Modelo estadístico. Cada observación del experimento es expresado como una relación lineal de los efectos involucrados ( tratamiento, fila y columna ), así:

Y ij(k) = µ + F i + C j +τ (k) + error ij(k)

i,j,k=1,2,...,n

µ = efecto medio (parámetro del modelo) F i = efecto de la fila i C j = efecto de la columna j

τ (k) = efecto del tratamiento k error ij(k) = error experimental de la u.e. i,j Yij(k) = Observación en la unidad experimental El subíndice (k) indica que tratamiento k fue aplicado en la u.e. El modelo esta compuesto por n2 ecuaciones, una para cada observación. Estimación de parámetros. El número de parámetros a estimar es igual a 3n+1 y la estimación puede resolverse por mínimos cuadrados del error, máxima verosimilitud u otro método, en nuestro caso se utilizara el método de mínimos cuadrados del error.

La función a minimizar es:

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∑ ∑ error

3

2

2

= ∑ ∑ ( Y ij(k) - µ - F i - C j - τ (k) ) ij(k)

La solución constituye el conjunto de estimadores de los parámetros del modelo, dado por:

( µˆ , Fˆ i ,Cˆ j ,τˆk ) para i,j,k = 1,2,...,n El sistema de ecuaciones que darán solución constituyen las ecuaciones normales, para tener una única solución, se agregan al sistema las siguientes restricciones:

∑ Fˆ i = 0 ; ∑ Cˆ j = 0 ; ∑ τˆi = 0 La solución son los estimadores mínimos cuadráticos:

µˆ = Y .. Fˆ i = Y i. - Y .. Cˆ = Y .j - Y .. τˆ(k) = Y (k) - overlineY .. y el error en cada u.e. es:

Error ij(k) = Y ij(k) - Y i. - Y .j - Y (k) + 2 Y ..

Y i. Y .j Y (k)

: Promedio de la fila i : Promedio de la columna j : Promedio del tratamiento k

Sumas de cuadrados A partir del modelo estimado, la suma de cuadrados del total es descompuesto en suma de cuadrados de tratamientos, filas, columnas y error experimental:

2 2 2 2 2 ∑ ∑( Y ij(k) - µˆ ) = ∑ ∑ Fˆ + ∑ ∑Cˆ + ∑ ∑τˆ + ∑ ∑ error i j (k) ij(k) + dobles productos

∑ ∑( Y ij(k) - µ )2 2 ∑ ∑ Fˆ i 2 ∑ ∑Cˆ j

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: Suma de cuadrados del total : Suma de cuadrados de filas : Suma de cuadrados de columnas

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2 : Suma de cuadrados de tratamientos ∑ ∑τˆ (k) 2 : Suma de cuadrados del error ∑ ∑ error ij(k) Los dobles productos son iguales a cero. Ejercicio. Probar las siguientes identidades:

2

Y

2

Y

2

i. .. i n n2 2 2 Y Y 2 .j .. SC Columna: ∑ nCˆ = ∑ - 2 j n n SC Fila : ∑ nFˆ = ∑

Aplicación: "Evaluación del sistema de riego por exudación utilizando cuatro variedades de melón, bajo modalidad de siembra, SIMPLE HILERA.". Se desea probar el comportamiento de tres variedades híbridas de melón y uno estándar. (Tesis).- autor Alberto Ángeles L. Variedades:

V1 : Híbrido Mission V2 : Híbrido Mark. V3 : Híbrido Topfligth. V4 : Híbrido Hales Best Jumbo.

Hipótesis : Ho : Efecto de variedades de melon en estudio es nulo. H1 : Al menos dos variedades tienen efectos distintos. Datos: Rendimiento en Kgs. por parcela.

F1 F2 F3 F4

C1 45 29 37 38

C2 50 53 41 40

Solucion: C1 F1 45 F2 29 F3 37 F4 38 Yi. 149 V1 189

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C3 43 41 41 35

C2 50 53 41 40 184 V2 169

C4 35 63 63 41

F1 F2 F3 F4

C3 43 41 41 35 160 V3 197

C4 35 63 63 41 202 V4 140

C1 V1 V4 V2 V3

C2 V2 V3 V4 V1

C3 V3 V2 V1 V4

C4 V4 V1 V3 V2

Y.j 173 186 182 154 695 695

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Estimacion de parametros : µ : 695/16 = 43.4375 τ1 : 189/4 – 43.4375 = 3.81 ; τ2 : -1.18 ; τ3 : 7.57 ; τ4 : -8.4375 c1 : 149/4 – 43.4375 =-6.1875 ;c2 : 2.5625 ; c3 : -3.4375 ; c4 : 7.0625 f1 : 173/4 – 43.4375 = -0.1875 ; f2 : 3.0625 ; f3 : 2.0625 ; f4 : -4.9375 CALCULO DE SUMAS DE CUADRADOS Termino de corrección TC = 695 ² /16 = 30189.1 SC(Total) = 45 ² + 50 ² + . . . 41 ² - TC = 1359.9375 SC(Filas) = (173 ² + … + 154 ² ) / 4 - TC = 152.18750 SC(Columna) = ( 149 ² + … + 202 ² ) / 4 – TC = 426.18750 SC(Melon) = ( 189 ² + … + 140 ²) / 4 – TC = 483.68750 SC(error) = SC(total) – SC(filas) – SC(columnas) = 297.8750 Promedio = 695 /16 = 43.438 CM (error) = SC(error) / [(t-1)(t-2)] = 49.6458 CV = Raiz (CM error) *100 / Promedio = 16.2 % Analisis de Variancia: Fuente

Gl

S.C.

FILA COLUMNA MELON Error Total

3 3 3 6 15

152.1875 426.1875 483.6875 297.8750 1359.9375

C.M. 50.7291 142.0625 161.2291 49.6458

Fc 1.02 2.86 3.25

Pr > F

0.4466 0.1264 0.1022

Se acepta la Hp, a un riesgo de rechazar la Hp de 0.05 Por lo tanto, no existe diferencias en el rendimiento de las variedades de melon tratadas con el sistema de riego por exudación. El coeficiente de variacion es de 16% aceptable para evaluación en campo. El rendimiento promedio del melon en condiciones experimentales resulto 43.3 kilos por parcela experimental. El rendimiento por hibrido fue el siguiente : V1 : Híbrido Mission 47.3 kilos V2 : Híbrido Mark. = 42.3 kilos V3 : Híbrido Topfligth. 49.3 kilos V4 : Híbrido Hales Best Jumbo. = 35.0 kilos

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Según los resultados experimentales no existen diferencias estadísticas entre las variedades ; las diferencias se dan a un riesgo mayor de 0.10, esto significa que muy posible existen diferencias pero en este experimento no fue posible detectar por los pocos grados de libertad para el error, lo recomendable cuando se prueba un testigo, se recomienda tener mas repeticiones, en un cuadrado latino pequeño, lo recomendable es doblar el numero de parcelas del testigo ; esto significa tener en forma ficticia 5 variedades en 5 filas y 5 columnas y los grados de libertad para el error serian 4x3 = 12. En el analisis de variancia se realiza en forma normal, y para las pruebas estadísticas utilizar contrastes o dunnett. Si son pocos los tratamientos y hay inseguridad en el resultados, realizar el ajuste de bonferroni u otro ajuste de probabilidades (ver ejmplos de agricolae) Ejemplo : Suponga en este caso que la variedad V4 se dobla en el experimento y se identifica como (V4 y V5), entonces un plan podria ser :

F1 F2 F3 F4 F5

C1 V1 V4 V2 V3 V5

C2 V2 V3 V4 V5 V1

C3 V3 V2 V5 V1 V4

C4 V4 V5 V1 V2 V3

C5 V5 V1 V3 V4 V2

El Analisis de variancia tendra las siguientes fuentes y grados de libertad : Fila Columna Melon Error Total

4 4 4 12 24

Como los tratamiento V4 y V5 son los mismos, entonces la suma de cuadrados de Melon debe ser descompuesta en : Melon V4, V5 vs V1, V2, V3 V4 vs V5 Entre V1, V2 , V3

4 1 1 2

Supuestamente no debe haber diferencia estadistica entre V4 y V5. Para el ejercicio de este proceso, suponga los siguientes totales de Variedades para el ejemplo V1 189

V2 169

V3 197

V4 140

V5 145

Y(k) 840

SC(Melón) = (189² + … + 145²) / 5 - 840 ² / 25 = 519.2 SC(V4, V5 vs V1, V2, V3) = (189+169+197)² / 15 + (140+145) ² / 10 - 840 ² / 25 = 433.5 SC(V4 vs V5) = 140² / 5 + 145 ² / 5 - (140 + 145 ) ² / 10 = 2.5 SC(V1, V2 , V3) = (189² +169² +197² ) / 5 - (189+169+197)² / 15 = 83.2 Este ultimo resultado puede ser obtenido por diferencia del total de SC(Melón) 519.2 – (433.5 + 2.5 ) = 83.2

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Para estos calculos tambien puede utilizar los contrastes ortogonales. V1 V4,V5 vs demas 2 V4 vs V5 0 189

V2 2 0 169

V3 2 0 197

V4 -3 1 140

V5 -3 -1 145

Suma 255 -5 840

Numerador Denominador SC 65025 150 433.5 25 10 2.5

Procedimiento R para el experimento de hibridos de Melón (datos de la tesis). Crear el archivo “melon.txt” con NOTEPAD y almacenar en su folder de trabajo. fila columna melon rdto 1 1 V1 45 1 2 V2 50 1 3 V3 43 1 4 V4 35 2 1 V4 29 2 2 V3 53 2 3 V2 41 2 4 V1 63 3 1 V2 37 3 2 V4 41 3 3 V1 41 3 4 V3 63 4 1 V3 38 4 2 V1 40 4 3 V4 35 4 4 V2 41 Ingresar al programa R y ubicarse en su folder de trabajo. Ejecutar las siguientes instrucciones en el ambiente R. rm(list=ls()) datos