Distribución binomial Cuando la Distribución de Benoulli se preguntaba ¿Que pasara si sucede un único evento? la binomial esta asociada a la pregunta "¿Cuantas veces hay que realizar la prueba para que el evento suceda?" ALgunos ejemplos de una distribucion binomial son:
Si lanzamos diez veces una moneda ¿cuantas veces saldrá cara?
De los niños que nacen en un hospital un determinado día ¿cuantos de ellos son chicas?
¿Cuantos estudiantes en una clase dada tienen los ojos verdes?
¿Cuantos mosquitos, fuera de un enjambre, serán rociados por un insecticida?
La relación entre Bernoulli y Binomial es intuitiva: La distribución Binomial está compuesta por múltiples ensayos de Bernoulli. Cogemos n repeticiones experimentadas es la probabilidad que un suceso dado por el parámetro p y añadiendo el numero de suceso. Ese número de sucesos es representado por la variable aleatoria X. El valor de X esta entre 0 y n. Cuando la variable aleatoria X es una distribucion binomial con parametros y escribimos eso como X ~ Bin(n,p) o X ~ B(n,p) y la probabilidad de la funcion de masa esta dada por la ecuación:
donde
Distribución de Poisson Modelo de distribución de Poisson o de los sucesos raros La función de masa de la distribución de Poisson es
donde
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k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).
λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)
Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n. La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es igual a , el mayor de los enteros menores que λ (los símbolos representan la función parte entera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1. La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λ es
Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles. Parámetros Dominio Función de probabilidad(fp) Función de distribución(cdf)
(dónde
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es
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La Función gamma incompleta Media Mediana Moda Varianza Coeficiente simetría
de
Curtosis Entropía
Función generadora de momentos(mgf) Función característica
Distribución exponencial Función de distribución de probabilidad Parámetros Dominio Función de densidad (pdf)
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Función de distribución(cdf) Media Mediana Moda Varianza Coeficiente de simetría Curtosis Entropía Función generadora momentos (mgf)
de
Función característica
En estadística la distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua con un parámetro
cuya función de densidad es:
Su función de distribución es:
Donde
representa el número e.
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución exponencial son:
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La distribución exponencial es un caso particular de distribución gamma con k = 1. Además la suma de variables aleatorias que siguen una misma distribución exponencial es una variable aleatoria expresable en términos de la distribución gamma.