Distribuciones de Probabilidad , Binomial & Otros (Cap. 5) Math. 298 Prof. Gaspar Torres Rivera

Distribución de Probabilidad Def. Es la distribución de las probabilidades asociadas con cada uno de los valores de una x variable aleatoria. Espacios Finitos de Probabilidad Sea S un espacio muestral finito. Un espacio finito de probabilidad se obtiene asignando a cada punto una probabilidad “p”, que satisface: i ) 0 ≤ P (x i ) ≤ 1 k =n

ii )

∑ P (x ) = 1 i

i

Distribución de Probabilidad Def. Variable aleatoria (x)=es un valor funcional definido sobre un espacio muestral que puede ser discreto o continuo. Para S de algún experimento, una variable aleatoria es cualquier asociación con cada resultado en S. Su dominio es S y su recorrido es el conjunto de los números reales. i ) Media poblaciona l : µ = ∑ x ⋅ P (x ) ii ) Varianza poblaciona l : σ 2x = Opcional : σ

2 x

[∑ x ⋅ P(x )]− µ 2

= [∑ (x − µ ) ]⋅ P (x )

iii ) D.S. = σ x =

2

[∑ x ⋅ P(x )]− µ 2

2

2

Probabilidad Ej. Considerar el experimento de lanzar dos monedas una vez. Encuentre: a) Espacio Muestral S={(H, H), (H, T), (T, H), (T,T)} H 1/2 inicio T 1/2

H 1/2 T 1/2

H 1/2 T 1/2

Probabilidad Ej. Considerar el experimento de lanzar dos monedas una vez. Encuentre: a) Espacio Muestral S={(H, H), (H, T), (T, H), (T,T)} b) Construir una Distribución de Probabilidad de donde la variable aleatoria x representa el número de caras (H). x

0

1

2

P(x)

i ) Media poblacional : µ = ∑ x ⋅ P(x ) ii ) Varianza poblacional : σ iii ) D.S. = σ x =

2 x

= [∑ x ⋅ P(x )]− µ

[∑ x ⋅ P(x)]− µ 2

2

2

2

Distribución de Probabilidad Ej. Determinar si p(x) es una función de probabilidad o no para cada tabla de probabilidades: x

0

1

2

3

4

5

6

1)

p(x)

0.05

0.10

0.15

0.25

0.20

0.15

0.10

2)

x

1

2

3

4

p(x)

0.10

0.15

0.25

0.20

x es el número de exámenes de sangre para identificar O+ i) Media poblacional : µ = ∑ x ⋅ P(x) ii) Varianzapoblacional : σ 2x = iii) D.S. = σ x =

[∑ x ⋅ P(x)]− µ 2

[∑ x ⋅ P(x)]− µ

2

2

2

Distribución de Probabilidad Ej. Determinar si p(x) es una función de probabilidad o no para cada tabla de i) Media poblacional : µ = ∑ x ⋅ P(x) probabilidades: ii) Varianzapoblacional : σ = [∑ x ⋅ P(x)]− µ 2 x

iii) D.S. = σx =

2

[∑ x ⋅ P(x)]− µ 2

2

2

3) Exactamente después de nacer, cada bebé es evaluado en una escala llamada Apgar. Las evaluaciones son 0, 1, 2, …,10, con la evaluación del bebé determinada por color, tono muscular, esfuerzo para respirar, ritmo cardiaco e irritabilidad. x es la evaluación Apgar para un bebé seleccionado aleatoriamente en cierto hospital. x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

p(x)

.002

.001

.002

.005

.02

.04

.18

.37

.25

.12

.01

Distribución de Probabilidad Ej. En el supuesto de que una mujer puede dar a “luz” con la misma probabilidad a un varón que a una niña, entonces calcular la probabilidades si se selecciona una familia con tres hijos. Variable aleatoria x=número de varones en una familia de 3 hijos S={(B,B,B), (B,B,G), (B,G,B), (B,G,G), (G,B,B), (G,B,G), (G,G,B), (G,G,G)} x P(x)

0

1

1 8

3 8

2 3 8

3 1 8

B 1/2 B 1/2 G 1/2 inicio B 1/2 G 1/2 G 1/2

B 1/2 G 1/2 B 1/2 G 1/2 B 1/2 G 1/2 B 1/2 G 1/2

Distribución de Probabilidad Ej. En el supuesto de que una mujer puede dar a “luz” con la misma probabilidad a un varón que a una niña, entonces calcular la probabilidades al seleccionar aleatoriamente una familia con 4 hijos. Variable aleatoria x=número de niñas S={ } x

0

1

2

3

4

P(x) i) Media poblacional : µ = ∑ x ⋅ P(x) ii) Varianzapoblacional : σ 2x = iii) D.S. = σ x =

[∑ x ⋅ P(x)]− µ 2

[∑ x ⋅ P(x)]− µ

2

2

2

Distribución de Probabilidad Ej. Una moneda que está cargada, a favor de las caras a razón 3:1, es lanzada dos veces al aire. Determinar S. S={ } P (H ) = 3 P (T ) Notar que P (H ) + P (T ) = 1

( ver los axiomas ) 4 1 3 P (T ) + P (T ) = 1 ⇒ 4 P (T ) = 1 ⇒ P (T ) = ⇒ 4 4 1 3 P (T ) = P (H ) = 3 P (T ) = . 4 4

x P(x)

0

1

2 i) Media poblacional : µ = ∑ x ⋅ P(x) ii) Varianzapoblacional : σ 2x = iii) D.S. = σ x =

[∑ x ⋅ P(x)]− µ 2

[∑ x ⋅ P(x)]− µ

2

2

2

H 3/4

H 3/4

T 1/4

inicio

H 3/4

T 1/4

x P(x)

0

1

1 1 1 3 1 6 ⋅ = = 2 ⋅  = = 4 4 16  4 4  16

T 1/4 2 3 3 9 ⋅ = = 4 4 16

Distribución de Probabilidad Binomial (B) y el Experimento Binomial De acuerdo a Holguin y Hayashi (1974), en algunas distribuciones teóricas el interés se centra en conocer si ocurre o no un resultado en particular. En el experimento binomial se denomina éxito a la ocurrencia de uno de los eventos de la dicotomía éxito o fracaso (o sea fracaso a la ocurrencia del evento contrario, sin que estos signifiquen de manera alguna que un evento sea o no de su preferencia, son formas de nombrar la dicotomía). La probabilidad de éxito es representada como “p” y la probabilidad de fracaso como “q” o sea que p+q=1. La probabilidad q=1−p. Ejemplos: lanzamiento de las monedas, selección múltiple (examen), C o F, nacimiento de un hijo, entre otras. Según Johnson y Kuby (2004), el experimento de probabilidad binomial es integrado por eventos repetidos (no es que se repiten todos los resultados) con las siguientes propiedades:

Tenemos “n” eventos repetidos e independientes Cada evento tiene dos resultados: éxito o fracaso P(éxito)=p, P(fracaso)=q → p+q=1→ q=1−p La variable aleatoria binomial, X, es una variable discreta del número de conteos de eventos con éxito que ocurren. La X tiene como mínimo 0 y máximo “n”. Función de Probabilidad Binomial- es la probabilidad de haya exactamente X éxitos en “n” eventos

P(X = xi )=n Cx p (1 − p) x

n−x

, para x = 0,1, 2, 3, ...,n x ≤ n

Media y la desviación estándar de la Distribución de Probabilidad Binomial (probabilidad de haya exactamente X éxitos en “n” eventos) Media poblacional µ = np

Desviaciònestàndar σ = n p (1 − p )

Ej. Una moneda que está cargada, a favor de las caras a razón 3:1, es lanzada dos veces al aire. n=2, p=3/4, H q=1−3/4 3/4

H 3/4

T 1/4

inicio

H 3/4

T 1/4

 3 P (X = 0 )= 2 C 0   4

0

 3 P (X = 1)= 2 C 1   4

1

3  1 −  4 

3  1 −  4 

2

2−0

2 −1

2− 2

T 1/4 2

1 1 = 0.0625 = 1⋅1⋅   = 16 4 1

3 1 6 = 2⋅ ⋅  = = 0.375 4 4 16 0

3 9 1 9  3  ( ) P X = 2 = 2 C2    1 −  = 1 ⋅ ⋅   = = 0.5625 4 4 16 4 16       x = número de caras = 0, 1, 2

Distribución de Probabilidad Binomial (B) Ej. En el supuesto de que una mujer puede dar a “luz” con la misma probabilidad a un varón que a una niña, entonces calcular la probabilidades si se selecciona una familia con tres hijos. Variable aleatoria x=número de varones en una familia de 3 hijos S={(B,B,B), (B,B,G), (B,G,B), (B,G,G), (G,B,B), (G,B,G), (G,G,B), (G,G,G)} x P(x)

0

1

1 8

3 8

2 3 8

3 1 8

B 1/2 B 1/2 G 1/2 inicio B 1/2 G 1/2 G 1/2

B 1/2 G 1/2 B 1/2 G 1/2 B 1/2 G 1/2 B 1/2 G 1/2

0

3−0

1

3 −1

1 1  P (X = 0 )= 3 C 0    1 −  2  2  1 P (X = 1)= 3 C1    2

1  1 −   2  

2

3− 2

3

3− 3

1 1  P (X = 2 )= 3 C 2    1 −  2  2 

3

1 1 = 1 ⋅ 1 ⋅   = = 0.125 8  2 2

1 1 3 = 3 ⋅ ⋅   = = 0.375 2  2 8 1

1 1 3 = 3 ⋅ ⋅   = = 0.375 4  2 8 0

1 1 1 1 1  ( ) P X = 3 = 3 C 3    1 −  = 1 ⋅ ⋅   = = 0.125 2 8  2 8  2  P (al menos una niña y un var ón ) = 1 − P (x = 0 ) − P (X = 3 ) = 1 − 0.125 − 0.125 = x = número de var ones = 0, 1, 2, 3

Distribución de Probabilidad Binomial (B) Ej. En el supuesto de que una mujer puede dar a “luz” con la misma probabilidad a un varón que a una niña, entonces calcular la probabilidades si se selecciona una familia con tres hijos. Variable aleatoria x=número de varones en una familia de 3 hijos

x P(x)

0

1

2

3

1 8

3 8

3 8

1 8

Defina los eventos: A = al menos una niña, B = a lo más una niña, C = tres niñas D = no más de una niña

Calcular o det er min ar : P(A), P(B), P(C) o sea : P(x ≥ 1) = P(x ≤ 2) =

P(x = 3) = P(x ≤ 1) =

Distribución de Probabilidad Binomial (B) Ej. Calcular la probabilidad de obtener tres estudiantes “zurdos” en una muestra de 15 estudiantes, dado que el parámetro o porcentaje 10% representa la gente “zurda”. Variable aleatoria x=número de sujetos zurdos, n=15, p=0.1, q=1−0.1=0.9 x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

p(x)

Calcular o det er min ar : P(x = 3)= 15 C 3 ⋅ (0.1) (1 − 0.1) 3

15 − 3

= 455 ⋅ (0.001)(0.282) ≈ 0.129

P(al menos 3 zurdos ) = P(x ≥ 3) = 0.184

P(al menos 2 zurdos ) = P(x ≥ 2) = P(a lo más 3 zurdos ) = P(x ≤ 3) = P(entre 2 y 6 zurdos ) = P(2 < x < 6) = P(más de 2 zurdos ) = P(x > 3) =

15

Distribución de Probabilidad Binomial (B) Ej. En el supuesto de que una mujer puede dar a “luz” con la misma probabilidad a un varón que a una niña, entonces calcular la probabilidades si se selecciona una familia con 10 hijos. Variable aleatoria x=número de varones en una familia de 3 hijos x

0

1

2

3

4

5

6

7

p(x)

Calcular o det er min ar : P (x = 10 niñas )= 10 C 10 ⋅ (0 .5 ) (1 − 0 .5 ) 10

P (al menos 8 niñas ) = P (x ≥ 8 ) = P (al menos 2 niñas ) = P (x ≥ 2 ) = P (a lo más 2 niñas ) = P (x ≤ 2 ) =

P (entre 2 y 6 niñas ) = P (2 < x < 6 ) = P (más de 1 niña ) = P (x > 1 ) =

10 − 10

= (0 .5 ) = 10

8

9

10

Distribución de Probabilidad Binomial (B) Ej. La probabilidad de que un sujeto de dar en el blanco (tiro al blanco) es 0.4. Si lanza la flecha 4 veces, ¿cuál es la probabilidad de dar en el blanco en todos los intentos? Variable aleatoria x=número de veces dar en el blanco, q=1−0.4=0.6

x P(x)

0

1

2

3

n=4,

p=0.4,

4

Calcular : P (x = 4 )= 4 C 4 ⋅ (0.4 ) (1 − 0.4 ) 4

P (x ≤ 2 ) =

P (x = 3 ) = P (x ≤ 1) =

4− 4

= 1 ⋅ (0.4 ) (0.6 ) = 0.0256 4

0

Distribución de Probabilidad Binomial (B) Ej. Una caja tiene 25 piezas, de las cuales 3 son defectuosas y 22 no son defectuosas. Si se seleccionan aleatoriamente tres piezas, con reemplazo, Calcular: P (todas sean defectuosa s ) =

P (exactament e una defectuosa ) = P (ninguna sea defectuosa ) =

Notar que n = 3 , p+q =1

p=

3 = 0.12, 25

q = 1−

3 22 = = 0.88 25 25

D 3/25 D 3/25 ND 22/25 inicio D 3/25 ND 22/25 ND 22/25

x P(x)

0

1

D 3/25 ND 22/25 D 3/25 ND 22/25 D 3/25 ND 22/25 D 3/25 ND 22/25

2

3

Ej. Un conocido médico sabe por experiencia que el 10% de los pacientes atendidos por el médico presentan una cierta reacción indeseable (empiezan a bailar “tango”). Si diez pacientes atendidos fueron seleccionados aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que a lo más 2 presenten la reacción indeseable (empiezan a bailar “tango”). x p(x)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ej. Si la probabilidad de que una pareja de divorciados se vuelva a casar dentro de tres años es 0.40. Calcular las probabilidades siguientes en 10 parejas de divorciados: a) a lo más tres parejas se volverán a casar dentro de tres años b) al menos siete parejas se volverán a casar dentro de tres años c) de dos a cinco se volverán a casar dentro de tres años x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

p(x)

Ej. El porcentaje de salir vivo en una operación riesgosa del Hospital XYZ es 0.80. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de los próximos cinco pacientes sobrevivan a la operación mencionada? x 0 1 2 3 4 5 P(x)