Math. 298 —Conceptos básicos de Probabilidad y algunas aplicaciones 1. Se lanzan dos dados (blanco y otro negro) en un experimento. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números sea dos? ¿Cuál es la probabilidad de que suma sea al menos 3? P(x=2)= , P(suma al menos 3)= 2. Determine la probabilidad de que un matrimonio con tres hijos tenga exactamente dos niñas. Suponga que es igualmente probable que nazca un niño que una niña, y que el sexo (género) de cualquier hijo no influye en el sexo de otro hijo. Además determinar P(al menos dos niñas). Calcular P(x=0 niñas). 3. La compañía de seguros BRIBONES estudio causas de muertes accidentales en el hogar y recolectó un archivo que incluye 160 muertes causadas por caídas, 120 muertes causadas por veneno y 70 muertes por incendios. Si se selecciona aleatoriamente una de estas muertes, calcular la probabilidad de que la muerte haya sido por veneno. P (veneno)= .

()

4. B y C son eventos mutuamente exclusivos y P(B)=0.6 y P(C)=0.1, encuentre: P(B y C); P(B o C); P C = 5. En el experimento de lanzar dos monedas, encuentre el espacio muestral. Si A es el evento de obtener al

()

menos una cara, encuentre el evento A. Para el evento A, encuentre P(A) , P A . 6. De 120 estudiantes, 60 estudian francés, 50 estudian química y 20 estudian francés y química. Si se selecciona aleatoriamente un estudiante, encuentre de que éste: a) estudiando francés o química b) no está estudiando ni francés ni química. 7. Sean A y B eventos y P (A o B ) =

3 2 1 , P ( A ) = , P ( A y B ) = encuentre P(A) y P(B). 4 3 4

8. En un grupo de sujetos con la condición XYZ se observa 10 varones y 20 mujeres de los cuales la mitad de los varones y la mitad de las mujeres tiene ojos castaños. Calcular la probabilidad de que un sujeto con la condición XYZ seleccionado aleatoriamente sea varón o tenga los ojos castaños. 9. En un experimento se lanzan dos dados: uno blanco y otro negro. Calcular la probabilidad de que el dado “blanco” sea un número menor que 3 o que la suma de los dos dados sea un número mayor o igual que 9. 10. Una moneda está cargada de tal manera que la probabilidad de que aparezca cara (H) es el doble que aparezca cruz (T). Calcular las probabilidades P (H) y P (T). 11. Un dado está cargado de tal manera que la probabilidad de que aparezca un número cuando se lanza el dado es proporcional a un número dado (i.e. el 6 tiene dos veces la probabilidad de aparecer que la que tiene el dado 3). Encuentre las probabilidades de cada punto de muestra. 12. Eventos para dos dados: Blanco y Negro A=Dados suman 3, B=Dados suman 6, C=Dado blanco sea 1,

()

D=Dado Negro sea 1. Encuentre P(A), P(B), P(C), P(D), P(C y D), P(C o D), P(A o B), P D . 13. Si el evento A es un subconjunto del evento B, entonces encuentre P(A y B). 14. La tabla siguiente describe los resultados de la prueba con el fármaco antialergia SELDANE:

Dolor de cabeza (D) No dolor de cabeza (ND) Total

SELDANE (S) 49 732 781

PLACEBO (P) 49 616 665

Grupo de Control (C) 24 602 626

Total 122 1950 2072

1

Conteste: Si un paciente se selecciona aleatoriamente, a) ¿Cuál es la probabilidad de que ese paciente pertenezca al grupo que recibe el Placebo o al de Control? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ese paciente reciba el SELDANE y no tenga dolor de cabeza? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ese paciente reciba el SELDANE o no tenga dolor de cabeza? 15. La tabla siguiente describe la relación entre el delincuente y la víctima: Delincuente Extraño (E) Conocido/Pariente (C) No se conoce (NC) Total

Homicidio (H) 12 39 18 69

Robo (R) 379 106 20 505

Agresión (A) 727 642 57 1426

Total 1118 787 95 2000

Conteste: Si un delincuente fue seleccionado aleatoriamente, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el seleccionado cometió robo? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el seleccionado sea un extraño? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el seleccionado sea extraño y haya cometido robo? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el seleccionado sea extraño o haya cometido robo? e) ¿Cuál es la probabilidad de que el seleccionado no sea extraño? 16. Unos investigadores de la Oficina del Dr. Torres han estado interesados durante mucho tiempo en el estudio de la relación entre fumar cigarrillos y el cáncer del pulmón. La tabla siguiente muestra los porcentajes de mujeres adultas en un estudio relacionado con lo anterior: Cáncer Sí (I) No (O) Total

Fuma cigarrillos (F) 0.06 0.15

No fuma (NF) 0.03 0.76

Total 0.09 0.91 1.00

Conteste: Si una mujer adulta fue seleccionado aleatoriamente, a) ¿Cuál es la probabilidad de que la seleccionada fuma cigarrillos y tiene cáncer? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la seleccionada fuma cigarrillos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la seleccionada no tiene cáncer? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la seleccionada no fuma cigarrillos y no tiene cáncer? f) ¿Cuál es la probabilidad de que la seleccionada fuma cigarrillos dado que tiene cáncer? (Condicional) 17. Eventos para dos dados: Blanco y Negro A=Dados suman 3, B=Dados suman 6, C=Dado blanco sea 1, D=Dado Negro sea 1. Encuentre P (B), P (C), P(B y C). ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar el dado aparezca un 1 dado que haya ocurrido que la suma de los números de los dados sea 6? Condicional 18. Los registros de la policía muestran que en cierta ciudad la probabilidad de que se capture a un ladrón es 0.35 y 0.14 de que se capture y se condene al ladrón. ¿Cuál es la probabilidad de que un ladrón seleccionado aleatoriamente sea condenado dado que se haya capturado? Condicional 2

19. Verificar si cumplen o no con la definición de función de probabilidad:

x para x = 0, 1, 2, 3, 4 10 x +2 b) f ( x ) = para x = 1, 2, 3 12 a) f ( x ) =

c) Si x es una variable aleatoria que muestra el número de varones en la familia de 3 niños. Construye una tabla de probabilidades. Si f(x) es una función de probabilidad, calcular la media poblacional

µ = ∑ x • P (x ) y la varianza poblacional σ2 =

[∑ x

2

]

• P (x ) − µ 2 .

Notas: Eventos mutuamente exclusivos Dos eventos A y B son mutuamente exclusivos si: a. la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia de otro. Si uno ocurre, el otro no puede ocurrir. b. P(A y B)=0 Eventos independientes Dos eventos A y B son independientes si: a. la ocurrencia (o no ocurrencia) de uno no afecta la ocurrencia del otro b. P(A y B)= P(A) P(B)→ P(A o B)= P(A) + P(B) – P(A) P(B) 1. Independencia y exclusividad mutua son dos conceptos completamente separados 2. Mutuamente exclusivos se refiere a que los eventos no pueden ocurrir a la vez, mientras que independencia se refiere al efecto que un evento tiene en la probabilidad de la ocurrencia del otro evento. 3. Si dos eventos son no mutuamente exclusivos entonces sus correspondientes conjuntos de puntos muestrales se intersecan o sea P(A y B) ≠ 0. 4. La relación entre independientes (o dependencia) y exclusividad mutua (o no) se resume en: a) Si dos eventos son mutuamente exclusivos, entonces estos son dependientes (la ocurrencia de uno afecta la ocurrencia del otro). b) Si dos eventos son independientes, entonces no son mutuamente exclusivos. P(A y B)=P(A) P(B) c) Si dos eventos no son mutuamente exclusivos, entonces pueden ser eventos dependientes o independientes. d) Si dos eventos son dependientes, entonces los eventos pueden ser mutuamente exclusivos.

3

Math. 298 —Conceptos básicos de Probabilidad y algunas aplicaciones Distribución Binomial (B) y el Experimento Binomial De acuerdo a Holguin y Hayashi (1974), en algunas distribuciones teóricas el interés se centra en conocer si ocurre o no un resultado en particular. En el experimento binomial se denomina éxito a la ocurrencia de uno de los eventos de la dicotomía éxito o fracaso (o sea fracaso a la ocurrencia del evento contrario, sin que estos signifiquen de manera alguna que un evento sea o no de su preferencia, son formas de nombrar la dicotomía). La probabilidad de éxito es representada como “p” y la probabilidad de fracaso como “q” o sea que p+q=1. La probabilidad q=1−p. Ejemplos: lanzamiento de las monedas, selección múltiple (examen), C o F, nacimiento de un hijo, entre otras. Según Johnson y Kuby (2004), el experimento de probabilidad binomial es integrado por eventos repetidos (no es que se repiten todos los resultados) con las siguientes propiedades: Tenemos “n” eventos repetidos e independientes Cada evento tiene dos resultados: éxito o fracaso P(éxito)=p, P(fracaso)=q → p+q=1→ q=1−p La variable aleatoria binomial, X, es una variable discreta del número de conteos de eventos con éxito que ocurren. La X tiene como mínimo 0 y máximo “n”. Función de Probabilidad Binomial- es la probabilidad de haya exactamente X éxitos en “n” eventos

n x n−x P (x ) =   p (1 − p ) , para x = 0, 1, 2 , 3, ..., n x Media y la desviación estándar de la Distribución de Probabilidad Binomial (probabilidad de haya exactamente X éxitos en “n” eventos)

Media poblacional µ = np Desviaciòn estàndar σ = n p (1 − p ) Ejercicios: En cada uno de los ejercicios, calcular la media y la desviación estándar. 1. Una moneda se lanza tres veces y se observa el número de caras que ocurren. Esto es un experimento binomial. Calcular la probabilidad de que se observen al menos una “cara” (H´s). 2. En cierto lugar llamado PSICOTRON, el 30% de los sujetos pertenecen a cierto tipo sanguíneo. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 sujetos seleccionados de un grupo de 14 sujetos seleccionados aleatoriamente de PSICOTRON tengan ese tipo sanguíneo? 3. El promedio al bate (BA) de un jugador de béisbol es 0.300. Si este jugador se presenta 4 veces a la caja de bateadores (o sea 4 turnos al bate), ¿cuál es la probabilidad de que consiga: i) dos incogibles (“hits”); ii) al menos un incogible (“hits”)? 4. Determine la probabilidad de que un matrimonio con tres hijos tenga exactamente dos niñas. Suponga que es igualmente probable que nazca un niño que una niña, y que el sexo (género) de cualquier hijo no influye en el sexo de otro hijo. Además determinar P(al menos dos niñas). Calcular P(x=0 niñas). Otro ejercicio: Calcular la probabilidad de que nazcan 10 niñas en una familia de 10 hijos. 4

5. La probabilidad de encontrar aleatoriamente un sujeto zurdo de una población es 10%. Calcular la probabilidad de encontrar tres zurdos de un grupo de 15 estudiantes seleccionados aleatoriamente de esa población. Calcular P(al menos 3 zurdos). 6. Una compañía de agujas advierte que la probabilidad de que la aguja producida sea defectuosa es de 0.10. Se selecciona aleatoriamente una caja de 12 agujas producidas y se inspecciona, ¿cuál es la probabilidad de que dos de las 12 estén defectuosas?, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 8 estén defectuosas? 7. Un conocido médico sabe por experiencia que el 10% de los pacientes atendidos por el médico presentan una cierta reacción indeseable (empiezan a bailar “tango”). Si diez pacientes atendidos fueron seleccionados aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que a lo más 2 presenten la reacción indeseable (empiezan a bailar “tango”). 8. Un dado se lanza 7 veces y se considera éxito al evento que aparezca cinco o seis {5, 6}. Por lo tanto

p= 9.

10. 11.

12.

1 2 , 1 − p = . Encuentre la probabilidad de que un cinco o seis ocurran exactamente tres 3 3

veces. Encuentre la probabilidad de que un cinco o seis nunca ocurran P(X=0). La probabilidad de que un estudiante del Programa Graduado A se gradúe es 0.3. De 5 estudiantes del Programa A seleccionados aleatoriamente, encuentre la probabilidad de que: a) 1 se gradúe; b) tres se gradúen; c) al menos uno se gradúe. La probabilidad de que un sujeto de dar en el blanco (tiro al blanco) es de 0.5. Si lanza la flecha 5 veces, ¿cuál es la probabilidad de no dar en el blanco? Algunos matrimonios prefieren tener niñas porque indican que las madres son portadoras de un desorden recesivo relacionado con el cromosoma X (el 50% de los niños lo hereda pero no es el caso en las niñas). El Método XYZ de selección del sexo del hijo supuestamente tiene una probabilidad de éxito de 75% o sea que los matrimonios utilizan el método, obtienen un resultado (o razón): cada 100 hijos, 75 son niñas. a. Suponga que el Método XYZ es utilizado para los nacimientos de los hijos, ¿cuál es la probabilidad de que en una familia de 20 hijos seleccionados aleatoriamente, al menos 18 sean niñas? USAir sostiene que las caídas de sus aviones en sus vuelos son distribuidos en un experimento binomial tal que n = 7 , p = 0.20, q = 0.80. Calcular la probabilidad de que exactamente 7

aviones sufran caídas (no llegan a su destino). Calcular P(x=0). 13. Si la probabilidad de que una pareja de divorciados se vuelva a casar dentro de tres años es 0.40. Calcular las probabilidades siguientes en 10 parejas de divorciados: a. a lo más tres parejas se volverán a casar dentro de tres años b. al menos siete parejas se volverán a casar dentro de tres años c. de dos a cinco se volverán a casar dentro de tres años 14. El porcentaje de salir vivo en una operación riesgosa del Hospital XYZ es 0.80. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de los próximos cinco pacientes sobrevivan a la operación mencionada? 15. El fabricante de un medicamento asegura que el 0.05 de los pacientes que lo utilizan experimentan efectos colaterales (uno de ellos bailar tango con el primero que se encuentra). Los médicos lo utilizaron en el tratamiento de 300 pacientes. ¿Cuál es la probabilidad de que 15 o menos de ellos experimenten efectos colaterales?

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