DISTRIBUCIÓN DE LOS NÚMEROS PRIMOS: MISTERIO RESUELTO Prof. e Ing. José de Jesús Camacho Medina [email protected] http://profesorcamacho.jimdo.com Fresnillo, Zacatecas, México.

RESUMEN El presente artículo ofrece una solución al problema milenario de la distribución de los Números Primos, en esta investigación aportamos fórmulas sencillas e inéditas con un nuevo enfoque que nos permiten asimilar y concluir que las entidades primales están ordenadas de la forma más regular posible. Aportamos una nueva visión para abordar lo que desde tiempos antiquísimos ha sido un verdadero reto para las mentes ligadas al mundo Matemático, entregamos al lector una clave para desentrañar la estructura y comportamiento de los Números Primos sin abrirle la puerta a la complejidad.

Palabras Clave: Números Primos, Patrones, Distribución, Teoría de Números, Matemáticas, Misterio Resuelto, Orden, Comportamiento, Nueva Visión.

"Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de los que espero convencerles de forma tan incontestable que quedarán permanentemente grabados en sus corazones. El primero es que, a pesar de su definición simple y del papel que desempeñan como ladrillos con los que se construyen los números naturales, los números primos crecen como malas hierbas entre los números naturales, y no parecen obedecer ninguna otra ley que la del azar, y nadie puede predecir dónde brotará el siguiente. El segundo hecho es aún más asombroso, ya que dice justo lo contrario: que los números primos muestran una regularidad pasmosa, que hay leyes que gobiernan su comportamiento, y que obedecen estas leyes con precisión casi militar." [Don Bernard Zagier, Matemático E.U.A]

1. INTRODUCCIÓN

El mundo en el que nos desenvolvemos esta rodeado por números, los encontramos por todos lados, son parte de nuestra vida cotidiana e inclusive nos ayudan a comunicarnos 1, con ellos entendemos el mundo que nos rodea como lo decía Filolao, un Filosofo Griego que afirma el papel tan importante de los números:

“El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”

Los números están

inmersos en todas las actividades

que el ser Humano desarrolla, lo

expresado desemboca en concebir una forzosa dependencia de la Matemática, los números son imprescindibles en nuestro diario vivir, particularmente en las Matemáticas son cimiento y columna como lo afirma el Matemático Gauss de origen Alemán, uno de los más grandes Matemáticos de la historia conocido como el príncipe de las Matemáticas:

”La Matemática es la reina de las ciencias y la Teoría de Números es la reina de las Matemáticas”.

Los Números más importantes son los Números Primos, en consecuencia se gesta pregunta al aire: ¿Qué son los Números Primos y Porqué remarcamos su importancia?

Existen dos características básicas acerca de lo que es un Número Primo: •

Es divisible por el uno

•

Es divisible por si mismo

una

Entonces un Número Primo es aquel que sólo se puede dividir por dos números; el uno y el mismo número, es decir tiene dos divisores.

A través de la siguiente tabla asimilamos el concepto con un ejemplo:

Número

¿Es Primo?

Descripción

7

Sí

Tiene dos divisores: 1 y 7

9

No

Tiene tres divisores:1,3,9

La lista de los primeros Números Primos es la siguiente:

, , , ,

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,…

Pero hay más tela de donde cortar acerca de este asunto, los Números Primos son la base de las Matemáticas, sí la Matemática fuera un castillo los Números Primos serían los ladrillos. Todos los números que no son primos se pueden construir multiplicando Números Primos, por ejemplo:

33 = 3*11, donde 3 y 11 son Números Primos. 12= 2*2*3, donde 2 y 3 son Números Primos.

Interpretamos pues que los Números Primos son los átomos de la Matemática, son como hidrógeno y oxígeno en el universo de los Números, es allí donde radica su importancia.

Desde hace más de dos mil años, los Matemáticos se han interesado en estos fascinantes e importantes números, en la antigua Grecia diversos personajes exploraron y descifraron su importancia. El nombre de Euclides salta a la luz, Euclides demostró que los Números Primos eran infinitos, concretamente probó que su naturaleza era inagotable y lo hizo a partir del razonamiento lógico.

Después de la enorme contribución de Euclides, surgiría una nueva pregunta: ¿Existe un Patrón que permite interpretar la distribución de los Números Primos en su camino al infinito? Si nos Imaginamos a los Números Naturales en fila: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…. , nos da la impresión de que los Números Primos están colocados de forma aleatoria, que su comportamiento simpatiza con el azar, veamos la ilustración:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

…

*Números Primos en gris

Una de las misiones de todo Matemático es la búsqueda de patrones, construir modelos que predigan e interpreten al caos de nuestro alrededor, indefectiblemente las mentes más brillantes de todos los tiempos se adentraron en la conquista de patrones que determinaran el comportamiento de los Números

Primos,

podemos destacar a Gauss, Euler y muchos otros: grandes genios

matemáticos que se preguntaban con insistencia: ¿Existe un orden en los Números Primos, cuál es el patrón que siguen? Es aquí donde brota uno de los más grandes misterios de la Matemática:

El patrón que siguen los Números Primos

Este problema para muchos representa el santo grial de las Matemáticas, es un reto que ha atormentado a todos aquellos sabios que desafiaron conquistarlo. Matemáticos de todas razas han osado resolver el misterioso y aún desconocido patrón con el que trabajan los Números Primos, su intención es hacer descansar ese fantasma primal que les hostiga e implora sus servicios lógicos para poder descansar en paz.

¿Qué avances hay en la actualidad en relación al Patrón de los Números Primos, de esos entes Matemáticos que parecen burlarse del orden? Es preciso y justo mencionar a Gauss, quien esculpió el avance más significativo en cuanto al patrón de los Números Primos así como su alumno y discípulo Bernard Riemann.

Tras fracasar en el intento de encontrar un modelo que interpretará el orden de los Números Primos, Gauss realizó un giro de ciento ochenta grados al problema y en alternativa se preguntó:

¿Cuántos Números Primos hay en un intervalo determinado? , por ejemplo ¿Cuántos Números Primos existen menores a 10, menores a 100, menores a 1000 y así sucesivamente?

Comenzó a construir tablas y tablas de números Primos y finalmente encontró un patrón con el cual desarrolla una fórmula que arroja información aproximada en cuanto a la cantidad de Números Primos en un determinado rango, aunque es una aproximación lo que su formula de densidad prima produce, Gauss abrió una ventana de luz a ese misterio. Otro de los genios que abrió más ventanas de iluminación en torno al ya susodicho misterio fue: Riemann, Matemático Alemán (1826 – 1866) que fue discípulo de Gauss. Riemann trabajaba con una función Matemática llamada función zeta la cual al ser llevada a un escenario matemático tridimensional mostraba una conexión con la distribución de los Números Primos, esto le llevo a la concepción de una nueva geometría, la función zeta podría descifrar los secretos de estos números, este enfoque mejoraría a exactitud el trabajo de Gauss de demostrarse que la correspondencia de su fórmula con los Números Primos se cumplía al infinito, hasta la fecha no se ha demostrado quedando para la posteridad la famosa “Hipótesis de Riemann”, se obsequia un millón de dólares para el que la demuestre.

Euler (Matemático Suizo) algún día afirmo: “Hasta el día de hoy, los matemáticos han intentado en vano encontrar algún orden en la sucesión de los números primos, y tenemos motivos para creer que es un misterio en el que la mente jamás penetrará”.

2. UN NUEVO ENFOQUE PARA LA INTEPRETACIÓN DEL ORDEN DE LOS NÚMEROS PRIMOS Los últimos tres años han sido uno de los viajes más emocionantes de mi vida, he realizado variada investigación en relación a los Números Primos, principalmente en el misterio de su comportamiento, hasta esta fecha no se había encontrado un patrón final en la distribución de estos números, por ende el tema ha sido de gran interés no sólo por mí, sino también por muchos matemáticos a través de la historia, de los que puede destacar a Gauss, Riemann, Euler, Euclides y muchos otros. Me he adentrado al mundo de este sublime misterio que para muchos es conocido como el santo grial de las Matemáticas, y quiero compartir a través de este artículo la conclusión final a la que he llegado en relación a la distribución de estas entidades matemáticas, con una visión paralela a como se ha abordado por la mayoría de los matemáticos, a mi parecer, encontré la clave que revela los secretos de estos maravillosos números de dos divisores. Mis investigaciones en Números Primos y Matemáticas la pueden consultar a través del internet en un blog especial titulado: Misterio de los Números Primos5. Trabajé con muchos conceptos matemáticos ligados al mundo de los Números Primos como lo son: La Sucesión de Fibonacci 6, Primoriales, Constante de Kaprekar, Hipótesis china, etc. Hasta hace poco cambié de enfoque en cuanto a la visión de los patrones asociados con los Números Primos, con mucho respeto me atrevo a decir que este problema ha sido abordado de la manera más compleja por un gran porcentaje de la comunidad matemática, a mi parecer para entender el comportamiento de los números primos se ocupa rotar la perspectiva, y fue así que concluí que todas las investigaciones que había realizado me habían brindado la respuesta a este reto desde hace mucho tiempo, la solución siempre estuvo ahí frente a mis ojos, me negué a observarla, pero hoy las cosas son diferentes y a continuación les presento mis resultados y conclusiones. He comprendido también que hay muchas aristas que nos conducen a la verdad, desde luego unas más complejas que otras como la hipótesis de Riemann, yo les brindo un camino simple a través de este documento, muchas gracias de antemano.

Quiero comenzar primeramente explicando algunos conceptos matemáticos que nos ayudarán en el presente trabajo a entender la distribución de los Números Primos a través de esta nueva perspectiva, para luego mostrar los resultados y las conclusiones. La Constante Kaprekar 5, es el número 6174 que fue descubierto por el matemático indio D. R. Kaprekar. El Número de Kaprekar tiene una misteriosa e interesante propiedad: Para obtenerlo seleccionamos cualquier número de 4 dígitos en el que los dígitos no sean iguales, por ejemplo el 8253. Ahora simplemente vamos a reordenar los dígitos para obtener el mayor número (8532) y el menor número posible (2358), ahora hacemos la diferencia: 8532-2358 = 6174 Siempre se llega a 6174, en concreto con este número a la primera. El número máximo de iteraciones es siete, aunque lo más frecuente es que sólo sean tres iteraciones. Sí seleccionamos el número 1562: 6521 – 1256 = 5265 6552 – 2556 = 3996 9963 – 3699 = 6264 6642 – 2466 = 4176 7641 – 1467 = 6174 Existen más constantes

Kaprekar para números con diferente cantidad de cifras, en esta

investigación nos enfocamos solamente en el 6174. Función Módulo ó Residuo (MOD), es una operación matemática que devuelve el residuo de una división, por ejemplo: 16 Mod 3, al efectuar la división 16/3 el resultado es 5, pero el sobrante ó residuo es 1 por lo tanto 16 Mod 3 =1. Función Máximo Común Divisor (G.C.D), se define el máximo común divisor (abreviado “G.C.D” ó “M.C.D”) de dos o más números enteros al mayor número que los divide sin dejar resto. Por ejemplo, el G.C.D de 42 y 56 es 14.

2.1 PATRÓN FINAL DE LOS NÚMEROS PRIMOS

En una investigación de Marzo de 2013

5

una intuición hizo que intentara relacionar la constante

Kaprekar con los Números Primos, de alguna manera dicha constante está ligada al orden y quizá a partir de ella pudiera interpretar a las entidades primales que parecían simpatizar con el caos. Comencé a trabajar en el software Wolfram Matemathica con una fórmula, idea mía, que incluía la constante de Kaprekar , las funciones máximo común divisor y módulo, y los números primos 2,3,5,7, para mí sorpresa un patrón comenzaba a manifestarse, llegué a una expresión interesante que me producía secuencias de ceros y números primos, la cual publiqué en el blog de mis investigaciones 5 y olvidé por algún tiempo hasta hace poco, donde retomé el estudio y encontré oro puro, que junto con otras investigaciones y otros conceptos matemáticos ya me habían arrojado y abierto puertas y ventanas de luz frente a este misterio. La fórmula con la que trabajaba en ese momento era la siguiente:

ij 1 y j n H GCD @ 5, n HHH GCD @ 6174, nD mod nL mod 3L mod 2LD mod 5L zz mod n k7 { Para toda n>0 y natural La expresión producía para los primeros trescientos valores una secuencia de ceros y fracciones con números primos, donde sin temor a la duda se manifestaba un fuerte patrón:

No fue hasta hace poco que retomé la investigación y modificando algunos parámetros en la fórmula que empecé a observar como el patrón final de los Números Primos se me revelaba, pruebas constantes en el software matemático dictaban la sentencia final y la conclusión de cómo es que trabajan los Números Primos, sentí como me susurraba la verdad al oído a través de la novena de Beethoven.

Partimos de la expresión:

n*((GCD [5, n (((GCD [6174,n] mod n) mod 3) mod 2)] mod 5) mod n) Que nos genera para los primeros trescientos valores naturales de ‘n’ la secuencia:

Nos percatamos que se producen ceros, números primos y algunos números compuestos múltiplos del siete, once, trece y diecisiete, las ventanas de luz empiezan su apertura. Se modifica la fórmula con el fin de hacer desaparecer los parásitos de números compuestos múltiplos del siete, once, trece y diecisiete contamos ahora con la expresión:

n (GCD [7, n ((GCD[5,n (((GCD[6174,n] mod n) mod 3) mod 2)] mod 5) mod n)] mod 7) Ahora la formula nos produce para los primeros trescientos valores naturales de ‘n’:

Observamos tras el cálculo que logramos hacer desaparecer a los números compuestos múltiplos del siete, pero ahora a parte de producir ceros y números primos se producen parásitos compuestos múltiplos del número once, trece y diecisiete que son los siguientes números primos después del siete. Hacemos crecer un poco más a la fórmula modificándola para ahora desaparecer los compuestos múltiplos del once y trece llegamos a:

n *(GCD[13,n (GCD[11,n (GCD[7,n ((GCD[5,n (((GCD[6174,n] mod n) mod 3) mod 2)] mod 5) mod n)] mod 7)] mod 11)] mod 13) Para los primeros quinientos valores naturales de ‘n’ se genera la secuencia:

Donde

volvemos a generar ceros, números primos y parásitos compuestos múltiplos de los

siguientes números primos después del 13, el 17 y el 19. Hasta este momento si han sido analíticos el patrón final de los números primos comienza hacerse latente. Una vez más volvemos a modificar la fórmula con el fin de hacer desaparecer parásitos compuestos múltiplos del 17, 19 y 23, tenemos ahora la expresión :

n*(GCD[23,n (GCD[19,n (GCD[17,n (GCD[13,n (GCD[11,n (GCD[7,n ((GCD[5,n (((GCD[6174,n] mod n) mod 3) mod 2)] mod 5) mod n)] mod 7)] mod 11)] mod 13)] mod 17)] mod 19)] mod 23) Para los primeros ochocientos cuarenta valores naturales de ‘n’ tenemos:

Observen que bella secuencia se produce, poesía pura, ceros y puros números primos, si excluimos los ceros tenemos 137 primos efectivos:

Después de todas estas pruebas, análisis de tablas y cálculos, la clave final para entender la distribución de los números primos es más que obvia partiendo de la siguiente conclusión y visión: Los Números Primos dependen de si mismos para propagarse por el infinito, se generan en bloques/ camadas, siendo su comportamiento y distribución de lo más regular posible, definitivamente existe orden en ellos.

2.2 ANÁLISIS DEL PATRÓN FINAL DE LOS NÚMEROS PRIMOS A PARTIR DE UN EJEMPLO

Esta secuencia es generada por la fórmula : n*(GCD[23,n (GCD[19,n (GCD[17,n (GCD[13,n (GCD[11,n (GCD[7,n ((GCD[5,n (((GCD[6174,n] mod n) mod 3) mod 2)] mod 5) mod n)] mod 7)] mod 11)] mod 13)] mod 17)] mod 19)] mod 23)

Excluyendo los ceros tenemos los Números Primos del 29 hasta 839, faltan los primeros elementos primales que son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, vean que estos elementos están inmersos en nuestra fórmula, es decir son necesarios para generar la secuencia mostrada, por eso he llegado a la conclusión de que los Números dependen de si mismos para propagarse por el infinito, y además se producen en bloques.

Si anhelamos seguir produciendo Números Primos y evitar Números compuestos, la fórmula debe modificarse bajo el mismo patrón y el número que a continuación debería insertarse en ella nos lo proporciona la secuencia generada por la fórmula antes citada:

El primer número de la secuencia es 29, este sería el próximo elemento a insertarse en los parámetros de la fórmula y producir un bloque más de números primos.

Se concluye entonces que la expresión: n GCD P n , … n*(GCD[23,n (GCD[19,n (GCD[17,n (GCD[13,n (GCD[11,n (GCD[7,n ((GCD[5,n (((GCD[6174,n] mod n) mod 3) mod 2)] mod 5) mod n)] mod 7)] mod 11)] mod 13)] mod 17)] mod 19)] mod 23)… mod P(n)), Donde P(n) es el primer elemento de la secuencia producida según el status de la fórmula. Es nuestra guía para producir todos los números primos que queramos, es una de muchas claves seguramente para desencriptar el misterio de los números Primos.

BIBLIOGRAFIA [1] Du Sautoy, Marcus (2007). “La Música de los Números Primos”. Ed. Acantilado [2] Wells, David, Prime Numbers, the Most Mysterious Figures in Math, John Wiley and Sons, 2005 [3] http://primes.utm.edu/ [4] http://www.prothsearch.net/fermat.html [5] Misterio de los Números http://misterionumerosprimos.blogspot.mx

Primos

y

algo

más

de

Matemáticas

[6] Secuencia en OEIS.org con abundantes Primos bajo registro: http://oeis.org/A245515 [7] Stephen Wolfram, A New Kind of Science, Wolfram Media, Inc., Champaign, IL, 2002.