Versión 2014

CAPITULO 8 PROYECTO DE ELEMENTOS DE ACOPLAMIENTO División 1 Cálculo y Selección de Frenos y Embragues

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versión 2014

1. Introducción En este capítulo se verá la forma de calcular, seleccionar o verificar distintos elementos de enlace y cierre de transmisión, tales como los frenos y los embragues, además de analizar su mecánica básica.

2. Descripción y clasificación Los embragues y los frenos son elementos esencialmente similares y están relacionados con el movimiento de rotación. La función de los mismos es transmitir o absorber energía mecánica de rotación. En el momento de embrague dos partes de un sistema de transmisión con sus dos masas rotatorias girando a velocidades distintas intentan girar en forma conjunta a una misma velocidad o bien conducir a una de ellas a la velocidad nula (el caso del freno). Tanto en el caso del embrague como en el del freno existe una transmisión de calor producto de la fricción, dado que en esta clase de dispositivos es el medio de transmisión más común. Los embragues y los frenos se usan frecuentemente en máquina de producción de todo tipo donde se requiera detener el movimiento permitiendo que el motor siga girando. Los embragues tienen varias funciones adicionales a las de los frenos. Una de ellas por ejemplo, es la de servir como sistema de seguridad para una desconexión de emergencia de las partes que reciben movimiento con la parte motora o de potencia para evitar roturas traumáticas de todo un sistema de transmisión. Los frenos y embragues se clasifican en los siguientes tipos: 1. Frenos y embragues de fricción. 2. Frenos y embragues de contacto positivo. 3. Frenos y embragues hidráulicos y neumáticos 4. Frenos y embragues magnéticos. 5. Frenos y embragues de sobrecarga Los embragues o frenos de fricción son los más comunes en los cuales dos superficies concordantes son presionadas una contra otra para producir la transferencia de energía. Las superficies pueden ser planas (Figura 8.1.a) o bien cónicas (Figura 8.1.b) o bien cilíndricas (Figura 8.1.c) entre otras de geometría similar. Estos embragues tienen por exigencia no trabajar a velocidades mayores a los 250 a 300 rpm. Los Frenos y embragues de acción positiva se caracterizan por tener superficies concordantes suplementarias como las que se muestran en las Figuras 8.1.d, 8.1.e, 8.1.f y 8.1.g. Estos embragues pueden ser de quijadas cuadradas (Figura 8.1.d) o en espiral (Figura 8.1.e) o bien dentados (Figuras 8.1.f y 8.1.g).

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versión 2014

En la Figura 8.1.h se muestra un embrague hidráulico que también puede ser empleado como freno. Estos embragues transmiten el par torsor por medio de un fluido que circula entre las dos campanas. En los automóviles este tipo de embrague se emplea para acoplar el motor a la transmisión automática y se denominan usualmente convertidores de par.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k) Figura 8.1. Ejemplos de frenos y embragues de diferentes tipos

(l)

En la Figura 8.1.i se muestra un embrague de accionamiento de tipo neumático. En este caso la cámara recibe una presión de aire y conecta con el aro exterior al llegar una presión prefijada. En la Figura 8.1.j se muestra un embrague de accionamiento magnético, donde se puede apreciar la ubicación de los magnetos o polos magnéticos de una parte y otra a ser acopladas.

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versión 2014

Los embragues de sobrecarga operan automáticamente sobre la base de la velocidad relativa entre las dos partes a embragar y permiten la rotación en una sola dirección. Si se quiere invertir el movimiento existen piezas que se agarran a un dispositivo, bloqueando la inversión. En la Figura 8.1.k se muestra un embrague de cuñas y en la Figura 8.1.l se muestra un embrague de resorte enrollado fuertemente.

Selección y especificaciones de frenos y embragues Los fabricantes de frenos y de embragues como los que se describieron en el apartado anterior suministran en sus catálogos una información muy extensa en cuanto a las capacidades de torque y potencia que deben soportar los mismos. En los mismos catálogos se suelen describir procedimientos para la selección, en los cuales se hace oportuno uso de una serie de factores de servicio que son propios del fabricante. Entre los factores de servicio más característicos a tener en cuenta están: a) Factores de aplicación: tipo de industria b) Factores de uso: tipo de motor que se empleará para transmitir potencia. c) Factores de potencia y torque: rango de uso d) Factores de carga: para prevenir sobrecargas en función del tipo de uso Por lo general cuando el estudio trate de la verificación y/o selección de un embrague/freno comercial específico se debe recurrir casi en forma indiscutible a las instrucciones que el fabricante sugiere.

Materiales para las superficies de embragues y frenos Los materiales para las partes estructurales de los frenos y de los embragues, como los discos y campanas de freno, suelen construirse con aceros o fundiciones de hierro. Las superficies que se encuentran bajo fricción se recubren generalmente con un material que tenga un buen coeficiente de fricción y que al mismo tiempo tenga una buena resistencia a la compresión y a la abrasión térmica. En general un material que se pretenda emplear en la superficie de contacto en los frenos debe ser tal que:  Tenga un coeficiente de fricción alto y que disminuya mucho a lo largo del tiempo ni con la temperatura.  Tenga baja tasa de desgaste.  Tenga alta resistencia térmica.  Tenga alta tasa de disipación calórica.  Tenga un bajo coeficiente de dilatación térmica.  Tenga apropiada resistencia mecánica (límites de fluencia, rotura y fatiga)  Impermeable humedad y a lubricantes (aceites, grasas o gases)

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versión 2014

Los recubrimientos pueden ser moldeados o tejidos o de material metálico sinterizado o de aceros endurecidos. Los recubrimientos moldeados poseen tienen resinas poliméricas (epóxidas, poliamidas u otras) para aglutinar ciertos añadidos como virutillas de latón, zinc. Los recubrimientos fibrosos poseen fibras de asbesto. En la Tabla 8.1 se dan algunos índices de los coeficientes de fricción, presión y temperatura máxima para un par de recubrimientos.

Materiales en contacto con hierro fundido o acero

Coeficiente dinámico de fricción Para varias condiciones de contacto

Presión máxima [kPa]

Temperatura máxima [°C]

Seco

Lubricado

Moldeado

0.25-0.45

0.06-0.09

1030-2070

204-260

Tejido

0.25-0.45

0.08-0.10

345-690

204-260

Sinterizado

0.15-0.45

0.05-0.08

1030-2070

232-670

Hierro fundido o acero duro

0.15-0.25

0.03-0.06

690-720

260

Tabla 8.1. Datos de los materiales para recubrimientos de fricción en frenos

Análisis de funcionamiento de embragues y frenos a fricción El análisis de funcionamiento contempla el estudio de la fuerza ejercida, del par de rozamiento, de la energía perdida y del aumento de la temperatura. Téngase presente que el par de rozamiento depende de - La fuerza de accionamiento ejercida. - El coeficiente de rozamiento - La geometría de las superficies La metodología para el análisis de todas las clases de embragues y frenos de fricción exige: -

Suponer la distribución de presiones sobre las superficies de fricción Determinar la relación entre la presión máxima y la presión en un punto cualquiera Aplicar las ecuaciones de equilibrio estático para la determinación de la fuerza de accionamiento, el par torsor y las reacciones en los apoyos.

Para fijar ideas, considérese la zapata de la Figura 8.2.a que está articulada en el punto B. La fuerza F presiona el material de fricción de área A, sobre una superficie plana que se mueve. El coeficiente de fricción es . Se supondrá que la longitud  puede ser tan pequeña como se desee, de tal manera que se puede simplificar el análisis como se verá a continuación y a lo largo del capítulo.

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versión 2014

(a) (b) Figura 8.2. Zapata corta operando sobre un plano en movimiento

Ahora se seguirán los pasos mencionados anteriormente. a) Dado que la zapata es corta se puede suponer una presión uniformemente distribuida sobre toda la superficie de fricción. b) Llamando N a la fuerza normal al plano en movimiento y teniendo en cuenta la hipótesis de presión uniforme, se calcula la presión máxima y en un punto cualquiera como: pi  p max 

N  p  cte A

(8.1)

c) Para calcular la fuerza F de accionamiento se emplea el diagrama de cuerpo libre de la Figura 8.2.b. Para ello se recurre al equilibrio de momentos en la articulación B:

 M  N.b  F.b  .N.a  0  F 

p. Ab  .a  b

(8.2)

Esta ecuación relaciona la fuerza F con la presión p. Ahora bien si se cumple que b = .a implica que F = 0. Esto significa que ocurriría un fenómeno llamado autobloqueo del freno. En general esto no es deseable y se suele emplear un coeficiente de fricción que sea un 75% a 80% del valor del coeficiente de fricción que cumple con la condición de autobloqueo. Luego las reacciones serán: R x   . p. A R y  p. A  F

(8.3)

Al analizar este caso elemental se pueden extraer las siguientes conclusiones: - En relación con el uso del material de fricción, al ser la presión constante, el aprovechamiento del mismo es máximo y el freno se calculará para que la presión sea la máxima posible. -

Si se cumplen ciertas condiciones geométricas y de material (b = .a) se obtiene

-

autobloqueo. Si bien el autobloqueo es un aspecto beneficioso para el proceso de frenado, no es prudente efectuar diseños sobre este tipo de premisa.

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versión 2014

Consideraciones de índole energética Cuando se detienen los elementos rotatorios de una máquina con un freno, este debe absorber la energía cinética de rotación, lo que implica la generación de calor que se pierde. De la misma manera, durante el deslizamiento, el embrague absorbe energía en forma de calor. En estas circunstancias la capacidad de un embrague (o de un freno) está limitada por: - La capacidad del material de fricción - La capacidad de disipación del calor. Si no hay buena disipación el material evidentemente se recalentará Para tener una idea de lo que ocurre en el proceso de frenado o embragado por fricción, se considerará un modelo tal como el que se ve en la Figura 8.3. Se aplicará al embrague un par T, que se supone constante. Se supone a su vez que los ejes son rígidos y 1 y 2 las velocidades iniciales de las partes a embragar (o frenar según el caso).

Figura 8.3. Esquema de un embrague o freno de platillos

A un lado y otro de la superficie de contacto se cumplirá (en ausencia de deslizamiento y efectos de amortiguamiento viscoso):

 T  I 11 T  I  2

(8.4)

2

Integrando estas ecuaciones se tiene:

1  

T t  1 I1

T 2  t   2 I2

(8.5)

Teniendo en cuenta que la velocidad relativa es   1  2

 I1  I 2  .t  I1I 2 

   1   2  T 

(8.6)

de donde se puede deducir el tiempo necesario para hacer que ambas velocidades sean iguales y la potencia disipada en el tiempo t.

t1 

 1   2 I 1 I 2 T I 1  I 2 

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

(8.7)

Versión 2014

 I I   H disp  T  T  1   2  T  1 2 .t   I1I 2   

(8.8)

La (8.8) es máxima en el instante inicial (t=0). Con la (8.8) y teniendo en cuenta (8.7) se puede obtener la energía total disipada como: 2   I1  I 2   I 1 I 2  1   2    Edisp  H dispdt  T  1   2  T  .t  dt  2I  I  1 2  I1I 2   0 0 t1



t1



(8.9)

Evaluando (8.9) se puede concluir que la energía disipada es independiente del momento torsor aplicado y que es proporcional al cuadrado de la diferencia de velocidades.

Frenos y embragues de disco En la Figura 8.4 se muestra un esquema de accionamiento por medio de platillos para conducir un movimiento (embrague) o para anularlo (freno). Este tipo de esquema de análisis es sumamente útil por su versatilidad conceptual. Aun así, se deben efectuar algunas hipótesis en cuanto al comportamiento de las superficies que entran en contacto.

(a) (b) Figura 8.4. Esquemas de discos en rozamiento para un embrague (a) y para un freno (b)

(a) (b) Figura 8.5. Esquemas de análisis para el rozamiento en embragues y frenos

En la Figura 8.5 se muestra un par de esquema para el análisis de las fuerzas y momentos en este tipo de dispositivo. El momento de frenado se obtiene como: r0 2

T   r..dN    r.. pr , d .dr A

ri 0

Para analizar la influencia de la presión se pueden seguir dos alternativas - Modelo de presión uniforme - Modelo de desgaste uniforme

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

(8.10)

Versión 2014

En el modelo de presión uniforme se supone que la presión es igual en cada uno de los puntos de las superficies que entran en contacto, según (8.11.a), mientras que en el modelo de desgaste uniforme se tiene que recurrir a desglosar la expresión (7.54) para obtener la expresión (8.11.b). El lector interesado puede seguir los detalles en la referencia [1]. pr ,   pa  constante

(8.11.a)

dZ d r ,  (8.11.b)  CK pr , u  CK pr , r  constante dt En (8.43), Zd es una medida del desgaste en un determinado punto de la superficie más

blanda. La derivada temporal de Zd calculada como se puede apreciar en términos de la presión y de u que es la velocidad del punto. Según la hipótesis de desgaste constante, la presión no es constante a lo largo del radio del disco. Así pues según las hipótesis puestas en juego, la presión se puede obtener como: para presión constante  pa  pr ,     p .r / r para desgaste constante  max i

(8.12)

Para ejecutar el proceso de frenado/embrague por fricción, se debe tener en cuenta que quien lo produce es momento de accionamiento T y quien genera T es la fuerza de accionamiento F por medio de la presión en las superficies planas, la carga de accionamiento se calcula de la siguiente manera: r0 2

F   dN   pr , dA    pr , rd .dr A

A

(8.13)

ri 0

Así pues para la hipótesis de presión constante, para toda la superficie en contacto que se muestra en la Figura 8.5.a, la carga de accionamiento y el momento de frenado de un disco solo vienen dados por:



Fp   . pa r  ri 2 o

2





2. .Fp ro3  ri3 2 3 3 , T p  . . . p a ro  ri  3 3 ro2  ri 2











(8.14)

Para la hipótesis de desgaste constante, la carga de accionamiento y el momento de frenado de un disco solo vienen dados por:



Fw  2. . pmax ri ro  ri

,





Tw  . . .ri . p a ro2  ri 2 

 .Fw





(8.15) ro  ri 2 Entre (8.14) y (8.15) se puede establecer una comparación en función de la relación de radios

  ri / ro de manera que normalizando las expresiones anteriores se puede obtener: Tp 

1    , T 2..F r  31    Tp



p o

3

2

w



Tw 1     2. .Fw ro 4

En la Figura 8.6 se puede ver la diferencia entre ambas formulaciones.

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

(8.16)

Versión 2014

Figura 8.6. Comparación de los momentos adimensionales

Las expresiones (8.10) a (8.16) se basan en la integración sobre una superficie anular completa (o sea de 360º), que es el caso de los embragues. En el caso de los frenos de disco, la superficie que entra en contacto es la correspondiente a las pastillas de freno.

(a)

(b) Figura 8.7. Ejemplos de contacto de pastillas de freno

En la Figura 8.7 se puede apreciar diversos esquemas para el análisis de las fuerzas y momentos de fricción en los sistemas de frenado por discos. Así pues en la Figura 8.7.a se muestra un modelo de la forma de las superficies en contacto y las correspondientes fuerzas de accionamiento a cada lado del disco. En la Figura 8.7.b se muestra una pastilla de freno real, que cuenta con una mayor superficie de contacto efectiva para maximizar el momento de frenado. Téngase presente que el modelo de la Figura 8.7.a implica una simplificación importante para poder emplear el sistema de coordenadas polares.

Frenos y embragues cónicos En la Figura 8.8 se muestra un esquema para el análisis de las fuerzas y momentos en este tipo de dispositivo. La fuerza de accionamiento y el momento de frenado se obtienen como: F  dF  Sen .dN  Sen . pr , .dA 





A



A

A

T  r . .dN  r . . pr , .

 A

 A

D

2 2



d

2

Sen  pr , .

0

r .d .dr Sen 

(8.17)

D / 2 2

r .d .dr 1  r 2 . . pr , d .dr Sen  Sen  d / 2 0



UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

(8.18)

Versión 2014

Figura 8.8. Esquema para análisis de frenos y embragues cónicos

Nuevamente como en el caso de embragues y frenos de discos, para este tipo de dispositivo se pueden suponer dos posibles situaciones de modelación para la distribución de la presión de contacto en la superficie. Estas son de distribución uniforme o de desgaste uniforme. En el modelo de presión uniforme, se recordara, que la distribución presión es igual en todos los puntos e igual a la máxima presión. Así pues la fuerza de accionamiento y el momento de frenado o de fricción se obtienen de (8.17) y (8.18) como: F

 . po 4

D

2

d 2



con pr ,   pa  cte

 . po  F . D 3  d 3  3 3 D  d   T con pr ,   pa  cte 12.Sen  3.Sen D 2  d 2 

(8.19) (8.20)

Ahora bien para el modelo de desgaste uniforme se debe tener presente que la distribución de presión no es constante. Luego observando la Figura 8.8, se puede llegar a la siguiente expresión para la distribución de presión: pr ,   p max

ri d  p max r 2.r

(8.21)

La cual reemplazada en (8.17) y (8.18) da F T

 . p max .d 2

D  d 

con pr ,   p max

d 2.r

 . . pmax .d 2 F . D  d  d  D  d 2  con pr ,   p max 8.Sen  4.Sen  2.r

(8.22) (8.23)

A semejanza de lo hecho en las expresiones (8.16) se puede comparar en forma paramétrica la influencia de condiciones geométricas (relaciones entre diámetros y ángulo) para los modelos de presión uniforme y desgaste uniforme, en la mecánica de embragues y frenos cónicos. Sin embrago por su similitud operativa y algebraica, tal trabajo se deja al lector.

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versión 2014

Contacto de zapata externa corta. Ejemplo básico de freno Un freno de zapata corta se puede guiar para moverse radialmente contra un tambor cilíndrico como se muestra en la Figura 8.9. Dado que la zapata es de reducidas dimensiones (entendiendo que se trata de un ángulo de contacto no superior a 10º), se puede considerar que las únicas fuerzas que actúan sobre la misma son la fuerza normal y su fuerza.

Figura 8.9. Freno de zapata externa corta

Cuando se efectúa el equilibrio de momentos respecto del punto C se tiene.

M

C

 d 4 F  N .d 1  d 3 N  0

(8.24)

luego la fuerza normal y el par de fricción vienen dados por:

N

d4 F  .r.d 4 F , M    .N .r  d 3  d 1 d 3  d 1

(8.25)

Ahora si se efectúa el equilibrio de momentos respecto del punto D se tiene

M

D

 d 4 F  N .d 2  d 3 N  0

(8.26)

luego la fuerza normal y el par de fricción vienen dados por:

N

d4 F  .r.d 4 F , M    .N .r  d 3  d 2 d 3  d 2

(8.27)

Esto significa que con una pequeña modificación geométrica se puede obtener una diferencia notable en el comportamiento del freno, ya que con (8.25) claramente se puede obtener un momento mayor que con (8.27) para la misma aplicación de fuerza. Así pues en el caso de un freno, se le dice de tipo autoenergizante si el momento de fricción ayuda al momento de accionamiento como surge de la (8.24). En cambio el freno se llamará de-energizante si el momento de fricción equilibra o se opone al momento de accionamiento, como en la (8.26). En el caso que la zapata actúe internamente y sea a su vez corta (o que pueda aceptarse como corta), el procedimiento explicado en los párrafos anteriores sigue valiendo.

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versión 2014

Contacto de zapatas largas En la Figura 8.10 se muestra un ejemplo de zapata larga, sea externa (a) o interna (b). Aunque con otro tipo de geometría, los principios establecidos en los apartados anteriores (autoenergización y de-energización) siguen siendo válidos aunque con la necesidad de replantearlos.

(a) (b) Figura 8.10. Esquema de contacto de zapatas largas (a) externas (b) internas.

El contacto en las zapatas necesitará de la introducción de una hipótesis para distribución de presión. Aquí se considerará que la presión en la superficie del patín tiene una distribución sinusoidal dada por: p   p a

Sen  Sen a 

(8.28)

donde pa es la presión máxima que ocurre en el ángulo a. La expresión (8.28) se deduce recurriendo al diagrama de cuerpo libre en la Figura 8.11.a que representa la superficie interna de un tambor y una zapata esquematizada con contacto entre en el punto A y el punto B, la articulación de la zapata se encuentra en algún punto entre la recta OA. Entonces observando la Figura 8.11.a se pueden extraer las siguientes relaciones



  2



2

 d 

d h     ,  Sen    dh  r.Cos   d 2 2r 2 2

(8.29)

Ahora bien, la fuerza radial de la zapata sobre el tambor en un diferencial de arco d viene dada por p.b.rd , mientras que la reacción del tambor sobre la zapata se puede identificar como k r Cos dh , donde kr es la constante de resorte entre el material del cilindro y de la zapata y b es el ancho de la zapata, de donde:

p.b.rd  k r Cos dh

(8.30)

Teniendo en cuenta (8.29) en (8.30) se puede obtener (8.31) con la cual se puede hallar la relación (8.32). Entendiendo que kr y b no tienen variabilidad, es decir son constantes, luego de (8.32) se puede terminar deduciendo (8.28)

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versión 2014

p

kr Sen  2b

pa k p   r Sen  Sen a  2b

(8.31) (8.32)

(a) (b) Figura 8.11. Esquemas de la distribución de presiones en la zapata interna.

De la formulación de (8.28) se desprenden las siguientes conclusiones: - La distribución de la presión tiene variación sinusoidal -

En las zapatas cortas la presión máxima se da en el extremo de la misma, en 2.

- En las zapatas largas la presión máxima se da a 90° Estas conclusiones se pueden visualizar claramente en la Figura 8.11.b. Ahora bien, conociendo la distribución de presión en las zapatas largas, se puede analizar la distribución de fuerza normal y en consecuencia el modelo general del freno (o embrague si cabe el caso). De manera que en cualquier punto, la fuerza normal diferencial se calcula como

dN  p.b.rd 

p a .b.r.Sen d Sen a 

(8.33)

Nótese, según la Figura 8.10 que la zapata no comienza en  = 0, sino en  = 1 y que 2>90.

Frenos de zapatas externas largas Así pues siguiendo la Figura 8.10.a se puede hacer el análisis del efecto de la zapatas de freno internas en términos del equilibrio de momentos de las fuerzas de rozamiento, de las fuerzas normales y de las fuerzas de accionamiento. Ahora bien, tomando momentos con respecto a la articulación se puede obtener los siguientes momentos de las fuerzas de fricción y de las fuerzas normales que actúan en la zapata.

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versión 2014

 . p a .b.r  2 Sen r  a.Cos d Sen a  1



M 

p .b.r.a MN  a Sen a 

2



1

Sen  d

(8.34)

2

Siendo pa la presión actuante sobre la zapata. Luego, el equilibrio global de momentos sobre la zapata daría la siguiente relación: F

M MN

(8.35) c Las reacciones en las articulaciones se pueden hallar por equilibrio de fuerzas verticales y horizontales, de manera de obtener: 2

2

1

1

R x  Cos dN   .Sen dN  Fx Ry

     .Cos dN   Sen dN  F 2

2

1

1

(8.36) y

Operando se tiene: Rx 

p a .b.r B1  B2   Fx Sen a 

(8.37)

p .b.r B1  B2   Fy Ry  a Sen a 

donde 2

1  B1  .Sen .Cos d   Sen 2   1 2  1 2



(8.38)

 Sen2  .Sen 2  d    1 4  1 2 Si el sentido de rotación del tambor fuera opuesto al que se muestra en la Figura 8.10.a, se produciría una autoenergización de la zapata y la fuerza de accionamiento vendría calculada por la siguiente expresión: B2 

F

2



MN M c

2

para zapata Autoenergizante

(8.39)

Recuérdese que un freno es autoenergizante si el momento de fricción ayuda al momento de accionamiento, por el contrario el freno será desenergizante si el momento de fricción se opone el momento de accionamiento. Cuando se emplean elementos, embragues o frenos, con zapatas exteriores, el efecto de la fuerza centrífuga es reducir la fuerza normal (tal como se vio en capítulo 6 para las correas), de manera que al aumentar la velocidad , hay que aumentar la fuerza de accionamiento F.

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versión 2014

Frenos de zapata internas largas En la Figura 8.12 se muestran dos típicos frenos de zapatas internas largas con dos y cuatro patines de fricción. Los dos casos tienen la misma ley de distribución de presión (8.28), solo que la diferencia se halla en el lugar donde se manifiesta la máxima presión.

Figura 8.12. Frenos de zapata internas largas

Así pues, siguiendo la Figura 8.10.b se puede hacer el análisis del efecto de la zapatas de freno internas en términos del equilibrio de momentos de las fuerzas de rozamiento, de las fuerzas normales y de las fuerzas de accionamiento. Con el valor de la fuerza normal se pueden obtener los momentos de las fuerzas de fricción y fuerzas normales respecto del punto A como: 2

M N  d7 Sen dN 



1 2

M 

b.r.d7 p a 2 2  1   Sen2 1  Sen2 2  4.Sen a 

b.r. . p a 

(8.40)

 r  d Cos ..dN  Sen   r.Cos  Cos  2 Sen   Sen   d7

7

2

2

1



2

2

1

(8.41)

a

1

Ahora bien para una zapata autoenergizante, que es el caso que se ve en la Figura 8.10.b, la fuerza de accionamiento F se obtiene por equilibrio de momentos con respecto al punto A, de manera de obtener Fa 

MN M d6

(8.42)

Ahora el par de frenado viene dado por: 2



Ta  r. .dN  Ta  1

. paa .b.r 2 Cos1   Cos 2  Sen a 

(8.43)

donde paa es la máxima presión autoenergizante. Las reacciones Rxa y Rya en el apoyo A se obtienen por equilibrio de:

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versión 2014 2

2

Rxa  Fx  Cos .dN   .Sen .dN  0





1

(8.44)

1

2

2

R ya  Fy   .Cos .dN  Sen .dN  0





1

(8.45)

1

Ahora para una zapata interna desenergizante (el caso en que el tambor de la Figura 8.10.b gire en sentido contrario) la fuerza de accionamiento F se obtiene de: Fd 

MN M d6

(8.46)

Ahora el par de frenado viene dado por: 2



Td  r. .dN  Td  1

 . p ad .b.r 2 Cos 1  Cos 2  Sen a 

(8.47)

donde pad es la máxima presión desenergizante. Las reacciones Rxd y Ryd en el apoyo A se obtienen por equilibrio de: 2

2

Rxd  Fx  Cos .dN   .Sen .dN  0



1

2



1

2

R yd  Fy   .Cos .dN  Sen .dN  0



1

(8.48)



(8.49)

1

Cuando en un freno de zapatas internas, existe una sola zapata se sigue la operatoria anterior. Pero en el caso que actúen uno o más pares zapatas como en los casos de la Figura 8.12, una zapata es autoenergizante y la otra es desenergizante. Ahora si la fuerza de accionamiento es la misma para las dos zapatas (ver Figura 8.12), se debe efectuar un análisis ad-hoc ya que los momentos de frenado de cada zapata son distintos en tanto que las presiones de frenado son distintas, siendo menor en el caso de la zapata desenergizante.

Frenos de zapata sin pivote. Un interesante caso se puede ver en la Figura 8.13 donde la articulación está situada de tal forma que el momento de las fuerzas de fricción sea nulo si se toma en tal punto.

Figura 8.13. Freno de zapata exterior con articulación simétrica

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versión 2014

En este caso se hace la hipótesis de desgaste cilíndrico. De manera que según se puede colegir de la Figura 8.13.b la relación de la variación del radio y de la profundidad de desgaste de la zapata viene dada por

r  x.Cos 

(8.50)

Ahora como la presión es proporcional al desgaste radial, la relación entre la presión máxima y la presión en un punto cualquiera viene dada por: p  pa .Cos 

(8.51)

Siendo pa la presión máxima, que ocurre en =0. Si se calcula el momento de las fuerza de fricción con respecto al punto de articulación y en el caso de que 1=2 se tendrá M 

2



 2

M  2



.a.Cos   r dN  0  

2



0



.a.Cos   r dN  0 

con

dN  pa .b.r.Cos d  4.r.Sen 2   a  2  Sen2  2 2 

(8.52)

Nótese que la expresión (8.52) surge naturalmente del equilibrio de momentos, ya que observando la Figura 8.13, se concluye que el momento de las fuerzas normales MN = 0, y al no haber radio de palanca en la fuerza de accionamiento respecto del punto de articulación, tampoco habrá momento de la fuerza de accionamiento. Sin embargo M = 0 solamente para una condición particular en al cual se puede hallar el valor de la distancia “a” como aparece en la (8.52) y en la Figura 8.13. Es decir que de la condición: M 

2



 2

.a.Cos   r dN  0

(8.52.a)

Se puede deducir: a

4.r.Sen 2  2 2  Sen2 2 

(8.52.b)

Luego las reacciones horizontales y verticales se obtienen de: 2

R x  2 Cos dN 

p a .b.r 2 2  Sen2 2    N 0 2 2  . p a .b.r 2 2  Sen2 2   N R y  2  .Cos dN  0 2 Teniendo en cuenta la simetría de la zapata, el momento de frenado se obtiene como

 

T

2



 2

r..dN  2

2



0

r..dN  a..N  2..r 2b. pa .Sen 2 

(8.53)

(8.54)

Frenos de cinta. En la Figura 8.14 se muestra un esquema para el análisis de los frenos de cinta o frenos de banda. El freno se activa tirando fuertemente la cinta contra el tambor de frenado. Se considera que la cinta recubre uniformemente todo el ángulo de abrace . Existen dos fuerzas activas sobre la cinta F2 y F1, una activa de frenado y otra reactiva en el soporte. Sin embargo UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versión 2014

debido a la fricción existente, para el dispositivo de la Figura 8.14 se puede verificar la siguiente relación F2 < F1.

Figura 8.14. Esquema para análisis de frenos de cinta

De la Figura 8.14, equilibrando fuerzas en direcciones radial y circunferencial se obtienen las siguientes ecuaciones:  d   d   ( F  dF ).Cos    F .Cos     .dN  0  2   2 

F

circunferenciales

(8.55)

 d   d  (8.56)  ( F  dF ).Sen    F .Sen    dN  0  2   2  Luego reordenando y teniendo presente que se desprecian diferenciales de orden superior y

F

radiales

que Cos[]=1 y Sen[]= si  es muy pequeño, entonces se obtienen las siguientes ecuaciones diferenciales. dF  .dN  0  dF  .dN  F.d  dN  0 Integrando el sistema (8.65)-(8.66) se tiene

(8.57) (8.58)

 F  dF   d  Ln 1    . F2 F 0  F2 

(8.59)

F1  e  . F2

(8.60)



F1



De donde se obtiene:

Ahora bien el par de frenado aplicado al tambor es

T  r.F1  F2 

(8.61)

De la (8.59) y de (8.60) se puede obtener una expresión con la cual definir la variación de la fuerza circunferencial a lo largo del ángulo de abrace, según: F    (8.62) F    F2 e  .  F     1  F2   0 Si la cinta tiene un ancho b, de la (8.58) se puede obtener una relación para hallar la presión

de contacto, pues:

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versión 2014

dN  p .b.r.dr  p  

F   b.r

(8.63)

de donde la presión máxima es F1 (8.64) b.r Téngase en cuenta que (8.63) varía en consecuencia con la variación de la fuerza en la cinta, p max 

desde el máximo valor en la rama tensa, hasta el mínimo valor en la rama floja; a semejanza de lo que ocurre en los modelos de transmisión por correas.

Frenos de zapatas accionadas por cinta. En la Figura 8.15 se aprecia un esquema del tipo de freno con pequeñas zapatas accionadas por cinta, junto con un diagrama de fuerzas básico para el análisis del modelo de cálculo.

(a) (b) Figura 8.15. Esquema para análisis de frenos de zapatas accionados por cinta

Según la Figura 8.15(b), el equilibrio en las direcciones radial y tangencial para una zapata cualquiera dará: RN  Fi 1Sen   Fi Sen   0

(8.65.a)

 RN  Fi 1Cos   Fi Cos   0

(8.65.b)

De donde despejando se llega:

  F

  F Cos 

RN  Fi 1  Fi Sen 

RN

i 1

(8.66.a) (8.66.b)

i

Dividiendo (8.66.b) por (8.66.a) se tiene 

F F

 

 Fi Cos    Fi 1  Fi Sen   Fi 1  Fi Cos  i 1  Fi Sen 

i 1









(8.67)

Luego operando algebraicamente se puede llegar a la siguiente expresión genérica para cada zapata individual: Fi 1  Tan   Fi 1 1  Tan 

(8.68)

Ahora bien si se contempla que haya n zapatas tal como se ve en la Figura 8.15, y teniendo en cuenta que:

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versión 2014

F1  F1

(8.69)

Fn 1  F2

Luego la relación entre la rama tensa y la floja resultará como: F1 F2 Fn F1  1  Tan    ...   F2 F3 F2 F2  1  Tan  

n

(8.70)

En definitiva el momento de frenado se calcula como en la (8.61) pero teniendo en cuenta el correspondiente valor de F2. Téngase presente que en la medida que el número de zapatas aumente se tendrá en el límite que la (8.70) tiende a la (8.60), es decir:  1  Tan     e  lim n  1  Tan     n

empleando  

 2n

(8.71)

La expresión (8.71) se puede deducir empleando las herramientas de análisis matemático I, como por ejemplo la regla de L’Hopital.

3. Bibliografía [1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002 [2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000 [3] R.L. Norton, “Diseño de maquinaria”, McGraw Hill 2000. [4] J.A. Collins, “Mechanical Design of Machine Elements and Machines”.Wiley Ed., 2003

4. Problemas Propuestos Problema 1. Un freno como el que se muestra en la figura adjunta, consiste de un tambor y una zapata horizontal que presiona contra el tambor. El tambor tiene radio 80 mm. Calcular el par de frenado cuando actúa una fuerza de P = 7000 N y el coeficiente de fricción es  = 0.35, y el ancho de la zapata de freno es de 40 mm. El desgaste es proporcional a la presión de contacto por la distancia de deslizamiento.

Problema 2. La cinta de freno que se muestra en la figura tiene un ancho de 40 mm y su presión máxima llega a 1.1 MPa. El coeficiente de fricción es de 0.3. Si todas las dimensiones se dan en milímetros. Determine: a) La fuerza de accionamiento máxima permisible b) El par de torsión de frenado c) Las reacciones en los soportes O1 y O2. d) Es posible cambiar la distancia O1A de manera que exista autobloqueo. Suponga que el punto A se encuentra en cualquier lugar de la palanca CO1A UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versión 2014

Problema 3. La tensión en una correa plana está dada por el peso del motor, como se indica en la figura. La masa es de 80 kg y se supone que está concentrada en la posición del eje motor. La velocidad del motor es 1405 RPM y el diámetro de la polea es 400 mm. Calcular el ancho de la correa si el esfuerzo admisible de la misma es de 6 Mpa, el coeficiente de fricción es de 0.5, el espesor de la correa es de 5 mm, el módulo de elasticidad es de 150 Mpa y la densidad es 1200 Kg/m3.

Problema 4. El freno de disco que se muestra en la figura tiene pastillas de freno con forma de sección circular de radio interno r, radio externo 2 r y ángulo de la sección /4. Calcular el par de torsión de frenado cuando se aplican las pastillas con una fuerza normal P. El desgaste del freno es uniforme, p.u es constante, donde p es la presión de contacto y u es la velocidad de deslizamiento. El coeficiente de fricción es 

Problema 5. Para el freno de cintas que se muestra en la Figura se tienen las condiciones siguientes: d = 350 mm, pmáx = 1.2 Mpa, =0.25 y b=50 mm. Todas las dimensiones se dan en milímetros. Determinar lo siguiente: a) El par de torsión de frenado b) La fuerza de accionamiento c) Las fuerzas que actúan en la bisagra O

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versión 2014

Problema 6. La potencia de entrada al eje A como se observa en la Figura adjunta, se transfiere al eje B a través de un par de engranajes rectos de acoplamiento, después al eje C mediante una transmisión por correa en V tipo 2L. Las poleas en los ejes B y C tienen diámetros de 76 y 200 mm respectivamente. La distancia entre centros es de aproximadamente 200 mm. Para la potencia máxima que puede transmitir la correa determinar: a) los pares de torsión de potencia de entrada y de salida del sistema b) La longitud de la correa para una distancia central aproximada de 550 mm

Problema 7. El sistema que se muestra en la figura consta de un eje sustentado por dos rodamientos. Sobre el eje se montan un engranaje cilíndrico de dientes helicoidales un tambor de freno a cinta y un volante de inercia. El engranaje tiene un ángulo de presión =20º y un ángulo de hélice =15º, el engranaje se fija al eje por medio de una chaveta cuadrada de 5 mm de lado. El engranaje tiene un diámetro primitivo de 170 mm y un ancho de faja cilíndrica de 50 mm. El volante de aluminio tiene un diámetro externo de 140 mm y un ancho 25 mm y se monta en el eje con una diferencia de anclaje de 0.25 mm. El tambor de freno tiene un diámetro externo de 120 mm y un ancho de 40 mm. El eje donde se montan todos estos componentes tiene un diámetro de 50 mm. El eje estará girando entre 3000 y 9000 RPM. Se desea saber: a) Si la diferencia de anclaje es suficiente para mantener firme el volante. De ser así, se desea saber si el volante resiste el estado de tensiones. b) Se desea obtener una expresión de la fuerza de frenado en las palancas para detener el sistema en 5 segundos c) Si se selecciona una cinta de frenos comercial según catálogo, resistirá? d) Habrá riesgo de fatiga por flexión en el eje. Como lo calcula?

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versión 2014

Nota: Preste atención que no tiene todos los datos y varios deberá adoptarlos según su experiencia, de tablas o catálogos. Problema 8. La transmisión de un par de torsión en un velocímetro pasa por dos placas circulares, con radio r, colocadas en un baño de aceite a una distancia h una de la otra (ver figura). Cuando el eje N°1 empieza a girar repentinamente, el eje 2 se moverá por las fuerzas viscosas del aceite. Hallar una expresión de la velocidad angular del eje 2, como una función del tiempo si 2(t=0)=0 y 1(t=0)=0 en t≤0. Los ejes tienen momentos de inercia polares J1 y J2 respectivamente, y el aceite viscosidad .

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan