1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3.- FUNCIONES ELEMENTALES

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Concepto de función. Una función es una forma de hacerle corresponder a un valor “x” un único valor “y”. Por ejemplo, la fórmula y = 3x + 7 representa una función, pues a un valor determinado de “x” le corresponde un sólo valor de “y”. Por ejemplo, para x = 4 → y = 3.4 + 7 = 19 Si la función la representamos por f, la fórmula anterior la podemos expresar así: f(x) = 3x + 7 2

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Concepto de función. Una función también puede venir dada mediante una tabla de valores, una gráfica o un enunciado. Ejemplos: Función dada a través de una tabla de valores: Tras nacer un bebé se han anotado sus pesos en una tabla dando los siguientes resultados: x = tiempo (meses)

0

1

2

3

y = peso (kg)

3,75

4,25

5,60

6,40 3

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Concepto de función. Función dada a través de una gráfica: La siguiente gráfica corresponde a la distancia al punto de salida en un paseo en bicicleta

En este ejemplo, “x” es el tiempo e “y” es la distancia. En las funciones dadas a través de una gráfica, la variable “x” , llamada también abscisa, siempre se representa en el eje horizontal, llamado eje X; la variable “y “ , llamada también ordenada, se representa en el eje vertical, llamado eje Y. 4 1º Bachillerato Ciencias Sociales. Tema 3.- Funciones elementales - Profesor: Rafael Núñez Nogales

1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Concepto de función. Función dada a través de un enunciado: En una tienda el jamón está a 9 €/kg. El precio que tengo que pagar depende de la cantidad de kilogramos. En este ejemplo, “x” es la cantidad de kg e “y” es el precio.

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Concepto de función. Relaciones que no son funciones. Para que la relación entre la “x” y la “y” sea una función no puede haber valores de “x” a los que les corresponda más de un valor de “y”. Vamos a ver algunos ejemplos de relaciones entre “x” e “y” que no son funciones: - La fórmula y =  x

- La gráfica

NO corresponde a una función pues, por ejemplo, a x = 4 le corresponde y = 2 , y = –2

NO corresponde a una función

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Concepto de función.

Ejemplos de gráficas que son funciones y otras que no lo son Vamos a ver cuales de las siguientes gráficas corresponden a funciones SI

Distancia recorrida

NO

SI

Tiempo Velocidad

SI

SI

Tiempo

Distancia al punto de partida

NO

Tiempo

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Funciones elementales. Polinómicas: y = P(x), siendo P(x) un polinomio. Las funciones polinómicas más importantes son: - Función constante: y = n. Por ejemplo, y = 3 Función lineal: y  mx , con m  0. Por ejemplo : y  2x - Funciones de primer grado: Función afín: y  mx  n, con m, n  0. Por ejemplo : y  3x  1

- Función cuadrática: y = ax2 + bx + c, siendo a ≠ 0. Por ejemplo, y = x2 – 5x + 6 P(x) , siendo P(x) y Q(x) polinomios, Q(x) ≠ 0. Racionales: y = Q(x) 3x  7

Por ejemplo, y =

x2  9x  5

La función racional más importante es la función de proporcionalidad inversa: y= k

x

, siendo k ≠ 0.

4 Por ejemplo, y = x

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Funciones elementales.

Definidas a trozos: Son aquellas cuya fórmula está formada por dos o más expresiones, cada una definida en un intervalo diferente Por ejemplo, y =

x  3 , si x  4  x , si x  4

es una función definida en dos intervalos, (–∞,4) y[4,∞)

Irracionales: y = n P(x) . Por ejemplo, y = 3 x2  2x  5 La función irracional más importante es y = x Exponencial: y = ax, siendo a > 0, a ≠ 1. Por ejemplo, y = 2x Logarítmica: y = loga (x) , siendo a > 0, a ≠ 1. Por ejemplo, y = log3 (x) Trigonométricas: Las más usuales son las funciones seno, coseno y tangente: y = sen x , y = cos x , y = tg x 9

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Dominio de definición de una función. El dominio de definición de una función f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable “x”. Se representa por D(f) Una vez determinado el dominio de definición, la función f se puede representar así:

f R D(f)  Recorrido o imagen de una función. El recorrido o imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable “y”. Se representa por Rec(f) ó también por Im(f)

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Obtención del dominio y recorrido de una función dada por una gráfica. En estos casos, el dominio es el intervalo o intervalos del eje X para los que existe la gráfica de la función El recorrido es el intervalo o intervalos del eje Y para los que existe la gráfica. Ejemplo

Si llamamos f a esta función: D(f) = [ 0 , 220 ] , Im(f) = [ 0 , 600 ] 11

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Obtención del dominio y recorrido de una función dada por una gráfica. Ejemplo 1

D(f) = [ -5 , 6 ]

Rec(f) = [ -2 , 4 ]

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Obtención del dominio y recorrido de una función dada por una gráfica. Ejemplo 2

Y

X

-5 D( f ) = ( - ∞ , ∞ ) = R

Rec( f ) = [ -5 , ∞ ) 13

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Obtención del dominio y recorrido de una función dada por una gráfica. Ejemplo 3

Y

-2

-6

D( f ) = R – { -2 }

3

X

Rec ( f ) = [ -6 , ∞ )

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Obtención del dominio y recorrido de una función dada por una gráfica. Ejemplo 4

D( f ) = ( -4 , 3 ]

Rec ( f ) = [ 0 , 4 )

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Obtención del dominio y recorrido de una función dada por una gráfica. Ejemplo 5

D( f ) = R

Rec ( f ) = ( -∞ , -3 ] U { 2 16}

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Obtención del dominio y recorrido de una función dada por una gráfica. Ejemplo 6

D( f ) = [ -1 , 2 ] U [ 3 , 8 ] – {5}

Rec ( f ) = [ 0 , 5 ]

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Obtención del dominio y recorrido de una función dada por una gráfica. Ejemplo 7

D( f ) = ( - ∞ , ∞ ) = R

Rec ( f ) = ( -1 , 1 ) 18

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Obtención del dominio de definición de una función dada por una fórmula. Tenemos que averiguar el conjunto de valores de la “x” para los que se puede calcular la fórmula. Ejemplos: - Si la función es polinómica, su dominio es R, pues la fórmula se puede hallar para cualquier valor de “x” . Así, por ejemplo, si f(x) = x2 – 3x + 1 entonces la fórmula se puede calcular para cualquier número real. Por tanto, D(f) = R - Si la función es racional, entonces su dominio es el conjunto de valores de “x” que NO anulan al denominador. 3x  2 Así, por ejemplo, si f(x) = x 1

, el denominador se anula cuando x – 1 = 0 → x = 1. Luego, D(f) = R – {1} 19

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Actividades de clase

1 Determina el dominio de definición de las siguientes funciones:

x3  x  3 a) f(x) = 2

c) f(x) =

1

x2  x  1

b) f(x) =

x2  1

5x  3x 2

 x 5  2x  1 , si x  0 d) f(x) =  2  x  2x , si x  0  x  2 20

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS

Obtención del dominio de definición de una función dada por una fórmula. - Si la función es irracional, habrá que tener en cuenta que para calcular un radical de índice par el radicando debe ser mayor o igual que cero. Así, por ejemplo, si f(x) = x  3 , para que se pueda calcular la raíz cuadrada, debe ser x – 3 ≥ 0 → x ≥ 3 Por tanto, D(f) = [ 3 , ∞ )

Si el índice es impar, entonces su dominio es R, pues las raíces de índice impar se pueden calcular para cualquier valor del radicando. Por ejemplo, si f(x) = 3 x , entonces D(f) = R. 21

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Actividades de clase

2 Determina el dominio de definición de las siguientes funciones: a) f(x) =

c) f(x) =

9x

2

x 3 

b) f(x) =

x 1

3x  2 2

x  5x  6

d) f(x) =

x 1 x5

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Obtención del dominio de definición de una función dada por una fórmula. - Si es la función exponencial, f(x) = ax , su dominio es R, pues la fórmula se puede hallar para cualquier valor de “x” . Así, por ejemplo, si f(x) = 2x , esta potencia se puede calcular para cualquier exponente “x”. Por tanto, D(f) = R - Si es la función logarítmica, f(x) = loga(x), habrá que tener en cuenta que para calcular un logaritmo el argumento, en este caso “x”, debe ser mayor que cero Así, por ejemplo, si f(x) = log2(x) , entonces para que se pueda calcular el logaritmo debe ser x > 0, pues sólo se puede calcular el logaritmo de un número positivo. Por tanto, D(f) = ] 0,∞[

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Actividades de clase

3 Determina el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) f(x) =

6x 22

b) f(x) = log (x2 – 6x + 9)

x

c) f(x) =

ln(x) 2  3x

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Actividades de clase

 3x  1  2x  5 , si x   1 4 Sea f(x) =   x 2  4, si x   1 

calcula: a) f(–3) d) f(–1)

b) f(0) e) { x R / f(x) = –7 }

c) f(–2,5) f) D(f)

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Actividades de clase

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Características básicas de una función Una función es CONTINUA cuando su gráfica no tiene ninguna “rotura” y, por tanto, se puede dibujar de un solo trazo.

Esta es una función continua Esta función es discontinua en x = 0 , x = 3 27

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Características básicas de una función Veamos si las siguientes gráficas corresponden a funciones

(A)

continuas.

(B)

Discontinua en x = -3 , x = 3 Y

(C) X

Discontinua en x = -2 , x = 4

-5 28 Continua 1º Bachillerato Ciencias Sociales. Tema 3.- Funciones elementales - Profesor: Rafael Núñez Nogales

1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Características básicas de una función Una función es CRECIENTE si su gráfica es ascendente.

Una función es DECRECIENTE si su gráfica es descendente.

Las funciones continuas que no son crecientes ni decrecientes son las funciones constantes

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Características básicas de una función Una función puede tener intervalos donde es creciente, en otros decreciente y en otros constante

En el intervalo (0,3) es creciente

En el intervalo (3,4) es decreciente

En el intervalo (4,5) es constante

En el intervalo (5, ∞) es creciente

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Características básicas de una función Máximo relativo. Una función f tiene un máximo relativo en “x0“ , si es continua en x0 y la gráfica pasa de ser creciente a ser decreciente.

Mínimo relativo. Una función f tiene un mínimo relativo en “x0“ , si es continua en x0 y la gráfica pasa de ser decreciente a ser creciente.

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Características básicas de una función Una misma función puede tener máximos y mínimos relativos Y

Máximo relativo Máximo relativo

Mínimo relativo

creciente decreciente creciente

decreciente

X 32

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS

PUNTOS DE CORTE DE DOS GRÁFICAS

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1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Actividades de clase

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2.- FUNCIONES LINEALES, AFINES Y CONSTANTES

Función lineal

La gráfica de la función lineal y = mx , con m ≠ 0, es una recta que pasa por el origen de coordenadas, O(0,0) El coeficiente “m” se llama pendiente de la recta y nos indica la inclinación que tiene la recta: Si m > 0, la función es creciente y si m < 0 es decreciente Ejemplos: Y

3

1

y = 3x

X

Y

y = -2x

1

X

-2

Cuánto mayor es m, en valor absoluto, mayor es la inclinación de la recta. Observa que la inclinación de la primera recta es mayor que la de la segunda 35 1º Bachillerato Ciencias Sociales. Tema 3.- Funciones elementales - Profesor: Rafael Núñez Nogales

2.- FUNCIONES LINEALES, AFINES Y CONSTANTES

Función lineal

La función lineal y = mx, con m > 0, también se llama función de proporcionalidad directa . En este caso, “x” e “y” representan magnitudes directamente proporcionales: al aumentar “x” también aumenta “y” en la misma proporción Por ejemplo, la función dada por la siguiente tabla representa a una función de proporcionalidad directa, pues las magnitudes “x” e “y” son d.p. La fórmula que relaciona las magnitudes es y = 200x x = grosor del libro (cm)

1

2

3

y = nº de páginas

200

400

600

4

5

6

7

800 1 000 1 200 1 400 36

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2.- FUNCIONES LINEALES, AFINES Y CONSTANTES

Función afín

La gráfica de la función afín y = mx + n , con m, n ≠ 0, es una recta que NO pasa por el origen de coordenadas. El coeficiente “m” se llama pendiente de la recta y tiene el mismo significado que en las funciones lineales. El término independiente, “n”, se llama ordenada en el origen y representa el punto de corte de la recta con el eje Y. Ejemplos: Y

Y

y = 2x - 5 1

-3

-5

y = -3x + 1 X

1

1

X

-2 37

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2.- FUNCIONES LINEALES, AFINES Y CONSTANTES

Función constante

La gráfica de la función constante y = n es una recta horizontal. Ejemplos: Y

1

Y

y=1

X

-5

X

y = -5

Observa que la gráfica de la función constante y = 0 es el eje X 38

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2.- FUNCIONES LINEALES, AFINES Y CONSTANTES

Rectas verticales

La ecuación de una recta vertical es x = k, que NO corresponde a una función. Ejemplo:

Y

x=2

2

X

Observa que la ecuación x = 0 corresponde al eje Y 39

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2.- FUNCIONES LINEALES, AFINES Y CONSTANTES Cálculo de la pendiente de una recta La pendiente de una recta se puede calcular a partir de dos puntos cualesquiera de la recta de la siguiente forma:

 

y1x1

2 2

m=

yx = yx ee dd nn ói ó i c c ai a i r r a a VV

Si A(x1 , y1) , B(x2,y2) son dos puntos de la recta, la fórmula para hallar la pendiente es:

Si la recta es horizontal (función constante) entonces la pendiente es 0 Si la recta es vertical, entonces se dice que la pendiente es ∞ Dos rectas con la misma pendiente son paralelas o coincidentes. Si tienen distinta pendiente, las rectas son secantes 40

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2.- FUNCIONES LINEALES, AFINES Y CONSTANTES Cálculo de la pendiente de una recta La pendiente también se puede interpretar como la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje OX

La pendiente de la recta es: m = tg α 41

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2.- FUNCIONES LINEALES, AFINES Y CONSTANTES Cálculo de la ecuación de la recta Si conocemos un punto de la recta A(x0 , y0) y la pendiente “m” podemos calcular la ecuación de la recta mediante la expresión:

y – y0 = m(x – x0) Esta expresión se llama ecuación de la recta en forma punto-pendiente

La pendiente es m =

yx ee dd nn ói ó i c c ai a i r r a a VV

Por ejemplo, vamos a calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos A( 3 , 2 ) y B( 5 , 14)

14  2  6 53

La ecuación de la recta es: y – y0 = m(x – x0) y – 2 = 6(x – 3) → y = 6x – 16 42

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2.- FUNCIONES LINEALES, AFINES Y CONSTANTES Actividades de clase

1 Obtén la fórmula y haz la gráfica de las siguientes funciones: a) La función lineal que pasa por el punto P(2,– 3) b) La recta que pasa por el punto P(1 , –4) y forma un ángulo de 45º con el semieje positivo OX c) La recta de ordenada en el origen – 1 que es paralela a la recta que pasa por los puntos A(–1, –2), B(–2 , 1) 43

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2.- FUNCIONES LINEALES, AFINES Y CONSTANTES Actividades de clase

2 Halla el punto de corte con los ejes de coordenadas de la recta que pasa por los puntos P(–2, 3), Q(–1, – 2)

3 Calcula el punto de corte de las rectas r y s, siendo r la recta paralela al eje X que pasa por el punto M(–2,1) y s la recta que pasa por el punto A(3, –1) y tiene pendiente 2.

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2.- FUNCIONES LINEALES, AFINES Y CONSTANTES Actividades de clase

4 Averigua si la recta representada pasa por el punto P(200, –395)

8 7 6 5 4 3 2 1 -3

-2

-1 -1 -2 -3 -4 -5

Y

X

1

2

3

4

5

6

7

45

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2.- FUNCIONES LINEALES, AFINES Y CONSTANTES Actividades de clase

5 La altura inicial de un líquido contenido en una probeta es 12 cm. Es muy volátil y al evaporarse baja el nivel a razón de 1,5 cm cada 3 días. a) Construye una tabla de valores y halla la fórmula de la función que expresa la altura del líquido en función del tiempo. b) Representa gráficamente esta función. c) Determina la altura del líquido al cabo de 54 horas 46

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2.- FUNCIONES LINEALES, AFINES Y CONSTANTES Actividades de clase

6 Dos depósitos de agua, A y B, funcionan de la forma siguiente: a medida que A se va vaciando, B se va llenando. El depósito A está lleno y tiene una capacidad de 35 litros y se vacía a razón de 2 litros por minuto. El depósito B, que está vacío, se llena con una velocidad de 1,5 litros por minuto. a) Escribe las fórmulas de las funciones tiempo-litros del depósito, represéntalas en los mismos ejes, calcula el punto donde se cortan y explica su significado. b) Averigua qué depósito tiene más agua a los 8 minutos y a los 12 minutos. 47

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3.- INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN LINEAL Supongamos que una función viene dada en forma de tabla o que sólo conocemos algunos puntos de su gráfica y queremos averiguar puntos que no se encuentren en la tabla o gráfica. En estos casos se usa la interpolación y extrapolación La interpolación consiste en hallar un dato comprendido entre dos datos de la tabla o gráfica La extrapolación consiste en hallar un dato NO comprendido entre los datos de la tabla o gráfica La interpolación o extrapolación es lineal si para averiguar los datos desconocidos usamos una línea recta. La estimación del dato desconocido por interpolación o extrapolación lineal será muy fiable si los puntos se concentran en torno a una recta y el dato desconocido está muy próximo a alguno de los datos dados. 48

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3.- INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN LINEAL

33

2003

2009

En 2003 aproximadamente había 33 millones de internautas En 2009 aproximadamente hay 50 millones de internautas

49

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3.- INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN LINEAL

Vídeo: Interpolación y extrapolación lineal

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3.- INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN LINEAL Actividad de clase

1 La siguiente tabla indica la ayuda que recibe una familia en función del número de hijos. Número de hijos 0 1 3 4 Ayuda (en €)

0

20

100

120

Mediante interpolación/extrapolación lineal calcula la ayuda que recibe una familia de 2 hijos y otra de 5 hijos usando los puntos de la gráfica y también, hallando la fórmula.

Gráficamente vemos que: Con 2 hijos recibe 60 € Con 5 hijos, 140 €

140 Y 120 100 80 60 40 20

Usando la fórmula: Recta azul: y = 40x – 20 x = 2 → y = 60 1

2

3

4

5

X

Recta marrón: y = 20x+40 x = 5 → y = 140 51

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4.- FUNCIONES CUADRÁTICAS La gráfica de las funciones cuadráticas y = ax2 + bx + c , siendo a ≠ 0 es una parábola. - Si a > 0 , la parábola tiene - Si a < 0 , la parábola tiene las ramas hacía arriba. las ramas hacía abajo. Decimos entonces que la Decimos entonces que la función es convexa función es cóncava

e: x = xv

V = vértice e = eje de simetría

V(xv , yv)

Para xv la función tiene un mínimo

V(xv , yv)

V = vértice e = eje de simetría

e: x = xv Para xv la función tiene un máximo

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4.- FUNCIONES CUADRÁTICAS Cuánto mayor es “a”, en valor absoluto, más “pegadas” al eje de simetría están las ramas de la parábola Ejemplos:

El vértice de la parábola, V(xv,yv) , se calcula por las fórmulas:

b xv = 2a yv = f(x v )

El eje de simetría, es la recta vertical de ecuación x = xv

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4.- FUNCIONES CUADRÁTICAS Si la parábola corta al eje X en dos puntos x1 , x2 , entonces xv es el punto medio del intervalo [x1 , x2]. Y

(0,c) x1

x| v

X

x2

V

Si la parábola corta al eje X en un solo punto, entonces xv coincide con el punto de corte. (0,c) Y

V | xv

X 54

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4.- FUNCIONES CUADRÁTICAS

Vídeo: Puntos de corte con los Ejes de coordenadas

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4.- FUNCIONES CUADRÁTICAS Cuando b = 0, la parábola y = ax2 + c , con a ≠ 0, tiene como eje de simetría el eje Y . Las funciones simétricas respecto del eje Y se llaman funciones pares y cumplen que f(– x) = f(x) Ejemplo:

PARA DIBUJAR UNA PARÁBOLA ES IMPRESCINDIBLE REPRESENTAR EL VÉRTICE Y AL MENOS UN PUNTO A LA DERECHA Y OTRO A LA IZQUIERDA DEL VÉRTICE 56

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4.- FUNCIONES CUADRÁTICAS Actividades de clase 1 La temperatura de una habitación según las horas transcurridas viene dada por la tabla:

Halla la función cuadrática que se ajusta a estos datos y calcula la temperatura cuando han transcurrido 4 h

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4.- FUNCIONES CUADRÁTICAS Actividades de clase

2 Elabora la gráfica y haz un estudio completo de las siguientes funciones cuadráticas:

a) y = 6x – 3x2

b) y = x2 + 2x + 3 , para x < 0

c) y = –3x2

d) y = – x2 + 2x – 1 3 + x 6

2

x 3 2 = y

e)



58

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4.- FUNCIONES CUADRÁTICAS Actividades de clase

3 Se considera la función f(x) = ax2− bx + 4. Calcula los valores de los parámetros a y b para que f tenga un extremo relativo en el punto (1, 10) 4 El beneficio, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por: f(t) = −t2 + 12t – 31 , 4 ≤ t ≤ 7 a) Representa la gráfica de la función f. b) ¿Para qué valor de t alcanza la empresa su beneficio máximo y a cuanto asciende? c) ¿Para qué valor de t alcanza su beneficio mínimo y cuál es este? 59

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5.- FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

k La gráfica de las funciones de proporcionalidad inversa y = x

, siendo k ≠ 0 es una hipérbola de asíntotas los ejes de coordenadas. Las asíntotas son rectas hacía las que tiende a acercarse la gráfica de la función sin llegar a tocarlas. Estas funciones son simétricas respecto del origen de coordenadas. Las funciones simétricas respecto del origen de coordenadas se llaman funciones impares y cumplen que f(– x) = – f(x) 60

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5.- FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA - Si k > 0 , la función es decreciente y la gráfica es una hipérbola situada en el I y III cuadrantes.

Ejemplo:

En las funciones de proporcionalidad inversa, con k > 0, las magnitudes “x” e “y” son inversamente proporcionales: al aumentar “x” disminuye “y” en la misma proporción. 61

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5.- FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA - Si k < 0 , la función es creciente y la gráfica es una hipérbola situada en el II y IV cuadrantes.

Ejemplo:

62

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5.- FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Cuanto mayor es “k”, en valor absoluto, más “separadas” de los ejes de coordenadas están las ramas de la hipérbola. Ejemplos:

Y

y = 4/x y = 1/x

X

63

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5.- FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Actividades de clase 1 Completa la siguiente gráfica correspondiente a una función de proporcionalidad inversa y halla la fórmula Y 6 5 4 3 2 1 X -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 6 -2 -3

2 La distancia entre dos ciudades es 180 km. Haz un estudio completo de la función que relaciona el tiempo y la velocidad media con que se recorre dicha distancia. 64

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6.- FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

La gráfica de las funciones definidas a trozos está formada por “trozos” de gráficas que corresponden a cada una de las expresiones. x  3 , si x  4 Por ejemplo, para f(x) =  x , si x  4 Y

y=x-3

X

4 y=-x

65

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6.- FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

Vídeo 1

Vídeo 2 66

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6.- FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Actividades de clase 1 Haz la gráfica de las siguientes funciones y haz un estudio completo: x  3 , si x  4  4x  x2 , si x  4 a) f(x) = b) f(x) =  x , si x  4 x + 1 , si x > 4



 5x 2  40x  60 , si 0  x  6 2   , si x  0 d) f(x) =  x c) f(x) =  5x   15 , si 6  x  10  x 2  2x , si x  0 2 





67

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2

2





3 x

x i s , x 8







x i s , 5



   f) f(x) =    

3 i s , 2 x 4

x 4 x 2 i i s s , , 1 x 4

) x ( f

e)



2 4

x i s , x 2 5

       

6.- FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Actividades de clase

2 En un centro de entrenamiento de deportistas de alta competición han determinado que el rendimiento de uno de ellos (en %) en función del tiempo (en minutos) de esfuerzo muscular viene dado por la expresión:  



0 2 1

 

5 1

t 0 i s

, ) 0 2 t ( t 

0 t 3 0 3 t i s 5 1 , t i 5 6 s , 5 0 7 0 1

) t ( R

      

 

a) Representa dicha función y estudia sus propiedades. b) ¿En qué momento alcanza el deportista su máximo rendimiento? c) Calcula el rendimiento del deportista en los siguientes tiempos: 12 min, 15 min, 20 min, 42 min d) ¿En qué momentos el esfuerzo es del 50%? 68

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6.- FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Actividades de clase

3 Encuentra la fórmula de la siguiente función definida a trozos:

3 2 1

Y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 6 7

X

-2 -3 -4 -5 -6

69

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6.- FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS



0



0

  

x i s , x

| x | ) x ( f 

x i s , x

Función valor absoluto. Es la función cuya fórmula es

Función parte entera. Es la función cuya fórmula es f(x) = Ent(x) = “número entero menor o igual que x”

70

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7.- FUNCIONES EXPONENCIALES La gráfica de la función exponencial y = ax , con a > 0, a ≠ 1 es una curva que corta al eje Y en el punto (0,1) y tiene como asíntota horizontal al eje X. Si a > 1 , la función exponencial y = ax es creciente. Ejemplo: Y y = 2x

1

X

Un ejemplo de función exponencial muy importante en matemáticas es la función exponencial de base el número “e”: y = ex , siendo e = 2,7182…. . El número “e” es irracional. 71

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7.- FUNCIONES EXPONENCIALES

Si a < 1 , la función exponencial y = ax es decreciente. Ejemplo:

x y = (⅓)

Y

1

X 72

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7.- FUNCIONES EXPONENCIALES

73

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b) y =

     



x

1   2

3

a) y =

3x

2 5

7.- FUNCIONES EXPONENCIALES Actividades de clase 1 Haz la gráfica de las siguientes funciones exponenciales:

2 Calcula la fórmula de la siguiente función exponencial:

7 6 5 4 3 2 1 -1

-1

Y

1

2

X 74

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8.- LOGARITMOS Concepto de logaritmo Considera la ecuación 2x = 6. La solución de esta ecuación, el número al que hay que elevar el “2” para obtener el “6”, se llama el logaritmo en base 2 de 6 y se escribe así: log2 6 En general, si a > 0 , a ≠ 1 , la solución de la ecuación ax = N se llama logaritmo en base a de N : loga N Usando la definición podemos ver que se cumple: loga N = x  ax = N Si la base es 10, entonces log10 N se escribe simplemente como log N y se llama logaritmo decimal de N Si la base es el número “e”, entonces loge N se escribe simplemente como ln N ó L n y se llama logaritmo neperiano o logaritmo natural de N

75

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8.- LOGARITMOS Actividades de clase

1 Usando la definición, halla los siguientes logaritmos: a) log2 512

e) log 10 000

c) log3

1 27

f) log (0,1)

2

e

1 d) log8 1 7 2

b) log1/3 (9)

5

1 3 e

g) ln



76

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8.- LOGARITMOS Cálculo de logaritmos con la calculadora

La calculadora científica nos permite calcular tanto logaritmos decimales como neperianos Ejemplos: Para calcular log 3 pulsamos log 3 = El resultado es 0,477121254… Para calcular ln 20 pulsamos ln 20 = El resultado es 2,995732274… Todos los logaritmos que no den un resultado exacto (número entero o decimal exacto o periódico) son números irracionales. 77

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8.- LOGARITMOS Propiedades de los logaritmos

1) loga a = 1 . Por ejemplo, log5 5 = 1 2) loga 1 = 0 . Por ejemplo, log3 1 = 0 3) No existe loga 0. Por ejemplo, no existe log6 0 4) Si N < 0, no existe loga N. Por ejemplo, no existe log2 (−4) 5) loga (MN) = loga (M) + loga (N) . Por ejemplo, log7 (3.12) = log7 (3) + log7 (12) “El logaritmo del producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores” 78

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) N (a g o l ) M (a g o l = MN

g o l

8.- LOGARITMOS Propiedades de los logaritmos

a

   6)     5 Por ejemplo, log    log(5)  log(2) 2 “El logaritmo del cociente es igual al logaritmo de numerador menos el logaritmo del denominador” 7) loga (MN) = N . loga (M) . Por ejemplo, ln (53) = 3 . ln(5) “El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base”

) M (n a g o l =

M

n

9)

a

g o l

8) loga aN = N . Por ejemplo, log4 49 = 9 Por ejemplo, log2

3

10 

log2(10)

379

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8.- LOGARITMOS Propiedades de los logaritmos

logb(M) 10) loga (M)  logb(a)

log(M) En particular, si b = 10: loga (M)  log(a) ln(M) y si b = e (número e): loga (M)  ln(a)

Cualquiera de estas dos últimas fórmulas nos permite hallar el logaritmo en base a de un número usando la calculadora científica. Por ejemplo, aplicando la primera fórmula:

log(7) log2 (7)  log(2) = 2,807354922…

Si aplicamos la segunda fórmula obtenemos el mismo resultado:

ln(7) log2 (7)  = 2,807354922… ln(2)

80

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8.- LOGARITMOS Actividades de clase

2 Usando propiedades de los logaritmos desarrolla las siguientes expresiones: x2  x  3 b) log x2

a) log [ (x – 5)(x + 2) ]

d) log x2  1

g) log

e) log 5 x  3

x

2 3

x 2

x

c) log (x + 7)6

f) log [ (x – 2)10 (x2 – 1)4 ]

h) log

4

x3 (x  2)5 81

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9.- FUNCIONES LOGARÍTMICAS

La gráfica de la función logaritmo y = loga (x) es una curva que corta al eje X en el (1,0) y tiene como asíntota vertical el eje Y. Si a > 1 la función es creciente. Ejemplo: Y

y = log2 (x)

1

X

Un ejemplo de función logarítmica muy importante en matemáticas es la función logaritmo neperiano: y = ln (x)

82

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9.- FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Si a < 1 la función es decreciente. Ejemplo:

Y

1

y = log1/3 (x) X

83

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9.- FUNCIONES LOGARÍTMICAS Actividad de clase

1 Representa y haz un estudio completo de las siguientes funciones logarítmicas: a) y = log1/4 (x)

b) log1,5 (x)

84

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10.- ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS BÁSICAS

Ecuaciones exponenciales. Son ecuaciones en las que la incógnita está en el exponente. En las ecuaciones exponenciales más básicas, podemos usar la equivalencia aX = aY  X = Y Esta propiedad nos permite resolver la ecuación. Ecuaciones logarítmicas. Son ecuaciones con alguna incógnita en el logaritmo. En las ecuaciones logarítmicas más básicas podemos usar la equivalencia loga (X) = loga (Y)  X = Y 85

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10.- ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS BÁSICAS Actividades de clase

1 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: 12x

 1  a)    2



3 32

b)

1

1x 25 2



0,2

2 Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: 1 a) log3 x = 2

b) ln (x2 – x) = ln 2

86

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11.- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

0 r0 1

Problemas de crecimiento exponencial: Si una población P0 aumenta cada año en un r %. La población final, “ y ”, al cabo de x años se calcula por la fórmula: y = P .(1 + )x 0

Si la población se duplica cada año, entonces r = 100 % y la fórmula sería y = P0 . 2x Esta misma fórmula se puede usar en los problemas de interés compuesto anual En estos casos, P0 = capital inicial, r = rédito, x = tiempo en años

0

0 r0 1

Problemas de decrecimiento exponencial: Si una población P0 disminuye cada año en un r %. La población final, “ y ” , al cabo de x años se calcula por la fórmula: y = P .(1 – )x 87

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11.- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Actividades de clase

1 Se llama inflación a la pérdida del valor del dinero. Por ejemplo, si un artículo vale 100 € y dentro de un año vale 105 €, la inflación es del 5%. Supongamos que la inflación se mantiene constante en un 4% y una parcela vale actualmente 90 000 € Responde a las siguientes cuestiones: a) ¿Cuál sería el valor dentro de 6 años? b) ¿Cuánto tiempo debería pasar para que valga 108 000 €? c) ¿Cuánto valía hace 5 años? d) ¿Cuánto tiempo hace que valía 60 000 €? 88

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11.- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Actividades de clase

2 Un negocio, en el que invertimos 120 000 € pierde un 0,03% mensualmente. a) ¿Cuánto dinero habrá al cabo de año y medio? b) ¿Cuánto tiempo debe pasar para tener la cuarta parte del dinero inicial? 3 Se invierten 4 500 € al 2,15% de interés compuesto anual. ¿Cuánto tiempo debe pasar para tener 5 000 €? 89

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11.- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Actividades de clase

4 ¿Cuánto tiempo debería pasar para que el dinero que tenemos en el Banco, a un 3,5% de interés compuesto anual, se triplique?

5 La población de conejos es muy prolífica. Si disponen de comida suficiente y no hay depredadores que les puedan comer pueden llegar a doblar su número cada mes. Supongamos que se da la situación anterior y actualmente hay 256 conejos. Calcula cuántos conejos habrá dentro de un año y cuántos había hace 7 meses 90

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12.- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

y = sen x Y 2 1

X -2π -3π/2

-π

-π/2

π/2

π

3π/2

2π

-1 -2 91

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12.- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

y = cos x Y 2 1

X -2π -3π/2

-π

-π/2

π/2

π

3π/2

2π

-1 -2 92

1º Bachillerato Ciencias Sociales. Tema 3.- Funciones elementales - Profesor: Rafael Núñez Nogales

12.- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

y = tg x Y

X -3π/2

-π

-π/2

π/2

π

3π/2

93

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13.- ÁLGEBRA DE FUNCIONES

Suma de funciones. (f + g)(x) = f(x) + g(x) Por ejemplo, si f(x) = x + 2 , g(x) = 4x + 1, entonces (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + 2 + 4x + 1 = 5x + 3 Función opuesta. (–f)(x) = – f(x) . Por ejemplo, si f(x) = 3x – 7 , la función opuesta es (– f)(x) = –3x + 7 Resta de funciones. (f – g)(x) = f(x) – g(x) Por ejemplo, si f(x) = x + 2 , g(x) = 2x + 1, entonces (f – g)(x) = f(x) – g(x) = x + 2 – (2x + 1) = –x + 1

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13.- ÁLGEBRA DE FUNCIONES Producto de un número por una función. (a.f)(x) = a.f(x). Por ejemplo, si f(x) = x + 2 , entonces (3f)(x) = 3.f(x) = 3(x + 2) = 3x + 6

1 f

 

Función inversa para el producto.   (x) =  

) 1x ( f

Producto de funciones. (f.g)(x) = f(x).g(x). Por ejemplo, si f(x) = x + 2 , g(x) = 2x + 1, entonces (f.g)(x) = f(x).g(x) = (x + 2)(2x + 1) = 2x2 + 5x + 2 Por ejemplo,

si f(x) = 2x + 1, entonces su función inversa para el producto es

) x ( g

f g

  Cociente de funciones.   (x) =  

) x ( f

1  1  f  (x)  2x  1  

Por ejemplo, si f(x) = x + 2 ,

f x2 g(x) = 2x + 1, entonces   (x)  2x  1  g

95

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13.- ÁLGEBRA DE FUNCIONES Composición de funciones

g R dos funciones, tales que Rec(f)  D(g) f  D(g)  Sean D(f)  Se define la función compuesta de f con g así:

gof R D(f) 

, (g o f) (x) = g [ f(x) ]

Por ejemplo, si f(x) = 3x – 4 , g(x) = x2 + 1 , entonces: (g o f) (x) = g [ f(x) ] = [f(x)]2 + 1 = (3x – 4)2 + 1 = 9x2 – 24x + 16 + 1 = 9x2 – 24x + 17 Se puede calcular también (f o g) (x) = f [ g(x) ] = 3.g(x) – 4 = 3.( x2 + 1) – 4 = 3 x2 – 1 Observa que no tienen porqué coincidir (g o f) (x) y (f o g) (x) 96

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13.- ÁLGEBRA DE FUNCIONES Función recíproca o inversa para la composición

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13.- ÁLGEBRA DE FUNCIONES Actividades de clase

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