Matemáticas 4º ESO

1. Números reales     

Clasificación de los números reales Fracción generatriz de un número decimal Representación de números racionales en la recta real Aproximaciones Intervalos

2. Raíces y potencias     

Propiedades de las potencias de exponente racional Radicales equivalentes Simplificar radicales Extracción de factores de un radical Introducción de factores en un radical

3. Operaciones con radicales      

Suma y resta de radicales Multiplicación de radicales División de radicales Potencia de radicales Raíz de un radical Racionalización

Matemáticas 4º ESO

1. Números reales  Clasificación de los números reales

 Fracción generatriz de un número decimal Decimal exacto: se escribe el número sin coma, dividido por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya. 135 27 1,35   100 20 Decimal periódico puro: se escribe el número decimal sin la coma y se le resta la parte entera, y se divide por tantos 9 como cifras periódicas haya. 281  2 279 31 2, 81    99 99 11 Decimal periódico mixto: se escribe el número decimal sin la coma y se le resta la parte entera y la parte decimal no periódica y se divide por tantos 9 como cifras periódicas seguidos de tantos ceros como cifras decimales haya. 752  7 745 149 0,752    990 990 198

Matemáticas 4º ESO  Representación de números racionales en la recta real La recta real es el conjunto ordenado de todos los números reales. Cada punto de la recta corresponde a un número real, y cada número está representado por un punto.

Para representar radicales de forma exacta se utiliza el teorema de Pitágoras

5  2 2  12

 Aproximaciones La aproximación de los números reales se puede obtener mediante dos procedimientos: truncamiento y redondeo. Truncamiento: el número se obtiene al suprimir las cifras a partir del orden de aproximación. Por ejemplo si se aproxima por truncamiento el número 3,123432 a la milésima es 3,123 no se tiene en cuenta la cifra siguiente en el orden de aproximación Redondeo: el número se obtiene al suprimir las cifras a partir del orden de aproximación pero teniendo en cuenta que si el siguiente número es inferior a 5, se queda igual; y que si es igual o superior a 5, se suma 1. Por ejemplo, si se aproxima por redondea 3, 123432 a la milésima es 3,123. Pero si aproximamos a la milésima por redondeo el número 3, 1236 será 3,124

Matemáticas 4º ESO  Intervalos

2. Raíces y potencias La radicación es la operación inversa a la potenciación.

b  n a  bn  a Raíz

Potencia

b : raíz b : base a : radicando a : potencia n : índice de la raíz n : exponente Raíz de índice par:  Tiene la solución positiva y negativa, por ejemplo: 

No existe si el radicando es negativo.

25  5   5  25

 25  no existe.

Raíz de índice impar:  Existe tanto si el radicando es positivo como negativo.  La solución es positiva si el radicando es positivo. 3 8  2  2 3  8  La solución es negativa si el radicando es negativo. 3 3  8  2   2   8

2

Matemáticas 4º ESO Un radical también se puede expresar como una potencia de exponente m n

fraccionario: a  a Por lo tanto podemos aplicar las propiedades de las potencias a los radicales si expresamos los radicales como potencias de exponente fraccionario, tal como se expresa en la siguiente tabla: n



m

Propiedades de las potencias de exponente racional

Multiplicación de potencias de la misma base

p q

m n

a a  a División de potencias de la misma base

a a Potencia de potencia



m n p q

 a  

a

m n

p q

m p  n q

m p  n q

  n q  a  

m p

Radicales equivalentes

Los radicales equivalentes son diferentes expresiones de un mismo número.. Se obtienen multiplicando índice y exponente por un mismo número. 2  4 2 2  8 2 4  16 2 8



Simplificar radicales

Vamos a simplificar

10

243

Se descompone el radicando como producto de factores primos. Si descomponemos el número 243 como producto de factores primos obtenemos: 243=35 . 

10

Podemos simplificar el radical expresándolo como potencia de 5 1 exponente fraccionario y simplificando la fracción  , volviendo a 10 2 escribir la potencia como radical.

243  3  3

 10

10

5

5 10

1 2

3  3

Pero también lo podemos hacer dividiendo índice y exponente entre el mismo número, en el ejemplo dividimos entre 5:

3  5

10

5

35 5  3

Matemáticas 4º ESO 

Extracción de factores de un radical

Solamente se pueden extraer factores de un radical cuando el exponente es mayor que el índice, es decir: n

am  m  n

Dividimos el exponente entre el índice (sin calculadora), fuera del radical se escribe la base elevada al cociente y dentro del radical la base elevada al resto: 3



48  4 2  3 4 2

Introducción de factores en un radical

Para introducir un factor dentro de un radical, basta con elevarlo al índice de la raíz:

b  3 a 2  3 b3  a 2 Ejemplo:

4  5 33  5 4 5  33

3. Operaciones con radicales 

Suma y resta de radicales

Esta operación sólo se puede realizar entre radicales semejantes (los que tienen el mismo índice y el mismo radicando). Se pone el radical (como factor común) y se suman los coeficientes. Ejemplo: 5 2  3 2  6 2  (5  3  6) 2  8 2 En algunos casos los radicales semejantes no se ven tan fácilmente, lo que tenemos que hacer es descomponer el radicando como producto de factores primos y extraer factores del radical, obteniendo así radicales semejantes, veamos un ejemplo: 3

 r  625  6 25  2  3 5  3 135 descompone

3

 5 4  6 5 2  2  3 5  3 33  5 extraer

5  1  2  3  3 5  9  3 5 5  3 5  3 5  2  3 5  3  3 5 sumar

Matemáticas 4º ESO

 Multiplicación de radicales 

Con el mismo índice: es un radical con el mismo índice y como radicando el producto de radicandos. Ejemplo:



3

n

a  n b  n a b

5  3 4  3 5  4  3 20

Con distinto índice:

n

a mb

1) El m.c.m de los índices: m.c.m(n,m)= p, es el índice del nuevo radical. 2) Elevar cada radicando al cociente de p entre cada índice 3) Multiplicar los radicandos p

Ejemplo:

p n

a b 3

2 3 5  4

12

12 3

12 4

2 3 5

12 2

Con el mismo índice: es un radical con el mismo índice y como radicando el cociente de radicandos. Ejemplo:



 12 2 4  33  5 6

División de radicales

 

p m

3

n

a :n b  n

a b

5  3 4  3 5  4  3 20

Con distinto índice:

n

a mb

4) El m.c.m de los índices: m.c.m(n,m)= p, es el índice del nuevo radical. 5) Elevar cada radicando al cociente de p entre cada índice 6) Dividir los radicandos p n

p

a :b

p m 12

Ejemplo:

3

2

4

5

 12

23 5

12 4

 12

24 53

Matemáticas 4º ESO  Potencia de radicales Se eleva el radicando al exponente

 a

m

n

 n am

Ejemplo:

 5

2

3

 3 52

 Raíz de un radical Se multiplican los índices n m

a  n m a

3

Ejemplo:

5  23 5  6 5

Racionalización



Está operación consiste en transformar una fracción que tenga uno o más radicales en el denominador en otra fracción sin radicales en el denominador. Podemos tener tres casos diferentes: a) En el denominador tenemos un radical de índice 2: multiplicamos numerador y denominador por el radical de índice 2 del denominador a

a



b



b

4



b

Ejemplo:

3

b

a b



 b

2

4 3

3



3





a b b

4 3



 3

2

4 3 3

b) En el denominador tenemos un radical de índice n > 2: multiplicamos numerador y denominador por el radical de índice n del denominador, cuya base del radicando este elevada al índice menos el exponente.

a n

Ejemplo:



bm

3 5

43

a n



bm



3 5

43

n

b n m

n

b n m



5

453

5

453





a  n b mn n

b m  b n m

3  5 42 5

4 3 2





a  n b m n n

b m  n m



a  n b mn n

bn

a  n b m n  b

3  5 42 4

c) En el denominador tenemos una suma o diferencia de dos o más radicales de índice 2: multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, y realizamos el producto de fracciones. a b c

Ejemplo:



a b c 3

6 2





b c b c 3





6

6 2 6

 b  c  a b  c bc  b   c 2 3  6  2  3  6  2     36  2 2 6   2 a

2

2

2

2



3 6 2 34



Matemáticas 4º ESO

1. Encuentra qué radicales son equivalentes entre sí:

5; 6 125; 3 2 ; 4 9 ; 10 243; 9 8 ; 8 625; 4 25 2. Simplifica los siguientes radicales:



320

3

4

686 

12960 

1350 

3. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas b) 600a 3b 4

a) 192 x 2 y 5

c) 5 1024a 6 b 5 c 10

d) 4 3888 x 4 y 2 z 5

4. Extrae de las raíces todos los factores y simplifica:

27 a 6 b 3 c 2 a) 392 x 9 y 2

3 4a 2 c) 2 27 y 3

50a 3 b) 6 24 x 2

2 3 243 x 4 d) 3 16a 2 b 4

5. Calcula: a) 2 5  2 45  3 80  128

b)

63  28  2 49  175

c) 2  54  300  3  27  75

d)

450  4 12  5 48  2 98

3

e)

3

3

3

3

54  24  16  2  150 3

3

3

g) 3 686  3 81  3  3 375  2  3 648 3 1 1 1 12  72  i)  48  18 4 2 6 3 1 1 1 1 k) 147  28  2187  700 7 10 3 5

f) 3  80  2  800  4  320  6  450 3 1 h) 2  45   125   180 4 2 3 1 98  j) 5 50  162 14 3

6. Efectúa las operaciones siguientes y simplifica si es conveniente 1 2 a) 2 12 6 b) 3 2  5 20   2  3 c) 14  21 2 7 10 32 1 2 3 1 2 21  42  e) 3 2ab 4  3 4a 7 b 6  3 a 4 b 3 f) 22 d) 2 3 7 4 3 2 24 g)

3

3

j)

3

2x 4 4x5 3  5y 25 y 5 10  300 3

72  3 24

h)

18 180  12 48

i)

24 6 20

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7. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica si es conveniente:

 3  2  3 c) 2 7  3 3  4





b) 7 3  5 5  2 3

a)



  1 1 x  5 y xy  2  25  8. Efectúa las operaciones siguientes reduciendo los radicales a índice común y simplifica si conviene 3 5 7

x3 y  3 8y

a) 6

3

b)

50 x 3 y 5

d)

12  4 18 24

9. Expresa en forma de un solo radical 33 25 3

a)

d)

3

53

b)

1 25

e)

3

8 24 4

c)

3

33 2 2 3

f)

3

23 24 2 2

ab 2 4

1 ab

10. Racionaliza y simplifica:

11. Racionaliza: a)

3 3

6

b)

1 3

5x

12. Racionaliza y simplifica:

13. Racionaliza y efectúa:

c)

6ab 3

4a 2 b

d)

3x 2 3

9x