Sistemas de Proyección Gauss Colombia

Prof. Luis Hernán Ochoa G Universidad Nacional de Colombia

1.1 Proyecciones empleadas en Colombia En el país se ha determinado el empleo de dos sistemas básicos de proyección. 1.1.1

Proyección Conforme de Gauss

Los mapas de escala media (1:25000 a 1:100000) se elaboran utilizando el sistema de proyección Transversal de Mercator Modificada (TM) o conforme de Gauss, que es una proyección cilíndrica transversal tangente a la esfera a lo largo de un meridiano. Este sistema de proyección presenta mayores deformaciones hacia el este y el oeste, razón por la cual el país ha sido dividido en Husos de 3 grados en longitud. Esto genera la presencia de varios sistemas de coordenadas para los mapas del país y se denominan Orígenes. Los principales son OESTE (77), BOGOTA (74), ESTE CENTRAL(71) y ESTE (68). Ver Figura No 1. En la Figura No 1, las líneas verticales indicadas en azul corresponden a los meridianos centrales de las diferentes proyecciones TM del país. En la intersección de cada meridiano central con el paralelo de latitud 4 35 56.57 Norte, se asumen coordenadas planas N = 1’000.000 y E = 1’000.000. Las líneas punteadas en azul claro indican el sitio de traslapo donde se cambia de origen. Estos cambios de origen obedecen a las distorsiones que se puedan presentar en las proyecciones mas alejadas del meridiano de origen. En la Figura No 2 se muestran las deformaciones obtenidas en las diferentes regiones del país ocasionadas por la proyección en los diferentes Husos. En ocasiones, se puede utilizar un sistema local de coordenadas de Gauss, para proyectos cuya extensión y ubicación así lo requieran. Estos casos se presentan ciando el área del proyecto abarca dos Husos de Gauss diferentes.

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Figura No 1 : Orígenes de coordenadas Gauss - Colombia

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Figura No 2 : Deformaciones de los distintos Husos 1.1.2

Proyección Cartesiana

Para mapas de escala grande (1:1000 a 1:20000) se emplea la proyección azimutal tangente a la esfera en el centro de la zona que se quiere cartografiar, comúnmente conocida cono proyección cartesiana. Este ultimo sistema es empleado por lo general en mapas de ciudades o proyectos pequeños donde el área a cartografiar no es muy grande. Por lo general se escoge un punto central del proyecto como origen de coordenadas (punto tangente a la esfera) al cual se le asignan coordenadas X = 100.000 y Y = 100.000. Como es de suponer no siempre coinciden las coordenadas cartesianas con las coordenadas de Gauss de los mapas de escala media. 1.1.3

Consideraciones Generales

Todos los mapas producidos deben contener en el rotulo la inscripción clara de sus sistema de proyección y los parámetros correspondientes. Las coordenadas Geográficas correspondientes al Datum Bogota, permanecen fijas mientras que las coordenadas planas calculadas a partir de las distintas proyecciones varían en el mismo punto. Siempre se deben emplear los mapas en el mismo sistema de coordenadas. En caso de tener varios sistemas es necesario unificarlos. 19/09/06 12:34

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Las coordenadas obtenidas de equipos GPS son por lo general geográficas en Datum WGS84. Para trabajar con coordenadas en ese Datum es necesario primero transformarlas al Datum bogota y posteriormente transformarlas a coordenadas planas de acuerdo con la zona del país donde se está trabajando o al sistema de coordenadas de los mapas que se tienen.

1.2 Transformación de coordenadas Para el paso de un sistema de coordenadas a otro, existen diversos programas de transformación o los mismos programas de SIG permiten dichas transformaciones. La transformación de coordenadas que se presenta a continuación corresponde a la proyección Transversal de Mercator Modificada o Gauss Directo empleado en el país. Adaptado de: www.posc.org/Epicentre.2_2/DataModel/ExamplesofUsage/eu_cs34h.html Formulas Generales

a : Semieje Mayor b : Semieje Menor Eο : Falso Este: Para Gauss Colombia 1’000.000.oo Mts Nο : Falso Norte: Para Gauss Colombia 1’000.000.oo Mts Kο : Factor de Escala: Para Gauss Colombia 1.00000000 ϕο : Latitud del Origen según Figura No 1 λο : Longitud del Origen según Figura No 1 ϕ : Latitud del punto λ : Longitud del punto E : Coordenada este del punto N : Coordenada Norte del punto ν : Radio de Curvatura a la latitud ϕ perpendicular al meridiano ν = a / (1- e2 sen2ϕ)1/2 f = Achatamiento e2 : Excentricidad = (a2 – b2 ) / a2 = (f) (2-f) e’2 : Segunda Excentricidad2 = e2 / (1 - e2 ) = (a2 – b2 ) / b2

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1.2.1

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Problema directo

El problema directo consiste en el calculo de las coordenadas planas (Norte y Este) a partir de las coordenadas Geográficas (Latitud y Longitud) del punto Para la proyección conforme de Gauss la solución será:

Formula General E = Eo + Ko ν [ a1 + a2 + a3] N = No + Ko [ M – Mo + ν Tan ϕ ( b1 + b2 + b3)] Siendo : a1 = A a2 = (1 – T + C ) A3 / 6 a3 = (5 - 18T + T2 + 72C – 58 e’2) A5 / 120 b1 = A2 / 2 b2 = (5 – T + 9C + 4C2 ) A4 / 24 b3 = (61 - 58T + T2 + 600C – 330 e’2) A6 / 720 Donde : T = tan2ϕ C = (e2 / ( 1- e2 ) ) cos2ϕ = e’2 / cos2ϕ A = (λ – λο ) cos ϕ

[ λ , λο ] En radianes

M = a (c1 ϕ − c2 sen 2ϕ + c3 sen 4ϕ - c4 sen 6ϕ ) Mo = a (c1 ϕo - c2 sen 2ϕo + c3 sen 4ϕo - c4 sen 6ϕo) Empleando : c1 = 1 – e2 / 4 – 3 e4 / 64 – 5 e6 /256 - …. c2 = 3 e2 / 8 + 3 e4 / 32 + 4 e6 /1024 + …. c3 = 15 e4 / 256 + 45 e6 /1024 + …. c4 = 35 e6 /3072 + ….

1.2.2

Problema Inverso

El problema inverso consiste en la obtención de las coordenadas geográficas (latitud y Longitud) a partir de las coordenadas planas (Norte y Este). 19/09/06 12:34

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Para la proyección conforme de Gauss la solución será:

Formula General ϕ = ϕ1 - [ν1 Tan ϕ1 / ρ1 ] [ a1 - a2 + a3] λ = λο + [ b1 - b2 + b3 ] / cos ϕ1 Siendo : a1 = D2 / 2 a2 = (5 + 3T1 + 10C1 – 4C12 – 9 e’2 ) D4 / 24 a3 = (61 + 90T1 + 298C1 + 45T12 - 3C12 – 252 e’2) D6 / 720 b1 = D b2 = (1 + 2T1 + C1 ) D3 / 6 b3 = (5 + 28T1 - 2C1 + 24T12 - 3C12 + 8 e’2) D5 / 120 Donde : T1 = tan2ϕ1 C1 = (e2 / ( 1- e2 ) ) cos2ϕ1 = e’2 / cos2ϕ1 e1 = [ 1 – ( 1 - e2 )1/2] / [ 1 + ( 1 - e2 )1/2] D = (E - Eo ) / (Ko ν1) ν1 = a / (1- e2 sen2ϕ1) 1/2 ρ1 = a ( 1 - e2 ) / (1- e2 sen2ϕ1)3/2 µ1 = M1 / [ a ( 1 - e2 / 4 – 3 e4 / 64 – 5 e6 / 256 - ....)] M1 = M0 + ( N - Nο ) / Kο Mo = a (c1 ϕo - c2 sen 2ϕo + c3 sen 4ϕo - c4 sen 6ϕo) ϕ1 = µ1 + d1 sen 2µ1 + d2 sen 4µ1 + d3 sen 6µ1 + d4 sen 8µ1 Empleando : c1 , c2 , c3 ,c4 :

Las mismas del problema directo

d1 = 3 e1 / 2 – 27 e13 / 32 + …. d2 = 21 e12/ 16 – 55 e14 / 32 + …. d3 = 151 e13 / 96 - …. d4 = 1097 e14 / 512 - ….

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Para el elipsoide internacional empleado en Colombia tenemos que: a = 6378388 mts b = 6356911.94612795 mts f = 1 / 297 e2 = 0.00672267002233332 e’2 = 0.00667747573010414

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