2. Probabilidad y

variable aleatoria Curso 2011-2012 Estadística

2. 1 Probabilidad

Probabilidad y variable aleatoria

2

Experimento Aleatorio

EL término “experimento aleatorio” se utiliza en la teoría de la probabilidad para referirse a un proceso cuyo resultado no es conocido de antemano con certeza. “Suma de valores en el lanzamiento de 2 dados.” Probabilidad y variable aleatoria

3

Ejemplos • Número de piezas defectuosas en una muestra de 100 piezas. • Número de llamadas a una centralita telefónica en un día. • Energía eléctrica consumida en Madrid durante un periodo de tiempo. Probabilidad y variable aleatoria

4

Espacio Muestral Conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. • DISCRETOS: • Lanzamiento de un DADO: S = {1,2,3,4,5,6} • Piezas defectuosas en una muestra de 100 S = {0,1,2,...,100} • Llamadas a una centralita durante un día S = {0,1,2,3,...,∞}

• CONTINUOS: • Energía consumida en Madrid: S={[0, ∞)} Probabilidad y variable aleatoria

5

Suceso Cualquier subconjunto del espacio muestral. •

“Obtener un número par al lanzar un dado”: A = {2,4,6}

•

“Observar menos de 5 piezas defectuosas en una muestra de 100”: B = {0,1,2,3,4}

•

“Tener más de 50 llamadas de teléfono en una hora”: C = {51,52,...,∞}

•

“Tener una demanda de energía eléctrica entre 300 Mwh y 400 Mwh” : D =(300,400)

Probabilidad y variable aleatoria

6

Operaciones Sean A y B dos subconjuntos de S • Unión A ∪ B = {x : (x ∈ A) o (x ∈ B)} • Intersección $

A ∩ B = {x : (x ∈ A) y (x ∈ B)} • Complementario

$= {x : x∉ A} 7

Probabilidad y variable aleatoria

$∩ % $∪ %

$

Probabilidad y variable aleatoria

8

Propiedades 'DGRVWUHVVXFHVRV $%\&GHXQHVSDFLRPXHVWUDO6 ­$ ∪ % = % ∪ $ &RQPXWDWLYD ® ¯$ ∩ % = % ∩ $ ­ $ ∪  % ∪ & =  $ ∪ % ∪ & $VRFLDWLYD  ® ¯ $ ∩  % ∩ & =  $ ∩ % ∩ & ­ $ ∪  % ∩ & =  $ ∪ % ∩  $ ∪ & 'LVWULEXWLYD  ® ¯ $ ∩  % ∪ & =  $ ∩ % ∪  $ ∩ & ­$ ∪ % = $ ∩ % /H\HVGH'H0RUJDQ ® ¯$ ∩ % = $ ∪ % 9

Probabilidad y variable aleatoria

Axiomas de Probabilidad 'DGRXQHVSDFLRPXHVWUDO6XQDIXQFLyQGHSUREDELOLGDG DVLJQDYDORUHV3$ DFDGDVXFHVR$ ⊂ 6\VDWLVIDFH  

 ≤ 3$ ≤ 



36  = 

 3DUDXQDVHFXHQFLDGHVXFHVRV $$ !  $Q  TXHFXPSOHQ$L ∩ $ M = ∅FXDQGRL ≠ M Q

3 * $L = ¦L = 3 $L Q

L =

Probabilidad y variable aleatoria

10

Problema fundamental • Dado un espacio muestral discreto con resultados A1, A2, ..., An , el experimento aleatorio queda caracterizado si asignamos un valor P(Ai) no negativo a cada resultado Ai de forma que

P(A1)+P( A2)+ ...+P(An)=1. ‡ (MHPSOR6HODQ]DGRVYHFHVXQDPRQHGD ^;;;&&;&&` 6H DVLJQD SUREDELOLGDG  D FDGD XQR GH ORV FXDWUR UHVXOWDGRV ¢ (VXQDDVLJQDFLyQFRUUHFWD" 11

Probabilidad y variable aleatoria

Propiedades elementales  3∅ =   3 $ =  − 3 $   6L $ ⊂ %HQWRQFHV3$ ≤ 3%   3DUDGRVVXFHVRVFXDOHVTXLHUD $ % ⊂ 6  3  $ ∪ % = 3 $ + 3 % − 3 $ ∩ %   3DUDQVXFHVRV $$ $Q ⊂ 6  Q

Q

L =

L =

Q

Q

3* $L = ¦ 3 $L − ¦¦ 3 $L ∩ $ M + Q

Q

L = M > L

Q

¦¦¦ 3$ ∩ $ L

M

∩ $N + " + − Q + 3 $ ∩ $ ∩ " ∩ $Q

L = M >L N > M

Probabilidad y variable aleatoria

12

Asignación de probabilidades 1. Clásica (Laplace): Equiprobabilidad 2. Frecuencialista (von Mises, 1931) 3. Subjetiva

13

Probabilidad y variable aleatoria

Clásica: sucesos equiprobables Sea un experimento con un número finito N de resultados excluyentes y equiprobables, la probabilidad del suceso A es 3 $ =

1  $  1

donde N es el número de resultados posibles del experimento y N(A) el número de resultados favorables al suceso A.

Probabilidad y variable aleatoria

14

Ejemplos (equiprobabilidad) • Lanzamiento de una moneda. S={C,X} 3& =

 

• Lanzamiento de un dado. S={1,2,3,4,5,6} 3  1~PHUR SDU  =

  =   

• Extracción de una de las 40 cartas de la baraja, S={1 Oros,2 Oros,...., Rey Bastos} 3  %DVWRV =

  =   

15

Probabilidad y variable aleatoria

Lanzamiento de dos dados HU'DGR

ž 'DGR

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

P(“suma 7”) = 6/36 = 1/6

Probabilidad y variable aleatoria

16

Urna: 2 Negras y 3 Blancas

 %ROD

B1 B1 B2 B3 N1 N2

 %ROD

B1,B2 B1,B3 B1,N1 B1,N2

B2 B3 B2,B1 B3,B1 B3,B2 B2,B3 B2,N1 B3,N1 B2,N2 B3,N2

N1 N2 N1,B1 N2,B1 N1,B2 N2,B2 N1,B3 N2,B3 N2,N1 N1,N2

Se extraen dos bolas al azar, una detrás de otra, sin reposición. P(“1ª Blanca y 2ª Negra”) = 6/20 = 3/10

17

Probabilidad y variable aleatoria

Urna: 2 Negras y 3 Blancas

 %ROD

 %ROD B1 B2 B3 N1 N2

B1 B1,B1 B1,B2 B1,B3 B1,N1 B1,N2

B2 B2,B1 B2,B2 B2,B3 B2,N1 B2,N2

B3 B3,B1 B3,B2 B3,B3 B3,N1 B3,N2

N1 N1,B1 N1,B2 N1,B3 N1,N1 N1,N2

N2 N2,B1 N2,B2 N2,B3 N2,N1 N2,N2

Se extraen dos bolas al azar, una detrás de otra, con reposición. P(“1ª Blanca y 2ª Negra”) = 6/25

Probabilidad y variable aleatoria

18

&RPELQDWRULD REMHWRVWRPDGRVGHGRVHQGRV SIN REEMPLAZAMIENTO

1 1 2 3 4 5

,03257$ (/25'(1

(1,2) (1,3) (1,4) (1,5)

Primera extracción 2 3 4 (2,1) (3,1) (4,1) (3,2) (4,2) (2,3) (4,3) (2,4) (3,4) (2,5) (3,5) (4,5)

CON REEMPLAZAMIENTO

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4)

1 2 3 4 5

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)

Primera Extracción 2 3 4 (2,1) (3,1) (4,1) (2,2) (3,2) (4,2) (2,3) (3,3) (4,3) (2,4) (3,4) (4,4) (2,5) (3,5) (4,5)

Número = 20

12,03257$ (/25'(1

1 2 3 4 5

(1,2) (1,3) (1,4) (1,5)

Número = 25

Primera extracción 2 3 4

1

(2,3) (2,4) (2,5)

(3,4) (3,5)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)

5

(4,5)

Número = 10

1 2 3 4 5

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)

Primera extracción 2 3 4 (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)

(3,3) (3,4) (3,5)

(4,4) (4,5)

5

(5,5)

Número = 15

19

Probabilidad y variable aleatoria

&RPELQDWRULD1~PHURSRVLEOHGH UHRUGHQDFLRQHVGHQREMHWRVWRPDGRVGHU HQU

,03257$ (/25'(1

6,1 5((03/$=$0,(172 Q Q − U 

&21 5((03/$=$0,(172

§ Q· ¨¨ ¸¸ ©U¹

§ Q + U − · ¨¨ ¸¸ © U ¹

12,03257$ (/25'(1

Probabilidad y variable aleatoria

QU

20

    

/DSULPLWLYD6HHOLJHQQ~PHURVGLVWLQWRVGHODO DPERVLQFOXVLYH ‡ 3UREDELOLGDGGHDFHUWDUORV ‡ 3UREDELOLGDGGHDFHUWDU ‡ 3UREDELOLGDGGHDFHUWDU ‡ 3UREDELOLGDGGHQRDFHUWDUQLQJXQR ‡ 3UREDELOLGDGGHTXHVDOJDXQQ~PHURFRQFUHWRSRU HMHPSORHOQ~PHUR 21

Probabilidad y variable aleatoria

3ULPLWLYD

3$FHUWDU =

  = =  §  ·  ¨¨ ¸¸ ©¹

§  · § · ¨¨ ¸¸ × ¨¨ ¸¸    =  3$FHUWDU = © ¹ © ¹ =  §  · ¨¨ ¸¸ ©¹

§  · § · ¨¨  ¸¸ × ¨¨  ¸¸  =  3$FHUWDU = © ¹ © ¹ =  §  · ¨¨ ¸¸ ©¹ § · ¨¨ ¸¸   =  31LQJXQR = © ¹ = §  ·  ¨¨ ¸¸ ©¹

§  · ¨¨ ¸¸   =  36DOJDHO = © ¹ = §  ·  ¨¨ ¸¸ ©¹

Probabilidad y variable aleatoria

22

‡ (QXQDHVWDFLyQGHPHWURKD\SDVDMHURVHVSHUDQGRDXQ WUHQFRQYDJRQHVVLFDGDSDVDMHURHOLJHXQYDJyQDOD]DU ¢FXiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHWRGRVHOLMDQXQYDJyQ GLIHUHQWH"

3  $ =

1  $  ×  ×  ×  ×  = =   1 

‡ 'HXQORWHFRQSLH]DVVHWRPDQDOD]DUVLWRGDVODV SLH]DVHOHJLGDVVRQEXHQDVVHDFHSWDHOORWH\VHUHFKD]DHQ FDVRFRQWUDULR¢&XiOHVODSUREDELOLGDGGHDFHSWDUXQORWH FRQSLH]DVGHIHFWXRVDV" §  · § ·   ¸¸ = 1 = ¨¨  1  $ = ¨¨ ¸¸ = ©  ¹  ©  ¹   1  $    ×  × "×  =  3 $ = = = 1    ×  × "×  23

Probabilidad y variable aleatoria

Cumpleaños Probabilidad de que en un grupo de r = 25 personas haya al menos dos con el mismo cumpleaños. 

$

$

$U

U $=1RKD\DQLQJXQDFRLQFLGHQFLD  ×    × " ×  − U +  U 3 $  =  3$  U =  → 3 $  = 

3  $ =

Probabilidad y variable aleatoria

24

Probabilidad y Frecuencia Relativa La probabilidad P(A) de un suceso A es el límite

3  $ = OLP

Q →∞

Q$ Q

dónde nA es el número de veces que ha ocurrido A al repetir el experimento n veces en idénticas condiciones.

25

Probabilidad y variable aleatoria

Nº de Caras / Nº de Lanzam ientos

Frecuencia relativa de caras 1,00

0,50

0,00 0

50

100

150

200

Nº de lanzam iento

Probabilidad y variable aleatoria

26

7RWDOVRUWHRV    Probabilidad y variable aleatoria

27

Probabilidad y variable aleatoria

28

3UREDELOLGDG&RQGLFLRQDGD Fumadores (F) No Fumadores (N) TOTAL

Mujeres (M)

Hombres (H)

TOTAL

0,12

0,18

0,30

0,39

0,31

0,70

0,51

0,49

1,00

 ­ 3  ) _ + = =  °  ° 3 ) =  ® °  =  °3 ) _ 0 =  ¯ 29

Probabilidad y variable aleatoria

Probabilidad Condicionada Definición. Sea B un suceso con probabilidad distinta de cero, se define probabilidad del suceso A dado B a: 3 $ _ % =

Probabilidad y variable aleatoria

3 $ ∩ %  3 %

30

Utilidad • Actualizar probabilidad del suceso A en función de la información disponible I P(A|I) = P(A∩I)/P(I) • Cálculo de la intersección de sucesos P(A ∩B) = P(A|B)P(B) • Cálculo de probabilidad de un suceso 3 $ = 3 $ ∩ % ∪  $ ∩ % = 3 $ _ % 3 % + 3 $ _ % 3 % Probabilidad y variable aleatoria

31

Ejemplo Urna Probabilidad de “1ª Blanca y 2ª Negra” • Sin reemplazamiento:

P(B1 ∩ N2) = P(B1) P(N2| B1) = (3/5)(2/4) = 3/10 • Con reemplazamiento:

P(B1 ∩ N2) = P(B1) P(N2| B1) = (3/5)(2/5) = 6/25 Probabilidad y variable aleatoria

32

Cumpleaños Probabilidad de que en un grupo de r = 25 personas haya al menos dos con el mismo cumpleaños. 

$

%U =1RKD\DQLQJXQDFRLQFLGHQFLDHQU

$

$U

U

3%U  = 3% 3  % _ $ 3  % _ $ ≠ $ " 3 %U _ $ ≠ $ ≠ " ≠ $U −  −   −   − U +  × × "×    3 %U  =  3%U  U =  → 3 %U  =  = ×

33

Probabilidad y variable aleatoria

Ejemplo

8UQD8

8UQD8

6HHOLJHXQDXUQDDOD]DU\VHH[WUDHXQDEROD¢ 3%ODQFD "

3 % = 3 % _ 8  38  + 3 % _ 8  38       = × + × = =       Probabilidad y variable aleatoria

34

Ejemplo (cont.)

8UQD8

8UQD8

6HWRPDDOD]DUXQDERODGH8\VHPHWHHQ86HH[WUDH XQDERODGH8¢ 3%ODQFD "

3 % = 3 % _ % 3 % + 3 % _ 1 3 1      = × + × = =       Probabilidad y variable aleatoria

35

Independencia 6LHOFRQRFLPLHQWRGHODRFXUUHQFLDGHXQVXFHVR% FDPELD ODSUREDELOLGDGGHTXHRFXUUDRWUR$VHGLFHTXH$ \% VRQ GHSHQGLHQWHVHQHVHFDVR3$_% ≠ 3$  &XDQGR HOVXFHVR$ HVLQGHSHQGLHQWHGH%ODRFXUUHQFLDGH % QRFDPELDODSUREDELOLGDGGH$HVGHFLU3$_%  3$  &RPR3$_%  3$∩% 3%  $ \% VRQLQGHSHQGLHQWHV⇔ ⇔ 3$∩%  3$ 3% 

Probabilidad y variable aleatoria

36

Lanzamiento de dos monedas 6 ^&&&;;&;;` +LSyWHVLV ‡ 0RQHGDVHTXLOLEUDGDV3&  3; ‡ ,QGHSHQGLHQWHV

3&&  3& 3&   ×   3&;  3& 3;   ×   3;&  3; 3&   ×   3;;  3; 3;   ×   Probabilidad y variable aleatoria

37

,QGHSHQGHQFLDRPiVVXFHVRV ‡ 7UHVVXFHVRV$% \& VRQLQGHSHQGLHQWHVVL ‡3$ ∩ %∩ &  3$ 3% 3& ‡3$ ∩ %  3$ 3% ‡3$ ∩ &  3$ 3& ‡3% ∩ &  3% 3&

‡ /RVVXFHVRV$ $ $Q

VRQLQGHSHQGLHQWHVVL FXDOTXLHUVXEFRQMXQWR$L$L$LNFXPSOH 3$L∩$L∩∩ $LN  3$L 3$L 3$LN

Probabilidad y variable aleatoria

38

Probabilidad Total % %

%

%

%

$ %

%

3DUWLFLyQ %% %Q  % M ⊂ 6

%

%L ∩ % M = ∅ ∀L ≠ M

% % 

% ∪ % ∪ " ∪ %Q = 6

3 $ = 3 $ ∩ 6 = 3[ $ ∩  % ∪ % ∪ " ∪ %Q ] = 3[ $ ∩ % ∪  $ ∩ % ∪ " ∪  $ ∩ %Q ] = 3  $ ∩ % + 3 $ ∩ % + " + 3  $ ∩ %Q 3 $ = 3 $ _ % 3 % + 3  $ _ % 3 % + " 3  $ _ %Q 3 %Q 39

Probabilidad y variable aleatoria

Teorema de Bayes 6HD% % %Q XQDSDUWLFLyQGHOHVSDFLR6  WDOTXH3% M > SDUD M = Q\VHD $ FXDOTXLHUVXFHVRFRQ3$ > HQWRQFHV SDUDFXDOTXLHU%L 

3%L_$ =

3$_%L 3%L Q

¦ 3$_%

M



3% M

M =

Probabilidad y variable aleatoria

40

Ejemplo (Bayes) 0

0

0

'

'

'

SK

SK

SK

$/0$&e1 (OSRUFHQWDMHGHSLH]DVGHIHFWXRVDVIDEULFDGDVSRUWUHVPiTXLQDV HV\/DSULPHUDIDEULFDSLH]DVSRUKRUD\ODV RWUDV GRV  SLH]DV SRU KRUD 7RGDV ODV SLH]DV IDEULFDGDV VH OOHYDQ D XQ DOPDFpQ $O ILQDO GHO GtD VH WRPD XQD SLH]D GHO DOPDFpQ \ HV GHIHFWXRVD ¢FXiO HV OD SUREDELOLGDG GH TXH SURFHGDGH0  " 41

Probabilidad y variable aleatoria

30  _ ' =

3 ' _ 0  30  3 ' _ 0  30  + 3 ' _ 0  30  + 3 ' _ 0  30  =

30  _ ' =

3 ' _ 0  30  3 ' _ 0  30  + 3 ' _ 0  30  + 3 ' _ 0  30  =

30  _ ' =

 ×  =   ×  +  ×  +  × 

 ×  =   ×  +  ×  +  × 

3' _ 0  30  3 ' _ 0  30  + 3 ' _ 0  30  + 3 ' _ 0  30  =

 ×  =   ×  +  ×  +  × 

30  _ ' + 30  _ ' + 30  _ ' =  Probabilidad y variable aleatoria

42

6LXQDSHUVRQDHVSRUWDGRUDGHOYLUXV$XQDQiOLVLVGHVDQJUH ORGHWHFWDHOGHODVYHFHV6LQHPEDUJRHOWHVW WDPELpQ SURSRUFLRQD ³IDOVRV SRVLWLYRV´ LQGLFDQGR OD SUHVHQFLD GHO YLUXV HQ HO  GH SHUVRQDV VDQDV  6L VyOR  GH FDGD  SHUVRQDVWLHQHQHOYLUXV¢FXiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHXQD SHUVRQD WHQJD HO YLUXV UHDOPHQWH VL HO DQiOLVLV KD GDGR SRVLWLYR"

9 = 7HQHUHO9LUXV 6 = (ODQiOLVLVHVSRVLWLYR 39 ∩ 6 3  6 _ 9 39 = 3 9 _ 6 = 3 6 3 6 _ 9 3 9 + 3 6 _ 9 3 9  ×  = =   ×  +  ×  43

Probabilidad y variable aleatoria

Ejemplo Virus (Aplicado a 1.000.000 personas)

NEGATIVO POSITIVO Total

SANOS 965.150 29.850 995.000

ENFERMOS 50 4.950 5.000

Total 965.200 34.800 1.000.000

(QWUHORV TXHKDQGDGRSRVLWLYRVyOR  WLHQHQHOYLUXV 39_6   

Probabilidad y variable aleatoria

44

2. 2 Variable aleatoria

Experimento Aleatorio

EL término “experimento aleatorio” se utiliza en la teoría de la probabilidad para referirse a un proceso cuyo resultado no es conocido de antemano con certeza. “Suma de valores en el lanzamiento de 2 dados.” Probabilidad y variable aleatoria

46

Variable Aleatoria 8QDYDULDEOHDOHDWRULD HVXQDIXQFLyQTXHDVLJQDXQQ~PHUR UHDODFDGDXQRGHORVUHVXOWDGRVGHXQH[SHULPHQWRDOHDWRULR Lanzamiento de 2 monedas X(s) ≡Número de CARAS s X(s) CC→ 2 CX → 1 XC → 1 XX → 0 47

Probabilidad y variable aleatoria

Variable Aleatoria Discreta Cuando los valores que toma una variable aleatoria son finitos o infinitos numerables se dice que es discreta. •

Resultado obtenido al lanzar un dado {1,2,3,4,5,6}

•

Número de veces que hay que lanzar una moneda hasta obtener una CARA {1,2,3,4, ...}

Probabilidad y variable aleatoria

48

Distribución de probabilidad Sea { x1 , x2 , ..., xn } los valores que puede tomar la variable aleatoria X. Se denomina distribución de probabilidad de la variable aleatoria a P( X=xi ) que cumple: • P ( X = xi ) ≥ 0 • Σi=1 P ( X = xi ) = 1. 1ž GH&DUDVDOODQ]DUPRQHGDV

x P(X=x) 0 → 1/4 1 → 1/2 2 → 1/4 49

Probabilidad y variable aleatoria

Distribución de probabilidad p(X) 1/2

1/4

0

1

2

1ž GH&DUDVDOODQ]DUPRQHGDV Probabilidad y variable aleatoria

3 x

50

Lanzamiento de un dado [

3  ; = [

 

   

 

   

 

   

P (X = x)

1/6

1



3



5

 x

51

Probabilidad y variable aleatoria

Función de distribución /DIXQFLyQGHGLVWULEXFLyQ);[ GHXQDYDULDEOHDOHDWRULD ; VHGHILQHSDUDWRGRQ~PHURUHDO[FRPR );[  3;;≤ [  (MHPSOR ; 1~PHURGHFDUDVDOODQ]DUPRQHGDV x FX ( x ) (-∞,0) 0 [0,1) 1/4 [1,2) 3/4 [2,∞) 1

F(x) 1 3/4 1/2 1/4 0

1

2

3 x

Probabilidad y variable aleatoria

52

1 3/4

)XQFLyQGH 'LVWULEXFLyQ

1/2 1/4 0

1

2

3 x

1/2

'LVWULEXFLyQ SXQWXDOGH SUREDELOLGDG

1/4

0

1

2

3 x

53

Probabilidad y variable aleatoria

Lanzamiento de un dado F(x)

1

1



3



5



x

p(x)

1/6

1



3

Probabilidad y variable aleatoria



5



[

3  ; = [

 

   

 

   

 

   

x

54

Una función F(x) es una función de distribución si y sólo si cumple las siguientes condiciones:

D

OLP )  [ =  \

OLP )  [ = 

[ → −∞

[ → +∞

E )[ HVXQDIXQFLyQQRGHFUHFLHQWH F )[ HVFRQWLQXDSRUODGHUHFKD  ∀K >  OLP )  [ + K = )  [  K →

55

Probabilidad y variable aleatoria

Variable aleatoria continua Una variable aleatoria X es continua si su función de distribución FX ( x ) es continua. F(x)

[

1





3/4 1/2 1/4



0

0,5

1

1,5 x

);[  [[∈ > Probabilidad y variable aleatoria

56

Función de densidad La función de densidad de probabilidad fX(x) de una variable aleatoria continua X es la función que verifica [

);  [ = ³ I ; W GW  ∀ [ −∞

Si FX(x) es derivable, además G );  [ = I ;  [  G[ 57

Probabilidad y variable aleatoria

F(x)

)XQFLyQGHGLVWULEXFLyQ

1 3/4

);[  [[∈>

1/2 1/4 0

0,5

1

1,5 x

f(x)

)XQFLyQGHGHQVLGDG I;[  [∈>@

 0

0,5

1

1,5 x

Probabilidad y variable aleatoria

58

Una función fX (x) es una función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria X si y sólo si cumple:

D I ;  [ ≥ SDUDWRGR [ ∞

E³ I ;  [ G[ =  ∞

ÈUHD 

59

Probabilidad y variable aleatoria

Esperanza Se define esperanza o media de una variable aleatoria discreta X y se representa Q por E[X] al valor (> ; @ = ¦ [L 3  ; = [L  L =

(MHPSOR/DQ]DPLHQWRGHXQGDGR       (> ; @ = × +  × +  × +  × +  × +  × =       

&HQWURGHOD GLVWULEXFLyQGH SUREDELOLGDG

1/6

1

3

5 x

 Probabilidad y variable aleatoria

60

Esperanza Se define esperanza o media de una variable aleatoria continua X con función de densidad fX(x) y se representa por E[X] al valor ∞

(> ; @ =

³[ I

;

 [ G[

−∞

(MHPSOR 'LVWULEXFL yQ XQLIRUPH I ; [ =   ≤ [ ≤  

[ ( > ; @ = ³ [ ×  G[ =  



= 

  

&HQWURGHOD GLVWULEXFLyQGH SUREDELOLGDG

1

0

0,5

1

1,5 x

Probabilidad y variable aleatoria

61

Propiedades de E[X] • Transformaciones lineales Y = a X+b (a y b constantes)

(>D; + E@ = D(> ; @ + E

Probabilidad y variable aleatoria

62

Varianza Sea X una variable aleatoria con media µ, se denomina varianza a Var ( X ) = E[ ( X - µ )2 ]. • Variable aleatoria discreta 9DU> ; @ =

∞

¦ [ − µ



3 ; = [ 

[ = −∞

• Variable aleatoria continua ∞

9DU> ; @ = ³  [ − µ  I ;  [ G[ −∞

63

Probabilidad y variable aleatoria

Propiedades de la varianza  9DU  ; = (> ; − µ  @ = (> ;  @ − µ  

 9DU D; + E = D 9DU  ;

Probabilidad y variable aleatoria

64

Ejemplos /DQ]DPLHQWRGHXQGDGR       9DU> ; @ =  × +   × +  × +   × +  × +   × −          =   'LVWULEXFLyQXQLIRUPH 

9DU>;@ = ³ [  × G[ −      

[   = − =      65

Probabilidad y variable aleatoria

Desigualdad de Tchebychev $UHD ≥  −

µ  N σ

µ

 N

µ N σ

3DUDFXDOTXLHUYDULDEOHDOHDWRULD

µ = (> ; @

σ  = 9DU> ; @

 3 ; − µ ≤ Nσ >  −   N Probabilidad y variable aleatoria

66

Momentos de una V.A.

µ = (> ; @ = µ

0RPHQWRVUHVSHFWRDODPHGLD α = (> ; − µ @ = 

µ  = (> ;  @

α  = (> ; − µ  @ = σ 





µ S = (> ; S @

α S = (> ; − µ S @

0RPHQWRVUHVSHFWRDO2ULJHQ

Probabilidad y variable aleatoria

67

Transformaciones no lineales z=h(y) 'HVDUUROORGH7D\ORUSDUD ] = K \ HQµ = (>\@  ] ≈ K µ + K  µ  \ − µ + K  µ  \ − µ   /DPHGLD\YDULDQ]DVGH]VRQDSUR[  (>]@ ≈ Kȝ +  K

ȝ 9DU\  9DU> ] @ ≈ [K  µ ] 9DU> \ @ Probabilidad y variable aleatoria

68

Transformaciones 'DGDXQDYDULDEOHDOHDWRULD ; FRQIXQFLyQ GHGHQVLGDG I ;  [ YDPRVDYHUFRPRVHREWLHQH ODIXQFLyQGHGHQVLGDG I<  \ GHODYDULDEOH DOHDWRULD< GHILQLGDFRPR