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Prof. Anneliesse SánchezDepartamento de MatemáticasUniversidad de Puerto Rico en AreciboEn este módulo se definirá lo que es factorización. Se darán ejemplos de cómo se factorizan enteros y la relación que hay entre factorizar enteros y factorizar polinomios.Consta de 6 capítulos en los que se discutirán los diferentes casos de factorización de polinomios.

Sitio: Cursos en Línea de la UPRA Curso: Mate0006-10-II Desarrollo de Destrezas Básicas en Matemáticas Libro: Factorización Imprimido por: Caroline Rodriguez Fecha: Tuesday, 25 de October de 2011, 06:28

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1 Introducción 2 Factorización por factor común 2.1 Factorización por factor común - caso especial 3 Factorización por agrupación 4 Factorización de trinomios cuadráticos 4.1 Método de tanteo 4.2 Método sin tanteo 5 Factorización de diferencias de cuadrados

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Definición La factorización es el proceso inverso a la multiplicación. Cuando factorizamos, deshacemos lo que hicimos al multiplicar. Si multiplicamos (4)(2) obtenemos 8. Podemos factorizar 8 como (4)(2). Factorizar entonces es escribir como un producto de dos o más términos. Note que al multiplicar, siempre obtenemos un único resultado. Sin embargo, al factorizar podemos tener muchos resultados diferentes. Varias formas de factorizar Al factorizar podemos tener muchos resultados diferentes. Esto lo que significa es que puede haber varias formas de factorizar un número. Ejemplo: 24 = (8)(3) 24 = (4)(2)(3) 24 = (12)(2) 24 = (6)(2)(2) 24 = (4)(2)(3) 24 = (6)(4) 24 = (2)(2)(2)(3) Esta última es la factorización completa, lo que significa que no se puede seguir factorizando, como las demás. El teorema fundamental de la aritmética El teorema fundamental de la aritmética establece que: Cualquier número entero tiene una única factorización de números primos, excepto por el orden. Esto lo que quiere decir es que cuando usted factoriza un número, puede empezar de la manera que guste, como se le ocurra, pero si continúa factorizando hasta que todos sean primos y por lo tanto no se puedan seguir factorizando, va a obtener siempre el mismo resultado, no importa cómo comenzó. Ejemplo: Si vamos a factorizar 100, podemos hacerlo de la siguiente manera: 100 = 25 x 4 =5x5x2x2 Ya no podemos factorizar más pues todos los factores son números primos. Sin embargo, quizás otra persona empieza diferente: 100 =20 x 5

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=5x4x5 =5x2x2x5 Ya no podemos continuar factorizando pues todos los factores son números primos. Fíjese que la única diferencia entre una forma y la otra es el orden de los factores. Y sabemos que el orden de los factores no altera el producto.

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Factor común Cuando vamos a factorizar un polinomio, debemos ver si tiene un factor común en todos los términos. Ejemplo: 3b2 – 5bc + 6b En este caso vemos que b es factor de los tres términos. Por lo tanto, b es un factor común. Al factorizar tenemos: b(3b – 5c +6) Note que si multiplica, obtiene la expresión original. Ejemplo: Halle el factor común en cada polinomio y luego factorice: 7xy – 14xy2 + 21x2y En este caso, examinando visualmente los tres términos de la expresión podemos notar que hay un factor común de 7xy. Al factorizar, lo que hacemos es escribir el factor común multiplicado por el factor restante (al factorizar). El factor restante será la división entre el polinomio original y el factor común. En este caso, tenemos: 7xy(1 - 2y + 3x) Recuerde que puede verificar el resultado multiplicando. Ejemplo 2: Factorice completamente: 22pq + 33qr Una inspección visual nos indica rápidamente que 11q es el factor común de los dos términos de esa expresión. Factorizamos 11q y tenemos: 11q(2p + 3r) Recuerde que puede revisar multiplicando. Expresión como factor común En ocasiones el factor común se presenta como una expresión. Ejemplo: 3x(a-b) - 5(a-b)

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En ese ejemplo hay dos términos y en cada término está (a-b) como factor común. Si factorizamos (a-b) tendremos (a-b) multiplicado por lo que quede al sacar ese factor de cada término. (a-b)(3x-5) Ejemplo 2: Factorice completamente 12xy(x+5) - 15x2y(x+5) + 3xy2(x+5) La expresión anterior tiene tres términos y cada uno de los términos tiene como factor común 3, x, y, (x+5). Por lo tanto el factor común es 3xy(x+5). Al factorizar, tenemos: 3xy(x+5)(4-5x+y)

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En ocasiones tenemos dos factores que se parecen aunque en realidad no son iguales. Ejemplo: 2x(a-b) - 5(b-a) En este caso NO podemos factorizar un factor común, porque en realidad no lo hay. Aunque a-b y b-a se parecen mucho, en realidad no son iguales. Factores que se parecen pero no son iguales Veamos: Si sustituimos algunos valores en a y b obtenemos lo siguiente: Si a = 5 y b = 8 Entonces a - b = 5 - 8 = -3 Mientras que b - a = 8 - 5 = 3 Tomando otros valores: Si a = -4 y b = 3, Entonces a - b = -4 - 3 = -7 mientras que b - a = 3 - (-4) = 3 + 4 = 7 ¿Observas algo? Posiblemente notaste que a - b y b - a son opuestos uno del otro. Esto ocurre siempre. Pequeño ajuste Con esto en mente, podemos cambiar el orden de los términos si le cambiamos el signo, esto es, b - a = -(a - b). En este caso, el ejercicio que teníamos originalmente: 2x(a - b) - 5(b - a) podemos reescribirlo como 2x(a - b) - -5(a - b) o lo que es lo mismo 2x(a - b) + 5(a - b) En la expresión 2x(a - b) + 5(a - b) SÍ hay un factor común en ambos términos. Ahora lo podemos factorizar: (a - b)(2x + 5) Ejemplo: Suponga que tenemos la siguiente expresión: 5(2x - 9) + 3x(9 - 2x) En ese caso, como 2x - 9 no es igual a 9 - 2x, tenemos que hacer el pequeño ajuste.

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Recordamos que 9 - 2x = -(2x - 9) Por lo tanto, cambiamos el factor 9 - 2x por su opuesto, cambiando el signo afuera, y tenemos: 5(2x - 9) - 3x(2x - 9) y ahora SÍ podemos factorizar. (2x - 9)(5 - 3x)

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Cuando tenemos varias parejas de términos, 4 o 6 por ejemplo, que no tienen todos un factor en común, podemos tratar de factorizar por agrupación. Este método consiste en agrupar en parejas los términos y sacar lo que tengan de factores en común cada uno. Por ejemplo: 5a + 5b + xa + xb En ese caso, no hay un factor común en todos los términos, pero observamos que hay un factor común en los primeros dos y otro factor común en los otros dos. Los factorizamos y tenemos: 5(a+b) + x(a+b) Ahora observe que tiene 2 factores en lugar de 4 como al principio. Note que en esos dos factores hay un factor común, que es (a+b). Factorícelo. (a+b)(5+x) Veamos otro ejemplo: Factorice: 6ax + 15a + 2xy + 5y No hay factores en común en los cuatro términos. Trataremos de agruparlos y factorizar en pares. 6ax + 15a + 2xy + 5y 3a(2x+5) + y(2x+5) Ahora vemos que hay un factor en común que es (2x+5). Lo factorizamos y tenemos: (2x+5)(3a+y) También puede ver el vídeo siguiente: Vea el vídeo de Factorización por agrupación en la sección de vídeos. Debes hacer la práctica 3-1 (P3-1)

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Los trinomios cuadráticos, comúnmente factorizan como el producto de dos binomios. Vamos a separar en dos casos: - cuando el coeficiente principal es 1 (a=1) - cuando el coeficiente principal es 1 (a≠1) Factorización de trinomios a = 1 Si el coeficiente principal es 1, es fácil notar que los dos binomios comenzarán con la raíz cuadrada del término cuadrático. Esto es: Si tiene los dos binomios comenzarán con x. Los segundos términos de los binomios, multiplicados deben dar 6 y sumados (porque tendrán el mismo signo, deben dar 5. De modo que no será dificil ver que la factorización será: (x+2)(x+3) En otro ejemplo, si tenemos que factorizar tenemos que encontrar dos números que multiplicados den -3 y restados den -2. Estos son: -3 y 1. Por lo tanto los binomios serán: (x-3)(x+1) Factorización de trinomios a ≠ 1 Nos referimos a la factorización de trinomios cuadráticos con coeficiente principal diferente de 1. Recuerde que el coeficiente principal es el coeficiente del término cuadrático. Hay dos métodos para factorizar los trinomios cuadráticos con a ≠ 1. Típicamente se enseña el método de tanteo. Recuerde que cuando tenemos un trinomio cuadrático, queremos tratar de factorizarlo como el producto de dos binomios, aunque sabemos que a veces los polinomios no factorizan. Método de tanteo El método de tanteo consiste en hacer una lista de todas las posibles combinaciones de factores tanto para el coeficiente principal (a) como para el coeficiente constante (c). Luego, se va tratando una por una cada una de las posibilidades, revisando que la suma o resta de los productos internos y externos cuadren con el coeficiente del término lineal. Veamos un ejemplo: 3x2+7x-20 En este caso, como queremos factorizarlo (si se puede) como el producto de dos binomios, debemos abrir dos paréntesis, para los dos binomios. (

) (

)

Sabemos que en los primeros términos de los binomios, además del coeficiente tendremos x. (

x

) (

x

)

Ahora hacemos las listas. Por un lado tenemos la lista de factores de 3, {1,3} y por otro lado tenemos la lista de factores de 20, {1,2,4,5,10,20}. Con esas listas escribimos todas las posibles combinaciones de factores.

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(

x 1

) ( 1 20 2 10 4 5

x 3

) 20 1 10 2 5 4

Ahora, hay que tratar uno por uno cada una de las posibilidades hasta encontrar la que cuadra. Trataremos unas cuantas: En el caso del 3, no hay otros factores por lo que sabemos que tiene que ser ( 1 x

) ( 3 x

)

Tratemos con el primero de la segunda lista de combinaciones: ( 1x

1) ( 3x

20 )

Como el 20 es negativo, sabemos que los signos serán diferentes pero aún no sabemos dónde van. Al multiplicar x(20) = 20x Al multiplicar 1(3x) = 3x Como son semejantes, se van a combinar. Como van a tener signos diferentes, se van a restar. Pero 20x y 3x restados no nos da 7x (el término lineal). De modo que ya sabemos que esa posibilidad no es. Trataremos otra. ( 1x

20 ) ( 3 x

1)

Al multiplicar x(1) = x Al multiplicar 20(3x) = 60x 60x y x restados no nos da 7x (el término lineal). De modo que ya sabemos que esa posibilidad tampoco es. Seguimos tratando...

( 1x

2) ( 3x

10 )

Al multiplicar x(10) = 10x Al multiplicar 2(3x) = 6x 10x y 6x restados no nos da 7x (el término lineal). De modo que sabemos que esa posibilidad tampoco es.

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Con el próximo... Seguimos tratando...

( 1x

10 ) ( 3 x

2)

Al multiplicar x(2) = 2x Al multiplicar 10(3x) = 30x 30x y 2x restados no nos da 7x. De modo que sabemos que esa posibilidad tampoco es. No hay que desesperarse, sólo faltan dos por tratar...

( 1 x

4 ) ( 3 x

5 )

Al multiplicar x(5) = 5x Al multiplicar 4(3x) = 12x 12x y 5x restados nos da 7x. !Bravo!! De modo que sabemos que esa es la combinación que buscábamos. Ahora solo falta colocar correctamente los signos. Para que dé 7x (que es positivo) necesitamos que el mayor (12x) sea positivo, y por tanto el 5x negativo. Esto es: 12x - 5x = 7x (lo que necesitamos). Para que el 12x dé positivo, hay que poner el + delante del 4, y el menos delante del 5 para que dé -5x. (x + 4)(3x - 5) Esta es la factorización. Si piensan que este método es largo y tedioso, no se equivocan. En ocasiones hay pocas combinaciones pero en otras hay muchísimas. Si desean, pueden ver el siguiente vídeo donde se muestra el proceso. Es mejor que verlo escrito. Verán otros ejemplos. Dura aproximadamente 8 minutos. Si desean conocer el otro método, deben ver la próxima sección. Método sin tanteo Sin embargo hay otro método, que rara vez se enseña. Es un método sin tanteo, que le dice rápidamente si el polinomio factoriza o no. Comenzaremos definiendo a, b y c como los coeficientes de los términos cuadrático, lineal y constante respectivamente. Esto es, a será el coeficiente del término cuadrático, b, el coeficiente del término lineal y c el coeficiente del término constante. Para saber si el polinomio factoriza, lo que debemos hacer el multiplicar a por c y examinar si existen dos números que multiplicados den ac y que sumados (o restados) del b. Si va a ser suma o resta,

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dependerá del signo de c: Si es positivo serán sumados y si es negativo serán restados. Si encuentra estos números, está garantizado que el polinomio factoriza. Si no los puede encontrar, no. Veamos un ejemplo: 2x2 - 4x + 5 Multiplicamos(2)(5) = 10 Tenemos que encontrar dos números que multiplicados den 10 y que sumados (observe el signo entre 4x y 5) den 4. Las posibilidades son: 1 x 10 sumados dan 11 2 x 5 sumados dan 7 Como no hay más posibilidades, sabemos que no hay números que multiplicados den 10 y sumados den 4 por lo que concluimos que el polinomio no factoriza.

Además, en la sección de vídeos, puede ver varios vídeos donde se explica el proceso de factorizar.

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El método de tanteo consiste en hacer una lista de todas las posibles combinaciones de factores tanto para el coeficiente principal (a) como para el coeficiente constante (c). Luego, se va tratando una por una cada una de las posibilidades, revisando que la suma o resta de los productos internos y externos cuadren con el coeficiente del término lineal. Veamos un ejemplo: 3x2+7x-20 En este caso, como queremos factorizarlo (si se puede) como el producto de dos binomios, debemos abrir dos paréntesis, para los dos binomios. (

) (

)

Sabemos que en los primeros términos de los binomios, además del coeficiente tendremos x. (

x

) (

x

)

Ahora hacemos las listas. Por un lado tenemos la lista de factores de 3, {1,3} y por otro lado tenemos la lista de factores de 20, {1,2,4,5,10,20}. Con esas listas escribimos todas las posibles combinaciones de factores.

(

x 1

) ( 1 20 2 10 4 5

x 3

) 20 1 10 2 5 4

Ahora, hay que tratar uno por uno cada una de las posibilidades hasta encontrar la que cuadra. Trataremos unas cuantas: En el caso del 3, no hay otros factores por lo que sabeos que tiene que ser ( 1 x

) ( 3 x

)

Tratemos con el primero de la segunda lista de combinaciones: ( 1x

1) ( 3x

20 )

Como el 20 es negativo, sabemos que los signos serán diferentes pero aún no sabemos dónde van. Al multiplicar x(20) = 20x Al multiplicar 1(3x) = 3x

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Como son semejantes, se van a combinar. Como van a tener signos diferentes, se van a restar. Pero 20x y 3x restados no nos da 7x (el término lineal). De modo que ya sabemos que esa posibilidad no es. Trataremos otra. ( 1x

20 ) ( 3 x

1)

Al multiplicar x(1) = x Al multiplicar 20(3x) = 60x 60x y x restados no nos da 7x (el término lineal). De modo que ya sabemos que esa posibilidad tampoco es. Seguimos tratando...

( 1x

2) ( 3x

10 )

Al multiplicar x(10) = 10x Al multiplicar 2(3x) = 6x 10x y 6x restados no nos da 7x (el término lineal). De modo que sabemos que esa posibilidad tampoco es. Con el próximo... Seguimos tratando...

( 1x

10 ) ( 3 x

2)

Al multiplicar x(2) = 2x Al multiplicar 10(3x) = 30x 30x y 2x restados no nos da 7x. De modo que sabemos que esa posibilidad tampoco es. No hay que desesperarse, solo faltan dos por tratar...

( 1 x

4 ) ( 3 x

5 )

Al multiplicar x(5) = 5x Al multiplicar 4(3x) = 12x 12x y 5x restados nos da 7x. !Bravo!! De modo que sabemos que esa es la combinación que buscábamos. Ahora solo falta colocar correctamente los signos. Para que dé 7x (que es positivo) necesitamos que el mayor (12x) sea

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positivo, y por tanto el 5x negativo. Esto es: 12x - 5x = 7x (lo que necesitamos). Para que el 12x dé positivo, hay que poner el + delante del 4, y el menos delante del 5 para que dé -5x. (x + 4)(3x - 5) Esta es la factorización. Si piensan que este método es largo y tedioso, no se equivocan. En ocasiones hay pocas combinaciones pero en otras hay muchísimas. Si desean, pueden ver el siguiente vídeo donde se muestra el proceso. Es mejor que verlo escrito. Verán otros ejemplos. Dura aproximadamente 8 minutos. Si desean conocer el otro método, deben ver la próxima sección.

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El método sin tanteo es bien sencillo. Solo tiene que multiplicar el primer y tercer coeficiente (ac) y buscar dos números que multiplicados den ac y sumados o restados (depende del segundo signo si es suma o resta) den el coeficiente del término lineal (b). Si esos números no existen, entonces el polinomio no factoriza. Si existen, factoriza. Garantizado!! Si encuentra los números, los debe usar para reescribir el segundo término, el término lineal. De modo que reescribiré el polinimio para que tenga 4 términos, y no 3, donde la suma o la resta de los dos términos lineales le den lo mismo que el término lineal original. !Cuidado con los signos!! Búsquelos apropiadamente. Por último, factorice por agrupación. Repase este método si no lo reucerda. Veamos el mismo ejercicio anterior. 3x2+7x-20 Multiplique 3(20) = 60 Busque dos números que multiplicados den 60 y restados (observe el signo de resta al final) den +7. Haga una lista: 1 x 60 restados dan 59 2 x 30 restados dan 28 3 x 20 restados dan 17 4 x 15 restados dan 11 5 x 12 restados dan 7 ¡Esos son! Use el 5 y el 12, con los signos apropiados para reescribir el 7. 3x2- 5x + 12x - 20 (pudo haber escrito el 12x antes que el -5x, sin problemas) Ahora factorice por agrupación: x(3x-5) + 4(3x-5) (3x-5)(x+4) Veamos otro ejemplo: 20x2-27x+9 Hay que buscar dos números que multiplicados den (20)(9) = 180 y sumados den -27.

1 2

180 90

sumados dan... 181 92

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3 4 5 6 9 10 12

60 45 36 30 20 18 15

63 49 41 36 29 28 27

Los números son 12 y 15. Evidentemente tendrán que ser los dos negativos para que se sumen y de -27. Reescribamos el polinomio. 20x2-12x - 15x + 9 Y ahora, factorizamos por agrupación. 4x(5x-3) - 3(5x-3) Note que el 3 dentro del segundo binomio tiene que ser negativo para que -3(-3) de igual a +9 Finalizando, factorizamos el factor común 5x-3 y tenemos: (5x-3)(4x-3)

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En matemáticas, diferencia es sinónimo de resta. Por esto cuando hablamos de Diferencia de cuadrados, a lo que nos referimos es a dos expresiones cuadradas restadas. Ejemplos: x2 - y2 4x2 - 25 9 - w2 Aprender a factorizar diferencias de cuadrados es muy sencillo. Lo importante y fundamental es reconocer los cuadrados que se están restando. Cómo surgen las diferencias de cuadrados Recordemos que cuando multiplicamos dos binomios, obtenemos cuatro términos y en ocasiones algunos de estos se combinan por ser semejantes y finalmente tenemos menos términos. Unos de estos casos resultaba en dos términos porque los términos que se combinaban daban cero. Ejemplo: Al multiplicar (x - 3)(x + 3) tenemos: x2 + 3x - 3x - 9 lo que resulta, al combinar los términos semejantes en: x2 - 9, que es una diferencia de cuadrados. Resulta entonces que podemos observar que siempre que multipliquemos dos binomios que sean prácticamente iguales excepto por el signo de uno de sus términos, tendremos una diferencia de cuadrados. Recordemos además que la factorización es el proceso inverso a la multiplicación por lo que si vamos a factorizar una diferencia de cuadrados, sabemos que factoriza como el producto de dos binomios casi iguales, excepto por el signo de uno de sus términos. Y los términos de los binomios serán las raíces cuadradas de los términos en la diferencia de cuadrados. Ejemplos: 4w2 - 9 = (2w-3)(2w+3) ¡verifíquelo multiplicando! 25y2 - 81x2 = (5y+9x)(5y-9x) El orden en que coloque el - y el + no importa. y4 - 25 = (y2-5)(y2+5) Seguir factorizando ... hasta el final Si tenemos el siguiente binomio para factorizar: 3x2 - 12

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claramente vemos que NO se trata de una diferencia de cuadrados pues 3 no es un cuadrado perfecto aunque x2 si lo es. Además, 12 tampoco es un cuadrado perfecto. En este caso vemos sin embargo, que hay un factor común en cada término. Al factorizarlo tenemos: 3(x2 - 4) Ahora, podemos preciar que uno de los factores que obtuvimos es un cuadrado perfecto. Lo que significa que tenemos que seguir factorizando. 3(x-2)(x+2) En otro ejemplo, suponga que tenemos: y4 - 16 Notamos que se trata de una diferencia de cuadrados por lo que factorizamos: (y2-4)(y2+4) Si observamos bien, podemos notar que uno de los factores es una diferencia de cuadrados. Tenemos que seguir factorizando. (y-2)(y+2)(y2+4) El último factor, se conoce como una suma de cuadrados. Veamos si se puede factorizar y cómo. Sumas de cuadrados Tratemos de factorizar una suma de cuadrados como x2 + 4 Sabemos que no puede ser (x+2)(x-2) porque así es como se factoriza la diferencia de cuadrados. De modo que trataremos con otros signos. (x+2)(x+2) tampoco puede ser porque no se eliminarían los términos semejantes. Es decir, obtendríamos al multiplicar, x2 + 4x + 4 (x-2)(x-2) tampoco puede ser porque no se eliminarían los términos semejantes. Es decir, obtendríamos al multiplicar, x2 - 4x + 4 La única opción que nos queda es que no sean 2 y 2 sino 4 y 1 los segundos términos de los binomios: (x-4)(x+1) = x2 - 4x + x - 4 = x2 - 3x - 4 (x+4)(x-1) = x2 + 4x - x - 4 = x2 + 3x - 4 que claramente tampoco nos dan el binomio original. No nos quedan más que concluir que la suma de cuadrados no factoriza.

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Pueden tratar con otras sumas de cuadrados haciendo un análisis similar y llegarán a esa conclusión. En resumen: LA SUMA DE CUADRADOS NO FACTORIZA

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