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Prof. Anneliesse SánchezDepartamento de MatemáticasUniversidad de Puerto Rico en AreciboEn esta sección discutiremos Expresiones algebraicas y polinomios. Discutiremos los siguientes tópicos: Introducción a expresiones algebraicas Definición de término algebraico coeficientes evaluación de expresiones algebraicas polinomios coeficiente principal grado evaluación de polinomios suma, resta de polinomios multiplicación de polinomios división de polinomio entre monomio Si tiene dudas sobre este material, recuerde que puede preguntar en el foro de dudas de este tema.

Sitio: Cursos en Línea de la UPRA Curso: Mate0006-10-II Desarrollo de Destrezas Básicas en Matemáticas Libro: Expresiones algebraicas y polinomios Imprimido por: Caroline Rodriguez Fecha: Tuesday, 25 de October de 2011, 06:42

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1 Expresiones algebraicas 1.1 variables vs. constantes 1.2 Términos 1.3 Evaluación de expresiones algebraicas 2 Polinomios 2.1 Grado, coeficientes y coeficiente principal 2.2 Evaluación de polinomios 3 Operaciones con polinomios 3.1 Suma y resta de polinomios 3.2 Multiplicación de polinomios 3.3 División de polinomios

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En esta sección discutiremos Expresiones algebraicas. Discutiremos los siguientes tópicos: Introducción a expresiones algebraicas Definición de término algebraico coeficientes evaluación de expresiones algebraicas Definición y ejemplos Una expresión algebraica es un conjunto de números, variables, signos de operación y signos de agrupación que tengan sentido. Ejemplos de expresiones algebraicas: 3x + 4y 3w + 1 – x – z ½ bh 21 + h 2x + 1 2 r2 8 y Ejemplos de lo que NO son expresiones algebraicas son: 3+(-5*-) xy-/ No son expresiones algebraicas porque no tienen sentido en el lenguaje algebraico.

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En una expresión algebraica hay constantes y variables. Las constantes son símbolos que representan una cantidad que no cambia. Por lo general son números reales. Pueden también estar representados por letras en algunos casos, como π o e. Las variables son símbolos que representan una cantidad que cambia. Por lo general se representan con letras del alfabeto. En la expresión 5x + 4y el 5 y el 4 son constantes mientras que la x y la y son variables. En la expresión 7x3 - 5x2 + 8x + 4, las constantes son: 7, -5, 8 y 4, mientras que la x es la variable. La expresión 8, es una expresión constante que no tiene variable.

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Un término es una expresión algebraica que envuelve variables y/o constantes asociadas entre sí por las operaciones de multiplicación y/o división. Ejemplos:

Cantidad de términos Para saber la cantidad de términos que tiene una expresión, debemos observar si puede separarse como la suma o resta de dos o mas expresiones. En ese caso, tiene la cantidad de términos igual a la cantidad de expresiones en las que se puede separar. Si no se puede separar, entonces tiene solo 1 término. Ejemplos: 3x + 7y2 – 5 se puede separar en (3x) + (7y2) – (5) por lo que tiene 3 términos. Sin embargo 3(x+y) no se puede separar en la suma o resta de otras expresiones, a menos que hagamos otras operaciones antes. Es por eso que decimos que 3(x+y) tiene un solo término. En el caso de resta de (

decimos que hay 2 términos porque puede separarse solo como la ) - (2).

Tipos de términos A los términos que incluyen variables se les conoce como términos variables. A los términos que no incluyen variables, o que sólo incluyen constantes se les conoce como términos constantes. En la expresión 4xy - 5x + 6, los términos variables son: 4xy, -5x mientras que el término constante es: 6 Términos semejantes Dos términos son semejantes sí y solo si tienen las mismas variables elevadas éstas a los mismos

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exponentes. Ejemplos: 3xy es semejante a 5xy -6x2 es semejante a 2x2 4xy NO es semejante a 4xz pues tienen variables diferentes 7y2 NO es semejante a 2y3 pues aunque tienen la misma variable, ésta tiene diferentes exponentes. Coeficiente En un término, el coeficiente es la constante (numérica) por la que está multiplicada la o las variables. Ejemplos: El coeficiente de -3x2y es -3 El coeficiente de 5y3 es 5 El coeficiente de -2s es -2 El coeficiente de xyz es 1 El coeficiente de -z2 es -1

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Para evaluar un expresión algebraica, debemos sustituir el valor de la variable en la variable que tengamos en la expresión. Si la variable aparece varias veces, hay que sustituir en cada vez que aparezca. Si hay dos o más variables, hay que sustituir cada variable por el valor que nos den de cada variable. Ejemplo: Si tenemos la siguiente expresión: 2xy + 3x2y – 5xy2 y se nos pide que la evaluemos en x=7 & y = -3 lo que debemos hacer es sustituir esos valores en las variables (cada vez que aparezcan). En este caso, 2(7)(-3) + 3(7)2(-3) – 5(7)(-3)2 Ahora lo que falta para terminar es efectuar las operaciones, siguiendo el orden de operaciones establecido. -42 + 3(49)(-3) – (35)(9) -42 + 147(-3) – 315 -42 – 441 – 315 -798 Recordatorio de orden de operaciones Las operaciones se deben efectuar siguiendo el siguiente orden de prioridad: - paréntesis - exponentes y radicales - multiplicaciones y divisiones - sumas y restas Ejemplo 2: Evalúe el mismo ejemplo anterior pero con otros valores: 2xy + 3x2y – 5xy2 si x = -1; y = 4 2(-1)(4) + 3(-1)2(4) – 5(-1)(4)2 = -8 + 12 + 80 = 84 El orden en que sustituyas las variables importa!! Ejemplo 3: Evalúe la misma expresión pero con los valores x=4; y=-1 2(4)(-1) + 3(4)2(-1) – 5(4)(-1)2 -8 + -48 – 20 = -76 Ejemplo 4:

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Evalúe -3(2x+5)2 + 4x - 2 si x = -2 -3(2(-2)+5)2 + 4(-2) - 2 -3(-4+5)2 + -8 - 2 -3(1)2 -10 -3(1) - 10 -3 - 10 -13 Debes hacer la práctica 1-1 (P1-1).

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Definición Un polinomio es una expresión algebraica que cumple con las siguientes condiciones: - No hay variables en ningún denominador (parte de abajo en una fracción) - No hay variables en ningún radicando (parte de adentro de un radical) - Todos los exponentes de las variables son cardinales (esto es: enteros positivos o cero). Ejemplos de polinomios P(x) = 5x2 + 3x - 1 Q(z) = -4z5 -3 La P(x) es una notación que significa que P es el nombre del polinomio y que la variable en la que está definida el polinomio es x. En el caso de Q(z), Q es el nombre del polinomio y la variable es z. Los siguientes NO son polinomios: 5x-1 + 4x

En el primer caso, por tener la variable un exponente negativo y en el segundo caso porque hay una variable en el denominador. Tipos de polinomios Los polinomios reciben su nombre de acuerdo a la cantidad de términos que tienen: si tienen un término se llaman monomios si tienen dos términos se llaman binomios si tienen tres términos se llaman trinomios de cuatro en adelante no reciben un nombre en particular, pero tengan los términos que tengan, son polinomios siempre que cumplan con los requisitos mencionados antes. Ejemplos de monomios: 4xy 7x5 4(2x+7)3 Ejemplos de binomios: 2x + 5

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7x4 - 4x3 Ejemplo de trinomios: 2xy - 5z + 6x 2(x+1)2 - 4x - 2

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Grado de un polinomio El grado de un polinomio se determina de forma diferente si es un polinomio en una sola variable o en más de una variable. (i) Si el polinomio es en una sola variable el grado será la potencia mayor de la variable con coeficiente distinto de cero. (ii) Si el polinomio tiene más de una variable el grado se determina de la siguiente forma: para cada término se suman las potencias de la variable y el grado será el total mayor. Ejemplo: El grado de

es 4 porque es el exponente mayor.

El grado de 5x - 2 es 1 porque es el exponente mayor de la variable. Coeficientes El coeficiente de un término es la constante que acompaña a la(s) variable(s). Coeficiente principal de un polinomio En un polinomio en una variable, el coeficiente principal es el coeficiente del término con la potencia mayor de la variable. Ejemplo: El coeficiente principal de 6, el coeficiente de ese término es -5.

es -5 porque como el exponente mayor de la variable es

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Recuerde que un polinomio es una expresión algebraica que cumple con unas condiciones. Si ya sabe evaluar expresiones algebraicas, entonces ya sabe evaluar polinomios. Lo único realmente nuevo, es la notación. Notación Cuando decimos que P(x) = 3x2 + 5, lo que decimos es que P es el nombre del polinomio y que contiene la variable x. Si le piden que halle P(2), le están pidiendo que evalúe el polinomio P(x) para x=2. P(2) = 3(2)2 + 5 = 3(4) + 5 = 12 + 5 = 17 Ejemplo: Q( ) = 4y3 - 5y2 + 4y - 2 Halle Q(-1) Q(-1) = 4(-1)3 - 5(-1)2 + 4(-1) - 2 = 4(-1) - 5(1) + -4 - 2 = -4 - 5 - 4 - 2 = -9 - 4 - 2 = -13 - 2 = -15 Debes hacer la práctica 1-2 (P1-2).

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Las operaciones con polinomios que discutiremos son las básicas: suma de polinomios resta de polinomios multiplicación de polinomios multiplicación de monomio x monomio multiplicación de monomio x binomio multiplicación de binomio x binomio multiplicación de otros polinomios división de polinomio entre monomio Con respecto a la división, sólo tocaremos lo más básico: división de un polinomio entre un monomio. La división de un polinomio entre otro polinomio se realiza con otro procedimiento que NO discutiremos en este curso. Se presenta el procedimiento así como ejemplos de cada caso.

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Para sumar polinomios sencillamente se suman los términos semejantes. De igual manera, para restar polinomios se restan los términos semejantes. Se debe tener cuidado al restar pues la resta aplica a todos los términos del polinomio que se esté restando. Lo primero que se debe hacer, tanto en suma como en resta, es quitar los paréntesis. En el caso de suma, los paréntesis se pueden quitar sin hacer más nada. En el caso de resta, como la resta es la suma del opuesto, al quitar los paréntesis se cambian los signos de todos los términos del polinomio que se esté restando. Veamos ejemplos de suma y de resta. Al sumar (2x + 5) + (3x + 2) tenemos: 2x + 5 + 3x + 2 (quitamos los paréntesis) 2x + 3x + 5 + 2 (ahora reorganizamos los términos) 5x + 7 (finalmente combinamos términos semejantes) Al sumar (4x2 + 5x - 2) + (3x2 - x + 8) tenemos: 4x2 + 5x - 2 + 3x2 - x + 8 (quitamos los paréntesis) 4x2 + 3x2 + 5x - x -2 + 8 (ahora reorganizamos los términos) 7x2 + 4x + 6 (finalmente combinamos términos semejantes) Al restar: (4x2 -5x + 4) - (2x2 - 7x - 5) lo primero que tenemos que hacer es sacar los polinomios de los paréntesis, aplicando el opuesto al segundo polinomio. Tenemos entonces: 4x2 -5x + 4 - 2x2 + 7x + 5 Ahora reorganizamos y combinamos los términos semejantes: 4x2 - 2x2 -5x + 7x + 4 + 5 2x2 + 2x + 9 Otro ejemplo: Al restar: (4x3 + 5x - 2) - (7x2 + 3x - 2) tenemos primeramente que sacar los polinomios de los paréntesis, para poder combinar los que sean semejantes. 4x3 + 5x - 2 - 7x2 - 3x + 2 Ahora reagrupamos, para combinar los términos semejantes 4x3 - 7x2 + 5x - 3x - 2 + 2 4x3 - 7x2 + 2x *********OJO: Los términos que no se combinan se quedan igual.

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Monomio x monomio La multiplicación de monomios se realiza de la siguiente manera: Se multiplican los coeficientes numéricos y si existen coeficientes literales en común en los términos o monomios a multiplicar, el producto de ellos es el mismo con un exponente que es la suma de los exponentes de los términos. Ejemplos: 1)

= 4(2)

=

2) -2y3(3y4z5) = -2(3)y(3+4)z5 = -6y7z5 3) 5x6y6 (-4x4y) = 5(-4)x(6+4)y(6+1) = -20x10y7 4) -2a4b3c6(3ab2c5) = -2(3) a(4+1)b(3+2)c(6+5) = -6a5b5c11 Monomio x binomio Recordamos la ley distributiva de la multiplicación: a(b+c) = ab + ac Ejemplos: x(2x3 + 45) = x(2x3) + 45x = 2x4 + 45x 2a2 (-3b3 – 12) = 2a2 (-3b3) – 2a2(12) = -6a2b3 – 24a2 Monomio x otros polinomios Siempre se multiplica el monomio con cada término del polinomio. Binomio x binomio Para multiplicar dos binomios, aplicamos la propiedad distributiva dos veces: (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd Esto equivale a multiplicar cada término de un binomio por cada término del otro binomio. Al final, si hubiera términos semejantes, se combinan. Ejemplos: 1) (2x + 3)(4x2 – 5) = 8x3 + 12x2 – 10x – 15 2) (2y – 5)(4y – 6) = 8y2 -20y -12y + 30

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= 8y2 – 32y + 30 3) (x – 5)(2 – x) = 2x – 10 – x2 + 5x = -x2 + 7x – 10 Binomio al cuadrado Elevar un binomio al cuadrado es lo mismo que multiplicar por el mismo binomio 2 veces. Un ejemplo de esto es: (3a2+5b)2 = (3a2+5b) (3a2+5b) Como explicamos anteriormente hay que multiplicar cada término con cada término. En ese caso tenemos: (3a2)(3a2) +(3a2)(5b) + (5b)(3a2) + (5b)(5b) que equivale a multiplicar primero x primero, luego primero x segundo, luego segundo x primero y finalmente segundo x segundo. En este caso, daría finalmente: 9a4 + 15a2b + 15a2b + 25b2 que simplificando los términos semejantes nos da a: 9a4 + 30a2b + 25b2 El problema es que muchos estudiantes elevan cada término al cuadrado y eso no es correcto. Hay que recordar que elevar al cuadrado es lo mismo que multiplicar por el mismo factor dos veces. Conclusión Cuando se multiplican polinomios, se multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio. Luego se simplifica el resultado combinando términos semejantes.

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Sólo discutiremos el caso de polinomio entre monomio. La división de polinomio entre otro polinomio de más términos es un proceso muy distinto que no discutiremos aquí. Cuando dividimos un polinomio entre un monomio, aplica la propiedad distributiva también.

Es decir, se divide cada término del polinomio entre el monomio. De igual forma, tenemos:

Recuerde que x÷y es lo mismo que Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 1: (

Ejemplo 2: (

)÷(

)

)÷(

)

= = Ejemplo 3: (

)÷(

)

Fíjese que ya no se puede hacer más nada porque ya dividimos y los términos que quedan no son semejantes por lo que no se puede simplificar más. Debes hacer la práctica 1-3 (P1-3).

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