2.5 ESPACIO DE FUNCIONES Y TEORIA DE STURM-LIOUVILLE (2.5_AL_T_071, Revisión: 15-10-06)

2.5.1 ESPACIO DE FUNCIONES. (a) Funciones como vectores. Consideremos las funciones continuas (a trozos) en el intervalo cerrado entre a y b, i.e.: f (t ) ∈ c º [ a, b ] ≡ c [ a, b ] Nota: Por definición, en un intervalo cerrado existe un máximo, mientras que para un intervalo abierto puede no haber un máximo pero si hay una cota superior mínima (e.g.: t 2 ∈ c [ 0,1) ).

Al igual que en las secciones anteriores, podemos analizar si este tipo de funciones pueden formar un espacio vectorial. Veamos por ejemplo las funciones:

y = 3sen t

x = t2 , Nótese que: x, y ∈ c º [ 0,1] , x + y ∈ c º [ 0,1]

Se puede demostrar también que la suma de dos funciones continuas es una función continua (lo contrario no es cierto: la suma continua no implica que los sumandos sean continuos). Además, podemos ver que: -

La suma es conmutativa y asociativa. Existe la función 0(t ) ≡ 0 t 2 + 0 = t 2

Existe la inversa aditiva de cada función t 2 + ( −t 2 ) = 0 Una función continua multiplicada por un escalar sigue siendo continua; las reglas asociadas a la multiplicación por escalares aplican. ⇒ las funciones f (t ) ∈ c º [ a, b ] forman un espacio vectorial.

(b) Producto interno para el espacio. Para las n-adas podemos definir productos escalares de la forma: n

( x, y ) = ∑ K jξ j η j , K j > 0 1

Para funciones, podemos utilizar una definición similar:

⎛b−a⎞ ∑1 ⎜⎝ n ⎟⎠ξ jη j → ∫ x(t ) y(t )dt a b

n

b−a n a

b

116

b

Definimos entonces el producto escalar: ( x, y ) ≡ ∫ x(t ) y (t )dt a

Nótese que este producto debe cumplir con las propiedades del producto interno, i.e.:

( )

i ) x, y = ( y , x ) ii ) (α x + β y, z ) = α ( x, z ) + β ( y, z ) iii ) ( x, x ) > 0, ( x, x ) = 0 ⇔ x = 0 Podemos entonces también definir la norma (longitud) de la función (vector) de acuerdo a:

( x, x )

x ≡

Ejemplo 1: Si a = 0, b = 1, x = 4t − 3, 1

x =

∫ ( 4t − 3)

dt =

2

0

1

y =

∫ t dt = 4

0

7 3

1 5

1

( x, y ) = ∫ ( 4t − 3)t 2 dt = t − t 4

0

∴

y = t 2 , entonces:

3

1

=0

0

3 ( 4t − 3) y 5t 2 son funciones ortonormales (ON). 7

(c) Dimensiones del espacio c º [ a, b ] . Consideremos las funciones 1, ( t − a ) , ( t − a ) ,..., ( t − a ) ∈ c o [ a, b ] . Escribiendo ahora: n −1 α11 + α 2 ( t − a ) + ... + α n ( t − a ) = 0, en a ≤ t ≤ b , 2

n −1

se puede ver que si t = a ⇒ α1 = 0 . Si derivamos y sustituimos t = a ⇒ α 2 = 0 ; repitiendo esto podemos ver que ⇒ α1 = α 2 = ...α n = 0 .

{

∴ 1, t − a, ( t − a ) ,..., ( t − a ) 2

n −1

} es un conjunto de funciones LI.

Puesto que este proceso se puede repetir para cualquier n, podemos concluir que la dimensión de c o [ a, b ] es infinita. Sin embargo, como veremos a continuación, existen 117

algunos puntos límites, i.e., algunas funciones importantes quedan fuera de este espacio vectorial. (d) Puntos Límites. Consideremos la secuencia de Cauchy, dada por: ⎧0 ⎪ ⎪ xn (t ) = ⎨nt ⎪1 ⎪ ⎩

−1 ≤ t ≤ 0

0≤t ≤

xn(t) 1

1 n

1 ≤ t ≤1 n

-1

1/n

1

t

Vemos que xn (t ) ∈ c º [ −1,1] , pues la secuencia está compuesta por funciones continuas. Aparentemente, cuando n → ∞ esta secuencia converge a la función escalón H(t) o función de Heaviside, pero H (t ) ∉ c o [ −1,1] . Dentro del espacio vectorial definido, la secuencia es entonces divergente. Para que la secuencia de Cauchy sea convergente, se necesita que el espacio contenga todos sus puntos límites. Podemos pensar que el espacio c [ a, b ] tiene “agujeros” y si le añadimos vectores para “taparlos”, podemos tener entonces un espacio cerrado. El espacio que se obtiene al “tapar los agujeros” es el espacio cerrado de las funciones “cuadrado integrables” en el intervalo abierto (a, b), i.e., L2(a, b). Para pertenecer a este espacio, las funciones deben cumplir con: x(t ) ∈ L2 ( a, b ) si

b

∫ x(t )

2

dt < ∞

a

1 Ejemplo 2: x(t ) = t ∈ L2 (−1,1) , pero x(t ) = ∉ L2 (−1,1) pues t 2

1

1

∫t

2

dt = ∞

−1

El requisito del espacio L2(a, b) es entonces que la magnitud de la función (vector) sea finita. Este espacio es un espacio de Hilbert (i.e., espacio cerrado con producto interno y norma x = ( x, x) ). 2.5.2 ESPACIO L2(a, b): FUNCIONES BASE. Consideremos el intervalo (-1, 1) en el espacio de las funciones cuadrado integrables. Para hacer expansiones en un espacio con dimensión infinita, necesitamos bases ortogonales para no tener que invertir una matriz de dimensiones infinitas. Al igual que para vectores, podemos utilizar el proceso de Gram-Schmidt con las funciones 1, t, t2,...

Definimos la primera función: φ1 (t ) ≡ 1 Consideramos: φ2 (t ) = a + bt

118

Buscamos que (φ2 , φ1 ) = 0 = b= 1 obtenemos ⇒ φ2 (t ) = t .

1

∫ ( a + bt )1dt = 2a = 0 .

Por lo tanto, eligiendo arbitrariamente

−1

Construimos ahora la función φ3 = a1 + bt + ct 2 , y elegimos las constantes de tal manera que sea ortogonal a φ2 (t ) y φ1 (t ) : 1

(φ3 , φ1 ) = ∫ ( a1 + bt + ct 2 )1dt = 2a + −1 1

(φ3 , φ2 ) = ∫ ( a1 + bt + ct 2 )tdt = −1

2 c=0 3

2b =0⇒b=0 3

∴ b = 0 c = −3a , con a = 1 arbitrariamente. La función es entonces φ3 = 1 − 3t 2 . Con este proceso generamos una base OG; para obtener una base ON dividimos cada vector por su magnitud:

φ1 =

(φ1 , φ1 ) =

1

∫ 1 dt =

2 ⇒ ϕ1 =

2

−1

φ2 =

(φ2 , φ2 ) =

1

∫ t dt = 2

−1

φ3 =

(φ3 , φ3 ) =

1

2 3

⇒ ϕ2 =

∫ (1 − 3t ) dt =

−1

2 2

1 2 3 t 2

9 1 − 2t 3 + t 5 5

1− 6 t 2 + 9 t 4

1 −1

9⎞ 8 5 ⎛ = 2 ⎜1 − 2 + ⎟ = ⇒ ϕ3 = 1 − 3t 2 ) ( 5⎠ 5 8 ⎝

⎧⎪ 1 3 5 ⎪⎫ , t, 1 − 3t 2 ) ,...⎬ es una base ON, mientras que 1, t , ( −3t 2 ) ,... es Entonces, ⎨ ( 2 8 ⎪⎩ 2 ⎪⎭ una base OG. Nótese que tenemos una base para L2(-1, 1) que está en un subespacio de L2(-1, 1) ( c ∞ ( −1,1) ). Si definimos, por ejemplo, φ j (1) = 1 , entonces tenemos la base OG dada por: 3t 2 − 1 p0 (t ) = 1, p1 (t ) = t , p2 (t ) = ,... 2

{

}

que son los polinomios de Legendre; en este caso tenemos una ecuación recursiva para generarlos: ⎛ 2 j +1⎞ ⎛ j ⎞ p j +1 (t ) = ⎜ ⎟ tp j (t ) − ⎜ ⎟ p j −1 ( t ) ⎝ j +1 ⎠ ⎝ j +1⎠

Haciendo n = j + 1 obtenemos: 119

( j = 1, 2,...)

npn (t ) = ( 2n − 1) tpn −1 (t ) − ( n − 1) pn − 2 (t )

( n = 2,3,...)

1

2 ( n = 0,1, 2,...) 2 1 n + −1 Los polinomios de Legendre también son una base OG para L2(-1, 1). Con bases ON (o bases OG) podemos hacer expansiones de funciones. Consideremos por ejemplo la función x(t) expresada como una combinación de las funciones base ON: Nótese que:

∫p

2 n

(t )dt =

∞

x(t ) = ∑ α kϕ k 1

Para encontrar los coeficientes α k tomamos el producto interno: ⎛

∞

⎞

∞

⎝

1

⎠

1

( x, ϕ m ) = ⎜ ∑ α k ϕ k , ϕ m ⎟ = ∑ α k (ϕ k , ϕ m ) La suma infinita se colapsa pues (ϕ k , ϕ m ) = δ mk , debido a que la base es ON. ∞

∞

1

1

⇒ ∑ α k (ϕ k , ϕ m ) = ∑ α k δ mk = α m ∞

∴α m = ( x, ϕ m ) ⇒ x(t ) = ∑ ( x, ϕ k )ϕ k 1

Nótese que un conjunto infinito de funciones no implica necesariamente que tengamos una base, pues si a las bases que tenemos le quitamos un vector, de todas formas tenemos un número infinito de funciones, pero el conjunto ya no es base pues las otras funciones restantes (vectores) no nos dan la función eliminada.

2.5.3 EXPANSIÓN DE FUNCIONES. Para entender la mecánica de la expansión de funciones en términos de funciones base, podemos desarrollar el siguiente ejemplo.

1 3 5 t , ϕ3 = ,ϕ2 = 1 − 3t 2 ) ,... hagamos una ( 2 8 2 expansión de la función x(t ) = t en el intervalo [ −1,1] .

Ejemplo 3: Considerando la base ON: ϕ1 =

1

( x, ϕ1 ) = ∫ t −1

1 1 ⎛1 1⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ dt = ∫ −t ⎜ ⎜ + ⎟= ⎟ dt + ∫ t ⎜ ⎟ dt = 2 2⎠ 2 ⎝ 2 2⎠ 2 ⎝ 2⎠ −1 0 ⎝ 0

1

120

1

0 1 ⎞ 3⎛ 3 ⎛ 1 1⎞ 2 2 dt = ⎜ ∫ −t dt + ∫ t dt ⎟ = ⎜− + ⎟ = 0 2 ⎝ −1 2 ⎝ 3 3⎠ 0 ⎠ Función impar

3 ( x, ϕ 2 ) = ∫ t t 2 −1 Función par

5 5 5 1 3 1 5 5 =− ( x, ϕ3 ) = ∫ t (1 − 3t 2 ) dt = 2 ∫ t (1 − 3t 2 )dt = 2 ⎛⎜ − ⎞⎟ = − 8 80 8 ⎝ 2 4⎠ 2 8 32 −1 1

1

⎛ 3 ⎞ 1 1 5 5 + 0 ⎜⎜ t ⎟⎟ − 1 − 3t 2 ) + 0 + ... ( 32 8 2 2 ⎝ 2 ⎠ 1 5 t = − (1 − 3t 2 ) + ... 2 16 Consideremos las sumas parciales de la eigenexpansión, i.e.: t =

n 1 1 5 sn = ∑ ( x, ϕ k )ϕk son s1 = s2 = , s3 = − (1 − 3t 2 ) . 2 2 16 k =1

La comparación gráfica entre la función original (x(t)) y las diferentes sumas parciales se muestra en la siguiente figura. Nótese que a medida que se aumenta el número de términos en la eigen-expansión, las sumas parciales se asemejan más a la función. Otro detalle interesante es que el desarrollar la expansión en términos de los polinomios de Legendre arroja exactamente el mismo resultado. 1

x(t)

0.75

s1, s2

0.5 0.25 -1

s3

-0.5

0.5 -0.25 -0.5 -0.75 -1

Consideremos ahora la función: ⎧t , 0 < t 0 en el intervalo [ a, b ] ( f , g , ω son reales), el operador: L=

1 ⎧d ⎡ d⎤ ⎫ ⎨ ⎢ p( x) ⎥ + r ( x) ⎬ , dx ⎦ ω ( x ) ⎩ dx ⎣ ⎭

con condiciones de borde α y (a ) + β y′ ( a ) = 0, γ y (b) + δ y′ (b) = 0 , es auto-adjunto. El problema de eigenvalores asociado a este operador, i.e., Ly = λ y ⇒ Ly + λ y = 0 , o equivalentemente: Ly + λ y =

( py′ )′ + ry} + λ y = 0 , { ω 1

o bien, definido junto con las condiciones de borde como: ⎫⎪ ⎬ α y (a) + β y′(a) = 0, γ y (b) + δ y′(b) = 0 ⎪⎭

( py′ )′ + ry + λω y = 0

(*)

es un sistema de Sturm-Liouville. TEOREMA. Si p ( x ) y ω ( x ) son analíticas y positivas ( p, ω > 0 ) en x ∈ [ a, b ] con a y b finitas, entonces las eigenfunciones del sistema de Sturn-Liouville (*) están completas en el espacio L2 ( a, b ) . Notas 1) Completas significa que forman base. 2) Las funciones ∈ c 2 (a, b) y forman base para L2 ( a, b ) .

3) El teorema implica que se pueden hacer eigenexpansiones.

124

4) Varios casos especiales del sistema de Sturm-Liouville nos llevan a conjuntos completos (i.e. bases) para L2 ( a, b ) . Algunos de los ejemplos más comunes son las series trigonométricas de Fourier, series de Fourier-Bessel, series de FourierLegendre. Examinemos el sistema de Sturm-Liouville (S-L) para verificar que sea auto-adjunto: L=

1 ⎧d ⎛ d ⎞ ⎫ ⎨ ⎜ p ( x) ⎟ + r ( x) ⎬ , dx ⎠ ω ( x) ⎩ dx ⎝ ⎭ b

( Lf , g ) = ∫ a

1

ω

{

b

( f , g ) = ∫ f ( x)g ( x)ω ( x)dx , ω ( x ) > 0 a

}

b

b

( pf ′)′ + rf g ω dx = ∫ ( pf ′)′ g dx + ∫ rfgdx a

a

1

Integrando por partes (1) obtenemos: b

1. = ∫ ( pf ′ )′ gdx = pf ′g

b a

a

− ∫ pf ′g ′dx = pf ′g

b

b a

− pfg ′ ba + ∫ ( pg ′)′ fdx a

du = f ′dx, v = pg ′ u = f , dv = ( pg ′)′dx

du = ( pf ′)′dx, v = g u = pf ′, dv = g ′ dx b

( Lf , g ) = pf ′g

b a

− pfg ′ ba + ∫ f ( ( pg ′)′ + rg ) dx

( Lf , g ) = pf ′g

b a

− pfg ′ + ( f , Lg )

a

b a

Condiciones de borde: CF = pf ′g

b a

− pfg ′

b a

= p (b) [ f ′(b) g (b) − f (b) g ′(b) ] − p (a ) [ f ′(a ) g (a ) − f (a ) g ′(a ) ]

Para que el operador sea autoadjunto, necesitamos que CF = 0 . p(b) ≠ p(a) p(b) ≠ 0 p(a) ≠ 0 : Si

f ′(c) g (c) − f (c) g ′(c) = 0, c = {a, b} , CF = 0 f ′(c) g (c) = f (c) g ′(c)

Si

α c f (c) + β c f ′(c) = 0 ⇒

⇒ f ′(c) g (c) = −

f (c ) = −

βc f ′(c), α c ≠ 0 αc

βc f ′(c) g ′(c) ⇒ α c g (c) + β c g ′(c) = 0 αc

El operador es auto-adjunto para CF

α f (a) + β f ′(a) = 0 γ f (b) + δ f ′(b) = 0

Otras CF simplificadas si p (a) = p (b) , p(a) = 0 , p(b) = 0 .

125

Consideremos

Ejemplo 4. Consideremos el siguiente sistema de Sturm-Liouville: d2 , condiciones de frontera y (0) = y ( L) = 0 . Este es un operador auto-adjunto. dx 2 Este sistema puede escribirse también como: ( py′)′ + ry + λ wy = 0 , en este caso: p = w = 1, r = 0 ⇒ py′′ + λ wy = 0 . El sistema tiene la L=

forma: d2y + λ y = 0 ⇒ solucion: y = A sen λ x + β cos λ x dx 2

Aplicando las condiciones de frontera notamos que: y (0) = 0 → β = 0 ⇒ y ( x ) = A sen λ x . Evaluando la otra condición: Solución trivial y=0 ⎧A = 0 ⇒ ⎪ y ( L) = A sen λ L = 0 ⇒ ⎨o ⎪ ⎩ λ L = nπ n = 0,1, 2,.. Solución trivial. n = −1, −2, ⇒ misma solución. La ecuación característica del problema de eigenvalores es entonces:

λ L = nπ , n = 1, 2,... De aquí obtenemos: •

Eigenvalores: λ =

n 2π 2 L2

n = 1, 2,...

⎛ nπ x ⎞ Eigenvectores (eigenfunciones): en = sen ⎜ ⎟ n = 1, 2,... ⎝ L ⎠ Nótese que el operador es auto-adjunto y los eigenvalores son reales. Además:

•

nπ x ⎞ ⎛ mπ x ⎞ ( en , em ) = ∫ sen ⎜⎛ ⎟ sen ⎜ ⎟=0 L L ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 L

para n ≠ m , y las eigenfunciones son entonces ortogonales. Normalizando las funciones obtenemos: nπ x ⎞ L ⎟= ⎝ L ⎠ 2

( en , en ) = ∫ sen 2 ⎛⎜ L

0

⇒ en =

126

2 ⎛ nπ x ⎞ sen ⎜ ⎟ son funciones ON. L ⎝ L ⎠

p( x) ≡ 1 son analítica y positivas en [ 0,1] y tenemos un intervalo finito, de acuerdo al teorema las eigenfunciones están completas. Por lo tanto, las funciones obtenidas forman base para el espacio L2 (0, L) . (Nótese también que Puesto que ω ( x) ≡ 1,

⎛ πx⎞ ∞ ek = sen ⎜ k ⎟ ∈ c ( 0, L ) ). ⎝ L ⎠

Podemos entonces concluir que: ∞

∀x ∈ L2 (0, L), x = ∑ α k sen 1

n kπ x kπ x , y ademas: x − ∑ α k sen → 0, para n → ∞ L L 1

Consideremos por ejemplo una expansión de la función f ( x) = 1, 0 ≤ x ≤ L . ∞ ⎛ kπ x ⎞ f ( x) = ∑ α k sen ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠ k =1 ⎛ ⎛ ⎛ mπ k ⎞ ⎞ ⎛ ∞ ⎛ kπ x ⎞ ⎛ mπ x ⎞ ⎞ ∞ ⎛ kπ x ⎞ ⎛ mπ x ⎞ ⎞ f x = α ( ),sen sen ,sen ⎜ ⎟⎟ ⎜∑ k ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ = ∑ α k ⎜ sen ⎜ ⎟ ,sen ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎝ L ⎠⎠ ⎝ 1 ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠⎠ 1 ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎛ ⎛ mπ x ⎞ ⎛ mπ x ⎞ ⎞ ⎛ mπ x ⎞ = α m ⎜ sen ⎜ ⎟ ,sen ⎜ ⎟ ⎟ = α m sen ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠⎠ ⎝ L ⎠ ⎝

⎛ ⎛ mπ x ⎞ ⎞ ⎜ f ( x),sen ⎜ L ⎟ ⎟ ⎝ ⎠⎠ ⎝ = αm = ⎛ ⎛ mπ x ⎞ ⎛ mπ x ⎞ ⎞ ⎜ sen ⎜ L ⎟ ,sen ⎜ L ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝

2

⎛ mπ x ⎞ ⎟ dx L L ⎠ 2 ⎛ mπ x ⎞ = ∫ f ( x) sen ⎜ ⎟dx L L0 ⎝ L ⎠ 2

L

∫ f ( x) sen ⎜⎝ 0

Para la función que queremos representar los coeficientes son entonces:

αm =

2⎛ L 2 ⎛ mπ x ⎞ L ⎞ − cos ⎜ ( cos mπ − 1) ⎟ 0⎟=− ⎜ L ⎝ mπ mπ ⎝ L ⎠ ⎠

⎧ 4 ⎪ mπ , m = 1,3,5… ⎪ 2 αm = (1 − cos mπ ) = ⎨ mπ ⎪0, m = 2, 4,.. ⎪ ⎩ En términos de las eigenfunciones, la función queda expresada entonces como:

127

f ( x) =

⎛ ( 2n − 1) π x ⎞ 4 4 ⎛ kπ x ⎞ ∞ sen ⎜ sen ⎜ ⎟ ⎟=∑ L ⎝ L ⎠ 1 ( 2n − 1) π k =1,3,5 kπ ⎝ ⎠ ∞

∑

Al igual que en las representaciones anteriores, podemos hacer una comparación gráfica entre la eigenexpansión y la función original, i.e.: ∞

1= ∑ 1

⎛ ( 2n − 1) π x ⎞ 4 sen ⎜ ⎟ L ( 2n − 1) π ⎝ ⎠

s1

Nótese que f ( x) = 1 ni siquiera cumple con la CF y (0) = y ( L) = 0

s2 1

L Además, se cumple que:

N

1− ∑ 1

L

N

0

1

( 2n − 1) π x → 0 cuando N → ∞ 4 sen L ( 2n − 1) π

∫ 1− ∑

( 2n − 1) π x 2 dx → 0 4 sen L ( 2n − 1) π

N →∞

128