FORMULARIO TEORIA DE FILAS Proceso general de nacimiento y muerte. λ0 , λ1 , ..., λn−1 clientes por unidad de tiempo.

Tasas de entrada:

µ1 , µ2 , ..., µn clientes por unidad de tiempo.

Tasas de salida:

C0 = 1

Raz´on entrada/salida:

Cn =

λ0 ·λ1 ·...·λn−1 µ1 ·µ2 ·...·µn

Probabilidades de estado estable. Probabilidad de que no haya clientes en el sistema:
∞ −1  p0 = Ck k=0

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n=0,1,2...): pn = C n · p0 N´ umero medio de clientes. En fila:

∞

Lf =

k=s (k

− s) · pk

Ls = L − Lf =

En servicio:

s−1

L = Ls + Lf =

En el sistema:

k=0 k

∞

· pk + s ·

k=0

∞

k=s

pk

k · pk

Tiempos medios de espera. En fila:

Wf =

Ws =

En servicio:

Ls λe

W =

En el sistema: Donde λe =

Lf λe

∞

k=0 λk

· pk

L λe

es la tasa efectiva de llegada. 1

n = 1, 2, ...

Modelo de Filas de espera M/M/1 Tiempos entre llegadas y de servicio exponenciales, 1 servidor. ρ = (λ/µ)

Factor de utilizaci´on:

Probabilidades de estado estable. (ρ < 1) Probabilidad de que no haya clientes en el sistema: p0 = 1 − ρ Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n=0,1,2,...): pn = (1 − ρ) · ρn N´ umero medio de clientes. En fila:

ρ2 1−ρ

Lf =

Ls = ρ

En servicio:

L=

En el sistema:

ρ 1−ρ

Tiempos medios de espera. En fila:

Wf =

En servicio: En el sistema:

λ µ(µ−λ)

Ws =

1 µ

W =

1 µ−λ

2

Probabilidades de tiempos de espera. En fila:

P rob(wf = 0) = 1 − ρ P rob(wf > t) = ρ · exp[−(µ − λ) · t)]

En el sistema:

si t > 0

P rob(w > t) = exp[−(µ − λ) · t)]

si t > 0

Modelo M/M/s, s > 1 Tiempos entre llegadas y de servicio exponenciales, s servidores. Tasa de llegada:

λ clientes por unidad de tiempo.

Tasa de servicio:

µ clientes por unidad de tiempo.

Factor de utilizaci´on: (ρ < 1)

λ s·µ

ρ=

Probabilidades de estado estable. Probabilidad de que no haya clientes en el sistema: p0 =


s−1  (λ/µ)k k=0

k!

(λ/µ)s + s!(1 − ρ)

−1

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n=0,1,2,...):

pn =

⎧ ⎨ ⎩

(λ/µ)n p0 n!

si0 < n < s

(λ/µ)n p s!sn−s 0

sin ≥ s

3

N´ umero medio de clientes. (λ/µ)s ρ p s!(1−ρ)2 0

Lf =

En fila:

Ls = (λ/µ)

En servicio:

L = Lf + Ls

En el sistema:

Tiempos medios de espera. Wf =

En fila:

Lf λ

Ws =

En servicio: En el sistema:

1 µ

W = Wf + Ws

Probabilidades de tiempos de espera. En fila:

P rob(wf = 0) =

s−1

k=0 pk

P rob(wf > t) = exp[−(sµ − λ)t][1 − P rob(wf = 0)]

si t > 0

En el sistema: 

(λ/µ)s 1 − exp[−µ(s − 1 − (λ/µ))t] p0 P rob(w > t) = exp[−(µt)] 1 + s!(1 − ρ) s − 1 − (λ/µ)

4

si t > 0

Modelo (M/M/1):(G/Q/∞). Tiempos entre llegadas y de servicio exponenciales, 1 servidor, n´ umero m´ aximo de clientes en el sistema Q. ρ = λ/µ

Factor de utilizaci´on: Caso ρ = 1.

Probabilidades de estado estable. Probabilidad de que no haya clientes en el sistema: p0 =

1−ρ 1 − ρQ+1

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n=0,1,2,...):

pn =

1−ρ 1−ρQ+1

· ρn si 0 ≤ n ≤ Q si n > Q

0

N´ umero medio de clientes. En fila:

Lf = L − (1 − p0 ) =

1−QρQ−1 +(Q−1)ρQ 2 ρ (1−ρ)(1−ρQ+1 )

Ls = 1 − p0 = ρ(1 − pQ ) = ρ ·

En servicio:

L=

En el sistema:

ρ 1−ρ

−

(Q+1)ρQ+1 1−ρQ+1

=

1−ρQ 1−ρQ+1

1−(Q+1)ρQ +QρQ+1 ρ (1−ρ)(1−ρQ+1 )

Tiempos medios de espera. En fila:

Wf =

En servicio: En el sistema:

Lf λe

=

Ws =

Lf λ(1−pQ )

=

Lf µ(1−p0 )

1 µ

W =

L λe

=

L λ(1−pQ ) Q

1−ρ Donde λe = λ(1 − pQ ) = µ(1 − p0 ) = λ 1−ρ es la tasa efectiva de llegada. Q+1

5

Modelo (M/M/1):(G/Q/∞) Caso ρ = 1. Probabilidades de estado estable. Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n=0,1,2,...):

pn =

1 Q+1

si 0 ≤ n ≤ Q

0

si n > Q

N´ umero medio de clientes. En fila:

Q(Q−1) 2(Q+1)

Lf =

Ls =

En servicio:

Q Q+1

L=

En el sistema:

Q 2

Tiempos medios de espera. En fila:

Wf =

En servicio: En el sistema:

Lf λe

=

Ws =

Q−1 2λ 1 µ

W =

Tasa efectiva de llegada:

L λe

=

Q+1 2λ

λe =

λQ Q+1

6

Modelo (M/M/s):(G/Q/∞), 1 < s ≤ Q. Tiempos entre llegadas y de servicio exponenciales, s servidores, n´ umero m´ aximo de clientes en el sistema Q. ρ=

Factor de utilizaci´on:

λ sµ

Caso ρ = 1. Probabilidades de estado estable. Probabilidad de que no haya clientes en el sistema: p0 =


s  (λ/µ)k k!

k=0

Q (λ/µ)s  k−s ρ + s! k=s+1

−1 =


s−1  (λ/µ)k k=0

k!

1 − ρQ−s+1 + (λ/µ)s s!(1 − ρ)

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n=0,1,2,...):

pn =

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

(λ/µ)n n! (λ/µ)n s!sn−s

0

p0 si n = 1, 2, ..., s p0 si n = s + 1, s + 2, ...Q si n > Q

N´ umero medio de clientes. En fila:

(λ/µ)s ρ s!(1−ρ)2

Lf =

Ls =

En servicio:



1 − ρQ−s − (Q − s)ρQ−s (1 − ρ) p0

s−1

k=0 kpk



 + s 1 − s−1 k=0 pk

L = Lf + Ls

En el sistema:

Tiempos medios de espera. En fila:

Wf =

En servicio: En el sistema:

Lf λe

Ws =

1 µ

W =

Tasa efectiva de llegada:

L λe

λe = λ(1 − pQ ).

7

−1

Modelo (M/M/s):(G/Q/∞), 1 < s ≤ Q. Caso ρ = 1. Probabilidades de estado estable. Probabilidad de que no haya clientes en el sistema:
s−1  (λ/µ)k

p0 =

k=0

k!

−1 (λ/µ)s + (Q − s + 1) s!

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n=0,1,2,...):

pn =

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

(λ/µ)n p0 n! n (λ/µ) p s!sn−s 0

si n = 1, 2, ..., s

0

si n > Q

si n = s + 1, s + 2, ...Q

N´ umero medio de clientes. En fila:

(λ/µ)s (Q−s)(Q−s+1) p0 2s!

Lf =

Ls =

En servicio:

λe µ

= (λ/µ)(1 − p0 )

L = Lf + Ls = Lf + (λ/µ)(1 − p0 )

En el sistema:

Tiempos medios de espera. En fila:

Wf =

En servicio: En el sistema:

Lf λe

Ws =

1 µ

W =

Tasa efectiva de llegada:

L λe

λe = λ(1 − pQ )

8

Modelo (M/M/1):(G/∞/M). Tiempos entre llegadas y de servicio exponenciales, 1 servidor, capacidad de fila infinita, poblaci´ on de clientes finita tama˜ no M. ρ = (λ/µ)

Factor de utilizaci´on:

Probabilidades de estado estable. (ρ < 1) Probabilidad de que no haya clientes en el sistema:
M  −1  M  k!(λ/µ)k p0 = k k=0

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n=0,1,2,...): ⎧   ⎪ M ⎨ n!(λ/µ)n p0 si 0 ≤ n < M n pn = ⎪ ⎩ 0 si n > M N´ umero medio de clientes. En fila:

  Lf = M − 1 + µλ (1 − p0 ) Ls = 1 − p0

En servicio:

L = Lf + 1 − p0 = M − µλ (1 − p0 )

En el sistema:

Tiempos medios de espera. En fila:

Wf =

En servicio: En el sistema:

Lf λe

=

Ws =

Lf λ(M −L) Ls λe

W =

Tasa efectiva de llegada:

= L λe

=

Lf µ(1−p0 )

1−p0 λ(M −L)

=

=

L λ(M −L)

1 µ

=

L µ(1−p0 )

λe = λ(M − L) = µ(L − Lf ) = µ(1 − p0 )

9

Modelo (M/M/s):(G/∞/M), s > 1. Tiempos entre llegadas y de servicio exponenciales, s servidores, capacidad de fila infinita, poblaci´ on de clientes finita tama˜ no M. ρ = (λ/µ) (puede tomar cualquier valor).

Factor de utilizaci´on:

Probabilidades de estado estable. Probabilidad de que no haya clientes en el sistema: −1
s−1   M   M   k! M p0 = (λ/µ)k (λ/µ)k + k−s k k s!s k=0 k=s Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n=0,1,2,...):  ⎧  M ⎪ ⎪ (λ/µ)n p0 si 0 ≤ n < s ⎪ ⎪ n ⎪ ⎨   M pn = n! (λ/µ)n p0 si s ≤ n ≤ M ⎪ s!sn−s ⎪ n ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 si n > M N´ umero medio de clientes.  En fila:

Lf = L − s +

s−1

k=0 (s

 − k) 

En servicio: En el sistema:

Ls = L − Lf = s −

M k

s−1

k=0 (s



(λ/µ) 

− k)

    k s−1 M λ L= k + k=0 µ k

1 s!

k

p0

M k

M

k=s

  k λ µ

 k

Tiempos medios de espera. En fila:

Wf =

Lf λe

=

Lf λ(M −L)

En servicio:

Ws =

Ls λe

=

Ls λ(M −L)

En el sistema:

W =

Tasa efectiva de llegada:

L λe

=

=

1 µ

L λ(M −L)

λe = λ(M − L) = µ(L − Lf ). 10

M k

p0

 k!

sk−s

 k λ µ

p0

Modelo (M/M/∞). Autoservicio. Tiempos entre llegadas y de servicio exponenciales. Cada cliente es un servidor: El n´ umero de servidores es infinito. Probabilidades de estado estable. Probabilidad de que no haya clientes en el sistema: p0 = e−λ/µ Probabilidad de que haya n clientes en el sistema (n=0,1,2,...): pn =

e−λ/ µ · λ/µ n!

N´ umero medio de clientes. En fila:

Lf = 0

En servicio: En el sistema:

Ls = λ/µ L = λ/µ

Tiempos medios de espera. En fila:

Wf = 0

En servicio:

Ws =

En el sistema:

1 µ

W =

1 µ

11