Pr´acticas de Ecuaciones Diferenciales G. Aguilar, N. Boal, C. Clavero, F. Gaspar

3 Aplicaciones de las EDO’s lineales de segundo orden Objetivos: Analizar en profundidad, en un ejemplo simple, la importancia de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden en el modelado de fen´omenos f´ısicos. Observar e interpretar el comportamiento de la soluci´on en funci´on de los par´ametros que hay en el modelo. Supongamos que un resorte helicoidal de longitud natural (no estirado) L est´a suspendido verticalmente de un punto de apoyo y que se coloca una masa m en el extremo inferior. Esta masa estira el resorte s unidades adicionales hasta llegar al reposo. Despu´es se estira el resorte hacia abajo una distancia A y se libera con una velocidad inicial dada B. Para describir el movimiento resultante de la masa, denotamos con y(t) la posici´on de la masa en el instante t. La experiencia cotidiana sugiere que la masa oscilar´a hacia arriba y abajo con una velocidad y cantidad de desplazamiento que dependen de la masa, el desplazamiento inicial A, la rigidez del resorte, de que la masa sea liberada del reposo o impulsada de alguna manera y de la existencia de otras fuerzas que act´ uen sobre el sistema. ? An´ alisis del movimiento no amortiguado del resorte En realidad, el movimiento de la masa cesar´a finalmente debido a las fuerzas amortiguantes que siempre est´an presentes. Supondremos, en principio, que no hay fuerzas de amortiguaci´on y determinaremos cu´al ser´ıa el movimiento en estas circunstancias. Luego agregaremos amortiguamiento y determinaremos c´omo influye en el movimiento. Las fuerzas que act´ uan sobre la masa son: 1. La gravedad tira de la masa hacia abajo. La magnitud de la atracci´on debida a la gravedad es mg, donde g es la magnitud constante de la aceleraci´on debida a la gravedad y es aproximadamente 9,8 m/s2 . 2. Una fuerza restauradora debida al resorte. La ley de Hooke afirma que la magnitud de esta fuerza es proporcional a la distancia a la que se estira el resorte. La constante de proporcionalidad k recibe el nombre de m´ odulo de elasticidad del muelle y var´ıa de un resorte a otro. Cuanto m´as r´ıgido es el resorte tanto mayor es el valor de k. En equilibrio est´atico, la fuerza del resorte es −ks (menos porque el resorte tiende a tirar de la masa hacia arriba, en direcci´on negativa). Si la masa se estira 1

hacia abajo una distancia y de la posici´on de equilibrio est´atico, se ejerce una fuerza adicional −ky. Por lo tanto, la fuerza total debida al resorte es −ks − ky. La fuerza total debida a la gravedad y al resorte es mg −ks−ky. Cuando la masa se encuentra en posici´on de equilibrio est´atico, las fuerzas se equilibran, por tanto, cuando y = 0 tenemos mg − ks = 0. As´ı, la fuerza total que act´ ua sobre la masa es mg − mg − ky o simplemente −ky. Aplicamos la segunda ley de Newton; la aceleraci´on de la masa es y 00 (t) ya que y mide el desplazamiento de la masa desde la posici´on de equilibrio est´atico. Por lo tanto my 00 (t) = −ky(t). Adem´as, hay que especificar la posici´on de la masa cuando fue liberada (posici´on inicial) y su velocidad al tiempo de liberarla (velocidad inicial): y 0 (t0 ) = B.

y(t0 ) = A,

Ejercicio 1. Prueba que la soluci´on general de y 00 +

k y = 0, m

es y(t) = C1 cos(w0 t) + C2 sen(w0 t), con w0 = (k/m)1/2 . Supongamos que m = 1/2, k = 128. Consideramos los casos: a) La masa se desplaza de su posici´on de equilibrio hacia abajo 1/2 m y se deja libre. b) La masa se desplaza de su posici´on de equilibrio hacia abajo 1/2 m y se le aplica una velocidad hacia arriba de 6 m/seg. Escribe en ambos casos la soluci´on, analiza el tipo de movimiento, razona si el sistema tiende a recuperar la posici´on de equilibrio y representa la soluci´on. Para ello usa el fichero ejemplo.m (tu copia ejemplo1.m; este fichero es el que tendr´as que ir modificando en los ejercicios posteriores). Ejercicio 2. Prueba que en el caso particular k y = 0, m y(0) = A, y 0 (0) = 0, y 00 +

la soluci´on es y(t) = A cos(w0 t).

2

En este caso el periodo es T = 2π/w0 y la frecuencia 1/T = w0 /2π. Cuanto m´as r´ıgido es el muelle, tanto mayor es k, lo que da origen a una frecuencia mayor y a un periodo menor. La amplitud del desplazamiento es |y(t)| = A. En realidad, no esperar´ıamos que el resorte continuara oscilando una distancia igual a este desplazamiento inicial, pero en este modelo lo hace porque no aparecen los factores de amortiguamiento. Ejercicio 3. Si consideramos el mismo modelo pero suponemos ahora que el desplazamiento inicial es A y se aplica una velocidad B a la masa, el PVI es k y = 0, m y(0) = A, y 0 (0) = B. y 00 +

Prueba que la soluci´on es y(t) = A cos(w0 t) +

B sen(w0 t) w0

y que esta soluci´on se puede expresar en la forma equivalente: s B2 y(t) = A2 + 2 cos(w0 t + δ). w0 Nota. Desarrolla cos(w0 t + δ) y compara ambas expresiones. A esta u ´ltima f´ormula se la llama f´ ormula de ´ angulo de fase o arm´ onica de la soluci´on y muestra que, en ausencia de amortiguamiento, el movimiento es siempre oscilatorio, sin importar la velocidad y el desplazamiento iniciales. En este caso, decimos que el sistema experimenta movimiento libre no amortiguado. ? Movimiento amortiguado del resorte Ahora vamos a ampliar nuestro an´alisis para tener en cuenta el amortiguamiento, lo que nos lleva a obtener resultados mucho m´as interesantes y reales. El amortiguamiento se puede producir de muchas formas pero los experimentos han demostrado que las fuerzas de amortiguamiento son proporcionales a la velocidad de la masa y act´ uan en sentido contrario a la direcci´on de movimiento. Si esta constante de proporcionalidad es un n´ umero positivo c llamada constante de amortiguamiento, la fuerza de amortiguamiento tiene la magnitud cy 0 y la ecuaci´on de movimiento es my 00 = −ky − cy 0 , o bien y 00 +

c 0 k y + y = 0. m m 3

Las ra´ıces de su ecuaci´on caracter´ıstica son r=−

c 1 √ 2 c − 4km. ± 2m 2m

La soluci´on general para y, y en consecuencia el movimiento resultante, presentar´a grandes diferencias dependiendo de la naturaleza de estas ra´ıces que, a su vez, depende de los tama˜ nos relativos de la masa, la constante del resorte y la constante de amortiguamiento. Consideramos tres casos: 1.- Movimiento sobreamortiguado: c2 − 4km > 0. Ejercicio 4. Calcula la soluci´on general y prueba que l´ım y(t) = 0.

t→∞

Si c = 6, k = 5, m = 1 y en el instante inicial la masa es elevada cuatro unidades desde la posici´on de equilibrio y liberada hacia abajo con una velocidad de dos unidades por segundo, halla la soluci´on y repres´entala gr´aficamente. Observa como la masa se mantiene siempre arriba del punto de equilibrio. Como la velocidad y 0 (t) es decreciente, concluimos que el objeto se mueve hacia abajo a una velocidad decreciente, sin llegar nunca al estado de reposo en las condiciones del modelo y sin llegar al punto de equilibrio. 2.- Movimiento cr´ıticamente amortiguado: c2 − 4km = 0. Ejercicio 5. Calcula la soluci´on general y prueba de nuevo que l´ım y(t) = 0.

t→∞

Si c = 2, k = m = 1 y la masa es desplazada hacia arriba inicialmente hasta una posici´on cuatro unidades arriba de la posici´on de equilibrio y luego es empujada hacia abajo con una velocidad de cinco unidades por segundo, determina la posici´on y(t) de la masa en cada instante t > 0. Representa gr´aficamente la soluci´on e interpreta esta gr´afica. Demuestra que en este caso el objeto pasa por el punto de equilibrio exactamente una vez o nunca llega a ´el. 3.- Movimiento subamortiguado: c2 − 4km < 0. Ejercicio 6. Calcula la soluci´on general; de nuevo y(t) → 0 cuando t → ∞. Por lo tanto en todos los casos en los que hay amortiguamiento, el movimiento se va extinguiendo. Sin embargo, en este caso de subamortiguamiento el movimiento es oscilatorio, debido a los 4

t´erminos seno y coseno. Debido al factor exponencial el movimiento no es peri´odico. Si k = 2, c = m = 1 y la masa es desplazada hacia abajo desde un punto situado tres unidades arriba del punto de equilibrio con una velocidad inicial de dos unidades por segundo, determina la posici´on de la masa en cada instante, Repres´entala e interpreta la gr´afica. ? Oscilaciones forzadas Aunque este an´alisis del movimiento del resorte nos da alguna informaci´on interesante, ha pasado por alto el caso en que el movimiento es impulsado por alguna funci´on de fuerza, que consideraremos en este apartado. Consideramos el caso com´ un de una fuerza impulsora peri´odica f (t) = a cos(wt), actuando sobre la masa, donde a y w son constantes positivas. La ecuaci´on diferencial del desplazamiento es ahora c k a y 00 + y 0 + y = cos(wt), m m m donde k es la constante del resorte y c es la constante de amortiguamiento. Ejercicio 7. Utilizando el m´etodo de coeficientes indeterminados, halla √ √ la soluci´on general de la ecuaci´on general. Si c = 6, k = 5, m = 1, a = 6 5 y w = 5, halla la posici´on en cada instante de la masa si se libera del reposo en la posici´on inicial. Representa gr´aficamente la soluci´on. Observa que los t´erminos exponenciales decrecen muy r´apido, ejerciendo menor influencia en y(t) √ cuando t crece. Despu´es de alg´ un tiempo, la soluci´on tiende a comportarse m´as como √ sen( 5t), donde la masa se mueve hacia arriba y abajo con periodo aproximado 2π/ 5. Ahora toma c = 2, m = k = 1, w = 1 y a/m = 2. Si nuevamente y(0) = y 0 (0) = 0, halla la soluci´on del PVI, repres´entala gr´aficamente e interpreta esa gr´afica. √ √ Por u ´ltimo supongamos que k = 2, c = m = 1, w = 2 y a/m = 2 2 y que y(0) = y 0 (0) = 0. Halla la soluci´on del PVI, representarla gr´aficamente e interpreta la gr´afica. ? Resonancia El sistema f´ısico que hemos venido estudiando exhibir´a diversas propiedades interesantes con diferentes supuestos acerca de los valores de m, c, k y de la fuerza externa. En 5

ausencia de amortiguamiento, el sistema puede experimentar un fen´omeno llamado resonancia, que tiene una importancia pr´actica considerable y por ello ahora examinaremos ese concepto. Ejecuta tacoma y comprobar´as la relevancia del fen´omeno del que estamos hablando. Para comenzar supongamos que c = 0 y que la fuerza externa es de la forma acos(wt), de modo que la ecuaci´on diferencial para la funci´on desplazamiento es y 00 +

k a y= cos(wt). m m

La suposici´on de que c = 0 significa que el sistema no est´a amortiguado. Ejercicio 8. Prueba que la soluci´on general de esta ecuaci´on es a cos(wt), m(w02 − w2 )

y(t) = C1 cos(w0 t) + C2 sen(w0 t) +

si w0 6= w. Determina d y δ de forma que la soluci´on del problema anterior se escriba: y(t) = d cos(w0 t + δ) +

a cos(wt). − w2 )

m(w02

As´ı vemos que el movimiento es una suma de dos oscilaciones arm´onicas, la primera con frecuencia w0 /2π llamada frecuencia natural del sistema y la segunda con frecuencia w/2π llamada frecuencia de entrada. Al obtener esta soluci´on hemos supuesto que las frecuencias natural y de entrada del sistema son diferentes. Si estas frecuencias se escogen muy pr´oximas entre s´ı, la amplitud de a cos(wt), 2 m(w0 − w2 ) se hace mayor. Por lo tanto, un sistema sin amortiguamiento (o incluso con c muy cerca de cero) experimentar´a oscilaciones cada vez m´as grandes a medida que las frecuencias natural y de entrada tienden a igualarse. Ejercicio 9. Prueba que si w0 = w la soluci´on general de la ecuaci´on es y(t) = C1 cos(w0 t) + C2 sen(w0 t) +

a t sen(w0 t). 2mw0

En este caso, el factor de t en el t´ermino de la soluci´on particular hace que la amplitud aumente sin l´ımite a medida que aumenta t. Este fen´omeno se conoce como resonancia.

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Resuelve el PVI

y 00 (t) + 4 y(t) = cos 2t, y(0) = 0, y 0 (0) = 0.

Representa la soluci´on en los intervalos [0, 2π] y [0, 20π]. Observa qu´e ocurre si se produce un cambio peque˜ no en la funci´on f (t), tomando f (t) = cos(1,9 t). Representa la soluci´on en los intervalos [0, 2π] y [0, 20π]. Comenta los resultados. ? Ritmos Un segundo fen´omeno que estudiaremos es el de las pulsaciones. Suponemos que no hay amortiguamiento (c = 0) y consideramos la ecuaci´on diferencial y 00 + w02 y =

a cos(wt), m

con w 6= w0 . Hemos visto que la soluci´on general se puede escribir como y(t) = C1 cos(w0 t) + C2 sen(w0 t) +

a cos(wt). − w2 )

m(w02

Ejercicio 10. Prueba que si la masa se encuentra inicialmente en reposo y su velocidad inicial es cero, el problema de valor inicial correspondiente tiene como soluci´on y(t) =

2a 1 1 sen( (w + w)t) sen( (w0 − w)t). 0 m(w02 − w2 ) 2 2

La gr´afica de esta soluci´on es una onda que tiene una variaci´on peri´odica de amplitud dependiendo de los tama˜ nos relativos de w0 + w y w0 − w. El movimiento resultante se denomina pulsaci´ on y la variaci´on de amplitud con el tiempo recibe el nombre de modulaci´ on de la amplitud. Para observar una pulsaci´on en un caso espec´ıfico, representa la gr´afica de y(t) en el intervalo [0, 60] si w0 + w = 5, w0 − w = 0,5 y 2a/[m(w02 − w2 )] = 1 con m = 2.

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