MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Unidad 2: Matemática financiera

RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS BÁSICOS DEFINICIÓN DE LOGARITMO 1.- Obtener, sin calculadora, el valor de x en las siguientes expresiones: a) (5/3)x = 27/125; 1

b) 25x =

125

;

27/125= 33/53=(3/5)3=(5/3)-3 , por tanto x=-3

(5 2 ) x =

1 5

3

=

1 53 2

= 5 −3 2 , por tanto 2x=-3/2 y x=-3/4

c) 1000x = 0'01;

(10 ) =10-2 ; entonces 3x=-2,

d) logx 2187 = 7 ;

x7 = 2187; x7 =37 ; x=3

3 x

e) log1/243 (1/27) = x ;

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 243 ⎠

x

1 ⎛ 1 ⎞ = ; ⎜ 5⎟ 27 ⎝3 ⎠

x

=

x= -2/3

1 33

; 3 −5x = 3 −3 ; x=3/5

a0 =x ; x=1

f) logax=0;

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 2. ¿Cuáles de las siguientes igualdades son verdaderas?. log (M + N) = log M + log N FALSA log( M/N) = log M - log N

VERDADERA

log (M · N) = log M · log N

FALSA

log (M - N) = log M - log N

FALSA

log (M · N) = log M + log N VERDADERA

3. Si loga x = 0,2 ; loga y = 0,3 y loga z= 0,5, hallar el valor de las siguientes expresiones: a) log a (x 2 y 3 ) =2 loga x + 3 loga y= 2·0,2+3·0,3=1,3 b) log a (y z 2 ) = loga y+2 loga z=0,3+2·0,5=1,3

⎛ xy ⎞ c) loga ⎜ ⎟ = loga x+ loga y- loga z=0,2+0,3-0,5=0 ⎝ z ⎠ d) loga (5 xyz ) =(1/5)(loga x+ loga y+ loga z)=(1/5)(0,2+0,3+0,5)=0,2 z2 =(1/3)(2 loga z- loga x)=(1/3)(2·0,5-0,2)=(1/3)·0,8 =0,2666… x

e)

loga

f)

loga (x 2 ·

3

3

yz ) =2· loga x+(1/3)( loga y+ loga z)=2·0,2+(1/3)(0,3+0,5)=2/3

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4. Pasar a forma algebraica: log A = log x + log y – log 2

log A=log (xy/2)

A=xy/2

log B = 2 log x – 3 log y + 5 log z

log B = log (x2 z5/y3)

B= x2 z5/y3

log C = 2 log x – log y +3

log C =log x2 – log y + log 1000=log(1000 x2/y)

C=1000x2/y

log D = 1 – log x + 3 log z

log D = log 10- log x + log z3 5.

D=10z3/x

Si log a + log b = 0 ¿ Qué relación existe entre los números a y b?.

Log (a·b) = 0

a·b = 1

a y b son inversos.

PORCENTAJES. ÍNDICES DE VARIACIÓN. 6. Los índices de precios al consumo con base 2001 de un determinado país para los años 2001-05 son los siguientes: Años 2001 2002 2003 2004 2005 IPC 100 115 125 135 142 Calcular: a) Los índices de variación interanuales del IPC b) ¿Cuánto hubiera costado en el año 2001 un televisor que en 2005 costó 525€?

a) Los índices de variación interanuales se obtendrán sin más que dividir el IPC de un año por el del año anterior. Así: Entre 2001 y 2002: 115/100=1,15; por tanto el aumento porcentual es del 15% Entre 2002 y 2003: 125/115=1,0869. El aumento porcentual ha sido un 8,69% Entre 2003 y 2004: 135/125=1,08. El aumento porcentual ha sido un 8% Entre 2005 y 2004: 142/135=1,0518. El aumento porcentual ha sido un 5,18% b) Que el IPC de 2005 respecto al del 2001 sea de 142, quiere decir en ese tiempo la vida ha subido un 42%, o sea, que los precios del 2001 deben de multiplicarse por 1,42 para obtener los del 2005, por eso: 525=1,42· P2001

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y de aquí

P2001=525/1,42=369,72€

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INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO. T.A.E. 7.

¿A qué tanto por ciento de interés simple se habrá prestado un capital de 50.000 €, si al cabo de tres años tenemos 65.000 €?

Se ha conseguido un interés de 65000-50000 = 15000 euros. Entonces 8.

15000= 50000·R·3/100

de donde R =10 %

Un capital de 800 € se coloca al 4% de interés compuesto. Calcula el capital formado al cabo de tres años.

Sin más que aplicar la formula se tiene CF= 800(1+0,04)3= 899,89 euros 9.

¿A qué tanto por ciento de interés compuesto se prestó un capital de 12000 €, sabiendo que en dos años el capital prestado se ha convertido en 13230€?

Por la fórmula tenemos 13230=12000(1+r)2 . O sea 13230/12000=(1+r)2 ,, 1,1025 =(1+r)2 y sacando la raíz cuadrada de los dos miembros 1,05=1+r ,, r=0,05 ,, R=5% 10.

Al cabo de 3 años de haber depositado un capital a interés compuesto del 4% se obtiene un capital de 13.498,368 €. Calcula el capital inicial.

Sustituyendo los datos que nos dan en la fórmula del interés compuesto tenemos 13498,368 = C (1+0,04)3 . Y despejando C: C= 13498,368/1,12486 =12000 euros 11.

Calcula la T.A.E. que corresponde a un rédito nominal anual del 12% con pagos mensuales de intereses.

Un rédito nominal anual del 12% equivale a un rédito nominal del 1% mensual. Si ese interés lo acumulan mensualmente producirá en un año (1+0,01)12=1,126825, es decir, la T.A.E. es 12,68%

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PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 12.

13.

Escribe los cinco primeros términos de las progresiones geométricas cuyos términos generales son: a)

an = 2n

2; 4; 8; 16; 32; …

b)

an= (3/2)n

3/2; 9/4; 27/8; 81/16; 243/32; …

c)

an = 2( 3 )

n

Escribe el siguientes:

2 3 ; 6; 6 3 ; 18; 18 3 ;…

término

general

de

las

progresiones

geométricas

6, 18, 54, 162, ... ... 2 4 8 16 , , , , ... ... 3 9 27 81 2, 2 2 , 4, 4 2 , 8,... ...

a) 6·3n-1 =2·3·3n-1=2·3n b) (2/3)·(2/3)n-1 = (2/3)n

c) 2

14.

( 2)

n −1

=

n +1 2 2

Calcula el lugar que ocupa el número 1280 en una progresión geométrica cuyo primer término es 40 y la razón 2.

Según se nos dice debe cumplirse: 1280 = 40 2n-1 . Dividiendo por 40: 32= 2n-1 . Pero 32 = 25 , por tanto 5=n-1 y n=6. Así pues 1280 ocupa el sexto lugar en esa progresión. 15.

El segundo término de una progresión geométrica es 1/9 y el sexto 9. Calcular el primer término.

El segundo término es a1 r =1/9; El sexto termino es a1 r5 = 9 Dividiendo el sexto entre el segundo se tiene r4 = 81. O sea r= 3. Entonces el primer término, lo podemos deducir de la expresión del segundo a1 r =1/9 sin más que sustituir allí r por 3, lo que nos da a1 = 1/27. 16.

Halla la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica cuyo término general es 3.2n.

El primer término de esa progresión es a1 =3·21 = 6. claramente 2. Aplicando ahora la fórmula de la suma: S10 = 6(210-1)/(2-1) =6138.

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La razón es

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FONDOS. PLANES DE AHORRO. 17.

Queremos formar un capital de 50.000 € en 10 años al 5% de interés. Calcula la anualidad correspondiente.

Solamente tenemos que sustituir los datos que nos dan en la fórmula de las anualidades de capitalización: A =

18.

50000 · 0,05 1,05(1,0510 − 1)

= 3785,93 €

Mediante dos anualidades de 5.000 €, se forma un capital de 10.608 €. Calcula el tanto por ciento de aquellas anualidades.

En este caso, si se llama a 1+r= x, bastará con resolver la ecuación de segundo grado siguiente 5000 x2 + 5000 x = 10608 Lo que nos da x= 1,04. Por tanto, un 4%. PRESTAMOS 19.

¿Qué anualidad se pagará para extinguir una deuda de 24.000 € en 5 años con sus intereses compuestos al 5%?

Al igual que en el problema anterior. A = 20.

24000 · 0,05 ·1,055 1,055 − 1

= 5543,40 €

Calcula la anualidad que ha de pagarse durante 11 años para amortizar una deuda de 48000 € al 3,5% de interés.

Sin más que sustituir los datos en la fórmula de las anualidades de amortización se encuentra: 48000 · 0,035 ·1,03511 A = = 5332,41 € 1,03511 − 1

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