4.2 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace

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4.2 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace Sistemas de Ecuaciones Lineales Si se especifican los valores iniciales en sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes estos se convierten en un sistema que también puede resolverse , El procedimiento es similar al que ya que se ha empleado. De esta manera se utiliza la transformada de Laplace para convertir un sistema de ecuaciones con valor inicial en un sistema de ecuaciones algebraicas. Una vez resuelto el sistema de ecuaciones algebraicas para la transformada de Laplace de las variables dependientes, se utilizan las tablas de transformadas inversas de Laplace para obtener una solución explícita. Las ventajas de la transformada de Laplace incluyen tener automáticamente satisfechas las condiciones iniciales y evitar la necesidad de hallar soluciones particulares. El procedimiento se ilustra con los siguientes ejemplos. En los siguientes problemas aplique la transformada de Laplace para resolver el sistema respectivo de ecuaciones diferenciales lineales.

Ejemplo 4.2.1 Resolver el sistema de ecuaciones formado por

x´(t ) − 2 y (t ) = 4t

(1)

−4 x(t ) + 2 y (t ) + y´(t ) = −4t − 2

(2)

Bajo condiciones iniciales x(0) = 4, y (0) = -5 . [11]

Calculando la transformada de ambos lados de (1) y (2) sX ( s ) − x(0) − 2Y ( s )

=

4 s2

−4 X ( s) + 2Y ( s ) + sY ( s) − y (0) = −

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4 2 − s2 s

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Sustituyendo las condiciones iniciales y dejando las incógnitas del lado izquierdo sX ( s ) − 2Y ( s ) =

4 +4 s2

(3)

−4 X ( s) + ( s + 2 ) Y ( s ) = −

4 2 − −5 s2 s

(4)

Factorizando y reacomodando (3) y (4) tenemos 4s 2 + 4 s2

(5)

⎛ 5s 2 + 2 s + 4 ⎞ −4 X ( s ) + ( s + 2 ) Y ( s ) = − ⎜ ⎟ s2 ⎝ ⎠

(6)

sX ( s ) − 2Y ( s ) =

Multiplicando (5) por

( s + 2)

y multiplicando (6) por ( 2 ) obtenemos

⎛ 4s 2 + 4 ⎞ s ( s + 2 ) X (s) − 2 ( s + 2 ) Y ( s) = ⎜ ⎟ ( s + 2) 2 ⎝ s ⎠

(7)

⎛ 5s 2 + 2 s + 4 ⎞ −4 ( 2 ) X ( s ) + ( s + 2 )( 2 ) Y ( s ) = −2 ⎜ ⎟ s2 ⎝ ⎠

(8)

Sumando (7) y (8) nos queda ⎛ 4 s 3 + 8s 2 + 4 s + 8 ⎞ s ( s + 2 ) X (s) − 2 ( s + 2 ) Y (s) = ⎜ ⎟ s2 ⎝ ⎠ 2 ⎛ −10 s − 4s − 8 ⎞ −4 ( 2 ) X ( s) + ( s + 2 )( 2 ) Y ( s) = ⎜ ⎟ s2 ⎝ ⎠ 4s3 − 2s 2 ( s + 2s − 8) X (s) = s 2 2

Simplificando y despejando

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⎛ ( 4s − 2 ) ⎞ X ( s) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ( s + 4 )( s − 2 ) ⎠

342

(9)

Descomponiendo en fracciones parciales

( 4s − 2 ) = A + B , o bien 4s − 2 = As − 2 A + Bs + 4 B , agrupando ( s + 4 )( s − 2 ) s + 4 s − 2 4 s − 2 = ( A + B ) s + ( −2 A + 4 B ) por lo que A + B = 4 y −2 A + 4 B = −2 ,

2 A + 2B = 8

Resolviendo −2A + 4 B = −2 , de tal manera que B = 1 y A = 3 6B = 6 Separando los términos de (9), X ( s ) =

3 1 + , antitransformando ( s + 4) ( s − 2)

x(t ) = 3e −4t + e2t

(10)

De la ecuación (1), podemos despejar y (t ) , obteniendo y (t ) =

1 x´(t ) − 2t 2

(11)

Derivando (10), nos queda x´(t ) = −12e −4t + 2e 2t

(12)

Por lo que sustituyendo (12) en (11), obtenemos y (t ) =

1 −12e −4t + 2e 2t ) − 2t , finalmente y (t ) = −6e −4t + e2t − 2t ( 2

Ejemplo 4.2.2 Determinar la solución del siguiente sistema de ecuaciones iniciales formado por (13) y (14)

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x' = 2 x − y

(13)

y' = − x + 2 y

(14)

Bajo condiciones iniciales x(0) = 2 y y ( 0 ) = 0 Transformamos cada término de la ecuación diferencial L { x´} = 2L { x} − L{ y}

L { y´} = −L { x} + 2L { y}

Obteniendo sX ( s ) − x ( 0 ) = 2 X ( s ) − Y ( s )

(15)

sY ( s ) − y ( 0 ) = − X ( s ) + 2Y ( s )

(16)

Sustituyendo las condiciones iniciales en (15) y (16) obtenemos sX ( s ) − 2 = 2 X ( s ) − Y ( s )

(17)

sY ( s ) = − X ( s ) + 2Y ( s )

(18)

Factorizamos los valores que contienen X ( s ) y Y ( s ) de (17) y (18), reacomodamos las ecuaciones.

( s − 2 ) X ( s ) + Y ( s) = 2

(19)

( s − 2 ) Y ( s) + X ( s) = 0

(20)

Resolvemos (19) y (20), multiplicando por ( −1) la ecuación (19) y por ( s − 2 ) la ecuación (20) y posteriormente sumamos ambas ecuaciones.

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− ( s − 2) X ( s )

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− Y ( s ) = −2

( s − 2 ) X ( s) + ( s − 2 )

2

Y ( s ) = 0 , despejamos el resultado

⎡( s − 2 )2 − 1⎤ Y ( s ) = −2 ⎣ ⎦ Y (s) = −

Y (s) = −

2 ⎡( s − 2 ) − 1⎤ ⎣ ⎦ 2

, o bien Y ( s ) = −

2 , por lo que factorizando ( s − 4 s + 3) 2

2

(21)

( s − 3)( s − 1)

Descomponiendo en fracciones parciales −

2

( s − 3)( s − 1)

=

Quedaría Y ( s ) =

A B + s − 3 s −1

(22)

A B + s − 3 s −1

(23)

Multiplicando a (22) por el denominador de lado izquierdo del igual, obtenemos −2 = A ( s − 1) + B ( s − 3)

(24)

Haciendo s = 3 , y sustituyendo en (24), obtenemos −2 = A ( 3 − 1) + B ( 3 − 3) , resulta

A = −1

(25)

Haciendo s = 1 , y sustituyendo en (24), obtenemos −2 = A (1 − 1) + B (1 − 3) , resulta B =1

(26)

Sustituyendo (25) y (26) en (23) y aplicando la antitransformada ⎧ 1 ⎫ −1 ⎧ 1 ⎫ L−1 {Y ( s )} = −L−1 ⎨ ⎬+L ⎨ ⎬ , por lo que ⎩ s − 3⎭ ⎩ s − 1⎭

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y (t ) = −e3t + et

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(27)

Si derivamos (27), obtenemos y´(t ) = −3e3t + et

(28)

Entonces sustituyendo (27) y (28) en (14), obtenemos

−3e3t + et = − x + 2 ( −e3t + et ) , por lo tanto

x ( t ) = 2 ( −e3t + e− t ) + 3e3t − et , o bien x ( t ) = et + e3t

Ejemplo 4.2.3 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales lineales

x´= 3x − 2 y

(29)

y´= 2 x − 2 y

(30)

Para x ( 0 ) = 2 y y ( 0 ) = 0 Transformamos cada término del sistema sX ( s ) − x ( 0 ) = 3 X ( s ) − 2Y ( s )

(31)

sY ( s ) − y ( 0 ) = 2 X ( s ) − 2Y ( s )

(32)

Sustituyendo condiciones iniciales en (31) y (32), y reacomodando

( s − 3) X ( s ) + 2Y ( s ) = 2

(33)

−2 X ( s ) + ( s + 2 ) Y ( s ) = 0

(34)

Multiplicamos por 2 la ecuación (33) y por ( s − 3) la ecuación (34), y posteriormente las sumamos

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2 ( s − 3) X ( s ) +

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4Y ( s ) = 4

−2 ( s − 3) X ( s ) + ( s − 3)( s + 2 ) Y ( s ) = 0 , por lo que ⎡⎣( s − 3)( s + 2 ) + 4 ⎤⎦ Y ( s ) = 4 Y (s) = Y (s) =

Donde

4 s −s−2

(35)

2

4

(36)

( s + 1)( s − 2 ) 4

( s + 1)( s − 2 )

=

A B , por lo que 4 = ( A + B ) s + ( −2 A + B ) + s +1 s − 2 2A + 2 B = 0

Haciendo A + B = 0 y −2 A + B = 4 , por lo tanto −2 A + B = 4 , así 3B = 4 A=−

4 4 y B= 3 3

(37)

Sustituyendo la fracción parcial en (36), y los valores de (37), 4 4 Y (s) = 3 + 3 s +1 s − 2 −

(38)

Por lo tanto antitransformando (38) 4 4 y (t ) = − e − t + e 2t 3 3

(39)

4 ⎡ ⎤ Sustituimos (36) en la ecuación (31), resulta ( s − 3) X ( s ) + 2 ⎢ 2 =2 ⎣ s − s − 2 ⎥⎦

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⎛ 2 ( s + 2 )( s − 3) ⎞ 8 ⎛ ⎞⎛ 1 ⎞ X (s) = ⎜ 2 − 2 ⎟⎟ ⎟⎜ ⎟ , o bien X ( s ) = ⎜⎜ s − s − 2 ⎠⎝ s − 3⎠ ⎝ ⎝ ( s + 1)( s − 2 )( s − 3) ⎠ Simplificando X ( s ) =

2s + 4 ( s + 1)( s − 2 )

2s + 4 A B = + ( s + 1)( s − 2 ) s + 1 s − 2

Donde

2s + 4 A B , por lo que 2 s + 4 = ( A + B ) s + ( −2 A + B ) = + ( s + 1)( s − 2 ) s + 1 s − 2

De tal manera que A + B = 2 y −2 A + B = 4 , resolviéndolas − A − B = −2

2 8 −2 A + B = 4 , por lo que A = − , entonces B = , por lo tanto 3 3 −3 A = 2

2 8 2 8 X ( s ) = − 3 + 3 , antitransformando x ( t ) = − e − t + e 2t 3 3 ( s + 1) ( s − 2 ) Manejando otro método quizá más sencillo para encontrar el valor de x ( t ) .

4 4 4 8 Derivando y (t ) = − e − t + e 2t , y´(t ) = e − t + e 2t , sustituyendo esos valores en la 3 3 3 3 ecuación (30) Obtenemos

4 −t 8 2t 4 ⎤ ⎡ 4 e + e = 2 x − 2 ⎢ − e − t + e 2t ⎥ 3 3 3 ⎦ ⎣ 3

4 ⎤ ⎡2 4 ⎤ 2 8 ⎡ 4 x = ⎢ − e− t + e2t ⎥ + ⎢ e− t + e 2t ⎥ , simplificando x ( t ) = − e− t + e 2t 3 3 3 ⎦ ⎣3 3 ⎦ ⎣ 3

Ejemplo 4.2.4 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales

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x´− y´= e −t

(40)

2 x´−2 y´− y = 8

(41)

Para x ( 0 ) = −1 y y ( 0 ) = −10 Transformando las ecuaciones (40) y (41) sX ( s ) − x ( 0 ) − sY ( s ) + y ( 0 ) =

1 s +1

2sX ( s ) − 2 x ( 0 ) − 2sY ( s ) + 2 y ( 0 ) − Y ( s ) =

8 s

Sustituyendo condiciones iniciales en las ecuaciones anteriores sX ( s ) + 1 − sY ( s ) + 10 =

1 s +1

2 sX ( s ) + 2 − 2sY ( s ) + 20 − Y ( s ) =

(42) 8 s

(43)

Resolviendo −2 + 22 s +1 8 − 22 2 sX ( s ) − ( 2s + 1) Y ( s ) = s 8 2 −Y (s) = − s s +1 −2sX ( s ) +

2sY ( s ) =

Por lo que Y ( s ) =

2 8 − s +1 s

Transformando inversamente y (t ) = 2e− t − 8

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(44) (45)

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8⎤ 1 ⎡ 2 − ⎥ − 10 = Sustituimos (44) en la ecuación (42), sX ( s ) + 1 − s ⎢ , despejando s +1 ⎣ s +1 s ⎦ ⎡ 1 8 ⎞⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 X (s) = ⎢ +9+ s⎜ − ⎟⎥ ⎜ ⎟ ⎝ s + 1 s ⎠⎦ ⎝ s ⎠ ⎣ s +1 ⎡ 1 1 2 ⎤ + + O bien X ( s ) = ⎢ ⎥ , simplificando ⎣ s ( s + 1) s s + 1 ⎦ X (s) =

3s + 2 s ( s + 1)

(46)

3s + 2 A B , 3s + 2 = As + A + Bs = + s ( s + 1) s s + 1

Por lo que 3s + 2 = ( A + B ) s + A , de lo que A + B = 3 Así A = 2 , y B = 1 , por lo que X ( s ) = x ( t ) = 2 + e−t

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2 1 , antitransformando + s s +1 (47)

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