Tema 4 Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes Una ecuaci´on diferencial lineal de orden n tiene la forma a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an−1 (x)y 0 + an (x)y = b(x)

(4.1)

Vamos a presuponer que a0 (x) 6= 0 para todo x, de modo que estudiaremos las ecuaciones diferenciales lineales de la forma y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an−1 (x)y 0 + an (x)y = b(x)

(4.2)

Definici´ on 1 La ecuaci´on diferencial lineal 4.2 se dice que es homog´enea si b(x) = 0. En caso contrario se dice que es completa o no homog´enea. A menudo denotaremos por L(y) o L[y] al primer miembro de 4.2 L(y) = L[y] = y (n) + a1 (x)y (n−1) + · · · + an−1 (x)y 0 + an (x)y
= Dn + a1 (x)Dn−1 + · · · an−1 (x)D + an (x) y d se utiliza como un ente algebraico1 . As´ı se puede repredonde en este u ´ltimo caso D = dx sentar la ecuaci´on diferencial lineal homog´enea por L[y] = 0, donde L[] es un operador lineal, i.e. L [c1 ϕ1 (x) + c2 ϕ2 (x)] = c1 L[ϕ1 (x)] + c2 L[ϕ2 (x)] (4.3)

En este tema estudiaremos las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, i.e. a1 (x), . . . , an (x) son constantes. Comenzaremos estudiando el caso particular de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden (n = 2) y luego lo generalizaremos para n cualquiera. Estudiaremos en primer lugar la ecuaci´on homog´enea, puesto que la resoluci´oin de la ecuaci´on no homog´enea se basa en el m´etodo de resoluci´on de la ecuaci´on homog´enea. 1

Esto proviene el C´ alculo Operacional de O. Heaviside.

1

4.1.

Ecuaci´ on homog´ enea

Una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea de segundo orden tiene la forma L[y] = y 00 + a1 y 0 + a2 y = 0

(4.4)

donde a1 , a2 ∈ R y b(x) es una funci´on cont´ınua en un intervalo I ⊂ R. La ecuaci´on diferencial lineal homog´enea de primer orden y 0 + ay = 0 tiene soluci´on, como ecuaci´on diferencial ordinaria de variables separadas, y = ce−ax . Ser´ıa bueno buscar soluciones exponenciales para 4.4. Bas´andose en esa idea se trata de buscar soluciones del tipo y = erx , que substituyendo en 4.4 queda L[erx ] = r2 erx + a1 rerx + a2 erx
= erx r2 + a1 r + a2 = 0 Debido a que erx 6= 0, se tendr´an soluciones para las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico q(r) = r2 + a1 r + a2 . Este polinomio tendr´a dos soluciones r1 , r2 . Consideramos las tres posibilidades: Si r1 , r2 son reales y r1 6= r2 se tiene que las soluciones de 4.4 son ϕ1 (x) = er1 x ϕ2 (x) = er2 x Si r1 = r2 son reales, entonces las soluci´on de 4.4 son ϕ1 (x) = er1 x ϕ2 (x) = x · er1 x Si r1 , r2 son complejas conjugadas, r1 = α + iβ, r2 = α − iβ, α, β ∈ R, entonces las soluciones de 4.4 son ϕ1 (x) = eax cos bx ϕ2 (x) = eax sen bx N´otese que las soluciones son linealmente independientes, seg´ un se entiende por la siguiente definici´on Definici´ on 2 Dadas ϕ1 (x), . . . , ϕn (x) funciones definidas en un intervalo I ⊂ R, se dice que son linealmente independientes si se verifica que para todo x c1 ϕ1 (x) + · · · + cn ϕn (x)

⇒

donde c1 , . . . , cn ∈ R

2

c1 = · · · = cn = 0

(4.5)

Para resolver una ecuaci´on diferencial lineal de orden n se necesitan n condiciones generales. En general, dada una f (x, y, y 0 ) = 0 si la desarrollamos en serie de potencias en un entorno de un punto x0 , y 00 (x0 ) y (n) (x0 ) y 0 (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n + · · · (4.6) 1! 2! n! Dada la condici´on inicial f (x0 , y0 , y 0 (x0 )) = 0 se puede despejar y 0 . Una vez conocida y 0 , con otra condici´on inicial adicional se podr´ıa despejar y 00 , y con otra m´as se podr´ıa despejar y 000 . As´ı, para una ecuaci´on diferencial lineal de orden n se necesitan n condiciones iniciales. y(x) = y(x0 ) +

Dado que toda soluci´on de una ecuacion diferencial lineal es combinaci´on lineal de soluciones de la misma, la soluci´on general ser´a una combinaci´on lineal de soluciones linealmente independientes. Proposici´ on 1 Dado el Problema de Cauchy para cualquier x0 ∈ R  00  y + a1 y 0 + a2 y = 0 y(x0 ) = y0 = α PC ≡  0 y (x0 ) = y00 = β siempre existe soluci´on (´ unica) cualesquiera que sean los par´ ametros α, β. Definici´ on 3 Sean ϕ1 (x), . . . , ϕn (x) funciones (n − 1)-derivables, se define el Wronskiano como ϕ1 (x) ϕ (x) · · · ϕ (x) 2 n 0 0 ϕ01 (x) ··· ϕn (x) ϕ2 (x) (4.7) W (ϕ1 , . . . , ϕn ) = .. .. .. .. . . . . (n−1) (n−1) (n−1) ϕ1 (x) ϕ2 (x) · · · ϕn (x) Tambi´en suele denotarse como W (ϕ1 , . . . , ϕ)(x), W [ϕ1 (x), . . . , ϕn (x)] ´o W (x). Proposici´ on 2 Sean ϕ1 (x), ϕ2 (x) soluciones de la ecuaci´ on y 00 + a1 y 0 + a2 y = 0 con x ∈ I un intervalo, a1 , a2 ∈ R. Entonces ϕ1 (x), ϕ2 (x) son linealmente independientes si y s´ olo si W (ϕ1 , ϕ2 )(x) 6= 0 ∀ x ∈ I Proposici´ on 3 (F´ ormula de Jacobi-Liouville) Sean ϕ1 (x), ϕ2 (x) soluciones de la ecua00 0 ci´ on y + a1 y + a2 y = 0, x0 ∈ I, entonces W (ϕ1 , ϕ2 )(x) = W (ϕ1 , ϕ2 )(x0 )e−a1 (x−x0 )

(4.8)

N´otese que si ∃ x0 ∈ I tal que W (ϕ1 , ϕ2 )(x0 ) = 0, entonces W (ϕ1 , ϕ2 )(x) = 0 ∀ x ∈ I, esto es, o se anula W (ϕ1 , ϕ2 )(x) en todo I o no se anula en ning´ un x ∈ I. En general, ϕ1 (x) ϕ2 (x) ϕ01 (x) ϕ02 (x) d .. .. (W (ϕ1 , . . . , ϕn )) = . . (n−2) dx (n−2) ϕ1 (x) ϕ2 (x) (n) (n) ϕ (x) ϕ2 (x) 1 3

(n−2) · · · ϕn (x) (n) · · · ϕn (x) ··· ··· .. .

ϕn (x) ϕ0n (x) .. .

(4.9)

Proposici´ on 4 Sean ϕ1 (x), ϕ2 (x) dos funciones. Si ϕ1 (x), ϕ2 (x) son linealmente dependientes, entonces W (ϕ1 , . . . , ϕn )(x) = 0. N´otese que el rec´ıproco no es necesariamente cierto; no se puede garantizar que si W (ϕ1 , . . . , ϕn )(x) = 0 entonces ϕ1 (x), ϕ2 (x) son linealmente dependientes. Lo que s´ı es cierto es que si W (ϕ1 , . . . , ϕn )(x0 ) 6= 0 en cierto x0 , entonces ϕ1 (x), ϕ2 (x) son linealmente independientes. Proposici´ on 5 Sean ϕ1 (x), ϕ2 (x) funciones en el intervalo I. Si para todo x ∈ I se verifica que W (ϕ1 , . . . , ϕn )(x) = 0 y ϕ2 (x) 6= 0, entonces ϕ1 (x), ϕ2 (x) son linealmente dependientes Proposici´ on 6 El conjunto de soluciones de una ecuaci´ on diferencial lineal homog´enea de coeficientes constantes de orden n es un espacio vectorial de dimensi´ on n. Proposici´ on 7 Si la ecuaci´on diferencial y 00 + a1 y 0 + a2 y = 0, a1 , a2 ∈ R, tiene una soluci´on compleja y = u(x) + iv(x), entonces Re(y(x)) = u(x) y Im(y(x)) = v(x) son tambi´en soluciones. Proposici´ on 8 Sea la ecuaci´on diferencial lineal homog´enea real y 00 + a1 y 0 + a2 y = 0, con a1 , a2 ∈ R. Si las condiciones iniciales son reales, entonces la soluci´ on general es real. Proposici´ on 9 Sea una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea y 00 + a1 y 0 + a2 y = 0, con 0 y a1 , a2 ∈ R. Dadas las soluciones ϕ1 (x) con las condiones iniciales y(x0 ) = y01 , y 0 (x0 ) = y01 0 0 ϕ2 (x) con las condiones iniciales y(x0 ) = y02 , y (x0 ) = y02 se verifica que, si las condiciones iniciales son linealmente independientes, entonces las soluciones ϕ1 (x), ϕ2 (x) son linealmente independientes.

4.2.

Ecuaci´ on completa

De forma similar a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, si se tiene una soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea y una soluci´on particular de la ecuaci´on completa, se obtiene la soluci´on general de la ecuaci´on completa. Siempre que se tenga yh la soluci´on general de la ecuacion homog´enea y yc una soluci´on particular de la ecuaci´on completa, yh + yc ser´a soluci´on de la ecuaci´on completa. L[yh (x) + yc (x)] = L[yh (x)] + L[yc (x)] = 0 + b(x) = b(x) As´ı mismo, la diferencia de dos soluciones particulares yc1 , yc2 de la ecuaci´on completa, es soluci´on de la ecuaci´on homog´enea. L[yc1 (x) + yc2 (x)] = L[yc1 (x)] + L[yc2 (x)] = b(x) − b(x) = 0 Proposici´ on 10 El conjunto de las soluciones de una ecuaci´ on diferencial lineal completa es un espacio af´ın con espacio vectorial el conjunto de las soluciones de su ecuaci´ on homog´enea. 4

4.3.

M´ etodos de resoluci´ on

Existen varios m´etodos de resoluci´on de ecuaciones diferenciales lineales completas (y homog´eneas). A continuaci´on estudiaremos el m´etodo de variaci´on de las constantes y el m´etodo de los coeficientes indeterminados.

4.3.1.

M´ etodo de variaci´ on de las constantes

Se trata de determinar c1 (x), c2 (x) tales que yp = c1 (x)y1 (x)+c2 (x)y2 (x) sea una soluci´on particular de la ecuaci´on completa, donde ygh = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) es la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea. Exigiendo las condiciones c01 (x)y1 (x) + c02 (x)y2 (x) = 0 c01 (x)y10 (x) + c02 (x)y20 (x) = b(x) se obtiene que la soluci´on particular de la ecuaci´on completa es Z Z y2 (x)b(x) y1 (x)b(x) dx − y1 (x) dx ypc = y2 (x) W (x) W (x)

(4.10)

donde W (x) = W (y1 , y2 )(x). Si la ecuaci´on fuera de la forma a0 y 00 + a1 y 0 + a2 y = b(x), entonces el coeficiente a0 aparecer´ıa en la soluci´on general Z Z y2 (x)b(x) y1 (x)b(x) dx − y1 (x) dx (4.11) ypc = y2 (x) a0 · W (x) a0 · W (x)

4.3.2.

M´ etodo de los coeficientes indeterminados

Este m´etodo s´olo puede aplicarse si b(x) es una exponencial, un polinomio, seno, coseno o combinaci´on de ´estas (aditiva o multiplicativa). b(x) b(x) b(x) b(x)

= = = =

a · ebx Pm (x) a · cos(qx) b · sen(qx)

El Principio de Superposici´on dice que dada la ecuaci´on diferencial lineal y 00 +a1 y 0 +a2 y = f1 (x)+f2 (x)+· · ·+fn (x) la soluci´on general es y = ygh +yp1 +· · ·+ypn , donde ygh es la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea e ypi es una soluci´on particular de y 00 + a1 y 0 + a2 y = fi (x) para cada i = 1, . . . , n. Seg´ un la forma de b(x) = fi (x) se obtiene una soluci´on particular para la ecuaci´on completa, que debe multiplicarse por xm donde m es la multiplicidad de la ra´ız excepcional (si ´esta existiera). El cuadro 4.1 resume c´omo tratar con las distintas formas de b(x). Todos estos resultados para ecuaciones diferenciales lineales homog´eneas y no homog´eneas con coeficientes constantes de segundo grado, pueden generalizarse para un orden n cualquiera. 5

b(x) a axm Pn (x) aemx Pn (x)emx b sen(qx) a cos(qx) aepx sen(qx) aepx cos(qx) Pn (x)epx sen(qx) Pn (x)epx cos(qx)

yp A (xA si la ra´ız es 0) A0 x n + · · · + A n A0 x n + · · · + A n Aemx (A0 xn + · · · + An )emx A cos(qx) + B sen(qx) A cos(qx) + B sen(qx) (A cos(qx) + B sen(qx))epx (A cos(qx) + B sen(qx))epx [(A0 xn + · · · + An ) cos(qx) + (B0 xn + · · · + Bn ) sen(qx)]epx [(A0 xn + · · · + An ) cos(qx) + (B0 xn + · · · + Bn ) sen(qx)]epx

ra´ız exc. 0 0 0 m m ±iq ±iq p ± iq p ± iq p ± iq p ± iq

Cuadro 4.1: Relaci´on de soluciones particulares yp y sus ra´ıces excepcionales para distintos coeficientes independientes b(x) de la ecuaci´on diferencial lineal completa. Proposici´ on 11 Si r1 , r2 , . . . , rs son las ra´ıces reales del polinomio caracter´ıstico con orden de multiplicidad m1 , m2 , . . . , ms respectivamente, entonces para cada i = 1, . . . , s las funciones xj eri x ∀ j < mi son soluciones de la ecuaci´ on y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an−1 y 0 + an y = 0 y la soluci´ on general ser´a s m−1 X X y = ϕ(x) = cij xj eri x (4.12) i=1 j=0

con cij ∈ R constantes. Definici´ on 4 Un sistema fundamental de soluciones es un conjunto de soluciones linealmente independientes cuya combinaci´ on lineal es la soluci´ on general.

4.4.

Ecuaciones de orden n

Proposici´ on 12 Si rl = α1 + iβ1 , . . . , rl = αl + iβl son las 2l ra´ıces complejas del polinomio caracter´ıstico con orden de multiplicidad m1 , . . . , ml respectivamentey r2l+1 , r2l+2 , . . . , rs son las ra´ıces reales del polinomio caracter´ıstico con orden de multiplicidad m2l+1 , m2l+2 , . . . , ms , eα1 x cos β1 x, eα1 x sen β1 x, .. .

xeα1 x cos β1 x, . . . , xeα1 x sen β1 x, . . . , .. .. . . αn x αn x e cos βn x, xe cos βn x, . . . , eαn x sen βn x, xeαn x sen βn x, . . . , er2l+1 x , xer2l+1 x , ..., .. .. .. . . . ers x ,

xm1 −1 eα1 x cos β1 x xm1 −1 eα1 x sen β1 x .. . xmn −1 eαn x cos βn x xmn −1 eαn x sen βn x xm2l+1 −1 er2l+1 x .. .

. . . , xms −1 ers x

xers x ,

Pl Ps son las n = an linealmente j=1 2mj + j=2l+1 mj soluciones ϕ1 (x), . . . , ϕn (x), que ser´ independientes si y s´olo si W (ϕ1 , . . . , ϕn ) 6= 0. 6

El conjunto de las soluciones de una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea de orden n es un espacio vectorial de dimensi´on n. El conjunto de las soluciones de una ecuaci´on diferencial lineal no homog´enea (completa) de orden n es un espacio af´ın de dimensi´on n asociado al espacio vectorial del conjunto de las soluciones de la ecuaci´on homog´enea asociada.

4.4.1.

M´ etodo de variaci´ on de las constantes

Hemos estado hablando de y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an y = b(x), tenemos la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea ygh , necesitamos una soluci´on particular de la completa yp . ygh (x) = c1 ϕ1 (x) + · · · + cn ϕn (x) yp (x) = c1 (x)ϕ1 (x) + · · · + cn (x)ϕn (x) Necesitamos hallar las n funciones c1 (x), . . . , cn (x) y para ello necesitamos n condiciones iniciales. Imponemos las condiciones c01 (x)ϕ1 (x) + · · · + c0n (x)ϕn (x) = 0 c01 (x)ϕ01 (x) + · · · + c0n (x)ϕ0n (x) = 0 .. . (n−2) 0 0 (n−2) c1 (x)ϕ1 (x) + · · · + cn (x)ϕn (x) = 0 (n−1)

c01 (x)ϕ1

(x) + · · · + c0n (x)ϕ(n−1) (x) = b(x) n

Y obtenemos el sistema yp = c1 (x)ϕ1 (x) + · · · + cn (x)ϕn (x) yp0 = c1 (x)ϕ01 (x) + · · · + cn (x)ϕ0n (x) .. . (n−1) (n−1) yp = c1 (x)ϕ1 (x) + · · · + cn (x)ϕ(n−1) (x) n Substituimos en la ecuaci´on diferencial con las derivadas y obtenemos (n−1)

c01 (x)ϕ1

(x) + · · · + c0n (x)ϕ(n−1) (x) = b(x) n

(4.13)

A˜ nadiendo esta condici´on a las n − 1 anteriormente impuestas, obtenemos un sistema de n ecuaci´ones (¿cu´ ales?) con n inc´ognitas c01 (x), . . . , c0n (x) cuyo determinante es W (ϕ1 , . . . , ϕn )(x) 6= 0. As´ı, las soluciones son c0k (x) =

Wk (x) · b(x) W (ϕ1 , . . . , ϕn )(x)

(4.14)

donde Wk tiene (0, . . . , 0, 1) en la columna k-´esima y el resto de columnas coinciden con W (ϕ1 , . . . , ϕn )(x). Luego, Z Wk (x) · b(x) ck (x) = dx (4.15) W (ϕ1 , . . . , ϕn )(x) 7

As´ı que la soluci´on particular de la ecuaci´on completa ser´a yp =

n X

Z

x

ϕk (x) x0

k=1

Wk (ξ) · b(ξ) dξ W (ϕ1 , . . . , ϕn )(ξ)

(4.16)

N´otese que si la ecuaci´on diferencial es de la forma a0 y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an y = b(x), entonces en la soluci´on hay que dividir por a0 , i.e. yp =

n X k=1

Z

x

ϕk (x) x0

Wk (ξ) · b(ξ) dξ a0 W (ϕ1 , . . . , ϕn )(ξ)

(4.17)

Como siempre, el m´etodo de variaci´on de las constantes es te´oricamente bonito y se puede aplicar siempre, pero la dificultad estriba en resolver las integrales. Por otra parte, el m´etodo de los coeficientes indeterminados, s´olo es aplicable para ciertas formas de b(x).

8