˜ CAP´ITULO 3. SENALES Y SISTEMAS DISCRETOS

1

3.1

Ecuaciones a diferencias con coeficientes constantes

Hasta ahora se han estudiado los sistemas lineales e invariantes en el tiempo, y se los ha caracterizado en funci´ on de su respuesta impulsiva h[n]. Existe otra familia de sistemas en los cuales la entrada x[n] y la salida y[n] satisfacen una ecuaci´ on a diferencias lineal de orden N con coeficientes constantes, N X k=0

ak y[n − k] =

M X k=0

bk x[n − k].

(3.1)

IN

A

R

Los siguientes ejemplo muestran algunos de los sistemas lineales estudiados, que pueden ser expresados de esta manera.

EL IM

Fig. 3.1: Diagrama bloque de una ecuaci´ on a diferencias recursivas que representa un sistema acumulador.

Ejemplo 1 Representaci´ on del acumulador usando ecuaciones a diferencias. Un ejemplo de la clase de sistemas representados por ecuaciones a diferencias lineales con coeficientes constantes es el acumulador, definido por y[n] =

n X

x[k].

(3.2)

k=−∞

PR

Para mostrar que este sistema puede expresarse en la forma de la ecuaci´ on a diferencias (3.1), se explicita la salida para el instante n − 1 y[n − 1] =

n−1 X

x[k]

(3.3)

k=−∞

Separando el t´ermino x[n] de la suma (3.2), y[n] = x[n] +

n−1 X

x[k].

(3.4)

k=−∞

Reemplazando (3.3) en (3.4), se obtiene y[n] = x[n] + y[n − 1],

(3.5)

que puede llevarse a la forma propuesta para la ecuaci´ on a diferencias (3.1) escribiendo y[n] − y[n − 1] = x[n]. Se observa entonces que el acumulador representado por la relaci´ on (3.2) tambi´en puede escribirse en la forma de una ecuaci´ on a diferencias lineal a coeficientes constantes (3.1) con N = 1, a0 = 1, a1 = −1, M = 0, b0 = 1.

3.1. ECUACIONES A DIFERENCIAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

2

Fig. 3.2: Diagrama bloque de la implementaci´on recursiva del promediador causal.

A

R

La ecuaci´ on (3.5) nos da una idea de c´omo implementar el sistema acumulador. De acuerdo con (3.5), para calcular el valor de la salida en el instante n, es necesario sumar el valor actual de la entrada con el valor de la muestra pasada de la salida, que se representa en el diagrama bloque de la Fig. 3.1. La ecuaci´ on (3.5) y el diagrama bloque de la Fig. 3.1 se denominan representaci´ on recursiva del sistema, ya que cada valor se calcula en base a valores calculados previamente. Esta noci´ on ser´a explorada detalladamente en las pr´oximas secciones.

IN

on en ecuaci´ on a diferencias de un sistema promediador Ejemplo 2 Representaci´ Hemos visto que el promediador causal tiene respuesta impulsiva

de donde

1 (u[n] − u[n − M2 − 1]) , M2 + 1

EL IM

h[n] =

M

y[n] =

2 X 1 x[n − k], M2 + 1

(3.6)

k=0

que es un caso especial de la ecuaci´on (3.1) con N = 0, a0 = 1, M = M2 y bk = 1/(M2 + 1) para 0 ≤ k ≤ M2 .

La respuesta impulsiva tambi´en puede expresarse como

PR

h[n] =

1 (δ[n] − δ[n − M2 − 1]) ∗ u[n], M2 + 1

que sugiere que el promediador causal puede representarse como la cascada de dos sistemas que se muestra en la Fig. 3.2. La ecuaci´ on a diferencias para esta sistema puede escribirse notando primeramente que 1 x1 [n] = (x[n] − x[n − M2 − 1]) . M2 + 1 De acuerdo a la ecuaci´ on (3.5) del Ejemplo 1, la salida del acumulador satisface la ecuaci´ on a diferencias y[n] − y[n − 1] = x1 [n]

de modo que

1 (x[n] − x[n − M2 − 1]) . M2 + 1 De esta forma podemos expresar el promediador causal nuevamente en la forma de una ecuaci´ on a diferencias lineales con coeficientes constantes (3.1) donde N = 1, a0 = 1, a1 = −1, M = M2 , y b0 = −bM2 +1 = 1/(M2 + 1), y el resto de los bk = 0, 1 ≤ k ≤ M2 , que es distinta de (3.6). y[n] − y[n − 1] =

En el ejemplo 2 se mostraron dos ecuaciones a diferencias distintas que representan el mismo sistema discreto. M´ as adelante veremos que existe un n´ umero ilimitado de representar una relaci´ on entrada-salida que sea lineal e invariante en el tiempo.

˜ CAP´ITULO 3. SENALES Y SISTEMAS DISCRETOS

3

Los sistemas descriptos por las ecuaciones a diferencias lineales con coeficientes constantes (3.1) son una subclase de los sistemas recursivos/no recursivos comentados precedentemente, y bajo ciertas condiciones, permiten representar a su vez sistemas lineales e invariantes en el tiempo. El siguiente ejemplo permite introducir las ideas m´ as importantes. Ejemplo 3 Un sistema recursivo simple est´a descripto por la ecuaci´on a diferencias y[n] = ay[n − 1] + x[n],

(3.7)

R

donde a es una constante, que permite calcular la salida actual del sistema y[n] en funci´on de la entrada actual x[n] y la salida pasada y[n − 1]. El sistema se excita con una entrada x[n] supuesta nula para n < 0, es decir, que es causal, y se supone conocida la salida y[−1] en el instante previo al cual la entrada deja de ser nula. A partir de estos datos, se puede resolver la ecuaci´ on (3.7) y calcular expl´ıcitamente la salida del sistema; observe que la ecuaci´ on (3.7) describe la salida de forma impl´ıcita. Evaluando los valores sucesivos de y[n] para n ≥ 0, se tiene

EL IM

IN

A

y[0] = ay[−1] + x[0] y[1] = ay[0] + x[1] = a2 y[−1] + ax[0] + x[1] y[2] = ay[1] + x[2] = a3 y[−1] + a2 x[0] + ax[1] + x[2] .. . y[n] = ay[n − 1] + x[n] = an+1 y[−1] + an x[0] + an−1 x[1] + · · · + ax[n − 1] + x[n] o, en forma m´as compacta,

y[n] = an+1 y[−1] +

n X

k=0

ak x[n − k],

n ≥ 0.

(3.8)

Para calcular la salida para n < 0, es conveniente reescribir (3.7). Despejando y[n − 1], se tiene

PR

y[n − 1] =

1 1 y[n] − x[n]. a a

Repitiendo el procedimiento anterior, pero para los n negativos, y recordando que x[n] = 0 para n < 0, y[−1] = c 1 y[−1] − y[−2] = a 1 y[−3] = y[−2] − a .. .

1 x[−1] = a−1 y[−1] a 1 x[−2] = a−2 y[−1] a

y[n] = an+1 y[−1],

n < 0.

(3.9)

Observe que las expresiones (3.8) y (3.9) pueden combinarse en una u ´nica ecuaci´ on y[n] = an+1 y[−1] +

n X

k=0

ak x[n − k],

−∞ < n < ∞,

donde se sobreentiende que la sumatoria no se efect´ ua si n < 0.

(3.10)

3.1. ECUACIONES A DIFERENCIAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

4

La respuesta y[n] del sistema (3.7) consta de dos partes, como se aprecia en (3.10). La primera parte,que contiene al t´ermino y[−1], es el resultado de las condiciones iniciales del sistema. La segunda parte, donde interviene la sumatoria, es la respuesta del sistema debida a la se˜ nal de entrada x[n]. Si el sistema se encuentra inicialmente (para n = 0) en reposo, cuando la entrada es nula, su memoria (es decir, la salida debida al retardo) debiera ser nula. Por lo tanto, y[n − 1] = 0. De modo que un sistema recursivo est´a en reposo si sus condiciones iniciales son nulas. En este caso, la salida del sistema se debe u ´ nicamente a la se˜ nal de entrada, y esta salida se denomina respuesta forzada yf [n] del sistema. Es evidente que, en este caso, la respuesta forzada est´a dada por

k=0

ak x[n − k],

n ≥ 0.

(3.11)

R

yf [n] =

n X

A

Es interesante notar que (3.11) es una suma de convoluci´on que involucra la se˜ nal de entrada x[n] y una respuesta impulsiva (3.12)

IN

h[n] = an u[n].

PR

EL IM

Se observa tambi´en que el sistema descripto por la ecuaci´ on (3.7) es causal: su salida depende s´olo de la entrada actual y de valores pasados de la salida. Es coincidente entonces que el l´ımite inferior de la suma de convoluci´on que define la soluci´on forzada en (3.11) sea k = 0. Adem´ as, como se supuso que x[n] = 0 para n < 0 (entrada causal) el l´ımite superior de la suma convoluci´on es k = n, pues x[n−k] = 0 si k > n. Note que la respuesta depende no s´olo del sistema, sino tambi´en de la se˜ nal de entrada, como muestra la ecuaci´ on (3.11), lo que justifica que esa soluci´ on se denomine soluci´on forzada. En s´ıntesis, el sistema descripto por la ecuaci´ on a diferencias lineal de primer con coeficientes constantes (3.7) es un sistema lineal, invariante en el tiempo, tipo IIR, con respuesta impulsiva (3.12), al menos en este caso en que se consideran nulas las condiciones iniciales. Supongamos ahora que el sistema (3.7) no se encuentra inicialmente en reposo (es decir, que y[−1] 6= 0, por ejemplo y[−1] = c) y fijemos la entrada x[n] = 0 para todo n. Es evidente entonces que la respuesta de la ecuaci´on a diferencias (3.10) se debe u ´nicamente a las condici´ on inicial. Se dice que esta es la respuesta natural o libre del sistema (3.7), y de (3.10) es evidente que, para este ejemplo, yn [n] = an+1 y[−1],

−∞ < n < ∞.

(3.13)

Se dice en este caso que el sistema no est´a en reposo, ya que produce una salida yn [n] aunque el sistema no est´e excitado ya que la entrada es nula. Observe que la respuesta natural o libre se obtiene anulando la se˜ nal de entrada, y por lo tanto no depende de ella, sino solamente de la naturaleza del sistema y de las condiciones iniciales. De modo que esta respuesta es una caracter´ıstica propia del sistema, lo que justifica el nombre de respuesta natural. En general, la respuesta total del sistema es la suma de las respuestas forzadas yf [n] y natural yn [n], como se desprende de (3.10): y[n] = yn [n] + yf [n].

(3.14)

˜ CAP´ITULO 3. SENALES Y SISTEMAS DISCRETOS

5

El caso m´as general es el de la ecuaci´on a diferencias con coeficientes constantes N X k=0

ak y[n − k] =

M X k=0

bk x[n − k],

(3.15)

IN

A

R

donde frecuentemente se asume que a0 = 1. El m´aximo entre N y M es el orden de la ecuaci´ on a diferencias; note que contrariamente a lo que sucede en el caso de sistemas continuos, en los cuales es poco frecuente que M > N, para el caso de sistemas discretos no ser´a necesario imponer tal restricci´ on. La ecuaci´ on (3.15) expresa la salida de un sistema en el instante n como una suma ponderada de N muestras pasadas de la salida, y[n − 1], y[n − 2], . . . , y[n − N] y M muestras pasadas y futuras de la entrada1 . Al igual que lo que sucede para el caso de ecuaciones diferenciales para sistemas lineales continuos, la descripci´on de sistemas discretos mediante una ecuaci´on a diferencias con coeficientes constantes no provee una especificaci´ on u ´nica de la salida del sistema para una dada se˜ nal de entrada, a no ser que se especifiquen restricciones adicionales o se d´e alg´ un tipo de informaci´on adicional. Si de alguna manera se ha podido determinar que on ante una entrada x[n] = xp [n] el sistema responde con una salida y[n] = yp [n], la ecuaci´ a diferencias (3.15) tambi´en ser´a satisfecha por el par (3.16)

y[n] = yp [n] + yh [n],

(3.17)

EL IM

x[n] = xp [n],

donde yh [n] es la soluci´on de (3.15) cuando xp [n] = 0, lo que implica que N X k=0

ak yh [n − k] = 0.

(3.18)

En efecto, reemplazando (3.16) y (3.17) en (3.15), se tiene ak (yp [n − k] + yh [n − k]) =

PR

N X k=0

N X k=0

ak yp [n − k]+

N X

|k=0

ak yh [n − k] = {z

=0

}

M X k=0 M X k=0

bk (xp [n − k] + 0) bk x[n − k],

que prueba que el par (3.16)-(3.17) satisface (3.15). La ecuaci´ on (3.18) es la ecuaci´ on homog´enea del sistema y la soluci´ on yh [n] es la soluci´ on homog´enea. Observe que existen infinitas soluciones homog´eneas: si yh [n] es una soluci´on homog´enea, yˆh [n] = Kyh [n], con K ∈ C, tambi´en es una soluci´on homog´enea. La respuesta natural o libre es una de las posibles soluciones homog´eneas. En consecuencia, para poder calcular expl´ıcitamente la salida de un sistema descripto por (3.15) es necesario “elegir” alguna de las infinitas soluciones: tal como se realiz´o para el sistema simple descripto por la ecuaci´ on a diferencias (3.7), esto se logra conociendo no 1

Las “muestras futuras” de la entrada aparecen si alguno de los ak , k = 0, . . . , N0 − 1 son nulos. En este caso, la salida en el instante n − N0 depende de la entrada en el instante n, o en otras palabras, y[n] depende de x[n + N0 ].

3.1. ECUACIONES A DIFERENCIAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

6

s´olo la entrada x[n], sino tambi´en los u ´ltimos N valores de la salida: y[−1], y[−2], . . . , y[−N ], es decir, las condiciones iniciales del sistema. Estas condiciones iniciales resumen la historia pasada del sistema, y permiten calcular por recursi´ on la salida actual y futura. Esto puede observarse reescribiendo la ecuaci´on (3.15) como una f´ormula de recurrencia (es decir, de modo que la salida actual dependa de las muestras previas de la salida): y[n] = −

N X ak k=1

a0

y[n − k] +

M X bk k=0

a0

x[n − k].

(3.19)

N−1 X k=0

M

X bk ak y[n − k] + x[n − k], aN aN k=0

EL IM

y[n − N ] = −

IN

A

R

Si se especifica la entrada x[n] junto con un conjunto de valores auxiliares y[−1], y[−2], . . . , y[−N ], entonces y[0] puede calcularse usando la ecuaci´on (3.19). Una vez que se calcula y[0], se dispone de las N muestras de la salida y[0], y[−1], . . . , y[−N + 1], de modo que se puede calcular y[1], etc. Cuando se utiliza este procedimiento se dice que y[n] se calcula recursivamente, es decir que el c´alculo de la salida involucra no s´olo el conocimiento de la sucesi´on de entrada, sino tambi´en los valores previos de la sucesi´ on de salida. Para el c´ alculo de los valores de la salida y[n] para n < −N , suponiendo nuevamente que se conocen los valores auxiliares y[−1], y[−2], . . . , y[−N ], se puede reorganizar la ecuaci´on (3.15) en la forma

a partir de la cual se pueden computar recursivamente y[−N − 1], y[−N − 2], . . . , tal como se calcul´ o en el Ejemplo previo. La soluci´on general de estas ecuaciones, que involucra hallar la soluci´ on de (3.18) ser´a analizada en la Secci´ on 3.1.2.

3.1.1

Linealidad, invariaci´ on en el tiempo, causalidad

PR

Es interesante plantear ahora c´ omo se revelan las propiedades de linealidad, invariaci´ on en el tiempo y causalidad en los sistemas descriptos por las ecuaciones a diferencias (3.15), del mismo modo que fueron analizados en base a la respuesta impulsiva para los sistemas lineales e invariantes en el tiempo descriptos por la suma convoluci´ on. El Ejemplo 3 de la secci´ on anterior permite deducir algunas interesantes conclusiones. Para simplificar el an´alisis, se supondr´a que la entrada es un impulso escalado x[n] = Kδ[n], de manera que, seg´ un (3.10), la salida ser´a y[n] = an+1 y[−1] + Kan u[n],

−∞ < n < ∞.

(3.20)

Es interesante notar que: • La salida del sistema se calcul´ o iterando la ecuaci´ on (3.7) tanto para n positivos como negativos. Evidentemente, este es un proceso no causal, lo que tambi´en resulta de analizar la soluci´on general (3.20): la entrada es un impulso en el origen, pero la salida est´ a definida para valores positivos y negativos del ´ındice; en particular, observe que la salida para n < 0 se debe al t´ermino y[−1]. En s´ıntesis, el sistema (3.7) no es causal.

˜ CAP´ITULO 3. SENALES Y SISTEMAS DISCRETOS

7

• Si K = 0, la entrada es nula; para un sistema lineal e invariante en el tiempo, esto implica que la salida y[n] tambi´en debe ser nula, como se desprende de analizar la expresi´ on de la suma convoluci´on y[n] =

∞ X

k=−∞

x[k]h[n − k]

haciendo x[n] ≡ 0. Sin embargo, la salida y[n] de la ecuaci´ on (3.7) no es nula, ya que n+1 si K = 0, de (3.20) se observa que y[n] = a y[−1]. En consecuencia, el sistema (3.7) no es lineal.

R

• Finalmente, si la entrada se demora n0 muestras, x1 [n] = Kδ[n − n0 ], es sencillo observar que la salida correspondiente ser´a y1 [n] = an+1 y[−1] + Kδ[n − n0 ]

(3.21)

A

y evidentemente, y1 [n] 6= y[n − n0 ]. Por lo tanto, el sistema (3.7) no es invariante en el tiempo.

PR

EL IM

IN

En esta materia, nuestro principal inter´es son los sistemas que son lineales e invariantes en el tiempo, y los aspectos reci´en analizados muestran que para que un sistema representado por ecuaciones a diferencias sea lineal e invariante en el tiempo, es necesario que las condiciones iniciales sean consistentes con estos requerimientos adicionales. Cuando estudiemos m´ as adelante la soluci´ on de las ecuaciones a diferencias utilizando la transformada Z, estos requerimientos de linealidad e invariaci´ on temporal ser´ as asumidos impl´ıcitamente. Como veremos entonces, a´ un la incorporaci´ on de estos requisitos no determina de manera u ´nica la soluci´on de la ecuaci´ on a diferencias, ya que una dada ecuaci´on puede tener una o m´as soluciones causales y no causales2 . Lo que las observaciones anteriores permiten asegurar es que si un sistema est´a caracterizado por una ecuaci´ on a diferencias lineal con coeficientes constantes, y se exige adem´ as que sea lineal, invariante en el tiempo y causal, la soluci´ on en este caso es u ´nica, y las condiciones iniciales compatibles con estas exigencias son las de reposo, es decir, que si la entrada x[n] es nula para todo n menor que alg´ un n0 , entonces la salida y[n] debe ser nula para todo n menor que n0 . Esto permite obtener suficientes condiciones iniciales on (3.19). para calcular y[n] para n ≥ n0 de forma recursiva utilizando la ecuaci´ En s´ıntesis, para un sistema descripto por una ecuaci´on a diferencias lineal con coeficientes constantes, • La salida para una entrada dada no est´a determinada de manera u ´nica. Se debe proveer informaci´ on adicional en funci´ on de las condiciones iniciales del sistema o bien a partir de exigir que cumpla con determinadas condiciones, como linealidad, causalidad, invariaci´ on temporal, etc. • Si la informaci´on auxiliar se provee en la forma de N valores consecutivos de la salida, los valores pr´ oximos pueden obtenerse reacomodando la ecuaci´ on a diferencias como una relaci´on recursiva que depende de valores crecientes de n; si se desean calcular los valores previos de la salida, la ecuaci´on a diferencias debe reescribirse como una relaci´ on recursiva que dependa de valores decrecientes de n. 2 De todos modos, del conjunto de las infinitas soluciones posibles que se detallan aqu´ı, se determinar´ an un conjunto finito de a lo sumo N soluciones que permite caracterizarlas a todas ellas.

3.1. ECUACIONES A DIFERENCIAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

8

• Las propiedades de linealidad, causalidad e invariaci´ on temporal dependen de las condiciones auxiliares. Si la informaci´ on adicional provista es que el sistema se encontraba inicialmente en reposo, entonces el sistema descripto por la ecuaci´ on a diferencias ser´a lineal, invariante en el tiempo y causal. Si el sistema no esta en estado de reposo, es decir que no son nulas las condiciones iniciales, se pueden reformular las propiedades de linealidad e invariaci´ on temporal para tener en cuenta estas nuevas condiciones. Se dice entonces que un sistema es lineal si satisface los siguientes tres requerimientos:

A

R

1. La respuesta total es la suma de la respuesta natural o libre (que se obtiene haciendo x[n] ≡ 0), y la respuesta a la entrada x[n] cuando el sistema est´a en estado de reposo (con condiciones iniciales nulas). Esta u ´ltima respuesta se suele denominar respuesta de estado cero, yec [n]. Es decir, que y[n] = yn [n]+ yec [n]. Note que yec [n] es una respuesta forzada particular (la que se obtiene con condiciones iniciales nulas) e yec [n] es una de las respuestas homog´eneas.

IN

2. El principio de superposici´ on es aplicable a respuestas de estado cero, es decir, que la salida correspondiente a una combinaci´on de entradas es la combinaci´on de las salidas respectivas, siempre que ´estsa hayan sido calculadas para el sistema en reposo.

EL IM

3. El principio de superposici´ on es aplicable a las respuestas naturales o libres del sistema.

PR

Un sistema que falla en satisfacer alguna de las tres condiciones, es no lineal por definici´on. La verificaci´ on que un sistema descripto por una ecuaci´ on a diferencias (3.15) con condiciones iniciales nulas es invariante en el tiempo es relativamente sencilla. Es evidente que el sistema no var´ıa en el tiempo pues los coeficientes ak y bk son constantes. Si alguno de los coeficientes es funci´on del tiempo (o del ´ındice n), entonces el sistema ser´a variante en el tiempo, ya que sus propiedades cambian en funci´on del tiempo. Consideremos nuevamente el sistema (3.7), pero ahora con condiciones iniciales de reposo: x[n] = Kδ[n], y[−1] = 0, n < 0. Entonces, de acuerdo con (3.20), y[n] = Kan u[n].

(3.22)

Observe que ahora, si se anula la entrada (K = 0), la salida tambi´en se anula: el sistema se comporta como un sistema lineal. Si la entrada se retarda n0 muestras (x1 [n] = Kδ[n − n0 ]), nuevamente con condiciones iniciales de reposo, la salida es y1 [n] = Kan−n0 u[n−n0 ] = y[n − n0 ], lo que implica que el sistema es invariante en el tiempo. Observe que en este caso la soluci´on iterativa se calcula utilizando la condici´on inicial y[n] = 0, n < n0 ; esto no significa que y[−1] = y[−2] = . . . = y[−N] = 0, sino que y[n0 − 1] = y[n0 − 2] = . . . = y[n0 − N ] = 0 si x[n] = 0 para n < n0 . Finalmente, es f´acil deducir que ahora la respuesta impulsiva es h[n] = an u[n], lo que significa que h[n] = 0 para n < 0, de modo que el sistema es causal. En otras palabras, el suponer que el sistema parte del estado de reposo o, lo que es lo mismo, que sus condiciones iniciales son nulas, hace que la soluci´on del sistema (3.7) cambie de (3.21) a (3.22), con lo cual el sistema se torna lineal, invariante en el tiempo, y causal.

˜ CAP´ITULO 3. SENALES Y SISTEMAS DISCRETOS

9

La discusi´on previa supuso que en la ecuaci´on (3.15) N ≥ 1. Si, en cambio, N = 0, no aparecen las muestras pasadas de la salida, y en consecuencia no es necesario aplicar el m´etodo de recursi´ on para calcular la salida, y por lo tanto, no se requiere conocer las condiciones iniciales. En este caso, y[n] =

M X bk k=0

a0

x[n − k].

(3.23)

Esta ecuaci´ on tiene el aspecto de una convoluci´on, y adoptando x[n] = δ[n], la respuesta impulsiva es M X bk δ[n − k], h[n] = a0 0 ≤ n ≤ M, en caso contrario.

A

 bk   , a0 h[n] =   0,

R

k=0

o bien

3.1.2

EL IM

IN

Evidentemente, la respuesta impulsiva es de duraci´ on finita. De hecho, la respuesta de cualquier sistema FIR puede ser calculada de manera no recursiva utilizando la ecuaci´on a diferencias (3.23), en la cual los coeficientes son los elementos de la sucesi´ on finita que representa la respuesta impulsiva h[n]. El Ejemplo 2.15 del promediador es un ejemplo de un sistema FIR causal. Una caracter´ıstica interesante de tal sistema es que tambi´en se ha encontrado una ecuaci´on recursiva para calcular la salida. M´as adelante veremos que existen muchas formas posibles de implementar transformaciones de se˜ nales utilizando ecuaciones a diferencias. Las ventajas de un tipo de implementaci´on sobre otra depende de consideraciones pr´ acticas tales como precisi´on num´erica, cantidad de memoria requerida, y el n´ umero de multiplicaciones y sumas necesarios para calcular cada muestra de la salida.

Soluci´ on de las ecuaciones a diferencias con coeficientes constantes

PR

La soluci´on general de la ecuaci´on a diferencias (3.15) requiere calcular las dos componentes que designamos como respuesta natural o libre, y respuesta forzada. De modo que para calcular la soluci´on total (3.14) deben calcularse estos dos t´erminos. Soluci´ on homog´ enea

De manera an´aloga al caso de ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes constantes, se supone que la soluci´on general homog´enea est´ a dada por una suma de exponenciales: yh [n] =

P X

Am (zm )n ,

(3.24)

m=1

donde zm ∈ C es el “modo” de la exponencial, y Am ∈ C es un coeficiente de peso. Observe que estamos suponiendo la existencia de 2P inc´ ognitas: los P modos zm , y los P coeficientes Am . Para computar los modos zm basta reemplazar la soluci´ on propuesta (3.24) en la ecuaci´ on homog´enea (3.18): Ã P ! N N X X X n−k , ak yh [n − k] = ak Am (zm ) 0= k=0

k=0

m=1

3.1. ECUACIONES A DIFERENCIAS CON COEFICIENTES CONSTANTES e intercambiando el orden de suma, ÃN ! ÃN ! P P X X X X Am ak (zm )n−k = Am z n ak (zm )−k . 0= m=1

m=1

k=0

10

(3.25)

k=0

Como esta ecuaci´ on debe verificarse para cualquier conjunto de valores Am , es indudable que debe anularse el t´ermino entre llaves, p (z) = ˙

N X

ak (zm )−k = 0.

(3.26)

k=0

A

R

Esta ecuaci´on es un polinomio de grado N, y por lo tanto tiene a lo sumo N soluciones distintas3 . Observe que en este polinomio los ak son conocidos (ak es el coeficiente que pesa umeros complejos a determinar. la muestra pasada de la salida y[n − k]) y los zm son los n´ Se deduce entonces que a lo sumo hay N modos zm diferentes, y entonces no tiene sentido suponer que P > N en (3.24). En consecuencia, supondremos que P = N. Resumiendo,

IN

• Las soluciones homog´eneas son combinaciones de N exponenciales complejas yh [n] =

N X

Am (zm )n .

(3.27)

m=1

EL IM

• Hay infinitas soluciones homog´eneas posibles, ya que, seg´ un (3.25), los coeficientes Am son arbitrarios. ¿C´omo elegir una soluci´ on particular de entre las infinitas soluciones homog´eneas? Especificando los coeficientes Am , 1 ≤ m ≤ N, a partir de las condiciones iniciales. Explicitando N muestras consecutivas de la salida, N X

m=1 N X

PR

yh [n] =

yh [n − 1] =

yh [n − N + 1] =

m=1

.. . N X

m=1

n Am (zm )n = A1 z1n + A2 z2n + · · · AN zN , n−1 Am (zm )n−1 = A1 z1n−1 + A2 z2n−1 + · · · AN zN ,

(3.28)

n−N+1 Am (zm )n−N +1 = A1 z1n−N+1 + A2 z2n−N+1 + · · · AN zN .

Como los zm , 1 ≤ m ≤ N son conocidos, los coeficientes A1 , . . . , AN se pueden calcular resolviendo el sistema de ecuaciones (3.28). Adoptando la notaci´on matricial, y eligiendo (arbitrariamente) n = −1, resulta    −1  −1   z1 z2−1 · · · zN A1 y[−1]  y[−2]   z −2 z −2 · · · z −2   A2  2 N     1    =  .. .. ..   ..  ..      . . . . .  y[−N ]

z1−N

z2−N

−N · · · zN

AN

3 En esta derivaci´ on suponemos que las N ra´ıces del polinomio (3.26) son diferentes. En caso que algunas ra´ıces se repitan, debe modificarse ligeramente el m´etodo de c´ alculo que se describe a continuaci´ on.

˜ CAP´ITULO 3. SENALES Y SISTEMAS DISCRETOS

11 o bien,

Y = ZA, con



  Y= 

y[−1] y[−2] .. . y[−N]



  , 



  Z= 

z1−1 z1−2 .. .

z2−1 z2−2

··· ··· .. .

−1 zN −2 zN .. .

z1−N

z2−N

−N · · · zN



  , 



  A= 

A1 A2 .. . AN



  . 

(3.29)

De modo que los N coeficientes desconocidos Am se calculan resolviendo la ecuaci´ on matricial (3.30) A = Z−1 Y.

R

En s´ıntesis, el c´ alculo de la soluci´ on homog´enea involucra los siguientes pasos:

N X

A

1. Se calculan las N ra´ıces zm de la soluci´on homog´enea (3.26): ak (zm )−k = 0.

IN

k=0

2. Dadas las N condiciones iniciales y[−1], y[−2], . . . , y[−N ], se calculan los A1 , . . . , AN resolviendo (3.30), teniendo en cuenta (3.29).

EL IM

3. Se computa la soluci´ on homog´enea en base a (3.27), yh [n] =

N X

Am (zm )n .

m=1

Note que la soluci´ on homog´enea calculada vale para todo n, sea positivo o negativo.

PR

Ejemplo 4 Calculemos la soluci´on homog´enea del sistema (3.7) del Ejemplo 3. La ecuaci´on homog´enea en este caso es y[n] − ay[n − 1] = 0, y reemplazando y[n − k] por z −k , se obtiene el polinomio p (z) [ecuaci´on (3.26)] 1 − az −1 = 0.

La ra´ız de este polinomio es

z=a

de modo que, de acuerdo con (3.27), la forma general de la soluci´on homog´enea es yh [n] = Aan .

(3.31)

La respuesta libre del sistema es un miembro de la familia de las soluciones homog´eneas, y el valor de las condiciones iniciales permite especificar un elemento particular de esa familia. En este caso las condiciones iniciales permiten determinar de manera u ´nica el valor de A. Suponiendo una condici´on inicial y[−1], de (3.31) se encuentra que A debe satisfacer y[n] = Aa−1 ⇒ A = ay[−1]. De modo que la respuesta libre del sistema(3.7) con condici´on inicial y[−1] es yn [n] = y[−1]an+1 , que coincide con la salida (3.13) calculada por el m´etodo de recursi´ on.

(3.32)

3.1. ECUACIONES A DIFERENCIAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

12

Ejemplo 5 Determinar la soluci´on homog´enea del sistema y[n] − 3y[n − 2] − 4y[n − 2] = x[n] + 2x[n − 1],

(3.33)

y la respuesta libre para condiciones iniciales y[−1] = c1 , y[−2] = c2 . Para hallar la soluci´on de la soluci´on homog´enea se construye el polinomio auxiliar p (z) [ecuaci´on (3.26)] reemplazando y[n − k] por z −k y tomando x[n] = 0. Resulta entonces p (z) = 1 − 3z −1 − 4z −2 = 0. Este polinomio tiene dos ra´ıces, z1 = −1,

z2 = 4,

de modo que la soluci´ on homog´enea (3.27) es n

n

R

yh [n] = A1 (z1 ) + A2 (z2 ) n n = A1 (−1) + A2 (4) .

(3.34)

1 4 = − y[−1] + y[−2], 5 5 16 16 = y[−1] + y[−2]. 5 5

EL IM

y resolviendo (3.30), se encuentra que

IN

A

La respuesta libre requiere calcular el valor de los coeficientes A1 y A2 en funci´on de las condiciones iniciales dadas. En este caso, las matrices (3.29) son ¸ · ¸ · ¸ · ¸ · −1 −1 14 z2−1 A1 y[−1] z1 A Y= = , = , , Z= 1 A2 y[−2] 1 16 z1−2 z2−2

A1 A2

Por lo tanto, la soluci´on natural o libre del sistema es µ µ ¶ ¶ 4 16 1 16 n y[−1] + y[−2] (4)n . yn [n] = − y[−1] + y[−2] (−1) + 5 5 5 5

(3.35)

PR

Soluci´ on forzada

on (3.15) La soluci´ on forzada yf [n] de la ecuaci´on a diferencias debe satisfacer la ecuaci´ para una se˜ nal de entrada espec´ıfica x[n]. Para resolver la ecuaci´on, se asume para yf [n] una expresi´ on similar a la de la entrada x[n]. Por ejemplo, si x[n] es una constante, se asume que la forma general de la soluci´on forzada tambi´en es una constante. Si x[n] fuese una exponencial, se supone que la forma general de la soluci´on forzada tambi´en ser´a una exponencial, etc. En la Tabla 3.1 se muestra la forma general de la soluci´on forzada para distintos tipos de se˜ nales de excitaci´on. Observe que, para el caso en que la entrada fuese un impulso (x[n] = δ[n]), resulta m´ as conveniente hallar la respuesta del sistema aplicando el m´etodo de recursi´on. Ejemplo 6 Determinemos la soluci´on forzada del sistema (3.7) del Ejemplo 3, ante una entrada tipo escal´ on unitario, es decir, x[n] = u[n]. Como la sucesi´ on de entrada es constante mara n ≥ 0, la forma supuesta para la soluci´on tambi´en es una constante, tal como sugiere la Tabla 3.1: yf [n] = Ku[n],

(3.36)

˜ CAP´ITULO 3. SENALES Y SISTEMAS DISCRETOS

13

Se˜ nal de entrada x[n]

Soluci´on forzada yf [n]

A (constante)

K (constante)

Aan

Kan

AnM

K0 nM + K1 nM−1 + · · · + KM ¡ ¢ an K0 nM + K1 nM−1 + · · · + KM

½

an nM ¾ A cos ω 0 n A sen ω 0 n

K1 cos ω0 n + K2 sen ω 0 n

Tabla 3.1: Forma general de la soluci´ on forzada para distintos tipos de se˜ nales de entrada.

A

Ku[n] = aKu[n − 1] + u[n].

R

donde el valor K se determina de modo de satisfacer la ecuaci´ on a diferencias (3.7). Reemplazando en esta ecuaci´ on la soluci´on (3.36) propuesta, se tiene

Para determinar K se debe evaluar esta ecuaci´on para cualquier valor de n ≥ 1, donde no se anula ninguno de los t´erminos. Resulta entonces K = aK + 1, de modo que 1 . 1−a

IN

K= Por lo tanto, la soluci´ on forzada del sistema es

1 u[n]. 1−a

EL IM

yf [n] =

(3.37)

En base a la soluci´on homog´enea del sistema, dada por (3.31) del Ejemplo 4, y la ecuaci´ on (3.37), la soluci´ on general del sistema (3.7) para una excitaci´on x[n] = u[n] est´a dada por y[n] = yh [n] + yf [n] 1 = Aan + u[n]. 1−a

(3.38)

PR

El valor de la constante A se calcula en base a las condiciones iniciales, y la ecuaci´ on a diferencias: recuerde que si las condiciones iniciales no corresponden a las de un sistema en reposo, la ecuaci´ on a diferencias no representa un sistema lineal, y por lo tanto no vale el principio de superposici´on. Hasta ahora hemos visto c´ omo calcular las dos componentes de la soluci´ on de una ecuaci´ on a diferencias con coeficientes constantes: estas dos componentes son la soluci´ on homog´enea y la soluci´ on forzada. A partir de estas dos componentes, se puede calcular la soluci´ on total, a partir de la cual se puede obtener la respuesta del sistema con condiciones iniciales nulas, ante una entrada cualquiera. Soluci´ on total de la ecuaci´ on a diferencias La soluci´ on total de la ecuaci´on a diferencias es la suma de la soluci´ on homog´enea y de la soluci´ on forzada, y[n] = yh [n] + yf [n]. Como en la soluci´ on homog´enea aparecen coeficientes indeterminados Am , ´estos deben determinarse a partir de las condiciones iniciales, y de la propia ecuaci´on del sistema. Los siguientes ejemplos muestran el procedimiento.

3.1. ECUACIONES A DIFERENCIAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

14

Ejemplo 7 Determinar la respuesta del sistema (3.7) del Ejemplo 3 para condiciones iniciales de reposo. Como el sistema est´a inicialmente en reposo, y[−1] = 0, y reemplazando para n = 0 en (3.7), resulta y[0] = ay[−1] + 1 ⇒ y[0] = 1. Evaluando 3.38 en n = 0, se tiene y[0] = A +

1 =1 1−a

de donde

−a . 1−a Por lo tanto, la respuesta total del sistema, inicialmente en reposo, ante una entrada escal´ on es A=

A

=

1 −a n a + u[n], 1−a 1−a 1 − an+1 , n ≥ 0, 1−a

R

y[n] =

IN

que coincide con la soluci´ on hallada en el Ejemplo 3 por el m´etodo de recursi´ on haciendo y[−1] = 0. En efecto, la soluci´on (3.10) para y[−1] = 0 y una entrada x[n] = u[n] es y[n] = y[−1]an+1 +

n X

k=0

n+1

1−a . 1−a

EL IM

=

ak x[n − k] (3.39)

Ejemplo 8 Para determinar la respuesta del sistema (3.7) del Ejemplo 3 con una condici´on inicial y[−1] = c 6= 0, se repite el desarrollo previo. En este caso, reemplazando para n = 0 en (3.7), resulta y[0] = ay[−1] + 1.

PR

Evaluando (3.38) en n = 0, se tiene

y[0] = A +

1 = ay[−1] + 1. 1−a

de donde

A = =

−1 + ay[−1] + 1 1−a −a + ay[−1]. 1−a

De modo que la respuesta del sistema con condiciones iniciales y[−1] = c 6= 0 ante una entrada escal´on es µ ¶ 1 −a y[n] = + ay[−1] an + u[n] 1−a 1−a 1 − an+1 , n ≥ 0. = an+1 y[−1] + 1−a Nuevamente, esta soluci´ on coincide con la soluci´on (3.10) hallada en el Ejemplo 3 por el m´etodo de recursi´ on.

˜ CAP´ITULO 3. SENALES Y SISTEMAS DISCRETOS

15

A

R

Del ejemplo anterior se desprende que la constante A de la soluci´on homog´enea depende no s´ olo de la condici´ on inicial y[−1], sino tambi´en de la funci´on que excita al sistema. En consecuencia, el valor de esta constante influye tanto en la respuesta libre como en la respuesta del sistema con condiciones iniciales de reposo. Si se desea calcular la soluci´on del sistema en estado de reposo, basta calcular los Am a partir de condiciones iniciales nulas, como en el Ejemplo 7. Es interesante notar que la soluci´on forzada del sistema (3.37) tambi´en puede calcularse a partir de la respuesta del sistema en reposo. En efecto, si |a| < 1, haciendo tender n → ∞ en (3.39) se tiene que 1 1 − an+1 yf [n] = lim = . n→∞ 1 − a 1−a Como esta respuesta en general no se anula cuando n → ∞, se la suele llamar la respuesta de estado estacionario del sistema. Esta respuesta persiste tanto tiempo como persista la se˜ nal de entrada. La componente de la salida que se extingue a medida que n crece se denomina respuesta transitoria del sistema

IN

Ejemplo 9 Calculemos la respuesta del sistema (3.33) del Ejemplo 5 ante una se˜nal de entrada x[n] = 4n u[n]. La soluci´on homog´enea de este sistema est´a dada por la ecuaci´on (3.34), yh [n] = A1 (−1)n + A2 (4)n .

EL IM

La soluci´on forzada, de acuerdo con la Tabla (3.1), se supone exponencial, de la misma forma que x[n], yf [n] = K (4)n u[n]. Sin embargo, como esta soluci´on ya est´a contenida en la soluci´ on homog´enea (3.34), de modo que la soluci´ on propuesta es redundante. Por este motivo se elige una soluci´on particular que sea linealmente independiente de los t´erminos contenidos en la soluci´ on homog´enea. Este tipo de tratamiento es el mismo que se adopta cuando se tienen ra´ıces m´ ultiples en la soluci´ on del polinomio caracter´ıstico (3.26). Se supone entonces yf [n] = Kn (4)n u[n].

(3.40)

Reemplazando (3.40) en (3.33) se obtiene

PR

n

Kn (4) u[n] − 3K (n − 1) (4)

n−1

u[n − 1] − 4K (n − 2) (4) n

n−2

(4) u[n] + 2 (4)

u[n − 2] =

n−1

u[n − 1]

Para determinar K se eval´ ua esta ecuaci´ on para cualquier n ≥ 2, donde no se anula ninguno de los escalones unitarios. Para simplificar las cuentas, se adopta n = 2, de donde se obtiene K = 6/5. Entonces, 6 yf [n] = n (4)n u[n]. 5 La soluci´on total se calcula teniendo en cuenta la soluci´ on homog´enea (3.34): y[n] = yh [n] + yf [n] 6 n n n = A1 (−1) + A2 (4) + n (4) , 5

n ≥ 0,

(3.41)

donde las constantes A1 y A2 se determinan para satisfacer las condiciones iniciales. De la ecuaci´ on del sistema (3.33) se obtiene y[0] = 3y[−1] + 4y[−2] + 1, y[1] = 3y[0] + 4y[−1] + 6 = 13y[−1] + 12y[−2] + 9.

3.1. ECUACIONES A DIFERENCIAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

16

Por otra parte, de la soluci´ on general (3.41) evaluada en n = 0 y en n = 1 se tiene y[0] = A1 + A2 , y[1] = −A1 + 4A2 +

24 . 5

Igualando los dos conjuntos de ecuaciones, se pueden calcular los valores de A1 y A2 en funci´on de y[−1] e y[−2]. En particular, si se desea evaluar la respuesta forzada del sistema ante condiciones iniciales nulas, debe adoptarse y[−1] = y[−2] = 0, de donde A1 + A2 24 −A1 + 4A2 + 5

= 1, = 9,

de modo que

R

26 1 , A2 = . 25 25 Finalmente, la soluci´ on forzada correspondiente a condiciones iniciales nulas (sistema en reposo) est´a dada por 26 6 1 (3.42) (4)n + n (4)n , n ≥ 0. y[n] = − (−1)n + 25 25 5 La soluci´on del sistema para cualquier condici´on inicial est´a dada por la suma de la respuesta natural o libre (3.35) y la respuesta forzada para el sistema en reposo (3.42): µ µ ¶ ¶ 6 1 4 16 1 26 16 n y[n] = − − y[−1] + y[−2] (−1) + + y[−1] + y[−2] (4)n + n (4)n , 25 5 5 25 5 5 5

EL IM

IN

A

A1 = −

PR

para n ≥ 0.