ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES Alejandro Lugon 2008-1

1.

Ecuaciones De Segundo Orden Consideremos la ecuaci´ on: xt+2 + axt+1 + bxt

=

0

(1)

la cual podemos escribir como: xt+2 = −axt+1 − bxt De esta u ´ltima forma nos podemos dar cuenta que si conocemos x0 y x1 podemos calcular x2 = −ax1 −bx0 y luego x3 = −ax2 − bx1 y de esta manera calcular cualquier xt de forma recursiva. Esto nos lleva a formular: Teorema 1 Dada la ecuaci´ on xt+2 + axt+1 + bxt = 0 y los valores iniciales x0 y x1 , existe una u ´nica sucesi´ on {x0 , x1 , x2 , . . . } que la resuelve.

Entonces la ecuaci´ on (??) tiene infinitas soluciones pero si nos dan x0 y x1 solo una de estas soluciones cumple con dichas condiciones iniciales. Esta proposici´on nos asegura que, dadas x0 y x1 , si encontramos una soluci´ on esta es la u ´nica. Otro resultado que es f´ acil probar es: Teorema 2 Dada la ecuaci´ on xt+2 + axt+1 + bxt = 0 si tenemos dos soluciones xt = f (t) y xt = g(t), con diferentes condiciones iniciales, entonces xt = Af (t) + Bg(t) es tambi´en soluci´ on de la ecuaci´ on para A, B ∈ R.

Si juntamos estos dos resultados vemos que basta encontrar dos soluciones independientes, xt = f (t) y xt = g(t). Con estas dos soluciones podemos generar cualquier soluci´on de manera general: xt = Af (t)+Bg(t). Si tenemos x0 y x1 , podemos encontrar la soluci´on particular para estos valores encontrando A y B tales

1

que: x0

= Af (0) + Bg(0)

x1

= Af (1) + Bg(1)

Un punto importante es que las soluciones deben ser independientes para poder resolver este sistema. Entonces el problema se limita a encontrar un par de soluciones. Para empezar probemos si una soluci´ on del tipo xt = rt satisface (??). Tenemos: xt

=

rt

xt+1

=

rt+1 = rt r1

xt+2

=

rt+2 = rt r2

reemplazando: rt+2 + art+1 + brt

=

0

t

=

0

rt (r2 + ar + b)

=

0

t 2

t

r r + ar r + br

vemos que r = 0 har´ıa que se cumpla la ecuaci´on , pero esto nos llevar´ıa a la soluci´on trivial xt = 0. La otra posibilidad es que r cumpla: r2 + ar + b = 0 pero esta ecuaci´ on tiene dos soluciones: r1

=

r2

=

√

a2 − 4b √2 −a − a2 − 4b 2 −a +

Estas dos soluciones pueden caer en tres casos: 1. r1 , r2 ∈ R con r1 6=2 2. r1 , r2 ∈ R con r1 = r2 = r 3. r1 , r2 ∈ C Veamos cada caso por separado.

1.1.

Ra´ıces reales diferentes (a2 − 4b > 0)

Este es el caso m´ as f´ acil, tenemos que xt = (r1 )t y xt = (r2 )t son soluci´on de ??, entonces: xt = A(r1 )t + B(r2 )t

2

tambi´en es soluci´ on de ??. Las dos constantes A y B ser´an las encargadas de que esta soluci´on cumpla las condiciones iniciales: x0 = A + B x1 = Ar1 + Br2 Si nos dan x0 y x1 podremos encontrar A y B y tener la soluci´on buscada.

1.2.

Ra´ıces reales iguales (a2 − 4b = 0)

Este caso es un poco m´ as complicado, solo tenemos una soluci´on: xt = rt . Nos faltar´ıa otra para poder aplicar los teoremas vistos. Esta otra es xt = trt , verifiquemos: xt

=

trt

xt+1

=

(t + 1)rt+1 = trt r + rt r

xt+2

=

(t + 2)rt+2 = trt r2 + 2rt r2

reemplazamos en (??): trt r2 + 2rt r2 + a(trt r + rt r) + b(trt )

=

0

t(rt r2 + art r + brt ) + 2rt r2 + art r

=

0

=

0

=

0

t

2

t

tr (r + ar + b) + r r(2r + a) t

t

tr (0) + r r(0)

donde en el u ´ltimo paso recordamos que r = −a/2 es ra´ız de r2 + ar + b = 0. Con esto podemos formar la soluci´ on general: xt = Art + Btrt Como antes las dos constantes A y B ser´an las encargadas de que esta soluci´on cumpla las condiciones iniciales: x0

=

A

x1

=

Ar + Br

Si nos dan x0 y x1 podremos encontrar A y B y tener la soluci´on buscada.

1.3. √

Ra´ıces complejas (a2 − 4b < 0)

En este caso las ra´ıces son complejos conjugados: r1 = α + iβ y r2 = α − iβ con α = −a/2 y β = 4b − a2 /2. Para usar estas ra´ıces en la construcci´ on de las soluciones es m´as conveniente escribirlas de la forma: r1 = R(Cos(θ) + iSen(θ))

3

r2 = R(Cos(θ) − iSen(θ)) donde R=

q p p p √ α2 + β 2 = (−a/2)2 + ( 4b − a2 /2)2 = a2 /4 + (4b − a2 )/4 = b

y θ es tal que

√ √ Cos(θ) = α/R = (−a/2)/ b = −a/(2 b)

As´ı tenemos que: (r1 )t = Rt (Cos(θt) + iSen(θt)) (r2 )t = Rt (Cos(θt) − iSen(θt)) y podr´ıamos formar la soluci´ on xt = C(Rt (Cos(θt) + iSen(θt))) + D(Rt (Cos(θt) − iSen(θt))) la cual ordenando t´erminos nos da: xt = Rt ((C + D)Cos(θt) + i(C − D)Sen(θt)) el problema con esta posible soluci´ on es el t´ermino imaginario i. Podemos “ deshacernos”de este t´ermino si pensamos que C y D pueden ser tambi´en n´ umeros complejos conjugados: C = A/2−iB/2 y D = A/2+iB/2, con lo cual C + D = A y i(C − D) = B. Con lo cual obtenemos finalmente nuestra soluci´on: xt = Rt (ACos(θt) + BSen(θt)) con

√ R=

y

b

−a Cos(θ) = √ 2 b Las constantes A y B se determinan con las condiciones iniciales: x0

= A

x1

= R(ACos(θ) + BSen(θ))

Si nos dan x0 y x1 podremos encontrar A y B y tener la soluci´on buscada.

2.

Ecuaciones de dimensi´ on mayor que 2 Sea la ecuaci´ on: xt+n + a1 xt+n−1 + a2 xt+n−2 + · · · + an−1 xt+1 + an xt = 0 Su polinomio caracter´ıstico: rt+n + a1 rt+n−1 + a2 rt+n−2 + · · · + an−1 r + an = 0

4

tiene, tomando en cuenta la multiplicidad, n ra´ıces entre reales y complejas. Las ra´ıces reales pueden ser m´ ultiples. Las ra´ıces complejas se presentan en pares conjugados los cuales tambi´en pueden ser simples o m´ ultiples. La soluci´ on general del sistema de ecuaciones diferenciales est´a determinada por una combinaci´on lineal de n soluciones independientes. Estas soluciones corresponden a las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico, consideremos que tenemos M ra´ıces reales λj con multiplicidad mj y 2N ra´ıces complejas conjugadas por pares (N pares), αl ± iβl = R(Cos(θ) ± Sen(θ)) con multiplicidad ml cada par1 . La soluci´ on se conforma la siguiente manera: Cada ra´ız real, λj con multiplicidad mj , genera los mj t´erminos: (λj )t , t(λj )t , t2 (λj )t , . . . , tmj −1 (λj )t Cada par de ra´ıces complejas conjugadas R(Cos(θl ) ± Sen(θl )) con multiplicidad ml , genera los 2ml t´erminos: Rt Cos(θl t), tRt Cos(θl t), t2 Rt Cos(θl t), . . . , tml −1 Rt Cos(θl t) Rt Sen(θl t), tRt Sen(θl t), t2 Rt Sen(θl t), . . . , tml −1 Rt Sen(θl t) De esta manera la soluci´ on, xt es una combinaci´on lineal de todos los t´erminos generados. Esta combinaci´ on genera n constantes que se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales: x0 , x1 ,. . . ,xn−2 y xn−1 . Si la ecuaci´ on no es homogenea, la soluci´on particular se puede encontrar por el mismo m´etodo anterior.

1 En

ambos casos las ra´ıces simples tienen multiplicidad m = 1

5