5.

Perímetro,

área y volumen

Matemáticas 4º ESO Opción B

128

1.

Modelos lineales, cuadráticos y cúbicos

2.

Ecuaciones de segundo grado

3.

Hipérbolas, funciones raíz y funciones inversas

Perímetro, área y volumen

1. Modelos lineales, cuadráticos y cúbicos 

DIAGONAL DEL CUBO

a) El lado de un cuadrado mide x metros. ¿Cuánto medirá la diagonal?. b) El lado de un cubo mide x metros. ¿Cuánto medirá la diagonal?.

c) Si aumentamos la arista de un cubo, ¿qué aumenta más, la diagonal de una cara o la diagonal del cubo?. d) Haz una gráfica que muestre en unos mismos ejes la evolución de la diagonal de la cara y la diagonal del cubo. e) Busca fórmulas que expresen: 1) la diagonal del cuadrado en función de x; 2) la diagonal del cubo en función de x.



RECTÁNGULO

En el rectángulo ABCD se considera MB=x. a) Expresa el área de AMCD en función de x. b) ¿Para qué valor de x el área AMCD es 3 4 del área de ABCD?. Representa la figura anterior para este valor de x y comprueba tus cálculos sobre el dibujo.

129

Matemáticas 4º ESO Opción B



TRAPECIO

El trapecio rectángulo ABCD tiene dimensiones: AB=6, BC=4 y CD=9.

M es el punto de CD tal que CM=x. a) Calcula la función f(x) que da el área del triángulo ADM en función de x. b) Calcula la función g(x) que da el área del trapecio ABCM en función de x. c) ¿Para qué valor de x las dos áreas son iguales?. ¿Cuál es, entonces, el valor del área?. d) Calcula f(9) y g(9). ¿Qué representan geométricamente estos números?. e) Calcula la expresión de f(x) + g(x) e interpreta geométricamente este resultado.



TRIÁNGULO

En el triángulo ABC se considera AP=x. a) ¿Qué valores puede tomar x?. b) Utiliza el teorema de Tales para expresar PQ en función de x. Representa gráficamente dicha función. c) Expresa la longitud L del camino PQR en función de x y representa gráficamente la función L(x). d) ¿Qué valor de x hace que el camino PQR sea el más corto posible?. ¿Y el más largo?.

130

Perímetro, área y volumen



TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS

Dibuja un triángulo equilátero de lado 10 cm y traza una recta paralela a uno de los lados; se obtiene, así, un nuevo triángulo. Desplazando la recta, manteniéndola siempre paralela al lado elegido, se puede obtener otros triángulos. Estudia estos triángulos.

a) Construye tablas que expresen, respectivamente, el lado, la altura, el perímetro y el área de cada uno de los triángulos obtenidos. ¿Cómo debes elegir la variable?. b) Representa gráficamente las tablas anteriores, indicando en el eje horizontal la variable elegida y en el eje vertical la magnitud correspondiente (lado, altura, perímetro, área). c) Busca fórmulas que expresen el lado, la altura, el perímetro y el área de los triángulos obtenidos, en función de la variable elegida. d) ¿Entre qué valores puede variar la variable que has elegido?. ¿Qué ocurre cuando toma el valor 0?. ¿Y cuando toma el valor máximo?. Si se toma un valor concreto de la variable, ¿qué información proporciona del triángulo correspondiente?. El dominio (o campo de existencia) de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable en el contexto del problema y para los que la función está definida y, por tanto, tiene gráfica. e) ¿Cuál es el dominio de cada una de las funciones que has obtenido anteriormente?. f)

Analiza y compara las gráficas obtenidas. ¿Cuáles son crecientes?. ¿Cuáles decrecientes?. ¿Depende esto de la elección de la variable independiente?. El crecimiento ¿es igual de rápido en todas las gráficas?. ¿Cuándo se alcanza el valor máximo?. ¿Hay simetría entre algunas de las gráficas obtenidas?. Si superponemos dos gráficas, ¿qué significa el punto de corte?.

g) ¿Qué recta divide al triángulo inicial en dos zonas de igual área?.

131

Matemáticas 4º ESO Opción B



PERÍMETRO CONSTANTE

Toma una cuerda, mide sobre ella 40 cm y átala de manera que tenga un anillo de 40 cm de longitud. Sobre una trama de centímetros cuadrados, ve construyendo con esa cuerda rectángulos de distinta base.

10 12

8 10

Todos ellos tendrán el mismo perímetro, pero veamos lo que ocurre con la altura y con el área al ir variando la base. Para ello, construye la siguiente tabla: BASE (cm)

1

2

3

4

5

... ... ... ...

20

ALTURA (cm) 2

ÁREA (cm ) Con los datos de la tabla adjunta dibuja una gráfica base – altura y otra gráfica base – área.

132

Perímetro, área y volumen

a) ¿Puede haber un rectángulo en el que uno de los lados mida 2’5 cm?. ¿Y 14’75 cm?. ¿Y 20’25 cm?. ¿Qué necesitas decidir para construir el rectángulo?. b) Busca una fórmula que exprese la altura de cada rectángulo en función de la base. c) Busca una fórmula que exprese el área de cada rectángulo en función de la base. d) Podemos darle a la base el valor 0’5, y también 0’1, y 0’01, ... ¿Le podemos dar el valor 0?. ¿Cuál es el dominio de la función base – altura?. ¿Y el de la función base – área?. El conjunto de valores que toma una función, correspondientes a cada uno de los valores del dominio, se llama imagen (o recorrido) de la función. e) ¿Cuál es el conjunto imagen de las funciones base – altura y base – área?. f)

¿Cómo es la gráfica de la función base – altura?. ¿Creciente o decreciente?. Al aumentar el valor de la base, no siempre aumenta el área. ¿Cuándo sí ocurre y cuándo no?.

g) ¿Cuál es el rectángulo que tiene mayor área?. ¿Y el de menor área?.



CUADRADOS

Utilizando una trama de cuadrados, completa la siguiente tabla: LADO DEL CUADRADO (cm)

1

2

3

4

5

... ... ... ...

2

ÁREA DEL CUADRADO (cm ) a) Dibuja la gráfica en unos ejes cartesianos. b) ¿Se duplica el área al duplicar el lado?. c) Si el lado se hace el triple, ¿el área se triplica?.



PARÁBOLAS

Dibuja la gráfica de la función y  x 2 , construyendo previamente una tabla de valores. Recuerda que la variable x puede tomar tanto valores positivos, cero, como negativos. a) Estudia el perfil obtenido. ¿Para qué valores de x es creciente?. ¿Y decreciente?. ¿Tiene máximo?. ¿Tiene mínimo?. ¿Podrías obtener toda la gráfica con sólo tener media parte?. ¿Cómo?. 133

Matemáticas 4º ESO Opción B

La gráfica de la función y  x 2 es una curva llamada parábola y tiene las siguientes propiedades: 

Es simétrica respecto del eje de ordenadas (eje OY), es decir, al doblar el papel por dicho eje coinciden las dos ramas de la curva. Esto significa que al cambiar x por x en la fórmula de la función, la y no cambia. Se dice que la función es par.

 El punto más bajo (origen de coordenadas) es el vértice de la parábola. A la izquierda del vértice la función es decreciente, y a la derecha creciente.

b) Utilizando cartulina resistente construye una plantilla con el perfil de la gráfica anterior y usa dicha plantilla para dibujar las gráficas de las siguientes parábolas: 1) y  x 2  3 4) y  x  3

3) y  x  4

2) y  x 2  4 5) y  x  4  3

2

2

2

6) y  x  3  2 2

Para ello te servirá de ayuda comparar las tablas de valores de estas funciones con la de y  x 2 . c) Utiliza la plantilla de y  x 2 para dibujar las siguientes parábolas: 1) y   x 2 5) y  x  3

2) y  x 2  3 2

4) y  x  4

3) y  x 2  4

6) y  x  4  3 2

2

7) y  x  3  2 2

d) Dibuja en unos mismos ejes de coordenadas las gráficas de las siguientes funciones:

y  x 2 , y  2x 2 , y  0'5x2 . ¿Puedes utilizar ahora la plantilla de y  x 2 ?. ¿Qué relación existe entre las tres gráficas?. La gráfica de cualquier función de segundo grado del tipo y  a  x  p   q es una parábola cuyo vértice es el punto de coordenadas V(p, q) y es simétrica respecto de la vertical que pasa por el vértice. El vértice de la parábola es un mínimo si a>0 y es un máximo si a