Junio 2012. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 3 puntos) Un estadio de futbol con capacidad para 72000 espectadores está lleno durante la celebración de un partido entre los equipos A y B. Unos espectadores son socios del equipo A, otros lo son del equipo B, y el resto no son socios de ninguno de lo equipos. A través de la venta de localidades sabemos lo siguiente: (a) No hay espectadores que sean socios de ambos equipos simultáneamente. (b) Por cada 13 socios de alguno de los dos equipos hay 3 espectadores que no son socios. (c) Los socios del equipo B superan en 6500 a los socios del equipo A ¿Cuántos socios de cada equipo hay en el estadio viendo el partido? Solución. x ≡ nº de socios de A y ≡ nº de socios de B z ≡ nº de no socios Datos: (a ) x + y + z = 72000  x + y + z = 72000 x+y z   (b ) = 0  : 3x + 3y − 13z = 13 3  x − y = − 6500 (c ) y = 6500 + x   El sistema se puede resolver de forma muy sencilla por reducción. z = 72000 x + y + 13  z = 0 x + y − 3  = − 6500 x − y Restando las dos primeras ecuaciones se calcula z 16 1ª +2ª : z = 72000 z = 13500 3 El sistema se reduce a dos incógnitas y dos ecuaciones  x + y = 58500 Sumando 2x = 52000 x = 26000 :  x − y = −6500 Restando 2y = 65000 y = 32500 Del equipo A 26000 socios, del equipo B 32500 socios

Modelo 2011. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos) Un estudiante ha gastado un total de 48 euros en la compra de una mochila, un bolígrafo y un libro. Si el precio de la mochila se redujera a la sexta parte, el del bolígrafo a la tercera parte y el del libro a la séptima parte de sus respectivos precios iniciales, el estudiante pagaría un total de 8 euros por ellos. Calcular el precio de la mochila, del bolígrafo y del libro, sabiendo que la mochila cuesta lo mismo que el total del bolígrafo y el libro. Solución. Sea x el precio de la mochila, y el precio del bolígrafo y z el precio del libro. Se sabe que la suma de ambos ha de ser 48, lo que nos lleva a la primera ecuación del problema:

x + y + z = 48

Por otra parte se sabe que el precio de la mochila reducido a la sexta parte, más el del bolígrafo reducido a la tercera y el del libro a la séptima suman un total de 8 euros:

x y z + + =8 6 3 7 Finalmente, el precio de la mochila (x) es igual a la suma del precio del bolígrafo (y) y del libro (z).

x= y+z

Juntando las 3 ecuaciones se tiene el sistema que es necesario resolver para obtener los precios de los 3 productos:

1

 x+y+z =8  x+y+z =8 x y z F2 = 42F2  + + = 8      →  7 x + 14 + 6z = 336 6 3 7  x = y+z   x = y+z El sistema se resuelve por cualquier método, obteniendo de solución: x = 24 €; y = 3 €; z = 21 €

Modelo 2009. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 3 puntos) Un hotel adquirió un total de 200 unidades entre almohadas, mantas y edredones, gastando para ello un total de 7500 euros. El precio de una almohada es de 16 euros, el de una manta 50 euros y el de un edredón 80 euros. Además, el número de almohadas compradas es igual al número de mantas más el número de edredones. ¿Cuántas almohadas, mantas y edredones ha comprado el hotel? Solución. El problema se resuelve mediante un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Las incógnitas son: x ≡ Número de almohadas compradas por el hotel. y ≡ Número de mantas compradas por el hotel. z ≡ Número de edredones comprados por el hotel. Ecuaciones. “Un hotel adquirió un total de 200 unidades entre almohadas, mantas y edredones.” x + y + z = 200 “Gastando para ello un total de 7500 euros. El precio de una almohada es de 16 euros, el de una manta 50 euros y el de un edredón 80 euros.” 16x + 50y + 80z = 7500 “El número de almohadas compradas es igual al número de mantas más el número de edredones.” x=y+z Ordenando se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. x + y + z = 200   16x + 50 y + 80z = 7500  x−y−z = 0 

1 1 1   A = 16 50 80  : A = 60 ≠ 0 ⇒ Sistema compatible determinado (Cramer ).  1 − 1 − 1   200

1

1

1

7500 50 80 x=

Ax A

=

0

−1 −1 60

200

1

16 7500 80 =

Ay

1 6000 = 100 x = = 60 A 1

1

0 60

−1

=

4200 = 700 60

200

16 50 7500 x=

Az A

=

1

−1 60

0

=

1800 = 30 60

El sistema se puede resolver por cualquier método conocido, recomiendo el método de Cramer por ser el más metódico, aunque en este caso, sumando la 1ª y 3ª ecuación se puede despejar x, dejando el sistema reducido a dos ecuaciones con dos incógnitas.

2

Septiembre 2008. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos) Una empresa instala casas prefabricadas de tres tipos A, B y C. Cada casa de tipo A necesita 10 horas de albañilería, 2 de fontanería y 2 de electricista. Cada casa de tipo B necesita 15 horas de albañilería, 4 de fontanería y 3 de electricista. Cada casa de tipo C necesita 20 horas de albañilería, 6 de fontanería y 5 de electricista. La empresa emplea exactamente 270 horas de trabajo al mes de albañilería, 68 de fontanería y 58 de electricista. ¿Cuántas casas de cada tipo instala la empresa en un mes? Solución. Variables: x ≡ número de casas tipo A y ≡ número de casas tipo B z ≡ número de casas tipo C Los datos se pueden reunir en un cuadro de contingencia.

Albañilería

Fontanería

Electricista

10 2 2 Tipo A 15 4 3 Tipo B 20 6 5 Tipo C 270 68 58 Totales Cada tipo de trabajo permite plantear una ecuación. 10x + 15y + 20z = 270 2 x + 3y + 4z = 54   SIMPLIFICANDO 2 x + 4 y + 6 z = 68        →   x + 2 y + 3z = 34  2x + 3y + 5z = 58  2x + 3y + 5z = 58   Para resolver el sistema se calcula el determinante de la matriz de coeficientes, si |A| ≠ 0, sistema compatible determinado, se resuelve por el método de Cramer. 2 3 4

det A = 1 2 3 = 20 + 18 + 12 − (18 + 15 + 16) = 50 − 49 = 1 ≠ 0 2 3 5 54 3 4 34 2 3

x=

Ax A

=

58 3 5 1

= 10 : y =

Ay A

=

2 54 4

2 3 54

1 34 3

1 2 34

2 58 5 1

= 6: z =

Az A

=

2 3 58 1

=4

Solución: 10 casas tipo A, 6 casas tipo B y 4 casas tipo C.

Junio 2008. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos) Un agricultor tiene repartidas sus 10 hectáreas de terreno en barbecho, cultivo de trigo y cultivo de cebada. La superficie dedicada al trigo ocupa 2 hectáreas más que la dedicada a la cebada, mientras que en barbecho tiene 6 hectáreas menos que la superficie total dedicada al cultivo de trigo y cebada. ¿Cuántas hectáreas tiene dedicadas a cada uno de los cultivos y cuántas están en barbecho? Solución. Problema de tres incógnitas con tres ecuaciones. Incógnitas: - x ≡ nº de hectáreas dedicadas a barbecho. - y ≡ nº de hectáreas dedicadas a trigo - z ≡ nº de hectáreas dedicadas a cebada. Ecuaciones: Número total de hectáreas 10: x + y + z = 10 La superficie dedicada al trigo ocupa 2 hectáreas más que la dedicada a la cebada: y=z+2 La superficie dedicada a barbecho tiene 6 hectáreas menos que la superficie total dedicada al cultivo de trigo y cebada:

3

x=y+z−6 Ordenando se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que al resolverlo nos da la superficie dedicada a cada cosa.  x + y + z = 10   y−z = 2  x − y − z = −6  Sumando la 1ª y la 3ª ecuación se despeja x. x + y + z = 10  (+ ) : 2x = 4 : x = 2 x − y − z = −6  Sustituyendo 2n 2l sistema el valor de x, se reduce a dos ecuaciones con dos incógnitas, que sumando y restando permite calcar las variables que faltan. y + z = 8 y + z = 8 (+ ) : 2 y = 10 : y = 5 (− ) : 2z = 6 : y = 3 y − z = 2 y − z = 2 x = 2; y =5; z = 3 También se puede resolver por el método de Cramer. Septiembre 2001. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 3 puntos) Un hipermercado inicia una campaña de ofertas. En la primera de ellas descuenta un 4% en un cierto producto A, un 6% en el producto B y un 5% en el producto C. A las dos semanas pone en marcha la segunda oferta descontando un 8% sobre el precio inicial de A, un 10% sobre el precio inicial de B y un 6% sobre el precio inicial de C. Se sabe que si un cliente compra durante la primera oferta un producto A, dos B y tres C, se ahorra 16 euros respecto del precio inicial. Si compra tres productos A, uno B y cinco C en la segunda oferta, el ahorro es de 29 euros. Si compra un producto A, uno B y uno C, sin ningún tipo de descuento, debe abonar 135 euros. Calcúlese el precio de cada producto antes de las ofertas. Solución. Se pide plantear y resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. x ≡ Precio del articulo A y ≡ Precio del articulo B z ≡ Precio del articulo C 1ª Ecuación. Ahorro en la primera oferta: 4 6 5 ⋅x + ⋅ 2y + ⋅ 3z = 16 100 100 100 2ª Ecuación. Ahorro en la segunda oferta 8 10 6 ⋅ 3x + ⋅y+ ⋅ 5z = 29 100 100 100 3ª Ecuación. Gasto en la compra sin ofertas x + y + z = 135 Multiplicando las dos primera ecuaciones por cien y dividiendo la segunda por dos se obtiene el siguiente sistema: 4x + 12 y + 15z = 1600  12x + 5 y + 15z = 1450  x + y + z = 135  Para resolver el sistema se estudia el determinante de la matriz de coeficientes

4

4 12 15 12 5 15 = 101 ≠ 0 1 1 1 por ser distinto de cero, el sistema es compatible determinado, se resuelve por Cramer. 1600 12 15 4 1600 15 4 12 1600 1450 5 15 12 1450 15 12 5 1450 135 1 1 1 135 1 1 1 135 2525 5050 6060 x= = = 25 x= = = 50 x= = = 60 101 101 101 A A A

Septiembre 2000. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos) Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares y libras esterlinas. El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a 264.000 euros. Se quiere que el valor disponible en euros sea el doble del dinero en dólares, y que el valor del dinero en libras esterlinas sea la décima parte del valor del dinero en euros. Si se supone que una libra esterlina es igual a 1’5 euros y un dólar es igual a 1’1 euros, se pide determinar la cantidad de euros, dólares y libras esterlinas que la empresa ha de tener disponible. Solución. x ≡ Dinero disponible en euros; y ≡ Dinero disponible en dólares; z ≡ Dinero disponible en libras Una libra esterlina es igual a 1’5 euros Un dólar es igual a 1’1 euros

→ →

x = 1,5 z x = 1,1 y

•

“El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a 264.000 euros” x + 1,1y + 1,5 z = 264000

•

“Se quiere que el valor disponible en euros sea el doble del dinero en dólares” x = 2·1,1y

•

“El valor del dinero en libras esterlinas sea la décima parte del valor del dinero en euros” 1,5z = x/10 Las tres condiciones permiten plantear un sistema de ecuaciones lineales x + 1,1y + 1,5z = 264000  x = 2,2 y   x = 15z 

x = 165000  Resolviendo por sustitución:  y = 75000  z = 11000 

5