PRODUCTOS NOTABLES. BINOMIO CUADRADO. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES El cuadrado de la suma de dos cantidades puede representarse geométricamente cuando los valores son positivos. Véanse los siguientes pasos: Sea (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Construimos un cuadrado de “a” unidades de lado, es decir, de lado “a”.

a

a2

Construimos un cuadrado de “b” unidades de lado, es b decir, de lado “b”.

b2

a

b Construimos dos rectángulos de largo” a” y de ancho “b”

b

abab a

b

ab a

Uniendo estas cuatro figuras como se indica en la siguiente figura, formaremos un cuadrado de (a + b) unidades de lado. El área de este cuadrado es (a + b) (a + b) = (a + b)2, y como puede verse, esta área está formada por un cuadrado de área a2, un cuadrado de área b2 y dos rectángulos de área ab cada uno o sea 2ab. Luego: b2

ab

2

a

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ab

Efectuando la multiplicación en la forma general se tiene: a+b a+b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2

a + ab + ab + b2 a2 + 2ab + b2

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES. Elevar al cuadrado (a – b) equivale a multiplicar esta diferencia por sí misma: luego:

(a– b)2 = (a – b) (a – b) Efectuando la multiplicación en la forma general se tiene: a– b a– b a2 – ab –ab + b2

(a –b)2 = a2 – 2ab + b2

a2 – 2ab + b2

Ejercicios resueltos. Obtener los siguientes productos sin efectuar la multiplicación Ejemplo 1 (m + 4) 2 = m 2 + 2(m)(4) + 4 2 Indicando las operaciones. (m + 4) 2 = m 2 + 8m + 16 Simplificando operaciones.

Ejemplo 2 (7 x − 2) 2 = (7 x) 2 − 2(7 x)(2) + 2 2 Indicando las operaciones. (7 x − 2) 2 = 49 x 2 − 28 x + 4 Simplificando operaciones.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES. El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades puede representarse geométricamente mediante los siguientes pasos. Sea (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 Construimos un cuadrado de a unidades de lado, es decir, de lado a:

a

a2

Construimos un cuadrado de b unidades de lado, es decir, b de lado b:

b2

a

b

b2 a a2

Al cuadrado de lado a le quitamos el cuadrado de lado b, y trazando la línea de puntos obtenemos el rectángulo C, cuyos lados son b y (a - b). Si ahora trasladamos el rectángulo c en la forma indicada por la flecha en la siguiente figura, obtenemos el rectángulo A B C D, cuyos lados son (a + b) y (a - b), y su área será: (a + b) (a – b) = a2 – b2

a

C

D

b b

b

2

a2–b2 b2

a+b

a a2

a–b C a

A a–b

B

Efectuando la multiplicación en la forma general se tiene:

a+b a– b

(a +b)(a–b) = a2 – b2

2

a + ab – ab –b2 a2

– b2

Ejercicios resueltos. Obtener el resultado de los siguientes productos sin efectuar la multiplicación Ejemplo 1 ( m + 4)( m − 4) = m2 - 42 = m2 - 16

Minuendo sustraendo La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo. (m + 4)( m − 4) = m 2 − 16

Ejemplo 2 (7 x − 2)(7 x + 2) = (7 x) 2 − 2 2 Indicando las operaciones. (7 x − 2)(7 x + 2) = 49 x 2 − 4 Simplificando operaciones.

Ejemplo 3 (3 z − 5)(3 z + 5) = (3z ) 2 − 5 2 Indicando las operaciones. (3 z − 5)(3z + 5) = 9 z 2 − 25 Simplificando operaciones.

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN TÉRMINO COMÚN. Sean dos binomios x+a y x+b que tienen un término común x, en los cuales “a” y “b” representan términos algebraicos cualesquiera. Representación geométrica. b

bx

ab Por lo tanto

x

2

ax

x

(x + a)(x + b) = x2+ax+bx+ab Factorizando el término común x (x + a)(x + b) = x2+ (a+b)(x) + ab

x

a

El producto de dos binomios que tienen término común se obtiene sumando algebraicamente el cuadrado del término común, el producto de este término común por la suma algebraica de los términos no comunes y el producto de estos dos últimos términos. Efectuando la multiplicación en la forma general se tiene: x+a x+b

(x + a)(x + b) = x2+ (a+b)(x) + ab 2

x + ax bx + ab x2 + (a+b)(x) + ab Ejercicios resueltos. Obtener el resultado de los siguientes productos sin efectuar la multiplicación. Ejemplo 1 ( a − 3)( a + 4) = (x + a)(x + b) = x2+ (a+b)(x) + ab

El producto de dos binomios que tienen término común se obtiene sumando algebraicamente el cuadrado del término común, el producto de este término común por la suma algebraica de los términos no comunes y el producto de estos dos últimos términos. (a − 3)(a + 4) = (a ) 2 + (−3 + 4)(a ) + (−3)(+4) Considerando los signos en la suma y multiplicación (a − 3)(a + 4) = a 2 + (1)(a ) − 12 (a − 3)(a + 4) = a 2 + a − 12

Ejemplo 2 ( x + 7)( x − 3) = ( x) 2 + (+7 − 3)( x) + (+7)(−3) Indicando las operaciones. ( x + 7)( x − 3) = x 2 + (+4)( x) + (−21) Considerando los signos en la suma y multiplicación. ( x + 7)( x − 3) = x 2 + 4 x − 21 Ejemplo 3 (2 x − 9)(2 x + 3) = (2 x) 2 + (−9 + 3)(2 x) + (−9)(+3) Indicando las operaciones. (2 x − 9)(2 x + 3) = 4 x 2 + (−12 x) + (−27) Considerando los signos en la suma y multiplicación. (2 x − 9)(2 x + 3) = 4 x 2 − 12 x − 27