Departamento Matemáticas TEMAS 3 y 4. Trigonometría

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CURSO: 1°BACH CCNN

1

Ángulos y razones trigonométricas 1. Hallar las razones trigonométricas de los ángulos agudos del siguiente triángulo rectángulos. Con los datos obtenidos, calcular el valor de dichos ángulos en grados sexagesimales y en radianes.

__________________________________________________________________________________ 2. Comprobar, empleando el teorema de Pitágoras, que los triángulos de vértices ABC y AHB son rectángulos . Hallar en cada uno de ellos las razones trigonométricas del ángulo B y comparar los resultados. ¿Qué se observa?

___________________________________________________________________________________ 3. Resolver los siguientes triángulos:

___________________________________________________________________________________ 4. Cuando los rayos del Sol forman un ángulo de 40º con el suelo la sombra de un árbol mide 18 m, ¿Cuál es la altura de dicho árbol?.

___________________________________________________________________________________ 5. Una escalera de 3 m está apoyada en la pared. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo, si su base está a 1'2 m de la pared?.

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2

Razones trigonométricas. Propiedades

1. Calcular la altura "h" de los triángulos que aparecen en la figura. ___________________________________________________________________________________ 2. Hallar: a) La longitud del segmento AC. b) El área del triángulo de vértices ABC.

___________________________________________________________________________________ 3. Dibuja en la circunferencia goniométrica los ángulos siguientes, indicando el signo de sus razones trigonométricas: 𝜋 5𝜋 7𝜋 8𝜋 9𝜋 𝑎) 128° 78° 293° 243° 𝑦 385° 𝑏) 𝑟𝑑. 𝑟𝑑. 𝑟𝑑. 𝑟𝑑. 𝑦 𝑟𝑑. 8 9 6 5 4 ___________________________________________________________________________________ 4. Calcular y completar la siguiente tabla con valores aproximados (dos cifras decimales).

___________________________________________________________________________________ 5. Calcular y completar la siguiente tabla con valores exactos, empleando radicales. (𝛼 < 90°)

___________________________________________________________________________________ 6. Si tg 𝛼 = −√5 𝑦 270° < 𝛼 < 360° , calcular las demás razones trigonométricas del ángulo "α". ___________________________________________________________________________________ 7. De un triángulo isósceles conocemos su lado desigual, que mide 18 m, y su altura que es de 10 m. ¿Cuánto miden sus ángulos?

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3

Resolución de triángulos rectángulos. Relaciones entre ángulos (I) 1. Dos antenas de radio están sujetas al suelo por cables tal como se indica en la figura. Calcular la longitud de cada uno de los tramos de cable y la distancia AE. ___________________________________________________________________________________ 2. Si 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 = − 5⁄4 𝑦 180° < 𝛼 < 270° , calcular las razones trigonométricas del ángulo "α". ___________________________________________________________________________________ 3. Calcular "h" y "a" en el triángulo de vértices ABC.

___________________________________________________________________________________ 4. Calcular la altura de la luz de un faro, que está sobre un acantilado, si desde un barco se toman las siguientes medidas: - El ángulo que forma la visual hacia la luz con la línea del horizonte es de 25º. - Nos alejamos 200 m, y el ángulo que forma ahora dicha visual es de 10º. ___________________________________________________________________________________ 5. Con los datos que aparecen en la figura, hallar la altura "h" de la montaña.

___________________________________________________________________________________ 6. Sabiendo que el ángulo "α" pertenece al primer cuadrante y que 𝑠𝑒𝑛(180° − 𝛼) = 0′6, calcular: 1) 𝑠𝑒𝑛 𝛼

2) cos(360° − 𝛼)

3) 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼

4) sec(180° + 𝛼)

5) 𝑡𝑔(90° − 𝛼) 6) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 (−𝛼)

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4

Resolución de triángulos rectángulos. Relaciones entre ángulos (II) 1. Una escalera para acceder a un sótano, tiene la forma y las dimensiones de la figura. Calcular la profundidad a la que se encuentra el punto B.

___________________________________________________________________________________ 2. Sabiendo que "β" pertenece al primer cuadrante y que cos(180° + 𝛽) = − 12⁄13 , calcular: 1) cos(360° − 𝛽) 2) 𝑠𝑒𝑛 𝛽 3) 𝑡𝑔 𝛽 4) 𝑐𝑜𝑡𝑔(90° − 𝛽) 5) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(180° − 𝛽) 6) sec(360° + 𝛽) ___________________________________________________________________________________ 3. Calcular los valores de "x" e "y" que aparecen en los siguientes triángulos:

___________________________________________________________________________________ 4. Hallar la longitud del segmento AB a partir de los datos de la figura.

___________________________________________________________________________________ 5. Calcular las siguientes razones trigonométricas, en función de las de los ángulos de 30º, 45º y 60º. 1) 𝑠𝑒𝑛 150°

2) 𝑡𝑔 225°

7) cos 330° 8) 𝑡𝑔 750°

3) cos 120°

4) sec 315°

5) 𝑐𝑜𝑡𝑔 240°

6) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 135°

9) 𝑠𝑒𝑛 1125° 10) sec(−300°) 11) 𝑐𝑜𝑡𝑔 (−690) 12) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 210°

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5

Fórmulas trigonométricas 1. Si 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟐° = 𝟎′𝟐𝟏 y 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟕° = 𝟎′𝟔 , hallar cos 12° , 𝑡𝑎𝑔 12° , cos 37° 𝑦 𝑡𝑎𝑔 37° . A partir de los valores obtenidos, calcular el seno, el coseno y la tangente de los ángulos de 49° 𝑦 25°. Indicar en cada caso, qué fórmulas trigonométricas se emplean y redondear los resultados obtenidos a las centésimas. ___________________________________________________________________________________ 2. Sabiendo que 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝟖° = 𝟎′𝟒𝟕 y 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝟖° = 𝟎′𝟖𝟖 calcular el seno, el coseno y la tangente de los ángulos de 56° y 14°. Indicar en cada caso, qué fórmulas trigonométricas se emplean y edondear los resultados obtenidos a las centésimas. ___________________________________________________________________________________ 3. Empleando las fórmulas de los senos y cosenos de la suma y diferencia de dos ángulos, simplificar la siguiente expresión: 5𝜋 𝜋 3𝜋 7𝜋 𝑐𝑜𝑠 ( − 𝑥) − 𝑠𝑒𝑛 ( + 𝑥) + 𝑐𝑜𝑠 ( − 𝑥) − 𝑠𝑒𝑛 ( + 𝑥) 2 2 2 2 ___________________________________________________________________________________ 4. Sabiendo que 𝐜𝐨𝐬 𝟗𝟎° = 𝟎 , calcular 𝑠𝑒𝑛 45° , cos 45° 𝑦 𝑡𝑎𝑔 45°. ___________________________________________________________________________________ 5. Demostrar que son ciertas las siguientes igualdades: 𝑎) 𝑐𝑜𝑠 2

𝛼 𝑡𝑎𝑔 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 2 2 𝑡𝑎𝑔 𝛼

𝑑)

𝑏)

𝑠𝑒𝑛 𝛽 · cos 𝛽 𝑡𝑎𝑔 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 − 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 1 − 𝑡𝑎𝑔2 𝛽

2 𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛 2𝛼 1 − cos 𝛼 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛 2𝛼 1 + cos 𝛼

𝑐) 𝑠𝑒𝑛 2𝛿 =

𝑒) 𝑡𝑎𝑔 𝛼 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛽 =

2 𝑡𝑎𝑔 𝛿 1 + 𝑡𝑎𝑔2 𝛿

cos(𝛼 − 𝛽) cos 𝛼 · 𝑠𝑒𝑛 𝛽

___________________________________________________________________________________ 6. Simplificar las siguientes expresiones: 𝑠𝑒𝑛 2𝛼 1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑎) ∶ 1 − cos 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛼

(1 − cos 𝛽)2 + 𝑠𝑒𝑛2 𝛽 𝑏) 1 − cos 𝛽

𝑐𝑜𝑠 2 𝛿 + (𝑠𝑒𝑛 𝛿 + 1)2 𝑐) 𝑠𝑒𝑛 𝛿 + 1

___________________________________________________________________________________ 7. Sabiendo que 𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎° = 𝟏⁄𝟐 , calcular 𝑠𝑒𝑛 30° , cos 30° 𝑦 𝑡𝑎𝑔 30°.

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6

Resolución de triángulos no rectángulos 1. Hallar los valores de "x" e "y", aplicando para ello los teoremas que se consideren adecuados.

___________________________________________________________________________________ 2. Calcular el valor de "y", teniendo en cuenta que los datos están expresados en metros.

___________________________________________________________________________________ 3. Un barco pide socorro y reciben sus señales en dos estaciones de radio A y C, que distan entre si 50 Km. Desde las estaciones se miden los ángulos que aparecen en la figura. Calcular a qué distancia de cada estación se encuentra el barco.

___________________________________________________________________________________ 4. Resolver los siguientes triángulos: