Sesión No. 6 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales La figura siguiente muestra un circuito que contiene una fuerza electromotriz de V volt (V), un capacitor con capacitancia de C faradios (F) y un resistor con una resistencia de R ohm (). La caída de voltaje a través del capacitor es Q/C, donde Q es la carga en coulomb (C). La ley de Kirchhoff establece:

pero I(t)=dQ/dt, así tenemos que:

Suponga que la resistencia es de 5, la capacitancia de 0.5F, la batería suministra un voltaje constante de 60V y que la carga inicial es de Q(0)=0C. Determine la carga y la corriente en el tiempo t. Considere ahora que: R=2 , C=0.001F, Q(0)=0 y V(t)=10sen60t− Determine la carga y la corriente en el tiempo t.

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Sesión No. 7 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales • La ley de Newton del enfriamiento, dice que en un cuerpo que se está enfriando, la rapidez con que la temperatura T(t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante T0 del medio que lo rodea. Al sacar un biscuit del horno, su temperatura es de 300 ºF. Tres minutos después, su temperatura es de 200 ºF. ¿Cuánto demorará en enfriarse hasta una temperatura ambiente de 70 ºF?

2da. Ley de Newton

Despejamos T

Datos para conocer K 2

=constante=

t=3 min T=100=dif de temperatura Ta=70 ºF=Temp. Ambiente T0=300=Temp. en un tiempo t=0 FÓRMULA

sustituimos k para encontrar t

Sesión No. 8 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales • Sabemos que un material radiactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad existente en cada momento. En una prueba realizada con 60 mg de este material se observó que después de 3 hr, solamente el 80 % de la masa permanecía en ese momento. Hallar: • La ecuación que exprese la cantidad restante de masa en un tiempo t. 3

Sea y la cantidad de material radiactivo

para t=0, y=60 c=60 para t=3, y=60(0.8)=48 sustituyendo en solución presente en cualquier tiempo t. • ¿Qué cantidad permanece cuando t=5 hr?

• ¿Para que valor de t, la cantidad de material es ¼ de la cantidad inicial? Para tenemos

aplicando la ley de ln

• Un cuerpo de 2 kg de masa se lanza verticalmente en el aire con una velocidad inicial V0=3 m/seg. El cuerpo encuentra una resistencia al aire proporcional a su velocidad, hallar: • La ecuación del movimiento

y como

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es decir

Es una ecuación lineal de primer orden.

para m=2

• La velocidad en un tiempo t=20 seg.

• El tiempo necesario para que el cuerpo llegue a su máxima altura.

es igual

Sesión No. 9 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales • Un cuarto tiene 60 m3 de aire, originalmente libres de monóxido de carbono. Se prende un cigarrillo y el humo, con un contenido de 4.5% de monóxido de carbono, se introduce con una rapidez de 0.002 m3/min y se deja salir la mezcla con la misma rapidez. Encontrar: • Una expresión para la concentración de monóxido de carbono en el cuarto cualquier instante.

y la ecuación es

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, es decir, ec. Lineal no homogénea.

con solución general

para t=0, c=0 entonces , con solución particular.

• La concentración de monóxido de carbono a bajos niveles, por ejemplo 0.00012 puede ser perjudicial para los seres humanos. Encontrar el tiempo en el cual se alcanza esta concentración. Para c=0.00012 tenemos De donde t=81.11 min. t=1 hr 21 min. Sesión No. 10 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales • Una masa de 98 kg de peso se cuelga de un resorte con lo que éste interrumpe su estado de reposo. Sabiendo que k=4.9 kg/m, hallar el movimiento de la masa si al soporte del resorte se le imprime una fuerza metros. Se toma el origen del sistema en el centro de gravedad de la masa cuando esta en reposo y sea x el desplazamiento de la masa en un tiempo t. El alargamiento del resorte es (x−y) entonces.

, por lo tanto de donde , la solución de la E homogénea es

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calculando, xp por el met. de coeficientes indeterminados Tenemos:

, y como x=xnxp la solución general es:

Derivando: , cuando

; , Son dos movimientos armónicos con amplitudes diferentes. • Se suspende una masa de 10 kg de un resorte, el cual se alarga 0.6533 m. La masa se pone en movimiento desde la posición de equilibrio con una velocidad inicial de 1m/seg, en la dirección hacia arriba. Hallar el movimiento resultante si la fuerza debida al aire es de 80 N. Como entonces también , o sea Tenemos , Entonces De donde , con solución general para X(0), x'(0)=−1 y como

,

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entonces es la solución particular. Sesión No.11 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales • Una partícula se mueve a lo largo del eje x, con la ley x''+4x'+13x=0 si, dicha partícula empieza su movimiento en x=0 con una velocidad inicial de 6 m/s hacia la izquierda; hallar: • x en función de t.

para , con solución general.

para

por lo tanto B=2 entonces, la solución particular es • los tiempos en que se producen las paradas. Se producen paradas cuando Entonces para de donde

, , n=1,2,3,4,...radianes. • Un hombre y su barca pesan 98 N. La fuerza ejercida en la dirección del movimiento es 4.9 kg y la resistencia al movimiento es igual al doble de la velocidad, determinar: • la velocidad 20 seg después de que la barca haya empezado a moverse

, Ec lineal no homogénea

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integrando

para , , entonces

para , • la distancia recorrida al cabo de los 20 seg.

integrando

para t=0, x=0

entonces es la solución particular para t=20, x=36.79 metros. Sesión No. 12 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales • Un circuito consta de una inductancia de 0.5H, una resistencia de 20!, un condensador cuya capacidad es de 2.5mF y una FEM de 100V. Hallar la carga y la corriente sabiendo que Q(t)=0 para I(t)=0

Entonces de donde con solución general:

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y entonces

con las condiciones dadas tenemos , por lo tanto

• Un circuito consta de una inductancia de 0.2H, una resistencia de 4! y un condensador de 10mF. Hallar la carga Q(t) y la corriente I(t) en el tiempo t, si en t=0 se tiene Q(t)=0.5C e I(t)=−1A.

, entonces

de donde

Simplificado:

Para las condiciones iniciales dadas t=0, q=0.5, I=−1, y

ambas funciones son transitorias. R 10

V C

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