1.10 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden

55

1.10 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden Ejemplo 1.10.1 Decaimiento radiactivo El isótopo radiactivo Torio 234 se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad presente. Si 100 miligramos de este material se reducen a 82.04 mg. en una semana, encontrar una expresión para la cantidad presente en cualquier instante. Encuentre también el intervalo de debe transcurrir para que la masa caiga a la mitad de su valor original. Siendo Q(t ) (en miligramos), la cantidad de Torio 234 presente en cualquier instante t (en días).[1] La función

d Q(t ) = α Q dt

(1)

Donde α representa la proporcionalidad y la podemos sustituir por k quedando d Q(t ) = kQ dt

(2)

Siendo esta una constante negativa que se debe determinar, deseamos la solución que satisfaga las condiciones iniciales Q(0) = 100 y Q(7) = 82.04 Utilizando la ecuación general de decaimiento comentada en la sección 1.1 Q(t ) = ce kt

(3)

Donde c es una constante arbitraria, la primera condición inicial requiere c = 100 por lo que tenemos Q(t ) = 100e kt

(4)

Trabajando con la segunda condición haciendo t = 7 y Q(t ) = 82.04 tenemos que ln(.8204) 82.04 = 100e7 k , por lo tanto k = 7 Resultando k = −0.02828(días ) −1

Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas

(5)

Amalia C. Aguirre Parres

1.10 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden

56

Sustituyendo (5) en la ecuación (4), queda Q(t ) = 100e −.02828t mg de t en cada instante.

el cual representa el valor

El periodo en el cual la masa a la mitad de su valor original, se le conoce como vida media del material. Sea τ el tiempo en el cual Q(t ) = 50mg Obteniendo la ecuación 50 = 100e kt o bien kτ = − ln ( 2 ) , las ecuaciones anteriores no son solo válidas para el Torio 234, sino para cualquier material que obedezca la ecuación diferencial inicial.(3), Q (t ) = ce kt Sustituyendo para el Torio 234 en la ecuación nos queda τ =

−ln ( 2 )

.02828

 24.5(dias )

Ejemplo 1.10.2 Población

Suponiendo que un estanque de lagartos posee inicialmente 100 especimenes, y que su tasa de mortandad es ∂ = 0 (de tal manera que no se están muriendo en ese momento), la tasa de natalidad es β = (0.0005) de tal manera que aumenta conforme aumenta la población. De tal manera que podemos manejar la fórmula

De lo cual

dP = ( β − ∂ ) P2 dt

(6)

dP = (.0005 ) P 2 , β = 0 con t dada en años . dt

Separando variables,

dP

∫P

2

= ∫ (.0005 ) dt

1 = 0.0005t + c cuando t = 0, P = 100 p 1 2000 Entonces c = − , de tal manera que P(t ) = 20 − t 100 Integrando −

2000 = 200 , lo cual significa que después de 10 años se 20 − 10 duplicará la población de lagartos.

Si t = 10 entonces P (10) =

Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas

Amalia C. Aguirre Parres

1.10 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden

57

Ejercicio 1.10.3 Mezclas

En un gran tanque con 1000 litros de agua pura se comienza a vaciar un solución salina con una velocidad constante de 6 L / min . La solución dentro del tanque se mantiene revuelta y sale del tanque a razón de 6 L / min también. Si la concentración de sal en la solución que entra en el tanque es de 0.1 Kg / L .

Figura 1.10.1 Tanque para líquido, con la misma razón de flujo

¿Determinar el momento en que la concentración de sal en el tanque llegue a 0.05 Kg / L ? Podremos ver el tanque como un compartimiento que contiene sal. Siendo x(t ) es la masa de la sal, en el tanque en el instante t , podemos determinar la concentración de sal en el tanque dividiendo x(t ) entre el volumen del fluido en el tanque en el instante t Utilizando

dx = razón de entrada - la razón de salida dt

(7)

para encontrar x(t ) , determinaremos la razón con la que sale la sal del tanque. La solución fluye hacia el tanque a razón de 6 L / min , con la concentración de 0.1 Kg / L . Kg  Kg  L  La razón de entrada de sal en el tanque es  6   0.1  = 0.6 L  min  min  

Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas

(8)

Amalia C. Aguirre Parres

1.10 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden

58

La solución salina se mantiene perfectamente mezclada, de modo que podemos suponer que la concentración de sal en el tanque es uniforme. O sea, en cualquier instante t la concentración es x(t ) en cualquier parte del tanque, entre el volumen del fluido en el tanque. Como el tanque al inicio tenía 1000 L , y la razón de flujo de entrada y salida del tanque es la misma, el volumen se mantiene constante en 1000 L , De tal manera que la razón de salida de la sal es  L    x(t )   Kg   3x(t ) kg 6    =  min   1000   L   500 min

(9)

Al inicio el tanque contenía agua pura, o sea x(0) = 0 Al sustituir las ecuaciones anteriores, en

dx = razón de entrada - la razón de salida dt

(10)

Para encontrar x(t ) , tenemos

dx 3 = 0.6 − x 500 dt

(11)

Tal ecuación es el modelo matemático para un problema de mezclas. Ahora resolviendo la ecuación (11),

Despejando

dx 300 − 3x = 500 dt

dx dt = 300 − 3 x 500

1 1 Integrando, tenemos − ln(300 − 3x) = t+c 3 500 Multiplicando por −3 nos queda

ln(300 − 3x) = −

3 t − 3c 500

Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas

(12)

Amalia C. Aguirre Parres

1.10 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden

Aplicando propiedades de logaritmos e O bien 300 − 3x = 3ce

x = 100 − ce

−

−

3 t 500

59

ln (300 − 3 x )

despejando, − x = ce

=e −

−

3 t 500

3 t + 3c 500

− 100 , finalmente

3 t 500

(13)

Sustituyendo condiciones iniciales para x = 0, t = 0 tenemos que 0 = −ce0 + 100 De lo que la ecuación quedaría como c = 100 , resultando 3 − t   x = 100  1 − e 500   

(14)

3 − t   Y nuestra ecuación final se establece como x(t ) = 100 1 − e 500   

Pero en el tanque tenemos 1000 litros de agua, por lo que la ecuación de la concentración de sal en el instante t . que corresponde es 3 − t x(t ) = 0.1(1 − e 500 ) Kg / L 1000

(15)

Para determinar el instante en el que la concentración de sal sea 0.05 Kg / L igualamos la anterior ecuación de lo cual resulta 0.1(1 − e

e

−

3 t 500

=−

−

3 t 500

) = 0.05

3 3 − t − t 0.05 3 + 1 , e 500 = 0.5 , ln(e 500 ) = Ln(0.5) quedando − t = −0.6931 0.1 500

 500  Resultando t = −0.6931 −  t = 115.52 min , en otras palabras, la concentración del  3  tanque será de 0.05 Kg / L una vez que haya transcurrido 115.52 min

Ejemplo 1.10.4. Circuito Eléctrico

Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas

Amalia C. Aguirre Parres

1.10 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden

60

Suponiendo que un condensador de C Farads soporta una carga inicial de Q Coulombs. Para modificar esa carga, se aplica un voltaje constante de V Volts, a través de una resistencia de R Ohms, Describir la carga del condensador para t > 0 Como E (t ) = V es constante, utilizando la siguiente ecuación la cual es determinada por la ley de Kirchhoff.

R

dq (t ) q (t ) + = E (t ) , ecuación de Voltaje en un circuito RC dt C

(16)

Dividiendo entre R ,

d 1 V q(t ) + q(t ) = dt RC R

(17)

La cual queda en la forma estándar de una ecuación lineal. Siendo p(t ) =

1 1 dt t 1 y el factor de integración u (t ) = e ∫ RC , u (t ) = e RC RC

Resolviendo la ecuación diferencial, multiplicando por el factor de integración a la ecuación diferencial 1 1 t  dq (t ) t V 1  e RC  + q (t )  = e RC RC R  dt 

(18)

Observando (18), vemos que el lado izquierdo de la ecuación corresponde a 1 1 t  t d  − RC V − RC = e q e   dt   R

(19)

Expresando la integral de ambos lados

Completando el diferencial

1 1  d  − RC t  t V RC = e q e dt     ∫  dt  ∫ R   

1 1  d  − RC t  t V RC = e q RC e dt    ∫  dt  ∫ R   

Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas

Amalia C. Aguirre Parres

1.10 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden

1

t

Integrando e RC q = RC

q = CV + ke

−

61

1 1 1 t t t V RC e + k , simplificando e RC q = CVe RC + k , despejando R

1 t RC

(20)

Por lo que nos queda q (t ) = CV + ke

−

1 t RC

(21)

Como la condición inicial es q(t ) = Q , en t = 0 entonces Sustituyendo condiciones iniciales en (21) , Q = CV + ke

−

1 ( 0) RC

Por lo tanto Q = CV + k , despejando k = Q − CV Sustituyendo el valor de k nos queda q (t ) = CV + (Q − CV )e

−

1 t RC

Ejemplo 1.10.5 Población

En cierta época la población del mundo era 5.5 mil millones de habitantes, la tasa de crecimiento aumentó a 250 mil personas diariamente, Suponiendo que la tase de natalidad y mortalidad se mantuvieron constantes. ¿En cuantos años se esperaría una población mundial de 11 millones, (o sea el doble)? [5] De la ecuación, y (t ) = y0 e kt , mencionada en la sección 1.1, renombrando las variables,

P (t ) = p0 e kt

(22)

Donde P (t ) es la población mundial en miles de millones y el tiempo t en años, tomando t = 0 correspondiente al año inicial, de modo que P0 = 5.5 , como P fue aumentando en 250 mil, o bien 250*10−6 mil millones de personas diarias en el instante t = 0

Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas

Amalia C. Aguirre Parres

1.10 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden

62

Tenemos de (22), P (t ) = p0 e kt en t = 0 P´(0) = 0.00025(365.25) , ya que un año equivale a 365.25 días . O bien P´(0) = 0.0913125 miles de millones por año Derivando P´(t ) = kp0 e kt

(23)

Ya que es la razón de cambio del crecimiento de la población con respecto al tiempo Despejando la constante k=

P´(t ) p0 e kt

(24)

Si t = 0 , entonces k =

P´(0) 0.0913125 , resulta , por lo que k = 5.5 p0

k = 0.0166

De tal manera que la tasa de crecimiento en esa fecha fue de 1.66% Si se desea determinar el tiempo en el cual la población será de 11 millones, entonces 11 11 = P(T ) = 5.5e0.0166T o bien = e0.0166T 5.5  11  De tal manera que ln ( e0.0166T ) = ln   , de lo cual resulta 0.0166T = ln ( 2 )  5.5  Despejando T =

ln ( 2 ) 0.0166

, resultando que T =

T = 41.75 años

0.6931 , por lo que 0.0166 (25)

De tal manera que basándose en la referencia, y que las tasas de natalidad y mortandad se mantuvieran constantes, en casi 42 años la población sería el doble, de la fecha hipotética.

Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas

Amalia C. Aguirre Parres