DERIVADAS Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar xo El teorema de Lagrange dice que: donde

f(3) - f(-1) = f ´(xo) [3- (-1)]

f´(x) = 2x + 4  f´(xo) = 2xo + 4 f (3) = 32 + 4·3 - 2 = 19

Como f(-1) = 1 - 4 – 2 = - 5 Aplicando el teorema 19 – (-5) = 4(2 xo + 4)  24 = 4 · (2 xo + 4) ; 6 = 2 xo + 4 ; 2 xo = 2 ;  xo = 1 ε [-1,3]

Aplicar el teorema del valor medio a la función f(x) en el intervalo indicado, calculando el valor e que predice el teorema. Interpretarlo geométricamente. A) f(x) = senx en [0, /2] B) f(x) = x4 - 3x2 en [0, 2] C) f(x) = cosx en [-/2, /2] D) f(x) = x en [0,4] a) f(x) = senx es continua en [0, /2] por ser función sinusoidal de un polinomio f ‘(x) = cosx es continua en (0, /2)

f(x) es derivable en (0, /2)

Existe xo € (0, /2) //

f(/2) – f(0) f ‘(xo) = ----------------- ; /2 – 0 sen (/2) – sen0 1 cos xo = ------------------------------ = -------- = 2/  ; xo = arc cos (2/) /2 /2 1 La m c = tg 2/  /2 En xo = arc cos (2/); f ‘(xo) = 2/ La tg en xo es paralela a la cuerda.

b) f(x) = x4 - 3x2 es continua en [0, 2] por ser función polinómica f ‘(x) = 4x3 - 6x es continua en (0,2)

f(x) es derivable en (0,2)

Existe xo € (0,2) //

f(2) – f (0) f ‘(xo) = --------------2–0 16 - 12 4xo3 – 6xo = ---------- = 2 ; 4xo3 – 6xo + 2 = 0 ; 2xo3 – 3xo + 1 = 0 2 1 0 -3 1 x = 1 € (0,2) 2x2 + 2x - 1 = 0 1 2 2 -1 -2 +- 4+8 -2 +- 23 -1 + 3 € (0,2) 2 2 -1 0 x = --------------- = ------------- = -1 +-3 2 2 -1 - 3 NO € (0,2) La m c = 4/2 = 2 En xo = 1; f ‘(xo) = 2 En xo = -1 + 3; f‘(xo) = 2 Las tangentes en cada xo son paralelas a la curva.

c) f(x) = cosx es continua en [-/2, /2] por ser función sinusoidal de un polinomio f ‘(x) = -senx es continua en (-/2, /2)

f(x) es derivable en (-/2, /2)

Existe xo € (-/2, /2) // f(/2) - f(-/2) cos(/2) - cos(-/2) f ‘(xo) = --------------------; -sen xo= --------------------------= 0 /2 - (-/2)  sen xo = 0; xo = arc sen 0

0 € (-/2, /2) - NO € (-/2, /2)

 NO € (-/2, /2)

En xo = 0, la mt = 0 mc = 0 por ser la recta y = 0 la cuerda entre A y B La tangente es paralela a la recta

d) f(x) = x es continua  x  0; es continua en [0, 4] 1 f ‘(x) = -------- es continua  x > 0 f(x) es derivable en (0,4) 2x f(4) – f(0) 1 2-0 Existe xo € (0,4) // f ‘(xo) = --------------; -------- = -------4–0 2xo 4-0 1 ------ = 1/2; 2 = 2xo; 1 = xo; xo= 1 € (0,4) 2xo La m c = tg  En xo= 1 mt = 1/2 = f ‘(1) La tg en x = 1 es paralela a la cuerda AB

Aplicar Rolle, hallando el x0 , a la f(x) = x ⅔ en [-1 , 1] f(x) es continua pues f(x) = ³√x²

y el radicando es siempre positivo

2 2 2 f´(x) = — x ⅔‾ ¹ = — x ‾ ⅓ = —— 3 3 3· ³√x

2 2 f´(0) = —— = — = ∞ no esta definida, 3·³√o 0

luego no es continua la f´(x) en x = 0 Є (-1,1) por lo que no verifica Rolle.

Calcula el valor de a, para la recta tangente a la gráfica de función y = f(x) = -ax 2 +5x - 4 en el punto de abcisa 3 corte al eje X en el punto x = 5. y- yo = mt· (x - xo) mt = y’ (3) = - 6a + 5

xo = 3  yo = -9a + 15 – 4 = - 9a +11 y - (- 9a + 11) = (- 6a +5) (x - 3)

Para y = 0 ; x = 5  0 + 9a – 11 = (- 6a + 5)· (5 - 3)

9a – 11 = - 12 a + 10 ; yo = 2,

mt = - 1

21 a = 21; a = 1 Ecuación tangente: y – 2 = - 1· (x - 3)

Calcula y expresa lo más simplificadamente posible la derivada de: a) f (x) =

2 + tg² x ; b) f (x) = (℮²x ) ²x

1 2tgx . ---------cos² x a) f ‘ (x) = -------------------- = 2

2 + tg² x

sen x -------------------------cos³ x ·

2 + tg² x

b) Ln y = 2x · Ln (℮²x) = 2x · 2x = 4x² y’ ----- = 8x ; y

y ’ = 8x · (℮²x ) ²x

Calcular la derivada de la función ( para x > 0 ) f(x) = (1 + x). arc tg x - x + 4 expresando el resultado en la forma mas simple posible. _ _ - 1 f '(x) = (1 + x)' · arc tg x + (1 + x) · (arc tg x)' - ----2x _ _ 1 / 2x 1 f '(x) = arc tg x + (1 + x) · ----------- - ----1 + (x)2 2x _ 1 1 _ f '(x) = arc tg x + ----- - ----- ===> f '(x) = arc tg x 2x 2x

Calcular la derivada en el punto x = 0 de la función f(x) = x · arc tg(x2) 2

f(x) = x · arc tg (x ) ;

2x 2 x2 2 f ‘(x) = arc tg(x )+ x · ------------ = arc tg x + ---------2

1 + (x2)2 2 · 02 0 f ´(x) = arc tg 0 + ---------- = 0 + --- = 0 1 + 04 1

1 + x4

Calcular simplificando todo lo posible el resultado, la derivada de las funciones : a) f(x) = Ln b) g(x) =

(x+

)

= Ln ( 1 + x ) – Ln (1 – x)

a) y = Ln y´ =

b) y =

·(x+

y´= -2x· =

· (x +

) )+

· (1 + 2x) =

· [-2x (x +

) + (1 + 2x) ] =

·(-2

Calcular el siguiente limite, explicando los cambios establecidos. lim sen x · Ln(sen x) x-->0 lim sen x · Ln(sen x) = s en 0 · Ln(sen 0) = 0 ·Ln 0 = 0 · -  = x--> 0

cos x -------Ln sen x -  sen x = lim ------------- = ------ = -- = L'Hopital = lim ------------ = x--> 0 1 / sen x 1/0  x--> 0 - cos x --------sen2 x cos x · sen2 x = lim - ------------------ = lim (- sen x) = - sen 0 = 0 x--> 0 cos x · sen x x--> 0

Calcular el siguiente limite, explicando los cambios establecidos. lim ( x2 )1/x x->

lim ( x2 ) 1 / x = (  )1 /  =  0 = e P

x-> 

1 1 Ln x2  p = lim -- · Ln x2 = -- · Ln  = 0 ·  = lim ------- = -- = x->  x  x-> x  2x --x2 2 2 = L'Hopital = lim ---- = lim -- = --- = 0 x->  1 x-> x 

Calcular lim x->1

1 3 ------- - -------1 - x 1 - x3

1 3 1 3 1 3 ------ - ------- = ------ - ------- = -- - -- =  -  = x->1 1 - x 1 - x3 1 - 1 1 - 13 0 0 lim

1 - x3 – 3 · (1 - x) 1 - x3 – 3 + 3x = lim ---------------------- = lim ------------------3 4 x->1 (1 - x) · (1 - x3) x->1 1 – x - x + x

1 - 13 – 3 + 3·1 = ------------------1 – 1 - 13 + 14

0 -3x2 + 3 -3 + 3 0 - 6x = -- = lim ---------------- = ----------- = -- = lim -------------2 3 2 0 x->1 -1 -3x + 4x -1 -3 +4 0 x->1 - 6x + 12x -6 = ---------- = - 1 - 6 + 12

(2 - x). ex - x - 2 Calcular lim ------------------x->0 x2 (2 - x) · ex - x - 2 (2 - 0) · e0 - 0 - 2 0 L'H lim ---------------------- = ---------------------- = -- = x-> 0 x2 0 0 - ex + (2 - x) · ex - 1 - e0 + (2 - 0) · e0 - 1 = lim ----------------------- = -------------------------- = x-> 0 2x 0 0 L'H - ex - ex + (2 - x) · ex -1-1+2 0 = -- = lim ------------------------ = ------------ = -- = 0 0 x->0 2 2 2

Calcular el siguiente limite, explicando los cambios establecidos. e 1 lim ------- - -----x x-> 1 e - e x-1

lim x->1

e 1 e 1 e 1 ------- - ----- = ------- - ------- = -- - -- =  -  = ex - e x - 1 e-e 1–1 0 0

e · (x - 1) - (ex - e) e · x - ex = lim --------------------------- = lim -------------------------- = x x x-> 1 x · ex - ex – e· x + e x-> 1 x · e - e – e ·x + e 0 e - ex 0 = --- = L'Hopital = lim ---------------------- = -- = L'Hopital = x x x 0 x-> 1 e + x ·e - e - e 0 - ex -e -e 1 = lim -------------------- = ---------------- = ----- = - -x->1 ex + ex + x·ex - ex e + e + e - e 2.e 2

Calcular el siguiente limite, explicando los cambios establecidos. lim ( 51/x - 1 ) · x x->

lim ( 51/x - 1 ) · x = ( 50 - 1 ) ·  = ( 1 - 1 ) ·  = 0 ·  =

x-> 

= lim x-> 

51/x - 1 1-1 0 --------- = ------- = -- = L'Hopital = 1/x 1/ 0

-1 --- · 51/x · Ln 5 x2 = lim -------------------- = lim 51/x · Ln 5 = 50 · Ln 5 = Ln 5 x->  -1 x->  --x2

Calcular el siguiente limite, explicando los cambios establecidos. 2 lim 1 + -x->  x 2 lim 1 + --x->  x

2x

2x

= lim x-> 

x+2 ------x

2x

= 1 = eP

x+2 Ln ------x+2 x 0 P = lim 2x · Ln ------- =  · Ln 1 =  · 0 = lim ---------------- = -- = L´H = x->  x x->  1 0 ---2.x x - (x + 2) / x -2 -------------------------(x + 2) / x x.(x + 2) 4·x  4 = lim ------------------- = lim ------------- = lim ------- = --- = L'H = lim -- = 4 x->  2 x->  -2 x->  x + 2  x->  1 - ----------4· x2 4·x2

con lo que lim x-> 

2 1 + -x

2x

= e4

Calcular el siguiente limite explicando los pasos utilizados para su calculo. x2 - 1 lim --------x->1  x - 1 x2 - 1 1-1 0 2x lim --------- = -------- = -- = L'Hopital = lim ------- = lim 4x · x = 4 x->1  x – 1 1-1 0 x->1 1 x->1 ----2x

Calcular el siguiente limite, explicando los cambios establecidos. lim tg 2x · cotg (x + /4) x->  /4

lim

x-> /4

= lim x-> /4

= lim x-> /4

= lim x-> /4

tg 2x · cotg (x + /4) = tg /2 · cotg /2 =  · 0 =

tg 2x  --------------- = -- = L'Hopital = lim tg (x + /4)  x-> /4

2 --------cos2 2x ------------------ = 1 ---------------cos2(x + /4)

cos2(x + /4) 0 - 2.cos (x + /4). sen (x + /4) ---------------- = -- = L'H = lim ------------------------------------- = cos2 2x 0 x-> /4 - 4.cos 2x . sen 2x 2· sen2(x + /4) – 2· cos2(x + /4) 2·sen2 /2 – 2·cos2 /2 2 1 ------------------------------------------ = lim ----------------------------- = -- = -2 2 4·2· sen2 2x – 4·2 ·cos2 2x x-> /4 8·sen /2 – 8·cos /2 8 4

Calcular el siguiente limite, eliminando las diferentes indeterminaciones que posea. x 1 lim ----- - -----x-> 1 x - 1 Ln x

lim x-> 1

x 1 x· Ln x - x + 1 1·0-1+1 0 ------ - ------ = lim --------------------- = --------------- = --- = L´H = x - 1 Ln x x-> 1 x · Ln x - Ln x 1·0-0 0

Ln x + x · (1/x) - 1 Ln x x · Ln x 0 lim ------------------------- = lim -------------------- = lim ------------------- = --- = L´H x-> 1 Ln x + (x - 1) · 1/x x-> 1 x · Ln x + x - 1 x-> 1 x · Ln x + x - 1 0 ------------------x Ln x + x . (1/x) Ln x + 1 1 = lim ------------------------ = lim ----------- = -x-> 1 Ln x + x · (1/x) + 1 x-> 1 Ln x + 2 2

Calcular el siguiente limite, eliminando las diferentes indeterminaciones que posea. lim xsen x x->0

lim xsen x = 00 = eP ; p = lim sen x· Ln x = 0 ·  = x->0

x->0

Ln x  1/x = lim ----------- = --- = L'Hopital = lim ---------- = x->0 1 / sen x  x->0 cos x - -------sen2x sen2x 0 2 · sen x · cos x = lim - ---------- = -- = L'Hopital = lim - ---------------------- = 0 x->0 x · cos x 0 x->0 cos x – x · sen x Luego lim xsen x = e0 = 1 x->0

Calcular el siguiente limite, explicando los diferentes cambios de variable utilizados, para deshacer las posibles indeterminaciones. lim (sen x)x x->0

lim (sen x)x = (sen 0)0 = 00 = eP x->0

Ln(sen x)  p = lim x · Ln(sen x) = 0 ·  = lim ------------- = ---- = L'Hopital x->0 x->0 1/x  cos x ------sen x x2 · cos x 0 p = lim --------- = lim - ------------ = --- = L'Hopital = x->0 - 1 x->0 sen x 0 --x2 2x · cos x - x2 · sen x 0-0 = lim --------------------------- = -------- = 0 x->0 cos x 1 Con lo que lim (sen x)x = e0 = 1 x->0

Calcular lim  x 1

1 1     ln x x  1 

1  1 x  1  ln x 1  1  ln 1  0  1 1 1  1    =  = [∞ - ∞] = lim = lim   = x 1  x  1 ln x x 1 1  1ln 1  0   ln x x  1  ln 1 1  1 0 0

x 1 x 1 11 1  0  L 'H x  lim  lim  lim        lim  x 1 x 1 1 x1 x ln x  x  1 x1 x ln x  x  1 1ln 1  1  1  0  1 ln x   x  1 ln x  x  1 x x x 1 1   ln 1  1  1 2 1

1 x

Calcular

lim x->1

lim x->1

x 1 ------- - -----------ln x sen(x-1)

x 1 1 1 ------ - ------- = ------ - ------- = [ - ] = ln x sen(x-1) ln1 sen0

x sen (x -1) - lnx 1 · sen0 – ln1 = lim ---------------------- = ------------------x->1 lnx · sen (x -1) ln1 · sen0

= lim x->1

= lim x->1

= lim x->1

0 = ---- = 0

sen(x –1) + x ·cos(x –1) – 1/x ---------------------------------------- = 1/x · sen (x –1) + lnx · cos (x –1) x · sen (x -1) + x2·cos(x –1) – 1 0+1-1 0 ---------------------------------------- = ------------------- = ---- = sen(x –1) + x· lnx · cos(x –1) 0+ 1·0·1 0 sen (x -1) + x · cos(x –1) + 2x · cos · (x –1) + x2 · [- sen (x – 1)] -------------------------------------------------------------------------------------- = cos(x –1) + lnx · cos(x –1) + x · 1/x · cos(x –1) + x · lnx ·[- sen (x – 1)]

1+2 3 = ---------- = ----1+1 2

x3 Calcular lim ----x x->  e x3  3x2  6x  lim ----- = ---- = lim ----- = ---- = lim ------ = ---- = x x x->  e  x->  e  x->  ex 

6 6 = lim ------ = ------ = 0 x x->  e 

Calcular

lim x->0

x - senx -------------x3

x – sen x 0–0 lim -------------- = ----------x->0 x3 0

0 1 – cosx 0 = ---- = lim ------------ = ---- = 0 x->0 3x2 0

sen x 0 cosx 1 = lim ------ = ---- = lim ------- = ---x->0 6x 0 x->0 6 6

x – sen x Calcular: lim -----------x-->0 ln(cos x) x – sen x 0–0 0 1 – cos x lim -------------- = --------- = ---- = lim ------------------- = x->0 ln (cos x) ln 1 0 x->0 - sen x / cos x (1 – cos x) · cos x cos x – cos2 x 0 = lim ----------------------- = lim ------------------- = ---- = x->0 - sen x x->0 -sen x 0 - sen x – 2 · cos x · (- sen x) 0 = lim ----------------------------------- = ---- = 0 x->0 - cos x -1

(2 - x) ex - (2 + x) Calcular lim -----------------------x-->0 x2 (2 - x) · ex - (2 + x) 2 e0 – 2 0 lim -------------------------- = -------------- = ----- = x-->0 x2 0 0 - ex + (2 - x) · ex –1 -1+2–1 0 = lim ------------------------- = --------------- = ----- = x-->0 2x 0 0 - ex - ex + (2 - x) · ex -1–1+2 0 = lim -------------------------- = --------------- = ----- = 0 x-->0 2 2 2

Calcular

lnx lim ------------x1 x - √x

ln x ln1 0 1/ x 1/1 1 lim ------------ = ----------- = ---- = lim --------------- = --------- = ---- = 2 x1 x - √x 1 - √1 0 x1 1 - ½ · √x 1– ½ ½

Calcular

senx - tgx lim -----------------x0 x - senx

sen x - tg x sen 0 – tg 0 0 cos x – 1 / cos² x lim ------------------ = ---------------- = --- = lim ---------------------- = x0 x - sen x 0 – tg 0 0 x0 1 – 1 / cos² x cos³ x – 1 1–1 0 3 · cos² x · (-sen x) 3 · cos x = lim -------------- = ------- = ---- = lim ------------------------- = lim ---------- = x0 cos² x - 1 1–1 0 x0 2 · cosx · (-sen x) x0 2 3 · cos0 3 = ----------- = ----2 2

Calcular:

lim ( cos 2x) 1 / 3x

2

x0 2

lim ( cos 2x ) 1 / 3x = (cos 0) 1 / 0 = [ 1 ] = eP x0

1 ln (cos2x) ln (cos 0) ln1 0 p = lim ------ · ln (cos 2x) = lim -------------- = ------------- = ------ = ----- = x0 3 x² x0 3x² 0 0 0 -2 sen 2x / cos² x - 2 ·sen 2x 0 -2 · 2 cosx = lim --------------------- = lim -------------- = ---- = lim -------------------------------- = x0 6x / 1 x0 6x· cos 2x 0 x0 6 cos 2x + 6x· (-2 sen 2x)

- 4 · cos 0 -4 2 = ----------------------------- = ------- = - --6· cos 0 – 12· 0· sen 0 6 3

2

lim ( cos2x) 1 / 3x = e -

2/3

x0

1 = --------³√ e²

Calcular: lim (cosec x) sen x x0 lim (cosec x) sen x = (cosec 0) sen 0 = [  0 ] = eP x0

ln (1 / senx) ln   p = lim sen x · Ln (cosec x) = [0· ] = lim ---------------- = -------- = ------- = x0 x0 1 / senx  

( 1 / sen x)´ / (1 / sen x) 1 1 1 = lim ------------------------------ = lim ----------- = ------- = ----- = 0 x0 (1 / sen x)´ / 1 x0 1 / sen x 1/0  lim (cosec x) sen x = e 0 = 1 x0

(2 - x) ex – x – 2 Calcular lim -------------------x->0 x2

lim x->0

(2 - x) · ex – x – 2 (2 - 0) · e0 – 0 – 2 2–2 0 ---------------------- = ---------------------- = ---------- = ------ = x2 02 0 0

-1· ex + (2 - x) · ex - 1 - e0 + (2 - 0) ·e0 -1 -1 + 2 – 1 0 lim ---------------------------- = ----------------------- = --------------- = ----- = x->0 2x 2· 0 0 0 - ex + (-1) · ex + (2 - x) · ex - e0 – e0 + 2e0 0 lim --------------------------------- = -------------------- = ----- = 0 x>0 2 2 2

Calcular lim x · lnx x->0 ln x ln0  1/x lim x · lnx = 0 · ln0 = 0 · (-) = lim -------- = ------- = ------- = lim ---------- = 2 x->0 x->0 1/x 1/0  x->0 - 1 / x

lim

(-x) = 0

x->0

Calcular

1 – cos (x – 1) lim ------------------x->1 (Ln x)2

1 – cos (x – 1) 1 – cos (1 - 1) 1 – cos 0 1-1 0 ------------------- = ------------------ = ------------- = ------- = ----- = x->1 (Ln x)2 (ln 1)2 02 0 0 lim

- (- sen (x - 1)) x · sen (x - 1) 1 · sen 0 0 lim --------------------- = lim ------------------ = ------------- = ---- = x->1 2 · lnx · (1 / x) x->1 2· lnx 2 · ln 1 0

1 · senx · (x - 1) + x · cos x · (x - 1) sen 0 + 1· cos 0 1 lim ---------------------------------------------- = --------------------- = ---x->1 2·1/x 2·1/1 2

Calcular

x2 + 22x+3 lim ------------x-> x2

x2 + 22x+3  + 2  2x + 2 · 22x+3 · ln2 x + ln2 · 22x+3 lim ------------- = --------- = ---- = lim ------------------------ = lim ------------------ = x-> x2   x-> 2x x-> x +  1 + 2 · 22x+3 (ln2) 2 1 + 2 (ln2) 2 ·   ---------- = ----- = lim ----------------------- = --------------------- = ----- =    x-> 1 1 1

ex – x -1 Calcular lim ----------x-> 0 x2 ex – x - 1 e0 - 0- 1 1-1 0 ex – 1 e0 - 1 1 - 1 0 lim ------------ = ------------- = ------- = --- = lim ------- = -------- = ------- = ---- = x-> 0 x2 02 0 0 x-> 0 2x 0 0 0 ex e0 1 lim ------ = --- = --x-> 0 2 2 2

Calcular lim tg x · Ln x x->0 Ln x ∞ 1/x lim tg x · Lnx = tg 0 · Ln 0 = [0 · (-∞)] = lim -------- = ---- = lim ------------ = x->0 x->0 cotg x ∞ x->0 -1 / sen2x - sen2x 0 -2 ·sen x · cos x 0 lim --------- = ---- = lim --------------------- = --- = 0 x->0 x 0 x->0 1 1

Calcular lim x->0

lim x->0

1 --x2

tg x

1 --x2

1 = ----0

tg x

tg 0

= 0 = e

p

Ln(1/x2) Ln   2 p = lim tg x · Ln ( 1/x ) = tg 0 · Ln  = [ 0·  ] => lim ----------- = --------- = ------ = x->0 x->0 cotg x cotg 0  -2/x3 ----------1/x2 -2 / x 2 sen2x 0 2·2 senx · cosx 0 lim -------------- = lim ---------- = lim ---------- = ---- = lim -------------------- = ----2 2 x->0 - 1/sen x x->0 -1 / sen x x->0 x 0 x->0 1 1 =0 lim (1 /x2) tgx = e0 = 1 x->0

x - 3√ 6 + x Calcular lim ----------------x->2 x2 - 4 1 1 - --------------x - 3√ 6 + x 2 - 3√8 2 - 2 0 1 - ⅓ ( 6+x)⅓ - 1 3 3√(6+x)2 lim ----------------- = -----------= ------ = --- = lim -------------------- = lim ----------------x->2 x2 - 4 4-4 0 0 x->2 2x x->2 2x

1 1 1 1 - ----------1 - -------1 - -------3 3√64 3·4 12 11 = ------------------ = -------------- = --------------- = ----4 4 4 48

Calcular x +2 ----------(x - 1) 2

lim x->1

lim x->1

lim x->1

x +2 ----------(x - 1) 2

-

-

1 ---------x -1

1 ---------x -1

x+2–(x-1) -------------------- = (x - 1) 2

=

3 ------

1 - -----

0

lim x->1

3 -------------(x - 1) 2

= [  - ]=

0

=

3 ------ =  02

Calcular lim x1

lim x1

√ x+1 - √ 2 ----------------------x -1 √ x+1 - √2 √2 - √2 0 ------------------- = -------------- = ----- = lim x-1 1–1 0 x-> 1

1 1 √2 lim -------------- = --------- = ------x1 2 √ x + 1 2 √2 4

1/2 ( x + 1) 1/ 2 ---------------------------

1

=

Calcular lim

______ (√ (x4 + x) - x2 )

x+

lim

(√ (x4 + x) - x2 ) = √ - 2 = [  -  ] =

x+

lim x+

(√ x4 + x - x2 ) (√ x4 + x + x2 ) ----------------------------------------- = lim √x4 + x + x2 x+

x4 + x - x4 ------------------- = √x4 + x + x2

x  x / x2 1/x lim ----------------- = ---- = lim ------------------------------- = lim -----------------4 2 4 4 4 2 2 x+ √x + x + x  x+ √ x / x + x / x + x / x x+ √1 + 1 /  + 1 1/ 0 = ----------------- = ------- = 0 1+1 2

Calcular x 3 + 4x2 lim

-----------------

x-4

x 2 + x - 12

lim x -4

x 3 + 4x 2 (-4)3 + 4 (-4) 2 - 64 + 64 0 ----------------- = ------------------------ = ------------------ = ----x 2 + x - 12 (-4)2 + (-4) -12 +16 – 4 -12 0 3x2 + 8x

lim x -4

2 · (-4) 2 +8 · (-4)

48 - 32

-16

----------------- = --------------------------- = ------------------ = -----

2x +1

2 · (-4) + 1

7

7

=

x 1 /x

Calcular : lim

e

2/x

+ e

x->o

1/x

lim

x

2/x

e



+ e

0



= (e +e

0

= [ ] = e

)

p

x->0 1/x

p = lim

x · ln ( e

2/x

+ e ) = 0 · ln  = [ 0 ·  ] =

x->0 2

1/x

2

2/x

-1/x· e -2/x e -----------------------------------1/x 2/x ln (e + e )  e 1/x + e 2/x = lim -------------------- = ---- = lim ----------------------------------- = x->0 1/x  x->0 -1 / x 2

2

1/x

2/ x

1/x

2/x

1/x

2/x

-1 / x · ( e - 2 e ) / e + e e - 2e = lim ---------------------------------------------- = lim ------------------- = x->0

x->0

2

-1/x 1/x

= lim x->0

1/x

∞

e ( 1- 2e ) 1 - 2e  ------------------------ = ---------------- = ----- =  1/x 1/x ∞  e (1+ e ) 1 + e

2

1/x

- 2 (- 1 / x ) · e = lim ------------------------- = - 2 x->0

2

-1 / x

1/x

· e

1/x

= lim x->0

e

2/x

+ e

1/x

e

x

-2

= e

2/x

+e

Calcular

2x + 3 ----------2x - 1

lim x->∞

x

x lim x->∞

2x +3 ---------2x -1

x 4 1 + -------x->∞ 2x – 1

∞ ∞ p = (1 + 0 ) = [ 1 ] = e

= lim

4 p = lim x ·ln 1 + -------x->∞ 2x - 1

= ∞ · ln 1 = [ ∞ · o ] = 2

ln ( 1 + 4 / 2x – 1) 0 = lim ----------------------- = ---x->∞ 1/x 0

= lim

- 8 / (2x -1) -----------------1 + 4 / 2x -1 -------------------- =

x->∞

2

-1/x / 2x + 3 -8 / (2x – 1) 2 / ---------/ 2x – 1 -8 / (2x– 1) (2x+3) = lim _____________________ = lim _________________ = x->∞ - 1 / x2 x->∞ - 1 / x2 8x2 = lim _____________ 2 x->∞ 4x + 4x -3 2x + 3 lim ----------x->∞ 2x - 1

x

= 2

p 2 = e = e

Mas corto 2x+3 lim ______ x->∞ 2x-1

x ∞ = 1 ; p = lim x x->∞

2x+3 ______ 2x-1

2x + 3 – 2x +1 4x = lim x · _____________ = lim ______ = 2 x->∞ 2x – 1 x->∞ 2x-1 2x+3 lim _____ x->∞ 2x-1

x

2 = e

-1

=

Calcular : lim x0

1 1 ------- - -------x·tgx x2

1 1 1 1 lim --------- - --- = --- - --- = [  ] = x0 x·tgx x2 0 0 1 1 - ------x - tgx 0-0 0 cos2 x = lim ---------- = ------- = --- = lim ------------------------------2 x0 x · tgx 0 0 x0 senx 1 2x · ------ + x2 · ------cosx cos2 x (cos2x - 1) · cos2x cos2 x - 1 1-1 0 = lim ------------------------------------- = lim -------------------- = ------------ = --2 2 2 x0 (2x · senx · cosx + x ) ·cos x x0 x · sen2x + x 0·0+0 0

- 2 senx · cosx - sen 2x 0 = lim ---------------------------- = lim ------------------------------- = ---- = x0 sen2x + 2xcos2x + 2x x0 sen 2x + 2x ·cos 2x + 2x 0

- 2 · cos 2x -2·1 2 1 = lim ------------------------------------------------ = ----------------- = - --- = - ---2 x0 2 · cos 2x + 2 · cos x - 4x · sen 2x + 2 2+2–0+2 6 3

Calcular:

lim (-x + /2)· tg2 x

x /2

tg2 x - x + /2 0 2 lim (- x + /2 ) · tg x = [ 0 · ] = lim ---------- = lim -------------- = --- = 2 x /2 x /2 1 x /2 cotg x 0 ---------- x + /2 -1 -1 1 1 --------------------- = -------------- = --------- = --- =  x /2 1 - 2 cos /2 2·0 0 -2 cotgx · -----------------------sen2x sen2/2 1

= lim

lim (x · e1/x )

Calcular :

x0 e1/x  -1 / x2 . e1/x lim (x · e ) = 0 · e = [ 0 ·  ] = lim ------- = [----] = lim ---------------- = x0 x0 1 / x x0 x2 

1/x

lim e1/x = e1/x = e1/0 = e = x0

Calcular :

lim (Ln x ) x x0

lim (Ln x)x = [  0 ] = ep x0

p = lim x · Ln (Lnx) = 0 · Ln(Ln0) = 0 · Ln(-) No existe x0

No existe lim (Ln x ) x x0

Calcular : lim (1 - 2x) 1 / tg x x0

lim (1 - 2x) 1 / tg x = 1 = e p x0

-2 -----------1 Ln (1 - 2x) 0 1 - 2x P = lim ------ · Ln (1 - 2x) = lim -------------- = ---- = lim -------------------- = x0 tgx x0 tg x 0 x0   cos2 x -2 · cos2 x -2 · cos0 2 = lim ----------------- = ------------- = - --x0 x) )  Lim (1 - 2x) 1 / tg x = e – 2 /  x0

Contesta a las siguientes cuestiones: 1.-¿En qué punto de la curva de ecuación tiene una tangente horizontal?. 2.- ¿Es posible que dicha curva tenga una tangente paralela a la recta en algún punto de la abscisa negativa?. 1.-

?. =

=

→

tg horizontal 2.-

Dada la función f(x) = Ln

1 + sen x ------------1 - sen x

1/2

se pide:

Hallar su derivada.

f(x) = Ln

1 + sen x -----------1 - sen x

1/2

= ½ [Ln(1 + sen x) - Ln(1 - sen x)]

1 cos x - cos x 1 cos x cos x f '(x) = - ------------ - ----------- = -- ------------ + ----------2 1 + sen x 1 - sen x 2 1 + sen x 1 - sen x

1 = 2

cos x - cos x · sen x + cos x + cos x· sen x --------------------------------------------------1 - sen2 x

1 f '(x) = --------- = sec x cos x

1 2.cos x = -- · --------2 cos2 x

Dada la funcion f (x) = ³ x , se pide : a ) Determinar si f (x) es derivable en x =0, b) Hallar f´(x) , indicando su dominio. c) Estudiar si f(x) verifica las hipótesis de Rolle en el intervalo [-1,1]. 3 __ f (x) = √ x = x 1/3

a) Para que sea derivable ,la f (x) debe ser primero continua y lo es, por ser una raíz de índice impar, definida y continua para todo R. 1 1 f ´ (x) = ----- x -2 / 3 = ---------- ; la f´(x) es continua para todo nº real excepto x = 0 que 3 ³√ x 2 lo hace ∞.  f (x) es derivable x R excepto x = 0  f (x) no es derivable en x = 0 1 b) El dominio de f´(x) = ---------- será x  (-∞, 0 ) U ( 0, ∞ ) ³√ x 2 . c) En el [-1,1] la f(x) no es derivable pues falla en x = 0. Ademas f (-1) = ³√ -1 = -1 __ f (1) = ³√ 1 = 1 con lo que falla la hipótesis de que f (-1) = f (1) pues son distintos.

mx2 + nx + 5

x 16 + 10 + 5 = 3b +1

31 = 3b +1;

30 = 3b;

b = 10

Ǝ xo Є (-2, 10) / f’ (xo) = 0 (-2, 1)

2m xo + n = 0

2 · 4 · xo – 5 = 0;

(1, 10)

3≠0

Ǝ xo

xo = ⅝

Dada la función: cos x – 1 F(x) = +a

x 2xo = 4 xo = 2 y la yo = 5 El punto de tangencia será T(2, 5) La ecuación de la recta tangente será: y - 5 = 2 · (x - 2) ===> y = 2x + 1

Dadas las funciones f(x) = x² + л y g (x) = sen x + cos x , calcula la derivada en x=0 de las funciones f [g(x)] y g[f(x)] . h (x) = f [g(x)] = ( sen x + cos x) ² + π h’ (x) = 2 . (sen x + cos x ) . (cos x – sen x) = 2 (cos² x - sen² x) h’ (0) = 2 . (1 – 0) = 2 i (x) = g [f(x)] = sen ( x² + π) + cos (x² + π) i’ (x) = 2x . cos (x² + π) – 2x sen . (x² + π) i’(0) = 0 cos π – 0 sen π = 0

Demostrar que, cualquiera que sea el numero real a, la ecuación x + 10x + a = 0, no tiene nunca dos soluciones reales. 5

Supongamos que la ecuación si tiene dos soluciones reales distintas x1, x2 y que x1 < x2 La función f(x) = x5 + 10x + a = 0 es continua y derivable en todo R, por ser una función polinomica. En consecuencia la f(x) es continua en el cerrado [x1,x2] y derivable en el abierto (x1,x2). Como además, la f(x1) = f(x2) = 0 por ser soluciones de la ecuación, si aplicamos el teorema de Rolle a mi f(x), debería existir un punto xo  (x1,x2) que verifique: f '(xo) = 0 y como la f '(x) = 5.x4 + 10 = 0 no tiene soluciones reales, no existirá ningún valor real xo que verifique Rolle. En consecuencia final, la f(x) no puede tener dos soluciones reales, ya que no existe ni máximo ni mínimo  la función será siempre creciente o decreciente.

Demostrar que la ecuación x3 + 6x2 + 15x - 23 = 0 no puede tener mas de una raíz real. Consideremos la función f(x) = x3 + 6x2 + 15x - 23 en la que el dominio de mi función es toda la recta R. Si calculamos f '(x) = 3x2 + 12x + 15 podemos calcular que dicha derivada es siempre positiva, para ello podemos ver que la ecuación f '(x) = 0 no se verifica para ningún valor de x ya que la ecuación 3x2 + 12x + 15 = 0 no tiene soluciones reales. Esto nos indica que f '(x) mantiene siempre el signo constante y además será siempre positiva ya que f '(0) = 15 > 0. Al ser f '(x) > 0 nos dice que la f(x) es siempre creciente para todo valor de R y al pasar de - a + la función se anulara en algún valor de x, pero solo en un punto, con lo que la ecuación inicial tendrá solo una raíz real.

Demostrar que la ecuación x18 - 5x + 3 = 0 no puede tener mas de dos raíces reales. Si consideramos la función f(x) = x18 - 5x + 3 , las raíces de dicha ecuación serán los números x para los que se cumple que f(x) = 0. Si calculamos la derivada de f(x) f '(x) = 18x17 - 5 ; Hagamos f '(x) = 0 ==> 18x17 - 5 = 0 5 x = --18

1 / 17

Al ser una raíz de índice impar, la derivada se anulara para un solo valor de x, con lo que según el Teorema de Rolle, existirá un solo máximo o un solo mínimo y por tanto la función f(x) solo podrá cortar al eje de abscisas en dos puntos, con lo que la ecuación no puede tener mas de dos raíces reales.

Derivar las siguientes funciones 1) f(x) = e2x => y´ = 2· e2x 1 2) f(x) = ln (x + 2) => y´ = --------x+2 7 -7 3) f(x) = --------- => y´ = --------x–7 (x – 7) 2 4) f(x) = e x · (x + 1) => y´ = e x · (x + 1) + e x = e x · (x + 2) x x2 – 1 – x · 2x x2 - 4 5) f(x) = --------- => y´ = -------------------- = --------x2 - 1 (x2 – 1 ) 2 x2 x2 + 4 2x · x – (x2 + 4) x2 – 4 6) f(x) = --------- => y´ = ---------------------- = ---------x x2 x2 1 – 1/ x2 x2 – 1 7) f(x) = tg (x + 1/x) => y´ = -------------------- = ---------------------cos2 (x + 1/x) x2 cos2 (x + 1/x)

y´ -1 8) f(x) = (2 – x) x => ln y = x · ln (2 – x) ; ---- = ln (2 – x) + x · -------- ; y 2–x x y`= [ ln (2 – x) – ------- ] · (2 – x) x 2–x

9) f(x) = x

lnx

y´ 1 1 2 ln x => ln y = ln x · ln x ; ---- = ---- · ln x + ln x · ---- ; y´ = ----------- · x lnx y x x x

10) f(x) = (ln x) x => ln y = x · ln (ln x) ;

y´ 1/x ---- = ln (ln x) + x · -------- ; y ln x

1 y´ = [ ln (ln x) + ------- ] · (ln x) x ln x

Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal (recta perpendicular a la tangente) en el punto de abscisa 0, a la gráfica de la función dada por: f(x)=2·x·

= 2·(x - 0) => y (x - 0) =>

Determinar el valor de a para que la recta tangente a la gráfica de la función y = f(x) = x4 + ax en el punto x =0 sea perpendicular a la recta y +x = 3. mt = y’(0) 2

y’ = 3x + a

y = - x – 3 tiene de pendiente mn = - 1

La recta mt = (y’(0)) = a

Al ser perpendiculares mt ∙ mn = - 1 a·(-1) = - 1

a = 1

Determinar un punto sobre la parábola y = x2 comprendido entre los puntos A(1,1) , B(3,9) en el que la tangente a la parábola sea paralela a la recta AB. Si aplicamos Lagrange a los extremos a = 1 y b = 3 en donde la f(b) = 9 y la f(a) = 1

Como

9 - 1 = (3 - 1) · f '(xo)

Como la f '(x) = 2x

8 = 4 · xo ==> xo = 2

f(b) - f(a) = (b - a) · f '(xo)

y la yo = 4

El punto será (2, 4)

Discutir si la ecuación cos x = 2 – x posee alguna solución real positiva. ¿Puedo asegura que hay una sola solución? Creamos una f(x) = cos x – 2 + x para comprobar la hipótesis de Bolzano en [0, b]. y= cos x : D xR por ser F sinusoidal de un polinomio F(x) = cos x – 2 + x =

y = - 2 + x : D xR por ser Función polinómica

 f(x) es continua xR Signo f(0) = cos 0 - 2 + 0 = 1 - 2 = - 1 0 Signo f(/2) = cos /2 – 2 + /2  0 Signo f() = cos  – 2 +  = - 3 +   0

en  0,   o mejor en  /2,  

Signo f (/2)  Signo f() Existe al menos un x0  (/2,  )  f(x0) = 0   Existe al menos una solución real positiva en (/2, ) Como falla la 3ª hipótesis de Rolle f(/2)  f() No puedo asegurar la existencia de máximo o mínimo  f(x) es siempre creciente o decreciente y eso implica que en (/2, ) hay un solo valor en el que f(x0) = 0

En la ecuación de la recta y = mx + b, explicar como se determinarían los números m y b para que sea tangente a la gráfica de la función y - f(x) en el punto de esta de abscisa p. Por ser m la pendiente de la recta ==> m = f '(p) La ecuación de la recta que pasa por (p, f(p)) y tiene por pendiente f '(p) será: y - f(p) = f '(p) · (x - p) y despejando la y queda: y = f '(p) · x – f '(p) · p + f(p) Identificando con la ecuación de la recta podemos sacar

que b = - f '(p).p + f(p)

En el segmento de parábola comprendido entre los puntos A(1, 1) y B(3, 0), hallar un punto cuya tangente sea paralela a la cuerda. Aplicando la interpretación geométrica de Lagrange. Si f(x) = ax² + bx + c

por pasar por A y B

1 = a·1² + b·1 + c

a+b+c=1 8a + 2b = -1 ; 2b = -1-8a ; b = - ½ - 4a ;

0 = a·3² + b·3 + c

9a + 3b + c = 0 c=1-b

Ademas f´(x0) = m Si la recta AB es de la forma

y-0 = m · (x-3)

1- 0 1 m = —— = - — 1- 3 2 1 f´(x) = 2ax + b ; 2ax + b = - — 2 1 0 - 1 = f´(x) ·(3 - 1) ; f´(x) = - — 2 1 1 2a·x0 - — - 4a = - — ; 2 2 1 3 Si f(x) = x² - — x + — 2 2

2a · x0 – 4a = 0 ; 2x0 = 4 ; x0 = 2

1 3 3 9 f(x0) = 4 - — · 2 + — = 3 + — = — 2 2 2 2

9 P(2,—) 2

¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = │x – 1│ en el intervalo [0,2]?

f(x) = |x – 1| =

-x+1 0 x-1

x1 lim x – 1 = 0 x→1+

Veamos si es continua en x = 1

lim f(x) = 0 = f(1) , es continua x →1

lim - x + 1 = 0 x→1-

1

x>1

lim f ´(x) = 1 x→ 1+

f ´(x) = 0

x=1

-1

x

1 1 g'( h(x) ) = ------------------------------ = ------------------------[1 - (2x · (1 - x2)1/2)2 ]1/2 (1 - 4x2 · (1 - x2) )1/2

1 = --------------------( 1 - 4x2 + 4x4 )1/2

2 - 4x2 f '(x) = -----------------------------------[ (1 - x2) · (1 - 4x2 + 4x4) ]1/2

Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de la función g(x) = | en el punto de abscisa x = 2

=>

; =- 4(x - 2) => y (x-2) =>

=2

;

=>

Halla las ecuaciones de la recta tangente y normal a las siguientes curvas en los puntos que se indican. a) en x = 4 b) en a)

en x = 4

=

= =

= =

(x - 4) => y (x - 4) =>

b)

en = 45º =

=>

= =

=

(x - )

=> y

· (x - ) => y

· 2= =

Hallar la derivadas de las funciones : a) y = xsenx y = xsenx ; Lny = Ln xsenx = senx · Lnx ; y’ / y = cos x · Ln x + sen x · 1/x ; y’= (cos x · Lnx + sen x / x ) · xsenx b) y = (senx)x y =( senx) x ; Lny = Ln (senx) x = x · Lnsenx ; y’ / y = Ln(senx) + x · (cos x / sen x) ; y’ = [ Ln(senx) + x · cotgx) ] (sen x ) x c) y = 2senx y = 2 senx ; y’ = cos x · 2 senx · log 2 d) y = sen3x y = sen3x ; y’= 3 sen2x · (senx)’ = 3 sen2x · cos x

Hallar la derivada primera, segunda, tercera, cuarta ... 3 de la función y = ln -------- (simplificando los resultados). 3x + 1 Escribir la expresión simplificada de la derivada de orden 18 de esa función. x y = Ln --------- = Ln x - Ln (3x + 1) 3x + 1 1 3 1 1 y' = -- - --------- = -- - 3 · -------x 3x + 1 x 3x + 1 1 3 1 1 y'' = - --- + 3 · ----------- = - --- + 32 · ----------x2 (3x + 1)2 x2 (3x + 1)2 1 · 2x 2 · (3x + 1) · 3 1·2 1·2 y''' = -------- - 32 · ------------------- = ------ - 33 . ----------x4 (3x + 1)4 x3 (3x + 1)3 1· 2 · 3x2 33 ·1·2·3 · (3x + 1)2 ·3 1·2·3 1·2·3 4 y = - ------------ + ---------------------------- = - -------- + 3 . ----------x6 (3x + 1)6 x4 (3x + 1)4 iv

17! 17! 18 y = - ----- + 3 · -----------x18 (3x + 1)18 18

Hallar la función derivada de y = (1 - cos x ) . cotg x Si llamo u(x) = 1 - cos x y v(x) = cotg x -1 u'(x) = - (- sen x) = sen x v'(x) = ------sen2x

y' = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x)

1 - cos x 1 - cos x y' = sen x · cotg x - ----------- = cos x - ----------- = sen2x 1 - cos2x 1 - cos x 1 cos x + cos2 x - 1 = cos x - ----------------------------- = cos x - ----------- = ---------------------(1 - cos x) · (1 + cos x) 1 + cos x 1 + cos x

Hallar los valores de a, b, c para que las gráficas f(x) = x2 + ax + b y g(x) = x3 + c pasen por el punto (1, 2), y en ese punto tengan la misma tangente.

mt = mt’  f’(1) = g’(1)

f’(x) = 2x + a  f’(1) = g’(1) ; 2∙1 + a = 3∙1 ; 2 + a = 3; a = 1 2

g’(x) = 3x

2 = 12 + a + b 2 - 1- 1 = b;

b = 0; c = 1

2=1+c

La ecuación ex = 1 + x tiene evidentemente la raíz x = 0. Probar que no tiene mas raíces reales. El que tenga la raíz x = 0 se comprueba ya que e0 = 1 + 0 Ahora bien, si estudiamos la función y = ex - x - 1 podemos calcular sus máximos o mínimos. y' = ex - 1 ==> y' = 0 ==> ex - 1 = 0 ==> ex = 1 ==> Ln ex = Ln 1 ==> x = 0 es posible máximo o mínimo. y'' = ex ==> y''(0) = e0 > 0 ==> Mínimo en (0,0) Al no existir ningún otro máximo ni mínimo en mi función, esto quiere significar que la función será siempre decreciente hasta llegar al x = 0, y que después del x = 0 será siempre creciente. Por ello puedo asegurar que mi función no volverá a anularse para ningún otro valor de x, o lo que es lo mismo, que la ecuación ex = 1 + x no se verificara para otro valor que no sea el cero ya observado.

3

La función de f(x) = [ 0, 4] ?

(x - 2)²

¿ cumple las condiciones de Rolle en

Al estar el radicando elevado al cuadrado, este sera siempre > 0 y existe f(x) para todo x perteneciente a R  f(x) sera continua en toda la R. 2 -1/3 2 f´(x) = ------ ( x-2 ) = ---------3 3 ³ x -2 Para x = 2 no existe f´(x) luego no es derivable en ( 0, -4) pues no es continua en x = 2   verifica Rolle : No podemos asegurar que exista x0 ε (0, 4) / f´(x0) = 0

¿Para qué valor de a, la recta la recta ax + y = ln2 es tangente a a la curva y = ln ((X+2) / (X+1)) en el punto de abcisa x=0?. y = - a x + ln2

mt = - a

y = ln ((x + 2) / (x + 1)) = ln (x + 2) – ln (x + 1) mt = y’ (0)

2

y’= (1 / (x + 2)) - (1 / (x + 1)) = (x + 1 – x - 2) / (x + 3x + 2) =

= - 1 / (x2 + 3X + 2)

mt = y’ (0) = - ½

- a = -1/2; a = ½

|x| Sea f(x)= ---------x2+1 Estudiar la continuidad y derivabilidad de x=0 a) Estudiar cuando se verifica que f `(x)=0. Puesto que f(1) = f(-1), ¿Existe contradicción en el teorema de Rolle en el intervalo [1,1]? a) -x ------- x < 0 x2 +1 |x| f(x)= ------x2+1

=

0 x ------x2 +1

En x=0

0 2

-x + 1 ---------(x2 + 1)2

x>0

0

x=0

x2 + 1 – x· 2x -----------------(x2+1)2

l1 = l2

x>0

existe lim f (x) = f (0) = 0 x->0

f(x) es continua en x = 0 - x2 + 1 1 lim ----------- = --- = 1 2 2 x->o+ (x + 1) 1

xo+ x2 + 1 -x lim --------- = 0 x->o- x2 + 1 x2 + 1 ---------(x2 + 1)2

Si f `(x) =

x =0

- ( x2 + 1) + x· 2x --------------------(x2+1)2

en x = 0 x2 + 1 -1 lim ---------- = ----- = - 1 2 2 x->o- (x + 1) 1

l1 ≠ l2 No existe lim f´(x) => f´(x) no es continua=> f(x) no es derivable en x = 0 b) No existe contradicion ya que al no ser derivable en x = 0 perteneciente (-1,1) no se verifica Rolle a pesar de que f (-1) = f(1) = ½ ya que Rolle no niega que exista um x0 perteneciente (-1,1) / f´(x0)=0 sino que no lo puede asegurar aunque en este caso si que existe x0 = 0 tal que f´(0) = 0

Sea una función f (x) tal que f (x) y f´(x) son continuas en todo R. Demostrar si f(y además la única raíz real de f´(x) es, esto implica que la única raíz real de f(x)= 0 es   Para demostrarlo supongamos que existe R /   Si supongo que f( ) = 0  f´() = 0 esto nos indica que si existe un valor  que hace su derivada 0. Esto nos implica que exista una raiz real para f´(x), que seria  en contra del enunciado que nos dice que la unica raiz real de f´es   

Sea f: R R una función con funcion derivada f ’(x)= sen x². Si f(0) = 0, ¿puede ser f(√π) = 0? Razonar la respuesta aplicando el teorema de Rolle. El teorema de Rolle dice que si f(x) es continua en [a,b] y derivable en (a,b), además de que f(a) = f(b) ==> x0 / f ‘(x) = 0. Aquí me dicen que la f(x) tiene como derivada f ‘(x) = senx²; si ésta f ‘(x) es continua en R lo será en el (0 ,√π) Como la función sen x² es continua siempre que lo sea x² y ésta es una función polinómica continua en R luego f ’(x) = sen x² es continua en (0 ,√π) y por tanto es derivable en (0 ,√π). Si f(x) es derivable, antes ha tenido que ser continua en [0 ,√π]. Rolle me dice que además f(0) = f(√π) y como f(0) = 0

f(√π) = 0 para que se verifique el teorema.

Se considera la parabola y = 2x2. Determinar un punto de la misma en el que la tangente a la parabola sea paralela a la recta que pasa por los puntos de la parabola A(1,2) y B(2,8) Se aplica la formula de Lagrange 8 – 2 = (2 - 1) · 4 xo

6 = 4 xo ;

f(b) – f (a) = (b – a) · f ´(xo);  f ´(x) = 4x  xo = 6/4 = 3/2;

yo = 2 · (3/2)2 = 2∙ 9/4 = 9/2 Luego P(3/2 , 9/2) es el punto pedido ya que f´(x0) es la tangente paralela a la recta.

Se considera la función a) Determinar m y n para que se cumplan las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [-4,2]. b) Hallar los puntos del intervalo cuya existencia garantiza el teorema. a) Para que se verifique Lagrange, la f(x) debe ser continua y derivable en [-4,2] Obliguemos a que sea continua en [-4,-2), (-2,2] y en x=-2 En los intervalos será continua

Además

-

8 + m = 4 - 32 ; m = - 20

m,n por ser f. polinómicas.

debe ser continua en x=2

1 Se da la curva de ecuación y = -- . Comprobar que el segmento de x 1 la tangente a dicha curva en el punto 3 , -- , comprendido entre los 3 ejes de coordenadas, esta dividido en dos partes iguales por el punto de contacto. Calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x=3 , y para ello, calcularemos la pendiente de la recta. 1 y'(x) = - -x2

1 y'(3) = - -9

1 1 La ecuación de la tangente será: y - -- = - -- · (x - 3) 3 9 9y - 3 = - x + 3 ==> x + 9y - 6 = 0 Calculemos los puntos de corte de la tangente con los ejes x + 9y - 6 = 0 

2 9y - 6 = 0 ==> 9y = 6 ==> y = -3



x - 6 = 0 ==> x = 6

x=0 x + 9y - 6 = 0

B(6,0)

y=0 El punto medio entra A y B será M ( 3, 1/3)

Lo que hay que comprobar es que d(A,M) = d(B,M) 1 82  82 d(A,M) =  9 + --- =  --- = -----9 9 3 1 82  82 d(B,M) =  9 + -- =  --- = ----9 9 3

A( 0, 2 / 3)

Si el termino independiente de un polinomio en x es igual a 3 y el valor que toma ese polinomio para x=2 es 3, probar que su derivada se anula para algún valor de x; razonar que ese valor pertenece a un cierto intervalo que se especificara. Llamemos P(x) = an ·xn + an-1 · xn-1 + ... + a1 ·x + 3 P(0) = an · 0 + an-1 · 0 + ... + a1 · 0 + 3 = 3 Además nos dicen que P(2) = 3, por tanto P(0) = P(2) = 3. Como P(x) es función continua y derivable en toda la recta real podremos aplicar el Teorema de Rolle, con lo que existe un valor x = a en el intervalo (0,2) tal que P'(a) = 0

Si f(x) = 2 + x3(x - 2)2 probar que la ecuación f´(x) = 0 posee al menos una raiz en (0, 2) sin calcular su derivada. Para que xo sea raiz es necesario que f´(x0) = 0 Se aplica Rolle, por ser f(x) continua en [0,2] y derivable en (0,2) y ademas f(0) = 2 + 03· (0 – 2)2 = 2 ; f(0) = f(2) f(2) = 2 + 23·(2 – 2)2 = 2 al verificarlo Ǝ x0 Ɛ R / f´(x0) = 0 Por Lagrange f(2) - f(0) = f´(x0) [2 – 0] 2 – 2 = f´(x0) · 2 ;

0 = f´(x0) · 2;

f´(x0) = 0

Si la derivada de una función f es positiva para todos los valores de la variable. ¿Puede haber dos números distintos a, b, tales que f(a) = f(b)?. Razonarlo. Si fuera f(a) = f(b) para dos números distintos a y b, puesto que f es derivable, también es continua y podría aplicarse el teorema de Rolle. Habría entonces un numero c entre a y b, tal que f '(c) = 0, lo cual es imposible ya que f '(x) > 0 para todo numero x, según dice el enunciado. Luego no puede haber dos números distintos a, b, tales que f(a) = f(b).

1 Si P es un punto cualquiera de la gráfica y = -- , probar que el 3 triángulo formado por la recta OP, la tangente a esa gráfica en el punto P y el eje y = 0, es isósceles. (O es el origen de coordenadas) 1 Sea P( x1, -- ) x1

1 un punto de la hipérbola y = -x

La tangente a la curva en el punto P tendrá de pendiente 1 m = y'(x1) = - ---- por lo que la tangente será de la forma: x12 1 1 y - --- = - ---- · (x - x1) x1 x12 Para buscar el punto de corte de la tangente con el eje OX resolveremos el sistema: 1 1 1 y = --- + --- - ----. x x1 x1 x12 

1 2 2 · x12 ---- · x = --- ==> x = ------x12 x1 x1

 x = 2 · x1

y=0 luego la tangente corta al eje en Q(2x, 0) Para ver que los triángulos formados son isósceles solo será necesario demostrar que: d(OP) = d(PQ) 1 d(OP) =  x12 + ---x12 1 d(PQ) =  (2x1 - x1)2 + ( 0 - --- ) x1

 d(OP) = d(PQ) 2

1 =  x12 + --x12

Calcula el valor de a para la recta tangente a la gráfica de función y= f(x) =-ax2 + 5x - 4 en el punto de abcisa 3 corte al eje X en el punto x = 5. y- yo = mt ·(x - xo) xo = 3  yo = -9a + 15 - 4= -9a + 11 mt = y’(3) = -6a + 5 y - (-9a +11) = (-6a + 5)·(x - 3) y = 0; x = 5  0 + 9a - 11= (-6a +5)· (5 - 3) 9a - 11= - 12a + 10; 21a = 21; a = 1 y0 = 2, mt = -1 Ecuación tangente: y – 2 = -1(x - 3)

Hallar los valores de a, b, c para que las gráficas f(x) = x2 + aX + b y g(x) = x3 + c pasen por el punto (1, 2), y en ese punto tengan la misma tangente. mt = mt’  f’(1) = g’(1) f’(x) = 2x + a  f’(1) = g’(1) ; 2∙1+a = 3∙1; 2 + a = 3; a = 1 2

g’(x) = 3x

2 = 12 + a + b  2-1-1= b; b = 0; c = 1 2 = 1+ c

¿Para qué valor de a la recta la recta ax+y = ln 2 es tangente a a la curva y = ln ((x+2) / (x+1)) en el punto de abcisa x=0?. y = -ax + ln2 mt = - a y = ln ((x+2 ) / (x+1)) = ln(x+2) - ln(x+1) mt = y’(0) y´ = (1 / (x+2)) - (1 / (x+1)) = (x+1- x - 2) / (x2 + 3x + 2) = = -1 / (x2 + 3X + 2) mt = y´(0) = - 1/2 -a = -1/2; a = 1 Determinar el valor de a para que la recta tangente a la gráfica de la función Y=f(X)=X4+aX en el punto X=0 sea perpendicular a la recta Y+X=3. Mt=Y’(0) Y’=3X2+a Mt(Y’(0))=a Mt ∙ Mn=-1a(-1)=-1a=1

Y=-X-3 Mn=-1



Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal (recta perpendicular a la tangente) en el punto de abscisa 0, a la gráfica de la función dada por: f(x)=2x

=2(x-0) => y (x-0) => 

Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de la función g(x)=| en el punto de abscisa x=2

=>

=2

=> =-4(x-2) => y (x-2) => 

Halla las ecuaciones de la recta tangente y normal a las siguientes curvas en los puntos que se indican.

a)

en x=4

=

=

=

= =

(x-4) => y (x-4) =>

b)

en = 45=

=>

= =

=

(x- ) => y (x- ) => y

·2=