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Aproximación de π: el método de Arquímedes. Elegida una unidad de longitud, se considera una circunferencia (C) de radio 1 y centro O. Su perímetro es 2π y su semiperímetro es π.

La idea de Arquímedes es encuadrar esa circunferencia mediante polígonos regulares de 3×2n lados. Denotaremos con Pn al polígono inscrito de 3×2n lados, y con pn su semiperímetro; Qn al polígono circunscrito de 3×2n lados, y con qn su semiperímetro. Admitiremos que todo polígono regular inscrito en una circunferencia tiene perímetro inferior a la circunferencia y todo polígono regular circunscrito en una circunferencia tiene perímetro mayor que ella. Se tendrá así que para todo n ≤ 0, pn < π < qn. Colección MOSAICOS

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1. Conjetura. ¿Qué conjeturas puedes efectuar sobre las sucesiones (pn) y (qn)?

2. Estudio de los polígonos inscritos. Construcción de los polígonos Pn: P0 es un triángulo equilátero (nombrado ABC en la figura de al lado). Para construir el hexágono P1 (nombrado ADBECF en la figura siguiente) a partir del triángulo ABC, se agregan los vértices F, D y E, segundos puntos de intersección de la circunferencia (C) con las mediatrices de los lados del triángulo ABC. Cada polígono Pn engendrará de la misma manera un polígono Pn+1. a) Calcula c0 y p0, siendo cn la longitud del lado del polígono Pn. b) Justifica geométricamente que la sucesión (pn) es creciente. ¿Por qué (pn) es convergente? c) Expresa pn en función cn y muestra que la sucesión (cn) converge a 0. Colección MOSAICOS

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d) Pasaje de Pn a Pn+1. Sobre la figura de la derecha, los puntos R y S son dos vértices consecutivos del polígono Pn, los puntos R, T y S son tres vértices consecutivos de Pn+1 y entonces (OT) es la mediatriz de [RS]. Sea H el punto medio de [RS], H′ al punto medio de [RT] y V el punto diametralmente opuesto a T sobre la circunferencia (C). Denotemos con an el apotema de Pn es decir la distancia de O a un lado de Pn. Se tiene así que: OH = an, OH′ = an+1, RS = cn y RT = cn+1. Muestra que los triángulos VHR y OH′T son semejantes.

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3. Estudio de los polígonos circunscritos. Se construyen R′ y S′ sobre [OR) y [OS) tales que (R′S′) sea tangente en T a la circunferencia (C). a) justifica que (R′S′) es paralela a (RS) y deduce que:

R'S' 1--------- = ---. RS an b) Muestra que [R′S′] es el lado de un polígono regular Qn circunscrito a la circunferencia (C) y cuyo semiperímetro

p

es q n = ----n- . an

q

2a 1 + an

n+1 n c) Deduce que ----------y luego estudia la variación de la sucesión (qn). - = --------------

qn

Muestra que ella converge.

Colección MOSAICOS

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4. Aproximación de

π.

a) Considerando el triángulo OHR, expresa an en función de cn y muestra que la sucesión (an) converge a 1. b) Deduce que las sucesiones (pn) y (qn) convergen a π. c) Calcula a0 y q0 y luego con una hoja de cálculo completa la tabla siguiente: n

Número de lados de Pn y Qn

an ≈

pn ≈

qn ≈

0

3

0,5

2,598

5,196

1 2 3 4 5 … 96 Colección MOSAICOS

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Las fórmulas de recurrencia que es necesario escribir en las celdas de la planilla son:

pn – 1 p n = ------------------------1 + an – 1 --------------------2

Colección MOSAICOS

2a n – 1 q n = q n – 1 × --------------------1 + an – 1

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Resolución de la actividad para el alumno. 1. Conjeturas lím (pn) = π y lím (qn) = π . (pn) es creciente y (qn) es decreciente.

AB ------2 3 2. a. -------- = ------- luego c0 = 2 OA

3 3 3 , por lo que p0 = ---------- . 2

b. De la regla de construcción de pn+1, obtenemos

cn+1

cn+1

cn Si x designa el número de lados de Pn entonces 2x es el número de lados de Pn+1.

x p n = --- c n y p n + 1 = xc n + 1 ; como 2cn+1 > cn porque en todo triángulo la suma 2 de dos lados es mayor que el tercero, deducimos que pn< pn+1. La sucesión (pn) es estrictamente creciente. La sucesión (pn) es creciente y acotada superiormente por π entonces ella converge.

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n

c) pn= 3×2n–1×cn entonces c n = --- × p n × ⎛ ---⎞ . ⎝ 2⎠ 3

2

1 n ⎝ 2⎠

1

1 n ⎝ 2⎠

Resulta así que: 0 ≤ c n ≤ π × ⎛ ---⎞ , y como ⎛ ---⎞ converge a 0, por el teorema «de las sucesiones comprendidas»: lím (cn) = 0. d) VRT es un triángulo rectángulo en R porque [VT] es un diámetro de (C), luego

∠RVT = π --- – ∠RTV . 2 OH′ T es un triángulo rectángulo H′ en porque ORT es un triángulo isósceles en O y π H′ es el punto medio de [RT], luego ∠TOH' = --- – ∠RTV . 2 Los triángulos VHR y OH′ T son dos triángulos rectángulos (VRT es rectángulo en H, porque ORS es isósceles en O y H′ es el punto medio de [RS]). Como ∠TOH' = ∠RVT = ∠RVH los triángulos rectángulos VHR y OH ′T tienen dos ángulos iguales, son semejantes. Colección MOSAICOS

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resulta entonces que:

cn ---1 + an VH HR VR 2 ---------- = --------- = -------- , por lo que: -------------- = ------------ = 2a n + 1 . OH' H'T OT cn + 1 an + 1 -----------2 VR = an+1 porque en el triángulo VRT, (OH ′) es una paralela media.

De donde a n + 1 =

1 + an cn + 1 1 -------------- , ------------ = --------------. 2a n + 1 2 cn

n cn + 1 3 × 2 × cn + 1 pn + 1 1 ------------ = --------------------------------- = 2 × ------------ = ----------. n–1 c pn a n n+1 3×2 × cn

3. a. (RS) ⊥ (OT) y (R′S′) ⊥ (OT), luego (RS) // (R′S′). Aplicando el teorema de Tha-

OT OH OT OS' TS' OTS′ : --------- = -------- = ------- . OH OS SH

OR' OR

R'T RH

les en el triángulo OTR′ : --------- = --------- = -------- ; de manera análoga en el triángulo

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Como OS = OR = 1 y HR = HS (H es el punto medio de [RS]), deducimos que TR′ = TS′; como T pertenece a [R′S′], T es el punto medio de [R′S′].

OT- = ---1- -------OT- = 2R'T ------------------ = R'S' --------- . y OH a n OH 2RH RS RS an

c an

b. R'S' = ------- = ----n- entonces Qn tiene todos sus lados de igual longitud (porque an es la distancia de O a cada lado de Pn luego an es el mismo valor para todos los lados).

p n n cn n 2p n 2q n = 3 × 2 × R'S' = 3 × 2 × ----- = 3 × 2 × -------- de donde q n = ----n- . an an an pn + 1 an an qn + 1 an 1 - = ------------ × ------------ = ------------ × ------------ = -------------- porque c. ----------qn

e an + 1 =

pn

an + 1

an + 1

an + 1

1 + an -------------2

1 + an qn + 1 2a n -------------- , de donde ----------- = -------------. 2 qn 1 + an

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2a 1 + an

2a 2a n

n an ≤ 1 ( radio de la circunferencia) entonces -------------- ≤ --------n = 1 .

La sucesión(qn) es decreciente y acotada inferiormente por π, entonces converge. 2

4. a. a n =

c 1 – ----n- , lím (cn) = 0 luego lím (an) = 1. 4

b. (qn) decrece, (pn) crece • para todo n∈N, pn ≤ qn

p

• q n – p n = ----n- – p n = p n ⎛ ----- – 1⎞ ⎝a ⎠ an n

1

Ahora 0 ≤ q n – p n ≤ π ⎛ ----- – 1⎞ . Como lím (an) = 1, lím (qn – pn) = 0 y como (qn)

1 ⎝a

n

⎠

y (pn) son convergens tienen un límite común L. Como pn ≤ π ≤ qn, el límite L común a (qn) y (pn) es tal que L ≤ π ≤ L luego L = π.

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