Asignatura: RRP 2014 Prof. Alicia Iturbe y Prof. Cecilia Ariagno

Función lineal Problema Nº1: Una pileta de natación que tiene capacidad de 20.000 litros se llena con una bomba que opera a un ritmo de 600 litros por minuto. La bomba se enciende cuando la pileta tiene 2.000 litros de agua. a) ¿Cuántos litros de agua habrá en la pileta a los 3 minutos de encender la bomba? ¿ y a los 7 minutos? b) ¿Es cierto que a los 10 minutos habrá 6.000 litros de agua en la pileta? c) ¿Cuál es la fórmula que permite calcular la cantidad de litros de agua que habrá en la pileta x minutos después de haberse encendido la bomba? d) ¿Cuál es la fórmula que permite calcular los litros de agua que se agregan por minuto? e) ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse la pileta? Problema Nº2: Una pileta se vacía con una bomba que extrae agua a razón de 500 litros por minuto. Al encender la bomba, en la pileta había 25.000 litros de agua. ¿Cuál es el gráfico que representa esta situación? Problema Nº3: Graficar en un mismo par de ejes cartesianos las siguientes funciones. Determinar semejanzas y diferencias entre loa gráficos. a)

b)

c)

d)

Problema Nº4: Realicen el gráfico de las siguientes funciones lineales, usando el valor de la pendiente y de la ordenada al origen: f(x)= Problema Nº5: Obtengan la fórmula de cada una de las funciones lineales representadas en los siguientes gráficos: a)

b)

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Asignatura: RRP 2014 Prof. Alicia Iturbe y Prof. Cecilia Ariagno Problema Nº6: Q( 5, -3) Problema Nº7:

Obtener la pendiente de la recta que contiene a los puntos P( 1; 2) y Da una función lineal se sabe que la pendiente es 3 y que contiene al punto

. ¿Cuál es su fórmula? Problema Nº8: Obtener la fórmula de una función lineal si se sabe que su gráfica contiene a los puntos

y

Problema Nº9: En algunos países del mundo, como en la Argentina, se utiliza la escala de grados centígrados para expresar temperaturas, mientras que en otros, se utiliza la escala de grados Fahrenheit. La relación de conversión entre ambas escalas es lineal y está dada por la fórmula , donde x es la temperatura expresada en grados centígrados y f(x) es la misma temperatura expresada en grados Fahrenheit. a) ¿Cuál es la temperatura en grados centígrados que equivale a ºF b) ¿Para qué valores de temperatura expresada en grados centígrados, la temperatura equivalente en grados Fahrenheit es positiva? c) ¿Para qué valores de temperatura, expresada en grados centígrados, la temperatura equivalente en grados Fahrenheit es negativa?

Problema Nº10: a) Encontrar la expresión de una función lineal que sea positiva para todos los valores de x mayores que 5 y negativa para todos los valores de x menores que 5 b) Encontrar la expresión de una función lineal que valga 0 para x=1/2. ¿Habrá una única función? ¿Por qué? Problema Nº11: Considerar las funciones del tipo f(x)=4x+t a) Encontrar el valor de t para que la gráfica de la función obtenida contenga al punto (0,5). b) Encontrar el valor de t para que la gráfica de la función obtenida contenga al punto (2,10). Problema Nº12: Indicar en cada caso si los puntos están alineados. Justificar. a) (3,4/3); (1/2,2/3); 2/3,7/9) b) (3,-1/2); (1/2,2/3); (-2/3,7/9) c) (3,7); (1/2,7/6); (-2/3,-14/9) Problema Nº13: Para cada uno de los siguientes casos, hallar la fórmula de la función lineal cuya gráfica tiene las características que se informan: a) Su pendiente es 3 e intersecta al eje de las ordenadas en y=-4 b) Su pendiente es -2 y contiene al punto ( 0, 5) c) Intersecta al eje de ordenadas en y=5 y contiene al punto ( 3 , 2 ) d) Contiene a los puntos ( 1 , 3 ) y ( ½ ,-1) e) Intersecta al eje de ordenadas en y=-1 y al de abscisas en x=-3 Problema Nº14: Hallar los para las funciones que se obtuvieron en los ítem c) y d) de la actividad anterior. Problema Nº15: Considerar la función lineal f(x)= 6x+1. Analizar cada una de las siguientes afirmaciones, indicar si es verdadera o falsa y justificar. a) la ordenada al origen es 1 y la pendiente es 6 b) Por cada dos unidades que se aumenta la abscisa de un punto de la recta, la ordenada aumenta 12 c) La recta intersecta al eje de abscisas en x01 d)

e) No hay números negativos en el conjunto de positividad de f 2

Asignatura: RRP 2014 Prof. Alicia Iturbe y Prof. Cecilia Ariagno Problema Nº16: La máquina expendedora de boletos de un colectivo se carga con monedas que totalizan $25. La línea tiene una tarifa única de $0,90. a) ¿Cuánto dinero contiene la máquina cuando se expendieron 120 boletos? b) ¿Cuál es la recaudación neta de la primera vuelta de recorrido, en la que se expendieron 85 boletos? c) En un determinado momento hay en la máquina $ 155,50. ¿Cuántos boletos se llevan vendidos? d) ¿Es posible que en algún momento haya en la máquina $ 200? ¿Por qué? e) ¿Qué representación es la adecuada para graficar el dinero que hay en la máquina en función de la cantidad de boletos expendidos: una recta, una semirrecta o un conjunto de puntos aislados? ¿Por qué? Problema Nº17: En física, se llama movimiento uniformemente acelerado, al que desarrolla un móvil cuando su aceleración es constante. En un movimiento uniformemente acelerado, la velocidad V del móvil en cada instante t se puede calcular por la fórmula , siendo la velocidad inicial del móvil y a la aceleración. a) Un móvil parte con una velocidad de 30 km/h marcha con una aceleración constante de 4 km/h2. Escribir la fórmula que dé la velocidad ( en km/h) que tendrá el móvil en cada instante ( en horas) y calcular dicha velocidad a las 2 horas de haber comenzado el movimiento. b) Una piedra se deja caer desde cierta altura. Escribir la fórmula que dé la velocidad alcanzada por la piedra ( en m/seg) en función del tiempo ( en segundos): Tener en cuenta que todo cuerpo que se deja caer queda sometido a la aceleración de la gravedad, que es de 10m/seg2, aproximadamente. Calcular, además, la velocidad que alcanzará la piedra a los 3 segundos de haber sido soltada y en qué instante alcanzará una velocidad de 45 m/seg.

Problema Nº18: Para cada una de las siguientes rectas, decidir cuál es la fórmula que le corresponde sin hacer ningún cálculo:

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Asignatura: RRP 2014 Prof. Alicia Iturbe y Prof. Cecilia Ariagno Problema Nº19: Dos familias salen simultáneamente en sus autos por una misma ruta rumbo a una ciudad balnearia: Una de las familias parte de la ciudad A, mientras que la otra lo hace desde una ciudad distante 50 km de A hacia adelante. La ciudad de destino se encuentra a 250 km de la ciudad A. Ambos autos van a velocidad constante, recorriendo 2 km por minuto. En el mismo momento en que partieron los autos mencionados, un camión sale desde la ciudad balnearia por la misma ruta y en sentido contrario a los otros dos autos, a velocidad constante, recorriendo medio kilómetro por minuto. Si se representan gráficamente la distancia ( en km) a la que se encuentran cada uno de los tres vehículos de la ciudad A en función del tiempo ( en minutos), ¿qué relaciones tienen esos gráficos?

Problema Nº20: A partir de la recta R: y= a) ¿Cómo es la ecuación de una recta paralela a R? ¿Cuántas se pueden encontrar? b) ¿Cómo es la ecuación de una recta paralela a R que contiene al punto (-2,4)? c) ¿Cómo es la ecuación de una recta perpendicular a R? ¿Cuántas rectas se pueden encontrar? d) ¿Cómo es la ecuación de una recta perpendicular a R que contiene al punto (4,-5)? Problema Nº21: A Martín le regalaron un autito a pila que viaja a velocidad constante y una pista de madera. Jugando realizó las siguientes mediciones Tiempo de marcha (seg.) 10 15 25 Distancia al inicio de la pista (cm.) 65 90 140 a) ¿A qué distancia del inicio de la pista largo Martín el auto? b) ¿A qué distancia del inicio de la pista llego el auto a los 20 seg. de marcha. c) ¿Cuántos cm. Recorrió el auto en 20 seg? d) ¿Cuál es la velocidad del auto? e) Formula la expresión que permite calcular la distancia al inicio de la pista según el tiempo de marcha. Problema Nº22: Una empresa tiene un ingreso mensual de 30 $ por unidad vendida de cierto producto. Por otra parte, el costo fijo mensual es de 4.800 $ y un costo variable de 22 $ por unidad. a) ¿Cuántas unidades deberían vender en un mes para que el ingreso y costo sean iguales? y ¿Para que el ingreso sea mayor que el costo? Justifica la validez de las respuestas mediante un gráfico cartesiano. Problema Nº23: Los alumnos de una escuela están juntando dinero para su viaje de egresados. Ya tiene ahorrado $1.200 y logran juntar $1.000 por mes ¿Cuál de las siguientes expresiones nos permite saber lo que llevan ahorrado en función de los meses?- Justifique y=1000 x y = 1200 x y= 2200 x y = 1000 + 1200 x y = 1200 + 1000 x Problema Nº24: Dos autos se dirigen, a velocidad constante, a Uruguay por una ruta recta. El primero sale a 70 Km de Buenos Aires con una velocidad de 65 Km/h. Del segundo se registraron los Tiempo (horas) ½ 2 siguientes datos: Distancia a Bs. As (en Km.) 65 185 a- ¿Qué auto va más rápido. Justifiquen b- Formula la expresión que le permita calcular la distancia a Bs. As. de cada auto

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Asignatura: RRP 2014 Prof. Alicia Iturbe y Prof. Cecilia Ariagno Problema Nº25: En la agencia de turismo Buen Viaje ofrecen un paquete de 7 días de hospedaje para dos personas, en la exclusiva hostería La Sirena, por $ 3.500, con la opción de extenderlo a 10 días pagando un plus de $ 600 por día. Otro operador turístico, Travelindo, ofrece alojamiento en la misma posada, también para dos personas a $530 por día, con un mínimo de 4 días de alojamiento para hacer la reserva. Y si el trato es directo con el hotel, la tarifa es de $ 600 por día. a) Si se piensa pasar 10 días en ese lugar turístico ¿qué agencia conviene contratar? b) Si se piensa pasar sólo 3 días, ¿qué agencia conviene? c) Si se disponen de 15 días para vacacionar, ¿cuál conviene? d) ¿Cuál es la forma más eficaz de representar la información para decidir sobre cuál conviene en cada caso? Problema Nº26: Representar gráficamente la recta 2x – y = 5. a) Dibujar la recta paralela a la dada, que pasa por el origen de coordenadas. b) Encontrar las coordenadas de un par de puntos cualesquiera por los que pasa la recta hallada en b) c) Hallar una ecuación para dicha recta. Problema Nº27: La longitud de una varilla depende de la temperatura y de la sustancia de que está hecha. Si llamamos L a la longitud (expresada en cm) que tiene una varilla cuando la temperatura es t C, se verifica la relación:

L = L 0 + L0  t

donde L0 es la longitud de la varilla a una temperatura de 0 C, y  depende de la sustancia, y se llama coeficiente de dilatación lineal. Por ejemplo, para el cobre cobre = 1,41 10-5 ; para el vidrio vidrio = 8,33 10-6. Si una varilla tiene 125 cm de longitud a 0 C a) ¿Cuál será su longitud a 50 C, si es de vidrio? b) ¿Y si es de cobre? Problema Nº28: Una empresa telefónica cobra por bimestre una tasa fija de $450.- más $4,5.proporcionalmente a cada 2 minutos de comunicación. a) Hallar la fórmula que expresa la tarifa bimestral en función del tiempo que se utilizó el servicio. b) ¿Sería igual la expresión de una empresa con la misma tasa fija pero que cobrara $3.proporcionalmente a cada minuto de comunicación? c) Si no es lo mismo, ¿cuál sería más cara?

Problema Nº29: Uno de los siguientes gráficos representa los diferentes salarios que Federico fue obteniendo a lo largo de distintos años; el otro representa los salarios de Fernanda en el transcurso de los mismos años, y el último representa los salarios de Octavio en igual período. Nos informan que el aumento del salario de Federico fue mayor en los últimos años y que el aumento del salario de Octavio fue disminuyendo a medida que pasaron los años. a. ¿Cuál es el gráfico que corresponde a Federico, cuál a Fernanda y cuál a Octavio?

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Asignatura: RRP 2014 Prof. Alicia Iturbe y Prof. Cecilia Ariagno b. ¿En cuánto le aumentaron el salario a Fernanda entre 1994 y 1996? c. ¿Qué característica tuvo el aumento de salario que le dieron a Octavio a medida que pasaron los años?

Problema Nº30: Para alambrar un campo rectangular se necesitan 100 m de alambre. Para ver cómo varía la profundidad del campo en función del ancho, escribimos la profundidad (y) en función del ancho (x) como y = 50 - x. ¿Cuál de los siguientes conjuntos representa los valores que puede tomar x, para que tenga sentido el problema? a) R b) el intervalo cerrado [0,50] c) el intervalo abierto (0,50) d) En el mismo problema, si x  (0,50), ¿qué conjunto representa los valores que puede tomar y?

a) b)

c) d)

Problema Nº31: Una empresa de transporte utiliza dos tipos de unidades: las que llamaremos A, cuyo precio de compra es de $150.000.- y que tiene un costo estimado promedio de movilización de $3,0 por km; y las B que cuestan $170.000.- con un costo de $2,5 por km. Determinar la inversión que ha realizado la empresa, en función de los km. Recorridos, para cada uno de los tipos de unidades. Se sabe que ambas unidades tienen una vida útil de 100000 km, ¿cuál será la inversión total realizada por la empresa, en cada una de las unidades?¿Cuál de ellas aparece como más conveniente? ¿Hasta qué kilometraje la unidad A exige menor inversión? ¿Qué vida útil debería tener cada unidad para que la inversión final fuera la misma para ambos tipos? Problema Nº32: El representante de un grupo musical ha organizado un recital en un auditorio con capacidad para veinte mil personas. El costo fijo del recital es de $250000 entre alquiler de las instalaciones y los equipos con el correspondiente personal; y el representante cobra $30000. De cada entrada que se venderá a $120, el representante se lleva $15. Deben regalar 50 entradas a familiares y amigos. a) Escribir la comisión total del representante y la ganancia total del grupo, ambas en función del número de entradas vendidas. b) ¿Cuántas entradas vendieron si la ganancia de cada uno de los 5 integrantes del grupo fue de $332.500? c) ¿Cuál es la máxima ganancia posible? Justificar. Problema Nº33: Buscando trabajo, Pedro y María encontraron el siguiente aviso: “Exitosa empresa busca vendedores junior, salario semanal $50 más comisión de $2 por unidad.” María llamó para preguntar qué significaba que la empresa fuera exitosa, y le contestaron que estadísticamente se habían calculado las ventas semanales de un producto de precio p como 150 - 2,5 p. Pedro llamó para preguntar qué productos vendía la empresa y le dijeron que vendían electrodomésticos cuyo precio oscilaba entre $15 y $60.a) ¿Cuál sería la expresión algebraica para el salario semanal, en función del precio? ¿Cuál es su dominio? b) ¿Cuál sería la expresión algebraica para el sueldo, en función del precio, si un mes tiene 4 semanas? Calcular el dominio de esta expresión y compararlo con los de la expresión hallada en a). ¿Son iguales? ¿Por qué? c) Pedro cree que sería fácil vender molinillos de café, cuyo precio de venta es $20.- ¿Cuántos debería vender por semana para cobrar $800 en el mes?, ¿es posible, según las estadísticas de la empresa, que llegue a ese sueldo vendiendo sólo molinillos de café? ¿por qué? 6

Asignatura: RRP 2014 Prof. Alicia Iturbe y Prof. Cecilia Ariagno d) ¿Qué tipo de producto deja “mejor” comisión, el más caro o el más barato? Justificar la respuesta, aclarando cómo se interpretó “mejor” en este contexto. Problema Nº34: El valor de un automóvil disminuye a medida que pasa el tiempo. El precio de un 0km. es $154.000.-. Éste pierde un 10% al comenzar a circular (los precios se toman redondeando a cifras enteras) y a partir de allí, el valor disminuye proporcionalmente al tiempo transcurrido. Pasados 2 años, el valor del automóvil es de $ 112.000.a) Hallar la función que indica el valor del automóvil en función del tiempo transcurrido (en días, contar 360 días en un año, que corresponde al año comercial) desde que comenzó a circular. b) ¿Cuándo se debe vender el auto si se quieren recuperar por lo menos $50.000.-?

Problema Nº35: En el taller de plástica de una escuela los alumnos tienen que realizar ciertos trabajos para lo que necesitan comprar un Kg. de arcilla por alumno. Para comprar la arcilla tienen varias opciones: Opción A: Comprarla en un negocio especializado en el que cobran $ 4 el Kilo con todo gasto incluido. Opción B: Hacer un pedido a otro negocio de una localidad vecina en el que vale $3 el Kilo pero debe pagar $10 por el envío si l paquete pesa 15 Kg. O menos y $20 si pesa entre 16 y 35 Kg.Opción C: Hacer un pedido por catálogo. La arcilla s enviada en sacos de 5 Kg. Y un saco cuesta $16 con todo gasto incluido. Realice los gráficos correspondientes a las tres opciones. de forma tal que permita elegir la solución más ventajosa en función del número de alumnos que trabajan en el taller. Problema Nº36: Una empresa tiene tres vendedores a los cuales les paga de modo diferente: A vendedor A le abona una suma fija de $100 más un 5% de sus ventas mensuales. Al vendedor B le paga una cantidad fija de $200 más un 3% de sus ventas del mes. Al vendedor C sólo le abona un 10% de sus ventas del mes. a) Analizar cuánto deben vender A y C para obtener el mismo ingreso. b) Ud. desea trabajar en esta empresa y le permiten elegir una de las tres opciones dadas. Realizar el gráfico de las mismas en un mismo sistema de ejes cartesianos y, a partir de éste determinar: ¿Qué opción elegiría si tiene la seguridad de vender más de $3.000? ¿Qué opción si sabe que no va a poder vender más de $2.000?   

Para seguir practicando: Problema Nº1: Considerar dos expresiones algebraicas distintas, que llamaremos f y g, por ejemplo, f(x) = 3x + 5, g(x) = 5 x. a) Si x representa cantidad de kilómetros, y la expresión f el costo de un viaje en taxi ¿qué representa el 5 que aparece en la expresión algebraica de f? b) Si además g(x) representa el costo de un viaje en remis, ¿en qué me conviene viajar, en taxi o en remis, si debo recorrer a. 10 cuadras; b. 2 km; c. 5 km? c) Una tercera empresa (tax-rem) quiere ingresar al mercado cobrando en cada viaje el promedio de lo que cobrarían las dos anteriores. ¿Cuál sería la expresión algebraica de horas? Problema Nº2: Inventar un problema sobre una situación concreta que se represente mediante la función lineal: f(x)=10x+50

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Asignatura: RRP 2014 Prof. Alicia Iturbe y Prof. Cecilia Ariagno Problema Nº3: Un auto viaja desde Bs. As. hasta Mar del Plata a una velocidad promedio de 80 km/h. Como no conocemos las velocidades de cada instante, modelizamos esta situación como si el auto viajara a velocidad constante. a) ¿Cuál es la velocidad constante que debemos considerar? ¿Por qué? b) Utilizando el modelo de velocidad constante, sabiendo que entre el lugar desde donde salió en Bs. As. y el lugar a que llegó en Mar del Plata hay 425 km, ¿cuánto duró el viaje? c) Graficar la velocidad en función del tiempo. ¿Qué curva se obtiene?¿Cuál es su expresión algebraica? d) Graficar el tiempo en función de la velocidad. ¿Qué curva se obtiene? ¿Cuál es su expresión algebraica? e) Graficar, para el mismo modelo, la distancia recorrida en función del tiempo. ¿Qué curva se obtiene? ¿Cuál es su expresión algebraica? f) ¿Qué representa la pendiente de la recta? ¿Y la ordenada al origen? ¿Cómo podemos utilizar el gráfico para calcular la duración del viaje? Problema Nº4: De una función lineal f se sabe que f(5)-f(2)=4. a) Hallar la pendiente de la recta que representa f b) ¿Alcanza la información dada para obtener la fórmula de f ¿ En caso afirmativo, escribir la fórmula. En caso negativo explicar por qué. Problema Nº5: Se ha estimado que la población de una ciudad aumenta por año en una cantidad fija igual al 5% de su población actual. Otra ciudad, que actualmente tiene un 50% más de habitantes que la anterior, aumenta también una cantidad fija por año que es igual al 2% de su población actual. a) Si la primera ciudad tiene actualmente 10.000 habitantes, ¿puede ocurrir que las dos ciudades tengan la misma población en algún momento? b) ¿Y si la primer ciudad tiene actualmente 100.000 habitantes? c) ¿Hay alguna cantidad de habitantes actuales de la primera ciudad que modifique la respuesta? Problema Nº6: Se trata de arreglar la fachada del frente de una casa. Se tiene dos opciones: Opción A: El costo por m2 del arreglo es de $ 800 Opción B: El costo por m2 del arreglo es de $ 500 más $ 6.000 para la compra de una herramienta específica para tal fin. ¿En qué casos conviene elegir una u otra opción? Realiza los gráficos correspondientes. Problema Nº7: Hallar el conjunto de ceros, y los conjuntos de positividad y negatividad de las siguientes funciones lineales: f(x)= 6x+4; g(x)= Problema Nº8:

A partir de la recta R: y= -

a) ¿Cómo es la ecuación de una recta paralela a R? ¿Cuántas se pueden encontrar? b) ¿Cómo es la ecuación de una recta paralela a R que contiene al punto (6,-2)? c) ¿Cómo es la ecuación de una recta perpendicular a R? ¿Cuántas rectas se pueden encontrar? d) ¿Cómo es la ecuación de una recta perpendicular a R que contiene al punto (-3,-1)?

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