ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID CURSO PROPEDEÚTICO DE FÍSICA. SEPTIEMBRE 2013

BLOQUE 1: MAGNITUDES Y VECTORES • Sistemas de unidades

BLOQUE 1: Magnitudes y vectores

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Sistemas de Unidades – Sistemas tradicionales – Sistema Internacional (SI) – Análisis dimensional

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Las magnitudes físicas están relacionadas entre sí:  F=ma  E=½mv2 … Sólo 7 magnitudes físicas son independientes entre sí:

 magnitudes fundamentales (3 para la parte de mecánica) El resto de magnitudes se pueden derivar de estas 7 (3):

 magnitudes derivadas El sistema de unidades selecciona las magnitudes que considera magnitudes fundamentales y define sus unidades (cantidades patrón) BLOQUE 1: Magnitudes y vectores. Sistemas de unidades

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En los distintos lugares del mundo se utilizaban unidades diferentes. Para resolver este problema, en la XI Conferencia General de Pesos y Medidas (París 1960) se estableció el Sistema Internacional de Unidades (SI). En primer lugar se eligieron las magnitudes fundamentales y la unidad correspondiente a cada magnitud fundamental. Magnitud fundamental es aquella que se define por sí misma y es independiente de las demás (masa, tiempo, longitud…). Hay siete magnitudes fundamentales. Veamos un cuadro con ellas, la unidad de cada una y la abreviatura que se emplea para representarla. BLOQUE 1: Magnitudes y vectores. Sistemas de unidades

ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID CURSO PROPEDEÚTICO DE FÍSICA. SEPTIEMBRE 2013 (Normativa sobre SI: Ley 88/1967 de 8-11-1967 y decreto 1257/1974 15-4-1974)

Magnitud fundamental Longitud Masa Tiempo Temperatura Intensidad de corriente Intensidad luminosa Cantidad de materia

Unidad metro kilogramo segundo kelvin amperio candela mol

Abreviatura m kg s K A cd mol

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En segundo lugar se definieron las magnitudes derivadas y la unidad correspondiente a cada magnitud derivada. Magnitud derivada es aquella que se obtiene mediante expresiones matemáticas a partir de las magnitudes fundamentales (densidad, superficie, velocidad…).

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Magnitud Longitud Tiempo Masa Fuerza

SI m s kg N

cgs cm s g dina

Técnico m s utm kp o kgf

Absoluto Inglés ft s lb poundal

Gravitacional Inglés ft s slug lbf

Equivalencia entre el Sistema Absoluto Inglés y el SI 1 ft=0,3048 m 1 lb=0,4536 kg kp=peso de 1 kg de masa lbf=peso de 1 lb de fuerza Puesto que existe un ley física que relaciona la fuerza con la masa y la aceleración (F=m.a) (a=v/t; v=e/t), tendremos:

1 dina = 1g .cm.s-2 1 kp = 1utm .m.s-2

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Unidades suplementarias (De carácter geométrico. No se ha decidido si son fundamentales o derivadas.)

Magnitud

unidad

símbolo

Ángulo plano Ángulo sólido

radián estereorradián

rad sr

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Definiciones

metro: longitud recorrida en el vacío por un rayo de luz en 1/299792458 segundos kilogramo: masa que tiene el prototipo internacional, compuesto de una aleación de platino e iridio, que se guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas (BIPM) en Sèvres, cerca de París. segundo: masa duración de 9192631770 oscilaciones de la radiación emitida en la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del isótopo 133 del átomo de cesio (133Cs), a nivel del mar. amperio: intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2 · 10-7 newton por metro de longitud. BLOQUE 1: Magnitudes y vectores. Sistemas de unidades

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kelvin: fracción de 1/273,16 partes de la temperatura del punto triple del agua. mol: cantidad de esa sustancia que contiene tantas entidades elementales del tipo considerado, como átomos hay en 12 gramos de carbono-12. candela: intensidad luminosa en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática. de frecuencia 540 x 1012 hercios y de la cual la intensidad radiada en esa dirección es 1/683 vatios por estereorradián.

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Ángulo plano: ángulo formado por el arco de circunferencia AB, con centro en O, que intercepta a dos rectas que se unen en el punto O

θ=

l R

radián: ángulo plano que, teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercepta sobre la circunferencia de este círculo un arco de longitud igual a la del radio

(un ángulo completo alrededor de un punto equivale a 2π rad) BLOQUE 1: Magnitudes y vectores. Sistemas de unidades

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Ángulo sólido: espacio comprendido dentro de una superficie cónica o piramidal. Se obtiene trazando con radio arbitrario R y centro en el vértice O, una superficie esférica y aplicando la relación: S Ω= 2 R siendo S el área del casquete esférico interceptado por el ángulo sólido

estereorradián: ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centro de una esfera, delimita sobre la superficie esférica correspondiente, un área igual al de un cuadrado que tiene como lado el radio de la esfera (el ángulo sólido completo alrededor de un punto es 4π sr) BLOQUE 1: Magnitudes y vectores. Sistemas de unidades

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Normas de uso sobre nombres de unidades SI Nombres unidades y múltiplos o submúltiplos con minúscula, excepto grado Celsius kg  kilogramo / m  metro ºC  grado Celsius  Nombres de unidades compuestas producto de otras se separan con espacio o guión. En cocientes con por: N.m  newton-metro, newton metro m/s  metro por segundo  Valor de la magnitud: si es superior a la unidad se utiliza el plural, si es inferior el singular: 300 m  300 metros /

0,3 m  0,3 metro

 Evitar el uso de nombres antiguos o derogados: µm  micrómetro (en lugar de micra) ºC  grado Celsius (en lugar de grado centígrado) BLOQUE 1: Magnitudes y vectores. Sistemas de unidades

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Normas de uso sobre nombres de símbolos SI  Siempre con minúscula excepto si provienen de un nombre propio. Si el símbolo es de dos letras y deriva de un nombre propio, se escribe con mayúscula la primera metro  m

/

newton  N

/

(se permite L para litro)

pascal  Pa  Los símbolos se imprimen en tipo redondo (letra romanilla)  Los prefijos se escriben con minúscula excepto los superiores a mega kilómetro  km

/

megahertz  MHz

 El símbolo con prefijo se considera como nuevo y no necesita paréntesis: cm-1 en lugar de (cm)-1  No son abreviaturas y nunca se escriben en plural ni tienen punto al final 1 km

/

15 km

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Normas de uso sobre nombres de símbolos SI (continuación)  Se deja un espacio entre el valor numérico y el símbolo, salvo grado, minuto y segundo de ángulo. La temperatura se puede expresar de las dos formas: 7 m

/

3 kg

15º 3’ 17’’ 18ºC ó 18 ºC  Productos de unidades mediante un punto a media altura; en cocientes con una barra N·m N/m ó

N·m-1

 Los símbolos que no existan en el juego de caracteres que se utilice se escriben a mano

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Normas sobre valores numéricos SI  La coma o el punto decimal son aceptados: 3,47 ó 3.47  No utilizar comas o puntos para separar grupos de cifras, se pueden utilizar potencias de 10 o prefijos. No separar por puntos grupos de 4 cifras excepto en una tabla donde haya cifras mayores  Es preferible la notación decimal a las fracciones. Para valores inferiores a uno el cero debe de preceder a la coma 0,67 (en lugar de ,67)

Sobre el uso y desuso del SI. M. Puigcerver. Revista Española de Física 5 (1 ) 1 991 BLOQUE 1: Magnitudes y vectores. Sistemas de unidades

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Múltiplos Factor 1015 1012 109 106 103 102 101

y submúltiplos de las unidades más utilizadas Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo peta p 10-15 femto f tera t 10-12 pico p giga g 10-9 nano n mega m 10-6 micro µ kilo k 10-3 mili m hecto h 10-2 centi c deca da 10-1 deci d

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Análisis dimensional  Una magnitud puede ser la misma en dos sistemas de unidades (metros, pies)  Para relacionar las magnitudes sin que intervengan las unidades, Fourier aplicó a estas el concepto de dimensión (corchetes []) (Dimensión: naturaleza cualitativa de una cantidad física)  Si la magnitud es fundamental, los corchetes se pueden omitir. Así, en el SI: [M] = M

[L] = L

[T] = T

 Para las magnitudes derivadas, debe cumplirse siempre que:

[D] = [M]α [L]β [T ]γ Principio de homogeneidad dimensional: Si una ecuación expresa correctamente una relación entre magnitudes de un proceso físico, debe ser dimensionalmente homogénea, esto es, todos sus términos deben tener las mismas dimensiones BLOQUE 1: Magnitudes y vectores. Sistemas de unidades

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Constantes En las leyes físicas, que establecen la relación entre distintas magnitudes, aparecen unas constantes, que pueden ser universales, específicas o geométricas.  Tienen sus unidades correspondientes

m1m2 FG = G 2 ; r 12

F = k ∆l

Cte específica

Cte universal

l T = 2π g Cte geométrica

Modulo de Young del material

k=

ES l

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Ejemplo de homogeneidad

τ = 2π  l   =  g 

l ; g

v [τ] = T ; [g] =   = LT −2 ;

[]l = L;

t

L =T −2 LT

Ejemplo de aplicación: deducción de la fórmula del periodo de un péndulo físico

[

]

τ = f(m, l, g) ⇒ [τ] = T 1 = mαlβ g γ = M α Lβ+ γ T −2 γ α=0 β+γ = 0 γ=−

1 2

α=0

⇒

1 β= 2 γ=−

⇒

τ=

1 1 0 2 −2 ml g

⇒

τ=

l g

1 2

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Cuestión R1 ¿Cuál de las siguientes es la frecuencia del do agudo? a) 376 g b) 483 m/s c) 523 Hz d) 26,5 J

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Cuestión R2 Sabiendo que la constante de gravitación universal vale: 2 G = 6,67 ⋅ 10 −8

dinas ⋅ cm g2

Hallar su valor en: a) sistema internacional; b) cuando se miden las masas en kg, las fuerzas en kp y las distancias en m.

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Cuestión R3 a) ¿La terna {masa, longitud, velocidad} se puede usar como terna de magnitudes independientes? b) Usando esta terna, determinar las dimensiones de las magnitudes tiempo y fuerza.

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Cuestión P1 ¿Cuales son las dimensiones de fuerza en el S.I (es decir, usando como magnitudes fundamentales {M, L, T})?

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Cuestión P2 La densidad del acero vale 7,8 g/cm3. Expresarla en el Sistema Internacional y en los sistemas técnico, gravitacional inglés y absoluto inglés.

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Cuestión P3 ¿De qué magnitud física es unidad la atmósfera · litro? Razona la respuesta.

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Cuestión P4 Un estudiante no recuerda cuál de estas dos fórmulas es la del periodo de un péndulo simple: T = 2π

l ; g

T = 2π

g l

siendo l la longitud del péndulo y g el valor de la gravedad. ¿Cómo podría comprobarlo fácilmente?

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Cuestión P5 Determinar las dimensiones de I, R, ω, M y C en la ecuación dimensionalmente homogénea: EIy=Rx3-P(x-a)3-ωx4+Mx2+C en donde x e y son longitudes, P es una fuerza y E es una fuerza por unidad de superficie.

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Cuestión P6 La presión de un fluido en movimiento depende de su densidad ρ y su velocidad v. ¿Cuál será la expresión de la presión en función de estas?

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Cuestión P7 La ley de desintegración radiactiva es: N(t)=N0e-λt donde N0 es el número de núcleos radiactivos en el instante t=0, N(t) es el número que permanece sin desintegrar en el tiempo t y λ es la constante de desintegración. ¿Qué dimensiones tiene λ?

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Cuestión P8 Calcular las dimensiones de la aceleración, potencia y longitud en un sistema de unidades cuyas magnitudes fundamentales son la velocidad v, la fuerza F y el trabajo W.

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